숫자란 무엇인가? | 킷 파인 | TEDxNewYork
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0:17 - 0:21숫자란 것은 이상합니다.
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0:21 - 0:23물리적인 사물이 아닙니다.
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0:23 - 0:29숫자 2에 부딛치거나
3에 걸려 넘어진 사람은 없죠. -
0:29 - 0:32여러분의 괴짜
수학 교수님이라고 해도 말이죠. -
0:32 - 0:36숫자는 정신적인 사물도 아닙니다.
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0:36 - 0:39상상 속의 사랑하는 이는
아무리 상상한다고 해도 -
0:39 - 0:42현실에서의 사랑하는 사람이
될 수 없습니다. -
0:42 - 0:47숫자 3이라는 생각은
3이라는 생각 이상의 것은 아닙니다. -
0:47 - 0:51숫자는 공간이나 시간 속에
존재하지도 않습니다. -
0:51 - 0:553이라는 숫자가 부엌의 찬장 안에
들어가 있지도 않을 것이고, -
0:55 - 0:57숫자라는 것이 한때
존재하지 않았다거나, -
0:57 - 1:03어느날 갑자기 자취를 감춰버릴 거라는
걱정은 할 필요가 없습니다. -
1:03 - 1:11비록 숫자가 우리가 익숙한 생각과
주변의 사물들과는 거리가 멀지만, -
1:11 - 1:18숫자들을 가지고 행동하기 때문에
이 세계와는 깊은 연관이 있습니다. -
1:18 - 1:22우리는 숫자를 이용해서 계산을 하고,
단위를 측정하며, -
1:22 - 1:27과학적 이론을 공식화합니다.
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1:27 - 1:31이런 것들을 보면 숫자라는 것은
더욱 이상하게만 느껴집니다. -
1:31 - 1:36우리가 익숙한 세계와는
동떨어져 있는 동시에 -
1:36 - 1:40너무나도 깊이 연관되어 있는
것일까요? -
1:40 - 1:46이 강연을 통해 숫자의 본질을
세 개의 이론으로 정의해보겠습니다. -
1:46 - 1:50그것들은
수학자들과 철학자들에 의해 -
1:50 - 1:5719세기 말에서 20세기 초에
개발된 것들입니다. -
1:57 - 2:00이 세 관점들의 전제는
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2:00 - 2:05우리가 수로 세는 것들이
여러 집합들로 나눠진다는 겁니다. -
2:05 - 2:12하나의 집합은 무엇이든간에
여러 물체를 하나로 여기는 겁니다. -
2:12 - 2:20예를 들어, 당신이 어제 마신
맥주병이 몇 개 있다고 합시다. -
2:20 - 2:23맥주병들를 이 괄호 안에 넣어
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2:23 - 2:26병 여섯 개가
하나의 집합이라고 칩니다. -
2:26 - 2:33또 여러분의 애완동물 두 마리
파이도와 필릭스를 집합 하나로 칩시다. -
2:33 - 2:38아니면 자연수를 모두 통틀어
하나의 집합이라고 하죠. -
2:38 - 2:40이 안에 모든 자연수가
들어있는 것이죠. -
2:40 - 2:440, 1, 2, 3, 4 등등이요.
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2:44 - 2:49우리가 수를 셀 때 하나의 집합과
특정한 수를 연관시킵니다. -
2:49 - 2:52이 맥주병들의 경우에는
6과 연관을 시킵니다. -
2:52 - 2:57너무 취해서 숫자를 세는 게
어렵지 않다면요. -
2:57 - 3:00애완동물들의 경우엔
2와 연관시키죠. -
3:00 - 3:05자연수의 경우, 그 모든 숫자들을
하나의 집합 안에 넣는다면 -
3:05 - 3:08어떠한 무한수가 나오겠죠.
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3:08 - 3:12숫자의 본질에 관해 말씀드릴
첫 번째 이론은 -
3:12 - 3:17두 명의 위대한 철학자와 수학자인
고틀로프 프레게와 -
3:17 - 3:20버트렌드 러셀에 의해
각각 세워졌습니다. -
3:20 - 3:24이 두 학자들은
서로 상당히 달랐습니다. -
3:24 - 3:27러셀은 영국의 귀족 출신이었고
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3:27 - 3:31프레게는 독일의
중산층 집안 출신이었습니다. -
3:31 - 3:35러셀은 단호한 자유주의자였고
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3:35 - 3:39프레게는 안타깝게도
나치 찬양자였습니다. -
3:39 - 3:45러셀에게는 네 명의 아내와
무수한 내연녀들이 있었습니다. -
3:45 - 3:48프레게에게는
단 한 명의 아내가 있었고, -
3:48 - 3:53제가 알고 있는 바로는,
행복하고 안정적인 결혼생활을 했습니다. -
3:53 - 3:56이런 다른 점들에도 불구하고,
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3:56 - 3:59그들은 숫자의 본질에 관해
거의 같은 관점을 가지고 있었습니다. -
3:59 - 4:01그게 무엇이었을까요?
