1 00:00:00,710 --> 00:00:04,470 W ostatnim filmie, przedstawiłem ideę reguły 2 00:00:04,470 --> 00:00:05,520 łańcucha z pochodnymi cząstkowymi. 3 00:00:05,520 --> 00:00:10,080 Powiedzieliśmy, że jeżeli mam funkcję, psi - grecka litera, 4 00:00:10,080 --> 00:00:14,020 psi, jest funkcją x i y. 5 00:00:14,020 --> 00:00:16,770 I jeśli chcę wziąć pochodną cząstkową tego, względem 6 00:00:16,770 --> 00:00:19,360 - nie, chcę wziąć pochodną, nie pochodną cząstkową - 7 00:00:19,360 --> 00:00:23,430 Pochodna tego, względem x, jest równa 8 00:00:23,430 --> 00:00:29,540 pochodnej cząstkowej psi, względem x, plus pochodna cząstkowa 9 00:00:29,540 --> 00:00:35,400 psi względem y, razy dy po dx. 10 00:00:35,400 --> 00:00:37,630 W ostatnim filmie, nie udowodniłem tego, ale, mam nadzieję, 11 00:00:37,630 --> 00:00:40,260 dałem Ci trochę intuicji, tak że możesz 12 00:00:40,260 --> 00:00:40,740 mi uwierzyć. 13 00:00:40,740 --> 00:00:43,030 Może pewnego dnia udowodnię to nieco 14 00:00:43,030 --> 00:00:46,120 ściślej, ale możesz znaleźć dowody w sieci, jeśli jesteś 15 00:00:46,120 --> 00:00:49,960 zainteresowany regułą łańcucha z pochodnymi cząstkowymi. 16 00:00:49,960 --> 00:00:52,760 Połóżmy to na bok i zbadajmy koleją własność 17 00:00:52,760 --> 00:00:55,600 pochodnych cząstkowych, potem będziemy gotowi żeby 18 00:00:55,600 --> 00:00:57,080 zdobyć intuicję stojącą za równaniami zupełnymi. 19 00:00:57,080 --> 00:00:59,070 Ponieważ zamierzasz znaleźć, że rozwiązywanie równań zupełnych 20 00:00:59,070 --> 00:01:02,210 jest całkiem proste, ale intuicja jest czymś 21 00:01:02,210 --> 00:01:05,140 więcej - nie chcę powiedzieć, że jest to trudne, ponieważ jeśli 22 00:01:05,140 --> 00:01:06,890 masz intuicję to ją masz. 23 00:01:06,890 --> 00:01:11,490 Tak więc, co gdy mam, powiedzmy, tę funkcję, psi, i chcę wziąć 24 00:01:11,490 --> 00:01:16,580 pochodną cząstkową psi, względem x, najpierw. 25 00:01:16,580 --> 00:01:17,510 Będę pisał psi. 26 00:01:17,510 --> 00:01:19,640 Nie muszę cały czas pisać x i y. 27 00:01:19,640 --> 00:01:22,890 I teraz, gdybym miał wziąć pochodną cząstkową 28 00:01:22,890 --> 00:01:25,485 względem y. 29 00:01:28,920 --> 00:01:32,730 Możesz to zapisać - taka jest notacja - możesz 30 00:01:32,730 --> 00:01:34,620 patrzeć na to jako na pewnego rodzaju mnożenie operatorów, więc 31 00:01:34,620 --> 00:01:36,050 to może być zapisane w ten sposób. 32 00:01:36,050 --> 00:01:42,400 Czątkowa delta do kwadratu razy psi, lub delta kwadrat psi nad 33 00:01:42,400 --> 00:01:47,540 delta y delta lub kręcone d x. 34 00:01:47,540 --> 00:01:50,330 To może być także zapisane jako - i jest to moja ulubiona 35 00:01:50,330 --> 00:01:53,040 notacja, ponieważ nie ma tych wszystkich śmieci 36 00:01:53,040 --> 00:01:53,800 dookoła. 