W ostatnim filmie, przedstawiłem ideę reguły
łańcucha z pochodnymi cząstkowymi.
Powiedzieliśmy, że jeżeli mam funkcję, psi - grecka litera,
psi, jest funkcją x i y.
I jeśli chcę wziąć pochodną cząstkową tego, względem
- nie, chcę wziąć pochodną, nie pochodną cząstkową -
Pochodna tego, względem x, jest równa
pochodnej cząstkowej psi, względem x, plus pochodna cząstkowa
psi względem y, razy dy po dx.
W ostatnim filmie, nie udowodniłem tego, ale, mam nadzieję,
dałem Ci trochę intuicji, tak że możesz
mi uwierzyć.
Może pewnego dnia udowodnię to nieco
ściślej, ale możesz znaleźć dowody w sieci, jeśli jesteś
zainteresowany regułą łańcucha z pochodnymi cząstkowymi.
Połóżmy to na bok i zbadajmy koleją własność
pochodnych cząstkowych, potem będziemy gotowi żeby
zdobyć intuicję stojącą za równaniami zupełnymi.
Ponieważ zamierzasz znaleźć, że rozwiązywanie równań zupełnych
jest całkiem proste, ale intuicja jest czymś
więcej - nie chcę powiedzieć, że jest to trudne, ponieważ jeśli
masz intuicję to ją masz.
Tak więc, co gdy mam, powiedzmy, tę funkcję, psi, i chcę wziąć
pochodną cząstkową psi, względem x, najpierw.
Będę pisał psi.
Nie muszę cały czas pisać x i y.
I teraz, gdybym miał wziąć pochodną cząstkową
względem y.
Możesz to zapisać - taka jest notacja - możesz
patrzeć na to jako na pewnego rodzaju mnożenie operatorów, więc
to może być zapisane w ten sposób.
Czątkowa delta do kwadratu razy psi, lub delta kwadrat psi nad
delta y delta lub kręcone d x.
To może być także zapisane jako - i jest to moja ulubiona
notacja, ponieważ nie ma tych wszystkich śmieci
dookoła.
Możesz po prostu powiedzieć, pochodna cząstkowa, bierzemy pochodną cząstkową
względem x, najpierw. Tak więc to znaczy tylko pochodną cząstkową
psi względem x.
I później bierzemy pochodną cząstkową względem y.
Tak więc to jedna z sytuacji do rozważenia.
Co dzieję się, kiedy bierzemy pochodną cząstkową względem x,
a potem względem y?
Więc, względem x, trzymasz y ustalone, żeby dostać pochodną
cząstkową, względem x.
Zignoruj y tutaj.
A potem trzymasz x stałe, i bierzesz pochodną
cząstkową, względem y.
Jaka jest więc różnica pomiędzy tym, a sytuacją w której
odwrócilibyśmy kolejność?
Co dzieje się gdybyśmy mieli - zapiszę to innym
kolorem - gdybyśmy mieli psi i mielibyśmy wziąć pochodną cząstkową
najpierw względem y, a dopiero potem pochodną cząstkową
względem x?
Tylko notacja, jesteś z nią zaznajomiony,
to byłoby - pochodna cząstkowa x, pochodna cząstkowa y.
I to jest operator.
Może być trochę dezorientujące, że tutaj, pomiędzy tymi
dwoma notacjami, nawet jeżeli jest to tam sama rzecz,
kolejność jest zamieniona.
To dlatego, że jest to po prostu inny sposób
myślenia o tym.
To mówi, OK, najpier pochodna, względem x, a potem y.
To wygląda bardziej jak operator, więc najpierw wzięliśmy
pochodną cząstkową względem x, a potem względem y, tak
jak mnoży się operatory.
W każdym razie, może być to także zapisane jako pochodna cząstkowa
po y, względem x - przepraszam, pochodna y i potem
bierzemy pochodną tego względem x.
Zamierzam teraz powiedzieć, że jeżeli każda
z tych pierwszych pochodnych jest ciągła - a większość
funkcji z którymi się stykamy w normalnych dziedzinach, tak długo, gdy
nie ma żadnych nieciągłości, dziur lub
czegoś dziwnego w definicji funkcji, są
zazwyczaj ciągłe.
