WEBVTT 00:00:00.710 --> 00:00:04.470 W ostatnim filmie, przedstawiłem ideę reguły 00:00:04.470 --> 00:00:05.520 łańcucha z pochodnymi cząstkowymi. 00:00:05.520 --> 00:00:10.080 Powiedzieliśmy, że jeżeli mam funkcję, psi - grecka litera, 00:00:10.080 --> 00:00:14.020 psi, jest funkcją x i y. 00:00:14.020 --> 00:00:16.770 I jeśli chcę wziąć pochodną cząstkową tego, względem 00:00:16.770 --> 00:00:19.360 - nie, chcę wziąć pochodną, nie pochodną cząstkową - 00:00:19.360 --> 00:00:23.430 Pochodna tego, względem x, jest równa 00:00:23.430 --> 00:00:29.540 pochodnej cząstkowej psi, względem x, plus pochodna cząstkowa 00:00:29.540 --> 00:00:35.400 psi względem y, razy dy po dx. 00:00:35.400 --> 00:00:37.630 W ostatnim filmie, nie udowodniłem tego, ale, mam nadzieję, 00:00:37.630 --> 00:00:40.260 dałem Ci trochę intuicji, tak że możesz 00:00:40.260 --> 00:00:40.740 mi uwierzyć. 00:00:40.740 --> 00:00:43.030 Może pewnego dnia udowodnię to nieco 00:00:43.030 --> 00:00:46.120 ściślej, ale możesz znaleźć dowody w sieci, jeśli jesteś 00:00:46.120 --> 00:00:49.960 zainteresowany regułą łańcucha z pochodnymi cząstkowymi. 00:00:49.960 --> 00:00:52.760 Połóżmy to na bok i zbadajmy koleją własność 00:00:52.760 --> 00:00:55.600 pochodnych cząstkowych, potem będziemy gotowi żeby 00:00:55.600 --> 00:00:57.080 zdobyć intuicję stojącą za równaniami zupełnymi. 00:00:57.080 --> 00:00:59.070 Ponieważ zamierzasz znaleźć, że rozwiązywanie równań zupełnych 00:00:59.070 --> 00:01:02.210 jest całkiem proste, ale intuicja jest czymś 00:01:02.210 --> 00:01:05.140 więcej - nie chcę powiedzieć, że jest to trudne, ponieważ jeśli 00:01:05.140 --> 00:01:06.890 masz intuicję to ją masz. 00:01:06.890 --> 00:01:11.490 Tak więc, co gdy mam, powiedzmy, tę funkcję, psi, i chcę wziąć 00:01:11.490 --> 00:01:16.580 pochodną cząstkową psi, względem x, najpierw. 00:01:16.580 --> 00:01:17.510 Będę pisał psi. 00:01:17.510 --> 00:01:19.640 Nie muszę cały czas pisać x i y. 00:01:19.640 --> 00:01:22.890 I teraz, gdybym miał wziąć pochodną cząstkową 00:01:22.890 --> 00:01:25.485 względem y. 00:01:28.920 --> 00:01:32.730 Możesz to zapisać - taka jest notacja - możesz 00:01:32.730 --> 00:01:34.620 patrzeć na to jako na pewnego rodzaju mnożenie operatorów, więc 00:01:34.620 --> 00:01:36.050 to może być zapisane w ten sposób. 00:01:36.050 --> 00:01:42.400 Czątkowa delta do kwadratu razy psi, lub delta kwadrat psi nad 00:01:42.400 --> 00:01:47.540 delta y delta lub kręcone d x. 00:01:47.540 --> 00:01:50.330 To może być także zapisane jako - i jest to moja ulubiona 00:01:50.330 --> 00:01:53.040 notacja, ponieważ nie ma tych wszystkich śmieci 00:01:53.040 --> 00:01:53.800 dookoła. 00:01:53.800 --> 00:01:56.350 Możesz po prostu powiedzieć, pochodna cząstkowa, bierzemy pochodną cząstkową 00:01:56.350 --> 00:02:00.050 względem x, najpierw. Tak więc to znaczy tylko pochodną cząstkową 00:02:00.050 --> 00:02:01.240 psi względem x. 00:02:01.240 --> 00:02:04.060 I później bierzemy pochodną cząstkową względem y. 00:02:04.060 --> 00:02:05.870 Tak więc to jedna z sytuacji do rozważenia. 