Intuicja w równaniach różniczkowych zupełnych 2

Więcej intuicyjnych cegiełek dla równaniach różniczkowych zupełnych.

W ostatnim filmie, przedstawiłem ideę reguły

łańcucha z pochodnymi cząstkowymi.

Powiedzieliśmy, że jeżeli mam funkcję, psi - grecka litera,

psi, jest funkcją x i y.

I jeśli chcę wziąć pochodną cząstkową tego, względem

- nie, chcę wziąć pochodną, nie pochodną cząstkową -

Pochodna tego, względem x, jest równa

pochodnej cząstkowej psi, względem x, plus pochodna cząstkowa

psi względem y, razy dy po dx.

W ostatnim filmie, nie udowodniłem tego, ale, mam nadzieję,

dałem Ci trochę intuicji, tak że możesz

mi uwierzyć.

Może pewnego dnia udowodnię to nieco

ściślej, ale możesz znaleźć dowody w sieci, jeśli jesteś

zainteresowany regułą łańcucha z pochodnymi cząstkowymi.

Połóżmy to na bok i zbadajmy koleją własność

pochodnych cząstkowych, potem będziemy gotowi żeby

zdobyć intuicję stojącą za równaniami zupełnymi.

Ponieważ zamierzasz znaleźć, że rozwiązywanie równań zupełnych

jest całkiem proste, ale intuicja jest czymś

więcej - nie chcę powiedzieć, że jest to trudne, ponieważ jeśli

masz intuicję to ją masz.

Tak więc, co gdy mam, powiedzmy, tę funkcję, psi, i chcę wziąć

pochodną cząstkową psi, względem x, najpierw.

Będę pisał psi.

Nie muszę cały czas pisać x i y.

I teraz, gdybym miał wziąć pochodną cząstkową

względem y.

Możesz to zapisać - taka jest notacja - możesz

patrzeć na to jako na pewnego rodzaju mnożenie operatorów, więc

to może być zapisane w ten sposób.

Czątkowa delta do kwadratu razy psi, lub delta kwadrat psi nad

delta y delta lub kręcone d x.

To może być także zapisane jako - i jest to moja ulubiona

notacja, ponieważ nie ma tych wszystkich śmieci

dookoła.

Możesz po prostu powiedzieć, pochodna cząstkowa, bierzemy pochodną cząstkową

względem x, najpierw. Tak więc to znaczy tylko pochodną cząstkową

psi względem x.

I później bierzemy pochodną cząstkową względem y.

Tak więc to jedna z sytuacji do rozważenia.

Co dzieję się, kiedy bierzemy pochodną cząstkową względem x,

a potem względem y?

Więc, względem x, trzymasz y ustalone, żeby dostać pochodną

cząstkową, względem x.

Zignoruj y tutaj.

A potem trzymasz x stałe, i bierzesz pochodną

cząstkową, względem y.

Jaka jest więc różnica pomiędzy tym, a sytuacją w której

odwrócilibyśmy kolejność?

Co dzieje się gdybyśmy mieli - zapiszę to innym

kolorem - gdybyśmy mieli psi i mielibyśmy wziąć pochodną cząstkową

najpierw względem y, a dopiero potem pochodną cząstkową

względem x?

Tylko notacja, jesteś z nią zaznajomiony,

to byłoby - pochodna cząstkowa x, pochodna cząstkowa y.

I to jest operator.

Może być trochę dezorientujące, że tutaj, pomiędzy tymi

dwoma notacjami, nawet jeżeli jest to tam sama rzecz,

kolejność jest zamieniona.

To dlatego, że jest to po prostu inny sposób

myślenia o tym.

To mówi, OK, najpier pochodna, względem x, a potem y.

To wygląda bardziej jak operator, więc najpierw wzięliśmy

pochodną cząstkową względem x, a potem względem y, tak

jak mnoży się operatory.

W każdym razie, może być to także zapisane jako pochodna cząstkowa

po y, względem x - przepraszam, pochodna y i potem

bierzemy pochodną tego względem x.

