0:00:00.710,0:00:04.470 W ostatnim filmie, przedstawiłem ideę reguły 0:00:04.470,0:00:05.520 łańcucha z pochodnymi cząstkowymi. 0:00:05.520,0:00:10.080 Powiedzieliśmy, że jeżeli mam funkcję, psi - grecka litera, 0:00:10.080,0:00:14.020 psi, jest funkcją x i y. 0:00:14.020,0:00:16.770 I jeśli chcę wziąć pochodną cząstkową tego, względem 0:00:16.770,0:00:19.360 - nie, chcę wziąć pochodną, nie pochodną cząstkową - 0:00:19.360,0:00:23.430 Pochodna tego, względem x, jest równa 0:00:23.430,0:00:29.540 pochodnej cząstkowej psi, względem x, plus pochodna cząstkowa 0:00:29.540,0:00:35.400 psi względem y, razy dy po dx. 0:00:35.400,0:00:37.630 W ostatnim filmie, nie udowodniłem tego, ale, mam nadzieję, 0:00:37.630,0:00:40.260 dałem Ci trochę intuicji, tak że możesz 0:00:40.260,0:00:40.740 mi uwierzyć. 0:00:40.740,0:00:43.030 Może pewnego dnia udowodnię to nieco 0:00:43.030,0:00:46.120 ściślej, ale możesz znaleźć dowody w sieci, jeśli jesteś 0:00:46.120,0:00:49.960 zainteresowany regułą łańcucha z pochodnymi cząstkowymi. 0:00:49.960,0:00:52.760 Połóżmy to na bok i zbadajmy koleją własność 0:00:52.760,0:00:55.600 pochodnych cząstkowych, potem będziemy gotowi żeby 0:00:55.600,0:00:57.080 zdobyć intuicję stojącą za równaniami zupełnymi. 0:00:57.080,0:00:59.070 Ponieważ zamierzasz znaleźć, że rozwiązywanie równań zupełnych 0:00:59.070,0:01:02.210 jest całkiem proste, ale intuicja jest czymś 0:01:02.210,0:01:05.140 więcej - nie chcę powiedzieć, że jest to trudne, ponieważ jeśli 0:01:05.140,0:01:06.890 masz intuicję to ją masz. 0:01:06.890,0:01:11.490 Tak więc, co gdy mam, powiedzmy, tę funkcję, psi, i chcę wziąć 0:01:11.490,0:01:16.580 pochodną cząstkową psi, względem x, najpierw. 0:01:16.580,0:01:17.510 Będę pisał psi. 0:01:17.510,0:01:19.640 Nie muszę cały czas pisać x i y. 0:01:19.640,0:01:22.890 I teraz, gdybym miał wziąć pochodną cząstkową 0:01:22.890,0:01:25.485 względem y. 0:01:28.920,0:01:32.730 Możesz to zapisać - taka jest notacja - możesz 0:01:32.730,0:01:34.620 patrzeć na to jako na pewnego rodzaju mnożenie operatorów, więc 0:01:34.620,0:01:36.050 to może być zapisane w ten sposób. 0:01:36.050,0:01:42.400 Czątkowa delta do kwadratu razy psi, lub delta kwadrat psi nad 0:01:42.400,0:01:47.540 delta y delta lub kręcone d x. 0:01:47.540,0:01:50.330 To może być także zapisane jako - i jest to moja ulubiona 0:01:50.330,0:01:53.040 notacja, ponieważ nie ma tych wszystkich śmieci 0:01:53.040,0:01:53.800 dookoła. 0:01:53.800,0:01:56.350 Możesz po prostu powiedzieć, pochodna cząstkowa, bierzemy pochodną cząstkową 0:01:56.350,0:02:00.050 względem x, najpierw. Tak więc to znaczy tylko pochodną cząstkową 0:02:00.050,0:02:01.240 psi względem x. 0:02:01.240,0:02:04.060 I później bierzemy pochodną cząstkową względem y. 0:02:04.060,0:02:05.870 Tak więc to jedna z sytuacji do rozważenia. 