00:02:05.870 --> 00:02:07.970 Co dzieję się, kiedy bierzemy pochodną cząstkową względem x, 00:02:07.970 --> 00:02:08.650 a potem względem y? 00:02:08.650 --> 00:02:13.100 Więc, względem x, trzymasz y ustalone, żeby dostać pochodną 00:02:13.100 --> 00:02:14.190 cząstkową, względem x. 00:02:14.190 --> 00:02:15.000 Zignoruj y tutaj. 00:02:15.000 --> 00:02:17.060 A potem trzymasz x stałe, i bierzesz pochodną 00:02:17.060 --> 00:02:18.670 cząstkową, względem y. 00:02:18.670 --> 00:02:21.480 Jaka jest więc różnica pomiędzy tym, a sytuacją w której 00:02:21.480 --> 00:02:22.370 odwrócilibyśmy kolejność? 00:02:22.370 --> 00:02:24.970 Co dzieje się gdybyśmy mieli - zapiszę to innym 00:02:24.970 --> 00:02:30.400 kolorem - gdybyśmy mieli psi i mielibyśmy wziąć pochodną cząstkową 00:02:30.400 --> 00:02:34.480 najpierw względem y, a dopiero potem pochodną cząstkową 00:02:34.480 --> 00:02:36.510 względem x? 00:02:36.510 --> 00:02:40.640 Tylko notacja, jesteś z nią zaznajomiony, 00:02:40.640 --> 00:02:44.660 to byłoby - pochodna cząstkowa x, pochodna cząstkowa y. 00:02:44.660 --> 00:02:46.360 I to jest operator. 00:02:46.360 --> 00:02:48.750 Może być trochę dezorientujące, że tutaj, pomiędzy tymi 00:02:48.750 --> 00:02:51.060 dwoma notacjami, nawet jeżeli jest to tam sama rzecz, 00:02:51.060 --> 00:02:52.740 kolejność jest zamieniona. 00:02:52.740 --> 00:02:54.250 To dlatego, że jest to po prostu inny sposób 00:02:54.250 --> 00:02:54.910 myślenia o tym. 00:02:54.910 --> 00:02:57.990 To mówi, OK, najpier pochodna, względem x, a potem y. 00:02:57.990 --> 00:03:00.160 To wygląda bardziej jak operator, więc najpierw wzięliśmy 00:03:00.160 --> 00:03:03.000 pochodną cząstkową względem x, a potem względem y, tak 00:03:03.000 --> 00:03:04.950 jak mnoży się operatory. 00:03:04.950 --> 00:03:08.840 W każdym razie, może być to także zapisane jako pochodna cząstkowa 00:03:08.840 --> 00:03:13.070 po y, względem x - przepraszam, pochodna y i potem 00:03:13.070 --> 00:03:14.910 bierzemy pochodną tego względem x. 00:03:14.910 --> 00:03:17.980 Zamierzam teraz powiedzieć, że jeżeli każda 00:03:17.980 --> 00:03:20.840 z tych pierwszych pochodnych jest ciągła - a większość 00:03:20.840 --> 00:03:24.510 funkcji z którymi się stykamy w normalnych dziedzinach, tak długo, gdy 00:03:24.510 --> 00:03:26.780 nie ma żadnych nieciągłości, dziur lub 00:03:26.780 --> 00:03:29.070 czegoś dziwnego w definicji funkcji, są 00:03:29.070 --> 00:03:30.290 zazwyczaj ciągłe. 00:03:30.290 --> 00:03:32.990 W szczególności w pierwszorocznym kursie rachunku różniczkowego i całkowego, 00:03:32.990 --> 00:03:35.810 będziemy się prawdopodobnie zajmowali funkcjami 00:03:35.810 --> 00:03:37.620 ciągłymi w naszej dziedzinie. 00:03:37.620 --> 00:03:40.480 Jeśli obie te funkcje są ciągłe, jeśli obie 00:03:40.480 --> 00:03:45.410 pierwsze pochodne cząstkowe są ciągłe, to te dwie rzeczy 00:03:45.410 --> 00:03:47.170 będą sobie równe. 00:03:47.170 --> 00:03:54.950 Tak więc psi xy będzie równe psi yx. 00:03:54.950 --> 00:04:01.220 Możemy teraz wykorzystać tę wiedzę, będącą 00:04:01.220 --> 00:04:04.870 regułą łańcucha dla pochodnych cząstkowych, i tę 00:04:04.870 --> 00:04:09.060 wiedzę by rozwiązać teraz pewną klasę równań 00:04:09.060 --> 00:04:13.060 różniczkowych, równań różniczkowych pierwszego rzędu, nazywanych 00:04:13.060 --> 00:04:14.270 równaniami zupełnymi. 