37 00:01:53,800 --> 00:01:56,350 Możesz po prostu powiedzieć, pochodna cząstkowa, bierzemy pochodną cząstkową 38 00:01:56,350 --> 00:02:00,050 względem x, najpierw. Tak więc to znaczy tylko pochodną cząstkową 39 00:02:00,050 --> 00:02:01,240 psi względem x. 40 00:02:01,240 --> 00:02:04,060 I później bierzemy pochodną cząstkową względem y. 41 00:02:04,060 --> 00:02:05,870 Tak więc to jedna z sytuacji do rozważenia. 42 00:02:05,870 --> 00:02:07,970 Co dzieję się, kiedy bierzemy pochodną cząstkową względem x, 43 00:02:07,970 --> 00:02:08,650 a potem względem y? 44 00:02:08,650 --> 00:02:13,100 Więc, względem x, trzymasz y ustalone, żeby dostać pochodną 45 00:02:13,100 --> 00:02:14,190 cząstkową, względem x. 46 00:02:14,190 --> 00:02:15,000 Zignoruj y tutaj. 47 00:02:15,000 --> 00:02:17,060 A potem trzymasz x stałe, i bierzesz pochodną 48 00:02:17,060 --> 00:02:18,670 cząstkową, względem y. 49 00:02:18,670 --> 00:02:21,480 Jaka jest więc różnica pomiędzy tym, a sytuacją w której 50 00:02:21,480 --> 00:02:22,370 odwrócilibyśmy kolejność? 51 00:02:22,370 --> 00:02:24,970 Co dzieje się gdybyśmy mieli - zapiszę to innym 52 00:02:24,970 --> 00:02:30,400 kolorem - gdybyśmy mieli psi i mielibyśmy wziąć pochodną cząstkową 53 00:02:30,400 --> 00:02:34,480 najpierw względem y, a dopiero potem pochodną cząstkową 54 00:02:34,480 --> 00:02:36,510 względem x? 55 00:02:36,510 --> 00:02:40,640 Tylko notacja, jesteś z nią zaznajomiony, 56 00:02:40,640 --> 00:02:44,660 to byłoby - pochodna cząstkowa x, pochodna cząstkowa y. 57 00:02:44,660 --> 00:02:46,360 I to jest operator. 58 00:02:46,360 --> 00:02:48,750 Może być trochę dezorientujące, że tutaj, pomiędzy tymi 59 00:02:48,750 --> 00:02:51,060 dwoma notacjami, nawet jeżeli jest to tam sama rzecz, 60 00:02:51,060 --> 00:02:52,740 kolejność jest zamieniona. 61 00:02:52,740 --> 00:02:54,250 To dlatego, że jest to po prostu inny sposób 62 00:02:54,250 --> 00:02:54,910 myślenia o tym. 63 00:02:54,910 --> 00:02:57,990 To mówi, OK, najpier pochodna, względem x, a potem y. 64 00:02:57,990 --> 00:03:00,160 To wygląda bardziej jak operator, więc najpierw wzięliśmy 65 00:03:00,160 --> 00:03:03,000 pochodną cząstkową względem x, a potem względem y, tak 66 00:03:03,000 --> 00:03:04,950 jak mnoży się operatory. 67 00:03:04,950 --> 00:03:08,840 W każdym razie, może być to także zapisane jako pochodna cząstkowa 68 00:03:08,840 --> 00:03:13,070 po y, względem x - przepraszam, pochodna y i potem 69 00:03:13,070 --> 00:03:14,910 bierzemy pochodną tego względem x. 70 00:03:14,910 --> 00:03:17,980 Zamierzam teraz powiedzieć, że jeżeli każda 71 00:03:17,980 --> 00:03:20,840 z tych pierwszych pochodnych jest ciągła - a większość 72 00:03:20,840 --> 00:03:24,510 funkcji z którymi się stykamy w normalnych dziedzinach, tak długo, gdy 73 00:03:24,510 --> 00:03:26,780 nie ma żadnych nieciągłości, dziur lub 74 00:03:26,780 --> 00:03:29,070 czegoś dziwnego w definicji funkcji, są 75 00:03:29,070 --> 00:03:30,290 zazwyczaj ciągłe. 