0:02:05.870,0:02:07.970 Co dzieję się, kiedy bierzemy pochodną cząstkową względem x, 0:02:07.970,0:02:08.650 a potem względem y? 0:02:08.650,0:02:13.100 Więc, względem x, trzymasz y ustalone, żeby dostać pochodną 0:02:13.100,0:02:14.190 cząstkową, względem x. 0:02:14.190,0:02:15.000 Zignoruj y tutaj. 0:02:15.000,0:02:17.060 A potem trzymasz x stałe, i bierzesz pochodną 0:02:17.060,0:02:18.670 cząstkową, względem y. 0:02:18.670,0:02:21.480 Jaka jest więc różnica pomiędzy tym, a sytuacją w której 0:02:21.480,0:02:22.370 odwrócilibyśmy kolejność? 0:02:22.370,0:02:24.970 Co dzieje się gdybyśmy mieli - zapiszę to innym 0:02:24.970,0:02:30.400 kolorem - gdybyśmy mieli psi i mielibyśmy wziąć pochodną cząstkową 0:02:30.400,0:02:34.480 najpierw względem y, a dopiero potem pochodną cząstkową 0:02:34.480,0:02:36.510 względem x? 0:02:36.510,0:02:40.640 Tylko notacja, jesteś z nią zaznajomiony, 0:02:40.640,0:02:44.660 to byłoby - pochodna cząstkowa x, pochodna cząstkowa y. 0:02:44.660,0:02:46.360 I to jest operator. 0:02:46.360,0:02:48.750 Może być trochę dezorientujące, że tutaj, pomiędzy tymi 0:02:48.750,0:02:51.060 dwoma notacjami, nawet jeżeli jest to tam sama rzecz, 0:02:51.060,0:02:52.740 kolejność jest zamieniona. 0:02:52.740,0:02:54.250 To dlatego, że jest to po prostu inny sposób 0:02:54.250,0:02:54.910 myślenia o tym. 0:02:54.910,0:02:57.990 To mówi, OK, najpier pochodna, względem x, a potem y. 0:02:57.990,0:03:00.160 To wygląda bardziej jak operator, więc najpierw wzięliśmy 0:03:00.160,0:03:03.000 pochodną cząstkową względem x, a potem względem y, tak 0:03:03.000,0:03:04.950 jak mnoży się operatory. 0:03:04.950,0:03:08.840 W każdym razie, może być to także zapisane jako pochodna cząstkowa 0:03:08.840,0:03:13.070 po y, względem x - przepraszam, pochodna y i potem 0:03:13.070,0:03:14.910 bierzemy pochodną tego względem x. 0:03:14.910,0:03:17.980 Zamierzam teraz powiedzieć, że jeżeli każda 0:03:17.980,0:03:20.840 z tych pierwszych pochodnych jest ciągła - a większość 0:03:20.840,0:03:24.510 funkcji z którymi się stykamy w normalnych dziedzinach, tak długo, gdy 0:03:24.510,0:03:26.780 nie ma żadnych nieciągłości, dziur lub 0:03:26.780,0:03:29.070 czegoś dziwnego w definicji funkcji, są 0:03:29.070,0:03:30.290 zazwyczaj ciągłe. 0:03:30.290,0:03:32.990 W szczególności w pierwszorocznym kursie rachunku różniczkowego i całkowego, 0:03:32.990,0:03:35.810 będziemy się prawdopodobnie zajmowali funkcjami 0:03:35.810,0:03:37.620 ciągłymi w naszej dziedzinie. 0:03:37.620,0:03:40.480 Jeśli obie te funkcje są ciągłe, jeśli obie 0:03:40.480,0:03:45.410 pierwsze pochodne cząstkowe są ciągłe, to te dwie rzeczy 0:03:45.410,0:03:47.170 będą sobie równe. 0:03:47.170,0:03:54.950 Tak więc psi xy będzie równe psi yx. 0:03:54.950,0:04:01.220 Możemy teraz wykorzystać tę wiedzę, będącą 0:04:01.220,0:04:04.870 regułą łańcucha dla pochodnych cząstkowych, i tę 0:04:04.870,0:04:09.060 wiedzę by rozwiązać teraz pewną klasę równań 0:04:09.060,0:04:13.060 różniczkowych, równań różniczkowych pierwszego rzędu, nazywanych 0:04:13.060,0:04:14.270 równaniami zupełnymi. 