W ostatnim filmie, przedstawiłem ideę reguły łańcucha z pochodnymi cząstkowymi. Powiedzieliśmy, że jeżeli mam funkcję, psi - grecka litera, psi, jest funkcją x i y. I jeśli chcę wziąć pochodną cząstkową tego, względem - nie, chcę wziąć pochodną, nie pochodną cząstkową - Pochodna tego, względem x, jest równa pochodnej cząstkowej psi, względem x, plus pochodna cząstkowa psi względem y, razy dy po dx. W ostatnim filmie, nie udowodniłem tego, ale, mam nadzieję, dałem Ci trochę intuicji, tak że możesz mi uwierzyć. Może pewnego dnia udowodnię to nieco ściślej, ale możesz znaleźć dowody w sieci, jeśli jesteś zainteresowany regułą łańcucha z pochodnymi cząstkowymi. Połóżmy to na bok i zbadajmy koleją własność pochodnych cząstkowych, potem będziemy gotowi żeby zdobyć intuicję stojącą za równaniami zupełnymi. Ponieważ zamierzasz znaleźć, że rozwiązywanie równań zupełnych jest całkiem proste, ale intuicja jest czymś więcej - nie chcę powiedzieć, że jest to trudne, ponieważ jeśli masz intuicję to ją masz. Tak więc, co gdy mam, powiedzmy, tę funkcję, psi, i chcę wziąć pochodną cząstkową psi, względem x, najpierw. Będę pisał psi. Nie muszę cały czas pisać x i y. I teraz, gdybym miał wziąć pochodną cząstkową względem y. Możesz to zapisać - taka jest notacja - możesz patrzeć na to jako na pewnego rodzaju mnożenie operatorów, więc to może być zapisane w ten sposób. Czątkowa delta do kwadratu razy psi, lub delta kwadrat psi nad delta y delta lub kręcone d x. To może być także zapisane jako - i jest to moja ulubiona notacja, ponieważ nie ma tych wszystkich śmieci dookoła. Możesz po prostu powiedzieć, pochodna cząstkowa, bierzemy pochodną cząstkową względem x, najpierw. Tak więc to znaczy tylko pochodną cząstkową psi względem x. I później bierzemy pochodną cząstkową względem y. Tak więc to jedna z sytuacji do rozważenia. Co dzieję się, kiedy bierzemy pochodną cząstkową względem x, a potem względem y? Więc, względem x, trzymasz y ustalone, żeby dostać pochodną cząstkową, względem x. Zignoruj y tutaj. A potem trzymasz x stałe, i bierzesz pochodną cząstkową, względem y. Jaka jest więc różnica pomiędzy tym, a sytuacją w której odwrócilibyśmy kolejność? Co dzieje się gdybyśmy mieli - zapiszę to innym kolorem - gdybyśmy mieli psi i mielibyśmy wziąć pochodną cząstkową najpierw względem y, a dopiero potem pochodną cząstkową względem x? Tylko notacja, jesteś z nią zaznajomiony, to byłoby - pochodna cząstkowa x, pochodna cząstkowa y. I to jest operator. Może być trochę dezorientujące, że tutaj, pomiędzy tymi dwoma notacjami, nawet jeżeli jest to tam sama rzecz, kolejność jest zamieniona. To dlatego, że jest to po prostu inny sposób myślenia o tym. To mówi, OK, najpier pochodna, względem x, a potem y. To wygląda bardziej jak operator, więc najpierw wzięliśmy pochodną cząstkową względem x, a potem względem y, tak jak mnoży się operatory. W każdym razie, może być to także zapisane jako pochodna cząstkowa po y, względem x - przepraszam, pochodna y i potem bierzemy pochodną tego względem x. Zamierzam teraz powiedzieć, że jeżeli każda z tych pierwszych pochodnych jest ciągła - a większość funkcji z którymi się stykamy w normalnych