76 00:03:30,290 --> 00:03:32,990 W szczególności w pierwszorocznym kursie rachunku różniczkowego i całkowego, 77 00:03:32,990 --> 00:03:35,810 będziemy się prawdopodobnie zajmowali funkcjami 78 00:03:35,810 --> 00:03:37,620 ciągłymi w naszej dziedzinie. 79 00:03:37,620 --> 00:03:40,480 Jeśli obie te funkcje są ciągłe, jeśli obie 80 00:03:40,480 --> 00:03:45,410 pierwsze pochodne cząstkowe są ciągłe, to te dwie rzeczy 81 00:03:45,410 --> 00:03:47,170 będą sobie równe. 82 00:03:47,170 --> 00:03:54,950 Tak więc psi xy będzie równe psi yx. 83 00:03:54,950 --> 00:04:01,220 Możemy teraz wykorzystać tę wiedzę, będącą 84 00:04:01,220 --> 00:04:04,870 regułą łańcucha dla pochodnych cząstkowych, i tę 85 00:04:04,870 --> 00:04:09,060 wiedzę by rozwiązać teraz pewną klasę równań 86 00:04:09,060 --> 00:04:13,060 różniczkowych, równań różniczkowych pierwszego rzędu, nazywanych 87 00:04:13,060 --> 00:04:14,270 równaniami zupełnymi. 88 00:04:14,270 --> 00:04:17,860 Ale jak równanie zupełne wygląda? 89 00:04:17,860 --> 00:04:21,990 Równanie zupełne wygląda w ten sposób. 90 00:04:21,990 --> 00:04:23,710 Wybór koloru jest zawsze ciężką sprawą. 91 00:04:23,710 --> 00:04:26,290 Powiedzmy, że to jest moje równanie różniczkowe. 92 00:04:26,290 --> 00:04:29,550 Mam pewną funkcję od x i od y. 93 00:04:29,550 --> 00:04:31,830 Nie wiem, może to być x w kwadracie razy 94 00:04:31,830 --> 00:04:32,920 cosinus y lub cokolwiek. 95 00:04:32,920 --> 00:04:34,650 Nie wiem, może to być dowolna funkcja od x i y. 96 00:04:34,650 --> 00:04:40,350 Dodać pewna funkcja od x i y, nazwijmy ją N, razy dy dx 97 00:04:40,350 --> 00:04:44,900 jest równe zero. 98 00:04:44,900 --> 00:04:47,520 To jest - nie wiem jeszcze czy jest to równanie zupełne, 99 00:04:47,520 --> 00:04:50,880 ale jeżeli zobaczysz coś w tej postaci, pierwszym Twoim impulsem 100 00:04:50,880 --> 00:04:52,990 powinno być, oh - istotnie, Twoim najwcześniejszym 101 00:04:52,990 --> 00:04:54,500 impulsem jest, czy jest to równanie o zmiennych rozdzielonych? 102 00:04:54,500 --> 00:04:56,180 Powinieneś trochę pobawić się algebrą 103 00:04:56,180 --> 00:04:57,620 żeby zobaczyć, czy jest to równanie o zmiennych rozdzielonych, 104 00:04:57,620 --> 00:04:59,210 ponieważ zawsze jest to najprostsza metoda. 105 00:04:59,210 --> 00:05:01,770 Jeśli nie jest to równanie o zmiennych rozdzielonych, ale wciąż jest zapisane w takiej formie, 106 00:05:01,770 --> 00:05:04,460 mówisz, hej, czy jest to równanie zupełne? 107 00:05:04,460 --> 00:05:06,340 I co to jest równanie zupełne? 108 00:05:06,340 --> 00:05:07,270 Spójrz bezpośrednio. 