0:04:14.270,0:04:17.860 Ale jak równanie zupełne wygląda? 0:04:17.860,0:04:21.990 Równanie zupełne wygląda w ten sposób. 0:04:21.990,0:04:23.710 Wybór koloru jest zawsze ciężką sprawą. 0:04:23.710,0:04:26.290 Powiedzmy, że to jest moje równanie różniczkowe. 0:04:26.290,0:04:29.550 Mam pewną funkcję od x i od y. 0:04:29.550,0:04:31.830 Nie wiem, może to być x w kwadracie razy 0:04:31.830,0:04:32.920 cosinus y lub cokolwiek. 0:04:32.920,0:04:34.650 Nie wiem, może to być dowolna funkcja od x i y. 0:04:34.650,0:04:40.350 Dodać pewna funkcja od x i y, nazwijmy ją N, razy dy dx 0:04:40.350,0:04:44.900 jest równe zero. 0:04:44.900,0:04:47.520 To jest - nie wiem jeszcze czy jest to równanie zupełne, 0:04:47.520,0:04:50.880 ale jeżeli zobaczysz coś w tej postaci, pierwszym Twoim impulsem 0:04:50.880,0:04:52.990 powinno być, oh - istotnie, Twoim najwcześniejszym 0:04:52.990,0:04:54.500 impulsem jest, czy jest to równanie o zmiennych rozdzielonych? 0:04:54.500,0:04:56.180 Powinieneś trochę pobawić się algebrą 0:04:56.180,0:04:57.620 żeby zobaczyć, czy jest to równanie o zmiennych rozdzielonych, 0:04:57.620,0:04:59.210 ponieważ zawsze jest to najprostsza metoda. 0:04:59.210,0:05:01.770 Jeśli nie jest to równanie o zmiennych rozdzielonych, ale wciąż jest zapisane w takiej formie, 0:05:01.770,0:05:04.460 mówisz, hej, czy jest to równanie zupełne? 0:05:04.460,0:05:06.340 I co to jest równanie zupełne? 0:05:06.340,0:05:07.270 Spójrz bezpośrednio. 0:05:07.270,0:05:11.600 Ten wzorzec, o tutaj, wygląd bardzo 0:05:11.600,0:05:14.000 podobnie jak ten wzór. 0:05:14.000,0:05:18.210 Co gdy M jest pochodną cząstkową psi względem x? 0:05:18.210,0:05:24.920 Co gdy psi, względem x, jest równe M? 0:05:24.920,0:05:26.710 Co gdyby to było psi, względem x? 0:05:26.710,0:05:29.570 I co gdyby to było psi, względem y? 0:05:29.570,0:05:32.500 Tak więc psi, względem y, jest równe N. 0:05:32.500,0:05:32.950 Co wtedy? 0:05:32.950,0:05:34.670 Tylko przypuszczam, nie wiemy na pewno, tak? 0:05:34.670,0:05:37.500 Gdybyś zobaczył to przypadkowo, nie wiedziałbyś 0:05:37.500,0:05:40.200 na pewno, że jest to pochodna, względem x, 0:05:40.200,0:05:43.060 pewnej funkcji, a to jest pochodna, względem y, 0:05:43.060,0:05:43.830 pewnej funkcji. 0:05:43.830,0:05:45.810 Mówimy tylko, co gdyby? 0:05:45.810,0:05:49.650 Gdyby była to prawda, moglibyśmy przepisać to jako 0:05:49.650,0:05:52.870 pochodna cząstkowa psi, względem x, dodać pochodna cząstkowa psi, 0:05:52.870,0:05:58.680 względem y, razy dy po dx, jest równe 0. 0:05:58.680,0:06:02.050 I to wyrażenie tutaj, lewa strona, to jest 0:06:02.050,0:06:04.790 dokładnie tak sama rzecz co tu, tak? 0:06:04.790,0:06:09.040 To jest po prostu pochodna psi, względem x, 0:06:09.040,0:06:10.940 zapisana z wykorzystaniem reguły łańcucha. 0:06:10.940,0:06:12.710 Mógłbyś przepisać to. 0:06:12.710,0:06:17.130 Możesz to przepisać, to jest po prostu pochodna psi, 0:06:17.130,0:06:20.480 względem x, wewnątrz jest funkcja x, 0:06:20.480,0:06:23.410 y, jest równe 0. 