W szczególności w pierwszorocznym kursie rachunku różniczkowego i całkowego,
będziemy się prawdopodobnie zajmowali funkcjami
ciągłymi w naszej dziedzinie.
Jeśli obie te funkcje są ciągłe, jeśli obie
pierwsze pochodne cząstkowe są ciągłe, to te dwie rzeczy
będą sobie równe.
Tak więc psi xy będzie równe psi yx.
Możemy teraz wykorzystać tę wiedzę, będącą
regułą łańcucha dla pochodnych cząstkowych, i tę
wiedzę by rozwiązać teraz pewną klasę równań
różniczkowych, równań różniczkowych pierwszego rzędu, nazywanych
równaniami zupełnymi.
Ale jak równanie zupełne wygląda?
Równanie zupełne wygląda w ten sposób.
Wybór koloru jest zawsze ciężką sprawą.
Powiedzmy, że to jest moje równanie różniczkowe.
Mam pewną funkcję od x i od y.
Nie wiem, może to być x w kwadracie razy
cosinus y lub cokolwiek.
Nie wiem, może to być dowolna funkcja od x i y.
Dodać pewna funkcja od x i y, nazwijmy ją N, razy dy dx
jest równe zero.
To jest - nie wiem jeszcze czy jest to równanie zupełne,
ale jeżeli zobaczysz coś w tej postaci, pierwszym Twoim impulsem
powinno być, oh - istotnie, Twoim najwcześniejszym
impulsem jest, czy jest to równanie o zmiennych rozdzielonych?
Powinieneś trochę pobawić się algebrą
żeby zobaczyć, czy jest to równanie o zmiennych rozdzielonych,
ponieważ zawsze jest to najprostsza metoda.
Jeśli nie jest to równanie o zmiennych rozdzielonych, ale wciąż jest zapisane w takiej formie,
mówisz, hej, czy jest to równanie zupełne?
I co to jest równanie zupełne?
Spójrz bezpośrednio.
Ten wzorzec, o tutaj, wygląd bardzo
podobnie jak ten wzór.
Co gdy M jest pochodną cząstkową psi względem x?
Co gdy psi, względem x, jest równe M?
Co gdyby to było psi, względem x?
I co gdyby to było psi, względem y?
Tak więc psi, względem y, jest równe N.
Co wtedy?
Tylko przypuszczam, nie wiemy na pewno, tak?
Gdybyś zobaczył to przypadkowo, nie wiedziałbyś
na pewno, że jest to pochodna, względem x,
pewnej funkcji, a to jest pochodna, względem y,
pewnej funkcji.
Mówimy tylko, co gdyby?
Gdyby była to prawda, moglibyśmy przepisać to jako
pochodna cząstkowa psi, względem x, dodać pochodna cząstkowa psi,
względem y, razy dy po dx, jest równe 0.
I to wyrażenie tutaj, lewa strona, to jest
dokładnie tak sama rzecz co tu, tak?
To jest po prostu pochodna psi, względem x,
zapisana z wykorzystaniem reguły łańcucha.
Mógłbyś przepisać to.
Możesz to przepisać, to jest po prostu pochodna psi,
względem x, wewnątrz jest funkcja x,
y, jest równe 0.
Tak więc jeżeli widzisz równanie różniczkowe, i ma ono tę postać
i mówisz: nie mogę go rozdzielić, ale może
to jest równanie zupełne.
I szczerze, gdyby to było coś, co zostało przerobione przed
ostatnim egzaminem, prawdopodobnie byłyby to równanie zupełne.
Ale gdy widzisz tę postać mówisz sobie: może
to jest równanie zupełne.
A jeśli to jest równanie zupełne - pokażę Ci za moment jak to sprawdzić
używając tej informacji - to może być zapisane
jako pochodna pewnej funkcji, psi, gdzie
to jest pochodna cząstkowa psi, względem x.
To jest zaś pochodna cząstkowa psi, względem y.