109 00:05:07,270 --> 00:05:11,600 Ten wzorzec, o tutaj, wygląd bardzo 110 00:05:11,600 --> 00:05:14,000 podobnie jak ten wzór. 111 00:05:14,000 --> 00:05:18,210 Co gdy M jest pochodną cząstkową psi względem x? 112 00:05:18,210 --> 00:05:24,920 Co gdy psi, względem x, jest równe M? 113 00:05:24,920 --> 00:05:26,710 Co gdyby to było psi, względem x? 114 00:05:26,710 --> 00:05:29,570 I co gdyby to było psi, względem y? 115 00:05:29,570 --> 00:05:32,500 Tak więc psi, względem y, jest równe N. 116 00:05:32,500 --> 00:05:32,950 Co wtedy? 117 00:05:32,950 --> 00:05:34,670 Tylko przypuszczam, nie wiemy na pewno, tak? 118 00:05:34,670 --> 00:05:37,500 Gdybyś zobaczył to przypadkowo, nie wiedziałbyś 119 00:05:37,500 --> 00:05:40,200 na pewno, że jest to pochodna, względem x, 120 00:05:40,200 --> 00:05:43,060 pewnej funkcji, a to jest pochodna, względem y, 121 00:05:43,060 --> 00:05:43,830 pewnej funkcji. 122 00:05:43,830 --> 00:05:45,810 Mówimy tylko, co gdyby? 123 00:05:45,810 --> 00:05:49,650 Gdyby była to prawda, moglibyśmy przepisać to jako 124 00:05:49,650 --> 00:05:52,870 pochodna cząstkowa psi, względem x, dodać pochodna cząstkowa psi, 125 00:05:52,870 --> 00:05:58,680 względem y, razy dy po dx, jest równe 0. 126 00:05:58,680 --> 00:06:02,050 I to wyrażenie tutaj, lewa strona, to jest 127 00:06:02,050 --> 00:06:04,790 dokładnie tak sama rzecz co tu, tak? 128 00:06:04,790 --> 00:06:09,040 To jest po prostu pochodna psi, względem x, 129 00:06:09,040 --> 00:06:10,940 zapisana z wykorzystaniem reguły łańcucha. 130 00:06:10,940 --> 00:06:12,710 Mógłbyś przepisać to. 131 00:06:12,710 --> 00:06:17,130 Możesz to przepisać, to jest po prostu pochodna psi, 132 00:06:17,130 --> 00:06:20,480 względem x, wewnątrz jest funkcja x, 133 00:06:20,480 --> 00:06:23,410 y, jest równe 0. 134 00:06:23,410 --> 00:06:27,730 Tak więc jeżeli widzisz równanie różniczkowe, i ma ono tę postać 135 00:06:27,730 --> 00:06:31,070 i mówisz: nie mogę go rozdzielić, ale może 136 00:06:31,070 --> 00:06:32,030 to jest równanie zupełne. 137 00:06:32,030 --> 00:06:35,940 I szczerze, gdyby to było coś, co zostało przerobione przed 138 00:06:35,940 --> 00:06:38,800 ostatnim egzaminem, prawdopodobnie byłyby to równanie zupełne. 139 00:06:38,800 --> 00:06:40,940 Ale gdy widzisz tę postać mówisz sobie: może 140 00:06:40,940 --> 00:06:42,070 to jest równanie zupełne. 141 00:06:42,070 --> 00:06:44,580 A jeśli to jest równanie zupełne - pokażę Ci za moment jak to sprawdzić 142 00:06:44,580 --> 00:06:48,350 używając tej informacji - to może być zapisane 143 00:06:48,350 --> 00:06:52,550 jako pochodna pewnej funkcji, psi, gdzie 144 00:06:52,550 --> 00:06:54,840 to jest pochodna cząstkowa psi, względem x. 145 00:06:54,840 --> 00:06:57,720 To jest zaś pochodna cząstkowa psi, względem y. 146 00:06:57,720 --> 00:06:59,655 I dalej, jeśli możesz to zapisać w ten sposób, biorąc 147 00:06:59,655 --> 00:07:01,370 pochodną obu stron - przepraszam, bierzesz antypochodną 148 00:07:01,370 --> 00:07:06,890 obu stron - dostaniesz psi od x i y 149 00:07:06,890 --> 00:07:10,070 jest równe c jako rozwiązanie. 