0:06:23.410,0:06:27.730 Tak więc jeżeli widzisz równanie różniczkowe, i ma ono tę postać 0:06:27.730,0:06:31.070 i mówisz: nie mogę go rozdzielić, ale może 0:06:31.070,0:06:32.030 to jest równanie zupełne. 0:06:32.030,0:06:35.940 I szczerze, gdyby to było coś, co zostało przerobione przed 0:06:35.940,0:06:38.800 ostatnim egzaminem, prawdopodobnie byłyby to równanie zupełne. 0:06:38.800,0:06:40.940 Ale gdy widzisz tę postać mówisz sobie: może 0:06:40.940,0:06:42.070 to jest równanie zupełne. 0:06:42.070,0:06:44.580 A jeśli to jest równanie zupełne - pokażę Ci za moment jak to sprawdzić 0:06:44.580,0:06:48.350 używając tej informacji - to może być zapisane 0:06:48.350,0:06:52.550 jako pochodna pewnej funkcji, psi, gdzie 0:06:52.550,0:06:54.840 to jest pochodna cząstkowa psi, względem x. 0:06:54.840,0:06:57.720 To jest zaś pochodna cząstkowa psi, względem y. 0:06:57.720,0:06:59.655 I dalej, jeśli możesz to zapisać w ten sposób, biorąc 0:06:59.655,0:07:01.370 pochodną obu stron - przepraszam, bierzesz antypochodną 0:07:01.370,0:07:06.890 obu stron - dostaniesz psi od x i y 0:07:06.890,0:07:10.070 jest równe c jako rozwiązanie. 0:07:10.070,0:07:12.770 Są więc dwie rzeczy, o których powinieneś pamiętać. 0:07:12.770,0:07:16.470 Możesz potem powiedzieć, OK, Sal, przeszedłeś przez 0:07:16.470,0:07:19.550 psi, pochodne cząstkowe i to wszystko. 0:07:19.550,0:07:22.020 Po pierwsze, w jaki sposób mogę się dowiedzieć, że jest to równanie zupełne? 0:07:22.020,0:07:24.590 I dalej, jeśli jest to równanie zupełne, co to nam mówi, że 0:07:24.590,0:07:28.290 istnieje jakieś psi? Jak wtedy znaleźć psi? 0:07:28.290,0:07:32.380 Tak więc sposobem na dowiedzenie się, czy równanie jest zupełne, jest wykorzystanie 0:07:32.380,0:07:34.690 tej informacji, o tu. 0:07:34.690,0:07:38.150 Wiemy, że jeśli psi i jej pochodne są ciągłe 0:07:38.150,0:07:42.100 w pewnej dziedzinie, to branie pochodnej cząstkowej 0:07:42.100,0:07:45.760 względem x a potem względem y jest tą samą rzeczą co robienie 0:07:45.760,0:07:46.980 tego w przeciwnej kolejności. 0:07:46.980,0:07:48.930 Więc powiedzieliśmy, że to jest pochodna cząstkowa, 0:07:48.930,0:07:50.180 względem x, tak? 0:07:52.610,0:07:55.920 A to jest pochodna cząstkowa względem y. 0:07:55.920,0:07:59.880 Tak więc jeżeli to jest równanie zupełne, jeśli jest to 0:07:59.880,0:08:03.250 równanie zupełne, gdybyśmy wzięli pochodną cząstkową tego 0:08:03.250,0:08:05.330 względem y, tak? 0:08:05.330,0:08:11.600 Gdybyśmy mieli wziąć pochodną cząstkową M, względem y - więc 0:08:11.600,0:08:15.560 pochodna psi, względem x, jest równa M. 0:08:15.560,0:08:18.490 Gdybyśmy teraz mieli wziąć pochodną tych rzeczy względem y - 0:08:18.490,0:08:22.450 możemy więc przepisać to jako to - to wtedy to powinno 0:08:22.450,0:08:28.090 być równe pochodnej cząstkowej N, względem x, tak? 0:08:28.090,0:08:31.976 Pochodna cząstkowa psi, względem y, jest równa N. 0:08:31.976,0:08:34.760 Jeśli więc bierzemy pochodną, względem x, obu stron 0:08:34.760,0:08:40.964 tego, wiemy, że te rzeczy powinny być równe, jeśli psi 0:08:40.964,0:08:44.400 i jej pochodne cząstkowe są ciągłe w swojej dziedzinie. 