00:04:14.270 --> 00:04:17.860 Ale jak równanie zupełne wygląda? 00:04:17.860 --> 00:04:21.990 Równanie zupełne wygląda w ten sposób. 00:04:21.990 --> 00:04:23.710 Wybór koloru jest zawsze ciężką sprawą. 00:04:23.710 --> 00:04:26.290 Powiedzmy, że to jest moje równanie różniczkowe. 00:04:26.290 --> 00:04:29.550 Mam pewną funkcję od x i od y. 00:04:29.550 --> 00:04:31.830 Nie wiem, może to być x w kwadracie razy 00:04:31.830 --> 00:04:32.920 cosinus y lub cokolwiek. 00:04:32.920 --> 00:04:34.650 Nie wiem, może to być dowolna funkcja od x i y. 00:04:34.650 --> 00:04:40.350 Dodać pewna funkcja od x i y, nazwijmy ją N, razy dy dx 00:04:40.350 --> 00:04:44.900 jest równe zero. 00:04:44.900 --> 00:04:47.520 To jest - nie wiem jeszcze czy jest to równanie zupełne, 00:04:47.520 --> 00:04:50.880 ale jeżeli zobaczysz coś w tej postaci, pierwszym Twoim impulsem 00:04:50.880 --> 00:04:52.990 powinno być, oh - istotnie, Twoim najwcześniejszym 00:04:52.990 --> 00:04:54.500 impulsem jest, czy jest to równanie o zmiennych rozdzielonych? 00:04:54.500 --> 00:04:56.180 Powinieneś trochę pobawić się algebrą 00:04:56.180 --> 00:04:57.620 żeby zobaczyć, czy jest to równanie o zmiennych rozdzielonych, 00:04:57.620 --> 00:04:59.210 ponieważ zawsze jest to najprostsza metoda. 00:04:59.210 --> 00:05:01.770 Jeśli nie jest to równanie o zmiennych rozdzielonych, ale wciąż jest zapisane w takiej formie, 00:05:01.770 --> 00:05:04.460 mówisz, hej, czy jest to równanie zupełne? 00:05:04.460 --> 00:05:06.340 I co to jest równanie zupełne? 00:05:06.340 --> 00:05:07.270 Spójrz bezpośrednio. 00:05:07.270 --> 00:05:11.600 Ten wzorzec, o tutaj, wygląd bardzo 00:05:11.600 --> 00:05:14.000 podobnie jak ten wzór. 00:05:14.000 --> 00:05:18.210 Co gdy M jest pochodną cząstkową psi względem x? 00:05:18.210 --> 00:05:24.920 Co gdy psi, względem x, jest równe M? 00:05:24.920 --> 00:05:26.710 Co gdyby to było psi, względem x? 00:05:26.710 --> 00:05:29.570 I co gdyby to było psi, względem y? 00:05:29.570 --> 00:05:32.500 Tak więc psi, względem y, jest równe N. 00:05:32.500 --> 00:05:32.950 Co wtedy? 00:05:32.950 --> 00:05:34.670 Tylko przypuszczam, nie wiemy na pewno, tak? 00:05:34.670 --> 00:05:37.500 Gdybyś zobaczył to przypadkowo, nie wiedziałbyś 00:05:37.500 --> 00:05:40.200 na pewno, że jest to pochodna, względem x, 00:05:40.200 --> 00:05:43.060 pewnej funkcji, a to jest pochodna, względem y, 00:05:43.060 --> 00:05:43.830 pewnej funkcji. 00:05:43.830 --> 00:05:45.810 Mówimy tylko, co gdyby? 00:05:45.810 --> 00:05:49.650 Gdyby była to prawda, moglibyśmy przepisać to jako 00:05:49.650 --> 00:05:52.870 pochodna cząstkowa psi, względem x, dodać pochodna cząstkowa psi, 00:05:52.870 --> 00:05:58.680 względem y, razy dy po dx, jest równe 0. 00:05:58.680 --> 00:06:02.050 I to wyrażenie tutaj, lewa strona, to jest 00:06:02.050 --> 00:06:04.790 dokładnie tak sama rzecz co tu, tak? 00:06:04.790 --> 00:06:09.040 To jest po prostu pochodna psi, względem x, 00:06:09.040 --> 00:06:10.940 zapisana z wykorzystaniem reguły łańcucha. 