150 00:07:10,070 --> 00:07:12,770 Są więc dwie rzeczy, o których powinieneś pamiętać. 151 00:07:12,770 --> 00:07:16,470 Możesz potem powiedzieć, OK, Sal, przeszedłeś przez 152 00:07:16,470 --> 00:07:19,550 psi, pochodne cząstkowe i to wszystko. 153 00:07:19,550 --> 00:07:22,020 Po pierwsze, w jaki sposób mogę się dowiedzieć, że jest to równanie zupełne? 154 00:07:22,020 --> 00:07:24,590 I dalej, jeśli jest to równanie zupełne, co to nam mówi, że 155 00:07:24,590 --> 00:07:28,290 istnieje jakieś psi? Jak wtedy znaleźć psi? 156 00:07:28,290 --> 00:07:32,380 Tak więc sposobem na dowiedzenie się, czy równanie jest zupełne, jest wykorzystanie 157 00:07:32,380 --> 00:07:34,690 tej informacji, o tu. 158 00:07:34,690 --> 00:07:38,150 Wiemy, że jeśli psi i jej pochodne są ciągłe 159 00:07:38,150 --> 00:07:42,100 w pewnej dziedzinie, to branie pochodnej cząstkowej 160 00:07:42,100 --> 00:07:45,760 względem x a potem względem y jest tą samą rzeczą co robienie 161 00:07:45,760 --> 00:07:46,980 tego w przeciwnej kolejności. 162 00:07:46,980 --> 00:07:48,930 Więc powiedzieliśmy, że to jest pochodna cząstkowa, 163 00:07:48,930 --> 00:07:50,180 względem x, tak? 164 00:07:52,610 --> 00:07:55,920 A to jest pochodna cząstkowa względem y. 165 00:07:55,920 --> 00:07:59,880 Tak więc jeżeli to jest równanie zupełne, jeśli jest to 166 00:07:59,880 --> 00:08:03,250 równanie zupełne, gdybyśmy wzięli pochodną cząstkową tego 167 00:08:03,250 --> 00:08:05,330 względem y, tak? 168 00:08:05,330 --> 00:08:11,600 Gdybyśmy mieli wziąć pochodną cząstkową M, względem y - więc 169 00:08:11,600 --> 00:08:15,560 pochodna psi, względem x, jest równa M. 170 00:08:15,560 --> 00:08:18,490 Gdybyśmy teraz mieli wziąć pochodną tych rzeczy względem y - 171 00:08:18,490 --> 00:08:22,450 możemy więc przepisać to jako to - to wtedy to powinno 172 00:08:22,450 --> 00:08:28,090 być równe pochodnej cząstkowej N, względem x, tak? 173 00:08:28,090 --> 00:08:31,976 Pochodna cząstkowa psi, względem y, jest równa N. 174 00:08:31,976 --> 00:08:34,760 Jeśli więc bierzemy pochodną, względem x, obu stron 175 00:08:34,760 --> 00:08:40,964 tego, wiemy, że te rzeczy powinny być równe, jeśli psi 176 00:08:40,964 --> 00:08:44,400 i jej pochodne cząstkowe są ciągłe w swojej dziedzinie. 177 00:08:44,400 --> 00:08:49,320 Tak więc i to będzie sobie równe. 178 00:08:49,320 --> 00:08:51,990 Tak więc to jest faktycznie test, czy jest 179 00:08:51,990 --> 00:08:53,930 to równanie zupełne. 