Zamierzam teraz powiedzieć, że jeżeli każda

z tych pierwszych pochodnych jest ciągła - a większość

funkcji z którymi się stykamy w normalnych dziedzinach, tak długo, gdy

nie ma żadnych nieciągłości, dziur lub

czegoś dziwnego w definicji funkcji, są

zazwyczaj ciągłe.

W szczególności w pierwszorocznym kursie rachunku różniczkowego i całkowego,

będziemy się prawdopodobnie zajmowali funkcjami

ciągłymi w naszej dziedzinie.

Jeśli obie te funkcje są ciągłe, jeśli obie

pierwsze pochodne cząstkowe są ciągłe, to te dwie rzeczy

będą sobie równe.

Tak więc psi xy będzie równe psi yx.

Możemy teraz wykorzystać tę wiedzę, będącą

regułą łańcucha dla pochodnych cząstkowych, i tę

wiedzę by rozwiązać teraz pewną klasę równań

różniczkowych, równań różniczkowych pierwszego rzędu, nazywanych

równaniami zupełnymi.

Ale jak równanie zupełne wygląda?

Równanie zupełne wygląda w ten sposób.

Wybór koloru jest zawsze ciężką sprawą.

Powiedzmy, że to jest moje równanie różniczkowe.

Mam pewną funkcję od x i od y.

Nie wiem, może to być x w kwadracie razy

cosinus y lub cokolwiek.

Nie wiem, może to być dowolna funkcja od x i y.

Dodać pewna funkcja od x i y, nazwijmy ją N, razy dy dx

jest równe zero.

To jest - nie wiem jeszcze czy jest to równanie zupełne,

ale jeżeli zobaczysz coś w tej postaci, pierwszym Twoim impulsem

powinno być, oh - istotnie, Twoim najwcześniejszym

impulsem jest, czy jest to równanie o zmiennych rozdzielonych?

Powinieneś trochę pobawić się algebrą

żeby zobaczyć, czy jest to równanie o zmiennych rozdzielonych,

ponieważ zawsze jest to najprostsza metoda.

Jeśli nie jest to równanie o zmiennych rozdzielonych, ale wciąż jest zapisane w takiej formie,

mówisz, hej, czy jest to równanie zupełne?

I co to jest równanie zupełne?

Spójrz bezpośrednio.

Ten wzorzec, o tutaj, wygląd bardzo

podobnie jak ten wzór.

Co gdy M jest pochodną cząstkową psi względem x?

Co gdy psi, względem x, jest równe M?

Co gdyby to było psi, względem x?

I co gdyby to było psi, względem y?

Tak więc psi, względem y, jest równe N.

Co wtedy?

Tylko przypuszczam, nie wiemy na pewno, tak?

Gdybyś zobaczył to przypadkowo, nie wiedziałbyś

na pewno, że jest to pochodna, względem x,

pewnej funkcji, a to jest pochodna, względem y,

pewnej funkcji.

Mówimy tylko, co gdyby?

Gdyby była to prawda, moglibyśmy przepisać to jako

pochodna cząstkowa psi, względem x, dodać pochodna cząstkowa psi,

względem y, razy dy po dx, jest równe 0.

I to wyrażenie tutaj, lewa strona, to jest

dokładnie tak sama rzecz co tu, tak?

To jest po prostu pochodna psi, względem x,

zapisana z wykorzystaniem reguły łańcucha.

Mógłbyś przepisać to.

Możesz to przepisać, to jest po prostu pochodna psi,

względem x, wewnątrz jest funkcja x,

y, jest równe 0.

Tak więc jeżeli widzisz równanie różniczkowe, i ma ono tę postać

i mówisz: nie mogę go rozdzielić, ale może

to jest równanie zupełne.

I szczerze, gdyby to było coś, co zostało przerobione przed

ostatnim egzaminem, prawdopodobnie byłyby to równanie zupełne.

Ale gdy widzisz tę postać mówisz sobie: może

to jest równanie zupełne.

A jeśli to jest równanie zupełne - pokażę Ci za moment jak to sprawdzić

używając tej informacji - to może być zapisane

jako pochodna pewnej funkcji, psi, gdzie

to jest pochodna cząstkowa psi, względem x.