00:06:10.940 --> 00:06:12.710 Mógłbyś przepisać to. 00:06:12.710 --> 00:06:17.130 Możesz to przepisać, to jest po prostu pochodna psi, 00:06:17.130 --> 00:06:20.480 względem x, wewnątrz jest funkcja x, 00:06:20.480 --> 00:06:23.410 y, jest równe 0. 00:06:23.410 --> 00:06:27.730 Tak więc jeżeli widzisz równanie różniczkowe, i ma ono tę postać 00:06:27.730 --> 00:06:31.070 i mówisz: nie mogę go rozdzielić, ale może 00:06:31.070 --> 00:06:32.030 to jest równanie zupełne. 00:06:32.030 --> 00:06:35.940 I szczerze, gdyby to było coś, co zostało przerobione przed 00:06:35.940 --> 00:06:38.800 ostatnim egzaminem, prawdopodobnie byłyby to równanie zupełne. 00:06:38.800 --> 00:06:40.940 Ale gdy widzisz tę postać mówisz sobie: może 00:06:40.940 --> 00:06:42.070 to jest równanie zupełne. 00:06:42.070 --> 00:06:44.580 A jeśli to jest równanie zupełne - pokażę Ci za moment jak to sprawdzić 00:06:44.580 --> 00:06:48.350 używając tej informacji - to może być zapisane 00:06:48.350 --> 00:06:52.550 jako pochodna pewnej funkcji, psi, gdzie 00:06:52.550 --> 00:06:54.840 to jest pochodna cząstkowa psi, względem x. 00:06:54.840 --> 00:06:57.720 To jest zaś pochodna cząstkowa psi, względem y. 00:06:57.720 --> 00:06:59.655 I dalej, jeśli możesz to zapisać w ten sposób, biorąc 00:06:59.655 --> 00:07:01.370 pochodną obu stron - przepraszam, bierzesz antypochodną 00:07:01.370 --> 00:07:06.890 obu stron - dostaniesz psi od x i y 00:07:06.890 --> 00:07:10.070 jest równe c jako rozwiązanie. 00:07:10.070 --> 00:07:12.770 Są więc dwie rzeczy, o których powinieneś pamiętać. 00:07:12.770 --> 00:07:16.470 Możesz potem powiedzieć, OK, Sal, przeszedłeś przez 00:07:16.470 --> 00:07:19.550 psi, pochodne cząstkowe i to wszystko. 00:07:19.550 --> 00:07:22.020 Po pierwsze, w jaki sposób mogę się dowiedzieć, że jest to równanie zupełne? 00:07:22.020 --> 00:07:24.590 I dalej, jeśli jest to równanie zupełne, co to nam mówi, że 00:07:24.590 --> 00:07:28.290 istnieje jakieś psi? Jak wtedy znaleźć psi? 00:07:28.290 --> 00:07:32.380 Tak więc sposobem na dowiedzenie się, czy równanie jest zupełne, jest wykorzystanie 00:07:32.380 --> 00:07:34.690 tej informacji, o tu. 00:07:34.690 --> 00:07:38.150 Wiemy, że jeśli psi i jej pochodne są ciągłe 00:07:38.150 --> 00:07:42.100 w pewnej dziedzinie, to branie pochodnej cząstkowej 00:07:42.100 --> 00:07:45.760 względem x a potem względem y jest tą samą rzeczą co robienie 00:07:45.760 --> 00:07:46.980 tego w przeciwnej kolejności. 00:07:46.980 --> 00:07:48.930 Więc powiedzieliśmy, że to jest pochodna cząstkowa, 00:07:48.930 --> 00:07:50.180 względem x, tak? 00:07:52.610 --> 00:07:55.920 A to jest pochodna cząstkowa względem y. 00:07:55.920 --> 00:07:59.880 Tak więc jeżeli to jest równanie zupełne, jeśli jest to 00:07:59.880 --> 00:08:03.250 równanie zupełne, gdybyśmy wzięli pochodną cząstkową tego 00:08:03.250 --> 00:08:05.330 względem y, tak? 00:08:05.330 --> 00:08:11.600 Gdybyśmy mieli wziąć pochodną cząstkową M, względem y - więc 00:08:11.600 --> 00:08:15.560 pochodna psi, względem x, jest równa M. 00:08:15.560 --> 00:08:18.490 Gdybyśmy teraz mieli wziąć pochodną tych rzeczy względem y - 00:08:18.490 --> 00:08:22.450 możemy więc przepisać to jako to - to wtedy to powinno 00:08:22.450 --> 00:08:28.090 być równe pochodnej cząstkowej N, względem x, tak? 00:08:28.090 --> 00:08:31.976 Pochodna cząstkowa psi, względem y, jest równa N. 00:08:31.976 --> 00:08:34.760 Jeśli więc bierzemy pochodną, względem x, obu stron 00:08:34.760 --> 00:08:40.964 tego, wiemy, że te rzeczy powinny być równe, jeśli psi 00:08:40.964 --> 00:08:44.400 i jej pochodne cząstkowe są ciągłe w swojej dziedzinie. 