I dalej, jeśli możesz to zapisać w ten sposób, biorąc
pochodną obu stron - przepraszam, bierzesz antypochodną
obu stron - dostaniesz psi od x i y
jest równe c jako rozwiązanie.
Są więc dwie rzeczy, o których powinieneś pamiętać.
Możesz potem powiedzieć, OK, Sal, przeszedłeś przez
psi, pochodne cząstkowe i to wszystko.
Po pierwsze, w jaki sposób mogę się dowiedzieć, że jest to równanie zupełne?
I dalej, jeśli jest to równanie zupełne, co to nam mówi, że
istnieje jakieś psi? Jak wtedy znaleźć psi?
Tak więc sposobem na dowiedzenie się, czy równanie jest zupełne, jest wykorzystanie
tej informacji, o tu.
Wiemy, że jeśli psi i jej pochodne są ciągłe
w pewnej dziedzinie, to branie pochodnej cząstkowej
względem x a potem względem y jest tą samą rzeczą co robienie
tego w przeciwnej kolejności.
Więc powiedzieliśmy, że to jest pochodna cząstkowa,
względem x, tak?
A to jest pochodna cząstkowa względem y.
Tak więc jeżeli to jest równanie zupełne, jeśli jest to
równanie zupełne, gdybyśmy wzięli pochodną cząstkową tego
względem y, tak?
Gdybyśmy mieli wziąć pochodną cząstkową M, względem y - więc
pochodna psi, względem x, jest równa M.
Gdybyśmy teraz mieli wziąć pochodną tych rzeczy względem y -
możemy więc przepisać to jako to - to wtedy to powinno
być równe pochodnej cząstkowej N, względem x, tak?
Pochodna cząstkowa psi, względem y, jest równa N.
Jeśli więc bierzemy pochodną, względem x, obu stron
tego, wiemy, że te rzeczy powinny być równe, jeśli psi
i jej pochodne cząstkowe są ciągłe w swojej dziedzinie.
Tak więc i to będzie sobie równe.
Tak więc to jest faktycznie test, czy jest
to równanie zupełne.
Pozwól mi przepisać to wszystko jeszcze raz i podsumować
to trochę.
Jeśli więc widzisz coś w postaci M od x i y dodać N od x
y razy dy po dx, jest równe 0.
I potem bierzesz pochodną cząstkową M, względem y,
a potem pochodną cząstkową N względem x,
i są one sobie równe, to -
w rzeczywistości wtedy i tylko wtedy, tak więc to idzie w dwie strony -
to jest równanie zupełne, zupełne równanie różniczkowe.
To jest równanie zupełne.
I jeśli jest to równanie zupełne, co mówi nam, że
istnieje psi, takie, że pochodna psi od x i y, jest
równa zero, lub psi od x i y jest równe c, jest rozwiązaniem
tego równania.
A pochodna cząstkowa psi względem x
jest równa M.
I pochodna cząstkowa psi względem y
jest równa N.
W następnym filmie pokażę jak w rzeczywistości
wykorzystać tę informację, żeby znaleźć psi.
Tak więc to jest kilka rzeczy, które chciałem podkreślić.
To będzie pochodna cząstkowa psi,
względem x, ale kiedy chcemy sprawdzić czy równanie jest zupełne,
bierzemy pochodną względem y, ponieważ chcemy mieć
pochodną mieszaną.
Podobnie, to będzie pochodna cząstkowa psi,
względem y, ale kiedy przeprowadzamy test, bierzemy
pochodną cząstkową względem x, tak, że dostajemy pochodną
mieszaną.
To jest względem y, a potem względem x,
więc dostajesz to.
W każdym razie, wiem, że to mogło być trochę zajmujące, ale
jeżeli zrozumiałeś wszystko co robiłem, myślę, że będziesz miał
intuicję stojąca za tym, dlaczego metodologia
równań zupełnych działa.
Do zobaczenia w następnym filmie, gdzie będziemy się rzeczywiście
zajmowali rozwiązywaniem równań zupełnych. Do zobaczenia.