To jest zaś pochodna cząstkowa psi, względem y.

I dalej, jeśli możesz to zapisać w ten sposób, biorąc

pochodną obu stron - przepraszam, bierzesz antypochodną

obu stron - dostaniesz psi od x i y

jest równe c jako rozwiązanie.

Są więc dwie rzeczy, o których powinieneś pamiętać.

Możesz potem powiedzieć, OK, Sal, przeszedłeś przez

psi, pochodne cząstkowe i to wszystko.

Po pierwsze, w jaki sposób mogę się dowiedzieć, że jest to równanie zupełne?

I dalej, jeśli jest to równanie zupełne, co to nam mówi, że

istnieje jakieś psi? Jak wtedy znaleźć psi?

Tak więc sposobem na dowiedzenie się, czy równanie jest zupełne, jest wykorzystanie

tej informacji, o tu.

Wiemy, że jeśli psi i jej pochodne są ciągłe

w pewnej dziedzinie, to branie pochodnej cząstkowej

względem x a potem względem y jest tą samą rzeczą co robienie

tego w przeciwnej kolejności.

Więc powiedzieliśmy, że to jest pochodna cząstkowa,

względem x, tak?

A to jest pochodna cząstkowa względem y.

Tak więc jeżeli to jest równanie zupełne, jeśli jest to

równanie zupełne, gdybyśmy wzięli pochodną cząstkową tego

względem y, tak?

Gdybyśmy mieli wziąć pochodną cząstkową M, względem y - więc

pochodna psi, względem x, jest równa M.

Gdybyśmy teraz mieli wziąć pochodną tych rzeczy względem y -

możemy więc przepisać to jako to - to wtedy to powinno

być równe pochodnej cząstkowej N, względem x, tak?

Pochodna cząstkowa psi, względem y, jest równa N.

Jeśli więc bierzemy pochodną, względem x, obu stron

tego, wiemy, że te rzeczy powinny być równe, jeśli psi

i jej pochodne cząstkowe są ciągłe w swojej dziedzinie.

Tak więc i to będzie sobie równe.

Tak więc to jest faktycznie test, czy jest

to równanie zupełne.

Pozwól mi przepisać to wszystko jeszcze raz i podsumować

to trochę.

Jeśli więc widzisz coś w postaci M od x i y dodać N od x

y razy dy po dx, jest równe 0.

I potem bierzesz pochodną cząstkową M, względem y,

a potem pochodną cząstkową N względem x,

i są one sobie równe, to -

w rzeczywistości wtedy i tylko wtedy, tak więc to idzie w dwie strony -

to jest równanie zupełne, zupełne równanie różniczkowe.

To jest równanie zupełne.

I jeśli jest to równanie zupełne, co mówi nam, że

istnieje psi, takie, że pochodna psi od x i y, jest

równa zero, lub psi od x i y jest równe c, jest rozwiązaniem

tego równania.

A pochodna cząstkowa psi względem x

jest równa M.

I pochodna cząstkowa psi względem y

jest równa N.

W następnym filmie pokażę jak w rzeczywistości

wykorzystać tę informację, żeby znaleźć psi.

Tak więc to jest kilka rzeczy, które chciałem podkreślić.

To będzie pochodna cząstkowa psi,

względem x, ale kiedy chcemy sprawdzić czy równanie jest zupełne,

bierzemy pochodną względem y, ponieważ chcemy mieć

pochodną mieszaną.

Podobnie, to będzie pochodna cząstkowa psi,

względem y, ale kiedy przeprowadzamy test, bierzemy

pochodną cząstkową względem x, tak, że dostajemy pochodną

mieszaną.

To jest względem y, a potem względem x,

więc dostajesz to.

W każdym razie, wiem, że to mogło być trochę zajmujące, ale

jeżeli zrozumiałeś wszystko co robiłem, myślę, że będziesz miał

intuicję stojąca za tym, dlaczego metodologia

równań zupełnych działa.

Do zobaczenia w następnym filmie, gdzie będziemy się rzeczywiście

zajmowali rozwiązywaniem równań zupełnych. Do zobaczenia.