00:08:44.400 --> 00:08:49.320 Tak więc i to będzie sobie równe. 00:08:49.320 --> 00:08:51.990 Tak więc to jest faktycznie test, czy jest 00:08:51.990 --> 00:08:53.930 to równanie zupełne. 00:08:53.930 --> 00:08:56.300 Pozwól mi przepisać to wszystko jeszcze raz i podsumować 00:08:56.300 --> 00:08:56.690 to trochę. 00:08:56.690 --> 00:09:04.870 Jeśli więc widzisz coś w postaci M od x i y dodać N od x 00:09:04.870 --> 00:09:09.580 y razy dy po dx, jest równe 0. 00:09:09.580 --> 00:09:13.110 I potem bierzesz pochodną cząstkową M, względem y, 00:09:13.110 --> 00:09:18.280 a potem pochodną cząstkową N względem x, 00:09:18.280 --> 00:09:24.030 i są one sobie równe, to - 00:09:24.030 --> 00:09:26.410 w rzeczywistości wtedy i tylko wtedy, tak więc to idzie w dwie strony - 00:09:26.410 --> 00:09:30.930 to jest równanie zupełne, zupełne równanie różniczkowe. 00:09:30.930 --> 00:09:32.410 To jest równanie zupełne. 00:09:32.410 --> 00:09:35.510 I jeśli jest to równanie zupełne, co mówi nam, że 00:09:35.510 --> 00:09:47.140 istnieje psi, takie, że pochodna psi od x i y, jest 00:09:47.140 --> 00:09:52.200 równa zero, lub psi od x i y jest równe c, jest rozwiązaniem 00:09:52.200 --> 00:09:53.050 tego równania. 00:09:53.050 --> 00:09:58.480 A pochodna cząstkowa psi względem x 00:09:58.480 --> 00:09:59.740 jest równa M. 00:09:59.740 --> 00:10:03.760 I pochodna cząstkowa psi względem y 00:10:03.760 --> 00:10:05.340 jest równa N. 00:10:05.340 --> 00:10:07.550 W następnym filmie pokażę jak w rzeczywistości 00:10:07.550 --> 00:10:09.810 wykorzystać tę informację, żeby znaleźć psi. 00:10:09.810 --> 00:10:11.640 Tak więc to jest kilka rzeczy, które chciałem podkreślić. 00:10:11.640 --> 00:10:13.720 To będzie pochodna cząstkowa psi, 00:10:13.720 --> 00:10:17.620 względem x, ale kiedy chcemy sprawdzić czy równanie jest zupełne, 00:10:17.620 --> 00:10:19.590 bierzemy pochodną względem y, ponieważ chcemy mieć 00:10:19.590 --> 00:10:21.080 pochodną mieszaną. 00:10:21.080 --> 00:10:23.410 Podobnie, to będzie pochodna cząstkowa psi, 00:10:23.410 --> 00:10:27.030 względem y, ale kiedy przeprowadzamy test, bierzemy 00:10:27.030 --> 00:10:29.500 pochodną cząstkową względem x, tak, że dostajemy pochodną 00:10:29.500 --> 00:10:30.730 mieszaną. 00:10:30.730 --> 00:10:32.570 To jest względem y, a potem względem x, 00:10:32.570 --> 00:10:33.920 więc dostajesz to. 00:10:33.920 --> 00:10:36.300 W każdym razie, wiem, że to mogło być trochę zajmujące, ale 00:10:36.300 --> 00:10:38.360 jeżeli zrozumiałeś wszystko co robiłem, myślę, że będziesz miał 00:10:38.360 --> 00:10:41.390 intuicję stojąca za tym, dlaczego metodologia 00:10:41.390 --> 00:10:43.470 równań zupełnych działa. 00:10:43.470 --> 00:10:45.950 Do zobaczenia w następnym filmie, gdzie będziemy się rzeczywiście 00:10:45.950 --> 00:10:49.400 zajmowali rozwiązywaniem równań zupełnych. Do zobaczenia.