dziedzinach, tak długo, gdy nie ma żadnych nieciągłości, dziur lub czegoś dziwnego w definicji funkcji, są zazwyczaj ciągłe. W szczególności w pierwszorocznym kursie rachunku różniczkowego i całkowego, będziemy się prawdopodobnie zajmowali funkcjami ciągłymi w naszej dziedzinie. Jeśli obie te funkcje są ciągłe, jeśli obie pierwsze pochodne cząstkowe są ciągłe, to te dwie rzeczy będą sobie równe. Tak więc psi xy będzie równe psi yx. Możemy teraz wykorzystać tę wiedzę, będącą regułą łańcucha dla pochodnych cząstkowych, i tę wiedzę by rozwiązać teraz pewną klasę równań różniczkowych, równań różniczkowych pierwszego rzędu, nazywanych równaniami zupełnymi. Ale jak równanie zupełne wygląda? Równanie zupełne wygląda w ten sposób. Wybór koloru jest zawsze ciężką sprawą. Powiedzmy, że to jest moje równanie różniczkowe. Mam pewną funkcję od x i od y. Nie wiem, może to być x w kwadracie razy cosinus y lub cokolwiek. Nie wiem, może to być dowolna funkcja od x i y. Dodać pewna funkcja od x i y, nazwijmy ją N, razy dy dx jest równe zero. To jest - nie wiem jeszcze czy jest to równanie zupełne, ale jeżeli zobaczysz coś w tej postaci, pierwszym Twoim impulsem powinno być, oh - istotnie, Twoim najwcześniejszym impulsem jest, czy jest to równanie o zmiennych rozdzielonych? Powinieneś trochę pobawić się algebrą żeby zobaczyć, czy jest to równanie o zmiennych rozdzielonych, ponieważ zawsze jest to najprostsza metoda. Jeśli nie jest to równanie o zmiennych rozdzielonych, ale wciąż jest zapisane w takiej formie, mówisz, hej, czy jest to równanie zupełne? I co to jest równanie zupełne? Spójrz bezpośrednio. Ten wzorzec, o tutaj, wygląd bardzo podobnie jak ten wzór. Co gdy M jest pochodną cząstkową psi względem x? Co gdy psi, względem x, jest równe M? Co gdyby to było psi, względem x? I co gdyby to było psi, względem y? Tak więc psi, względem y, jest równe N. Co wtedy? Tylko przypuszczam, nie wiemy na pewno, tak? Gdybyś zobaczył to przypadkowo, nie wiedziałbyś na pewno, że jest to pochodna, względem x, pewnej funkcji, a to jest pochodna, względem y, pewnej funkcji. Mówimy tylko, co gdyby? Gdyby była to prawda, moglibyśmy przepisać to jako pochodna cząstkowa psi, względem x, dodać pochodna cząstkowa psi, względem y, razy dy po dx, jest równe 0. I to wyrażenie tutaj, lewa strona, to jest dokładnie tak sama rzecz co tu, tak? To jest po prostu pochodna psi, względem x, zapisana z wykorzystaniem reguły łańcucha. Mógłbyś przepisać to. Możesz to przepisać, to jest po prostu pochodna psi, względem x, wewnątrz jest funkcja x, y, jest równe 0. Tak więc jeżeli widzisz równanie różniczkowe, i ma ono tę postać i mówisz: nie mogę go rozdzielić, ale może to jest równanie zupełne. I szczerze, gdyby to było coś, co zostało przerobione przed ostatnim egzaminem, prawdopodobnie byłyby to równanie zupełne. Ale gdy widzisz tę postać mówisz sobie: może to jest równanie zupełne. A jeśli to jest równanie zupełne - pokażę Ci za moment jak to sprawdzić używając tej informacji - to może być zapisane jako pochodna pewnej funkcji, psi, gdzie to jest pochodna cząstkowa psi, względem x. To jest zaś pochodna cząstkowa psi, względem y. I dalej, jeśli możesz to