180 00:08:53,930 --> 00:08:56,300 Pozwól mi przepisać to wszystko jeszcze raz i podsumować 181 00:08:56,300 --> 00:08:56,690 to trochę. 182 00:08:56,690 --> 00:09:04,870 Jeśli więc widzisz coś w postaci M od x i y dodać N od x 183 00:09:04,870 --> 00:09:09,580 y razy dy po dx, jest równe 0. 184 00:09:09,580 --> 00:09:13,110 I potem bierzesz pochodną cząstkową M, względem y, 185 00:09:13,110 --> 00:09:18,280 a potem pochodną cząstkową N względem x, 186 00:09:18,280 --> 00:09:24,030 i są one sobie równe, to - 187 00:09:24,030 --> 00:09:26,410 w rzeczywistości wtedy i tylko wtedy, tak więc to idzie w dwie strony - 188 00:09:26,410 --> 00:09:30,930 to jest równanie zupełne, zupełne równanie różniczkowe. 189 00:09:30,930 --> 00:09:32,410 To jest równanie zupełne. 190 00:09:32,410 --> 00:09:35,510 I jeśli jest to równanie zupełne, co mówi nam, że 191 00:09:35,510 --> 00:09:47,140 istnieje psi, takie, że pochodna psi od x i y, jest 192 00:09:47,140 --> 00:09:52,200 równa zero, lub psi od x i y jest równe c, jest rozwiązaniem 193 00:09:52,200 --> 00:09:53,050 tego równania. 194 00:09:53,050 --> 00:09:58,480 A pochodna cząstkowa psi względem x 195 00:09:58,480 --> 00:09:59,740 jest równa M. 196 00:09:59,740 --> 00:10:03,760 I pochodna cząstkowa psi względem y 197 00:10:03,760 --> 00:10:05,340 jest równa N. 198 00:10:05,340 --> 00:10:07,550 W następnym filmie pokażę jak w rzeczywistości 199 00:10:07,550 --> 00:10:09,810 wykorzystać tę informację, żeby znaleźć psi. 200 00:10:09,810 --> 00:10:11,640 Tak więc to jest kilka rzeczy, które chciałem podkreślić. 201 00:10:11,640 --> 00:10:13,720 To będzie pochodna cząstkowa psi, 202 00:10:13,720 --> 00:10:17,620 względem x, ale kiedy chcemy sprawdzić czy równanie jest zupełne, 203 00:10:17,620 --> 00:10:19,590 bierzemy pochodną względem y, ponieważ chcemy mieć 204 00:10:19,590 --> 00:10:21,080 pochodną mieszaną. 205 00:10:21,080 --> 00:10:23,410 Podobnie, to będzie pochodna cząstkowa psi, 206 00:10:23,410 --> 00:10:27,030 względem y, ale kiedy przeprowadzamy test, bierzemy 207 00:10:27,030 --> 00:10:29,500 pochodną cząstkową względem x, tak, że dostajemy pochodną 208 00:10:29,500 --> 00:10:30,730 mieszaną. 209 00:10:30,730 --> 00:10:32,570 To jest względem y, a potem względem x, 210 00:10:32,570 --> 00:10:33,920 więc dostajesz to. 211 00:10:33,920 --> 00:10:36,300 W każdym razie, wiem, że to mogło być trochę zajmujące, ale 212 00:10:36,300 --> 00:10:38,360 jeżeli zrozumiałeś wszystko co robiłem, myślę, że będziesz miał 213 00:10:38,360 --> 00:10:41,390 intuicję stojąca za tym, dlaczego metodologia 214 00:10:41,390 --> 00:10:43,470 równań zupełnych działa. 215 00:10:43,470 --> 00:10:45,950 Do zobaczenia w następnym filmie, gdzie będziemy się rzeczywiście 216 00:10:45,950 --> 00:10:49,400 zajmowali rozwiązywaniem równań zupełnych. Do zobaczenia.