0:08:44.400,0:08:49.320 Tak więc i to będzie sobie równe. 0:08:49.320,0:08:51.990 Tak więc to jest faktycznie test, czy jest 0:08:51.990,0:08:53.930 to równanie zupełne. 0:08:53.930,0:08:56.300 Pozwól mi przepisać to wszystko jeszcze raz i podsumować 0:08:56.300,0:08:56.690 to trochę. 0:08:56.690,0:09:04.870 Jeśli więc widzisz coś w postaci M od x i y dodać N od x 0:09:04.870,0:09:09.580 y razy dy po dx, jest równe 0. 0:09:09.580,0:09:13.110 I potem bierzesz pochodną cząstkową M, względem y, 0:09:13.110,0:09:18.280 a potem pochodną cząstkową N względem x, 0:09:18.280,0:09:24.030 i są one sobie równe, to - 0:09:24.030,0:09:26.410 w rzeczywistości wtedy i tylko wtedy, tak więc to idzie w dwie strony - 0:09:26.410,0:09:30.930 to jest równanie zupełne, zupełne równanie różniczkowe. 0:09:30.930,0:09:32.410 To jest równanie zupełne. 0:09:32.410,0:09:35.510 I jeśli jest to równanie zupełne, co mówi nam, że 0:09:35.510,0:09:47.140 istnieje psi, takie, że pochodna psi od x i y, jest 0:09:47.140,0:09:52.200 równa zero, lub psi od x i y jest równe c, jest rozwiązaniem 0:09:52.200,0:09:53.050 tego równania. 0:09:53.050,0:09:58.480 A pochodna cząstkowa psi względem x 0:09:58.480,0:09:59.740 jest równa M. 0:09:59.740,0:10:03.760 I pochodna cząstkowa psi względem y 0:10:03.760,0:10:05.340 jest równa N. 0:10:05.340,0:10:07.550 W następnym filmie pokażę jak w rzeczywistości 0:10:07.550,0:10:09.810 wykorzystać tę informację, żeby znaleźć psi. 0:10:09.810,0:10:11.640 Tak więc to jest kilka rzeczy, które chciałem podkreślić. 0:10:11.640,0:10:13.720 To będzie pochodna cząstkowa psi, 0:10:13.720,0:10:17.620 względem x, ale kiedy chcemy sprawdzić czy równanie jest zupełne, 0:10:17.620,0:10:19.590 bierzemy pochodną względem y, ponieważ chcemy mieć 0:10:19.590,0:10:21.080 pochodną mieszaną. 0:10:21.080,0:10:23.410 Podobnie, to będzie pochodna cząstkowa psi, 0:10:23.410,0:10:27.030 względem y, ale kiedy przeprowadzamy test, bierzemy 0:10:27.030,0:10:29.500 pochodną cząstkową względem x, tak, że dostajemy pochodną 0:10:29.500,0:10:30.730 mieszaną. 0:10:30.730,0:10:32.570 To jest względem y, a potem względem x, 0:10:32.570,0:10:33.920 więc dostajesz to. 0:10:33.920,0:10:36.300 W każdym razie, wiem, że to mogło być trochę zajmujące, ale 0:10:36.300,0:10:38.360 jeżeli zrozumiałeś wszystko co robiłem, myślę, że będziesz miał 0:10:38.360,0:10:41.390 intuicję stojąca za tym, dlaczego metodologia 0:10:41.390,0:10:43.470 równań zupełnych działa. 0:10:43.470,0:10:45.950 Do zobaczenia w następnym filmie, gdzie będziemy się rzeczywiście 0:10:45.950,0:10:49.400 zajmowali rozwiązywaniem równań zupełnych. Do zobaczenia.