zapisać w ten sposób, biorąc pochodną obu stron - przepraszam, bierzesz antypochodną obu stron - dostaniesz psi od x i y jest równe c jako rozwiązanie. Są więc dwie rzeczy, o których powinieneś pamiętać. Możesz potem powiedzieć, OK, Sal, przeszedłeś przez psi, pochodne cząstkowe i to wszystko. Po pierwsze, w jaki sposób mogę się dowiedzieć, że jest to równanie zupełne? I dalej, jeśli jest to równanie zupełne, co to nam mówi, że istnieje jakieś psi? Jak wtedy znaleźć psi? Tak więc sposobem na dowiedzenie się, czy równanie jest zupełne, jest wykorzystanie tej informacji, o tu. Wiemy, że jeśli psi i jej pochodne są ciągłe w pewnej dziedzinie, to branie pochodnej cząstkowej względem x a potem względem y jest tą samą rzeczą co robienie tego w przeciwnej kolejności. Więc powiedzieliśmy, że to jest pochodna cząstkowa, względem x, tak? A to jest pochodna cząstkowa względem y. Tak więc jeżeli to jest równanie zupełne, jeśli jest to równanie zupełne, gdybyśmy wzięli pochodną cząstkową tego względem y, tak? Gdybyśmy mieli wziąć pochodną cząstkową M, względem y - więc pochodna psi, względem x, jest równa M. Gdybyśmy teraz mieli wziąć pochodną tych rzeczy względem y - możemy więc przepisać to jako to - to wtedy to powinno być równe pochodnej cząstkowej N, względem x, tak? Pochodna cząstkowa psi, względem y, jest równa N. Jeśli więc bierzemy pochodną, względem x, obu stron tego, wiemy, że te rzeczy powinny być równe, jeśli psi i jej pochodne cząstkowe są ciągłe w swojej dziedzinie. Tak więc i to będzie sobie równe. Tak więc to jest faktycznie test, czy jest to równanie zupełne. Pozwól mi przepisać to wszystko jeszcze raz i podsumować to trochę. Jeśli więc widzisz coś w postaci M od x i y dodać N od x y razy dy po dx, jest równe 0. I potem bierzesz pochodną cząstkową M, względem y, a potem pochodną cząstkową N względem x, i są one sobie równe, to - w rzeczywistości wtedy i tylko wtedy, tak więc to idzie w dwie strony - to jest równanie zupełne, zupełne równanie różniczkowe. To jest równanie zupełne. I jeśli jest to równanie zupełne, co mówi nam, że istnieje psi, takie, że pochodna psi od x i y, jest równa zero, lub psi od x i y jest równe c, jest rozwiązaniem tego równania. A pochodna cząstkowa psi względem x jest równa M. I pochodna cząstkowa psi względem y jest równa N. W następnym filmie pokażę jak w rzeczywistości wykorzystać tę informację, żeby znaleźć psi. Tak więc to jest kilka rzeczy, które chciałem podkreślić. To będzie pochodna cząstkowa psi, względem x, ale kiedy chcemy sprawdzić czy równanie jest zupełne, bierzemy pochodną względem y, ponieważ chcemy mieć pochodną mieszaną. Podobnie, to będzie pochodna cząstkowa psi, względem y, ale kiedy przeprowadzamy test, bierzemy pochodną cząstkową względem x, tak, że dostajemy pochodną mieszaną. To jest względem y, a potem względem x, więc dostajesz to. W każdym razie, wiem, że to mogło być trochę zajmujące, ale jeżeli zrozumiałeś wszystko co robiłem, myślę, że będziesz miał intuicję stojąca za tym, dlaczego metodologia równań zupełnych działa. Do zobaczenia w następnym filmie, gdzie będziemy się rzeczywiście zajmowali rozwiązywaniem równań zupełnych. Do zobaczenia.