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4:01 - 4:04숫자 2를 한번 예로 들어보겠습니다.
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4:04 - 4:09한 집합이 둘로 구성되어 있을 때
2를 사용합니다. -
4:09 - 4:16프레게와 러셀이 속해 있는
집합을 셀 때 쓰일 수 있거나 -
4:16 - 4:23여러분 애완동물의 한 쌍, 파이도와
필릭스가 속한 집합을 셀 수 있죠. -
4:23 - 4:27또는 찰스 디킨스 소설 작품의
유명한 두 도시인 -
4:27 - 4:29런던과 파리를 셀 때도 쓸 수 있죠.
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4:29 - 4:32런던이 꼭 먼저 와야한다고 봅니다.
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4:32 - 4:35(웃음)
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4:35 - 4:43러셀과 프레게는 이 여러 쌍들을
하나의 큰 집합 안에 포함시켰습니다. -
4:43 - 4:47모든 쌍을 하나의 큰 집합 안에 넣으면
그게 바로 숫자 2가 되는 것입니다. -
4:47 - 4:50여러 집합으로 이루어진
하나의 집합이 되는 것이죠. -
4:50 - 4:55그리고 이 집합들은 2로 셀 수 있는
모든 쌍들로 이루어져 있는 겁니다. -
4:55 - 4:58다른 숫자들도 마찬가지입니다.
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4:58 - 5:003이라는 숫자는 3개로 이루어진
모든 수의 집합이고, -
5:00 - 5:044라는 숫자는 4개로 이루어진
모든 수의 집합이고, 기타 등등이죠. -
5:04 - 5:08단순하지만 훌륭한 이론입니다.
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5:08 - 5:13하지만, 이에 대한
반론도 등장했습니다. -
5:13 - 5:16이 반론을 직접 보여드릴 수는 없지만,
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5:16 - 5:20어떻게 발생되었는지
대략적으로 설명드릴 수는 있습니다. -
5:20 - 5:25아까 2라는 숫자는 모든 쌍들의
집합이라고 말씀드렸죠. -
5:25 - 5:27그게 무엇이 되었든간에요.
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5:27 - 5:34정확히 말하자면, 그 쌍들은
2라는 숫자를 포함하는 것들입니다. -
5:34 - 5:36하나의 쌍을 예로 들어보겠습니다.
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5:36 - 5:40숫자 2와 1을 포함한 한 쌍입니다.
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5:40 - 5:46한 쌍으로 이루어진 1과 2는
이미 2라는 숫자 내에 있습니다. -
5:46 - 5:502라는 숫자 안에는
2 자신이 포함되어 있습니다. -
5:50 - 5:53불가능해 보일 것 같죠.
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5:53 - 5:55비유를 하나 해보겠습니다.
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5:55 - 6:00굶주린 뱀이 자신의 꼬리를
물으려고 한다고 상상해봅시다. -
6:00 - 6:03성공할 수도 있습니다.
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6:03 - 6:07그린다고 해봤는데 잘 안 됐네요.
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6:07 - 6:09보기엔 좀 그렇지만, 가능합니다.
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6:09 - 6:11(웃음)
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6:11 - 6:14그 뱀은 얼마나 배고픔에 굶주렸는지
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6:14 - 6:19자기 자신을 통째로 먹어삼키려 합니다.
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6:19 - 6:21이건 불가능한 일입니다.
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6:21 - 6:26뱀이 자기 뱃속에
들어가는 것일테니까요. -
6:26 - 6:292라는 숫자가 바로 이런 경우입니다.
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6:29 - 6:36보시다시피, 자신 안에
이미 포함되어 있는 숫자인 것이죠. -
6:36 - 6:39이것을 어떻게 해결했을까요?
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6:39 - 6:45수학자였던 존 폰 노이만은
훌륭한 해결책을 내놓았습니다. -
6:45 - 6:50폰 노이만은 역사상 가장 다재다능한
수학자 중 한 명이었다고 할 수 있죠. -
6:50 - 6:55그는 게임 이론과 현대의 컴퓨터를
발명하는 데 일조했습니다. -
6:55 - 6:58그는 영재였으며
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6:58 - 7:01정말 대단한 컴퓨터 기술을
가지고 있었습니다. -
7:01 - 7:05그의 해결책은 무엇이었을까요?
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7:05 - 7:06폰 노이만입니다.
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7:06 - 7:07그는 말했습니다,
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7:07 - 7:13"2라는 숫자를 모든 쌍의
집합으로 보기 보다는 -
7:13 - 7:16어떤 특정한 한 쌍으로 보자."
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7:16 - 7:19그렇다면 어떤 쌍을 의미한 걸까요?
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7:19 - 7:242는 그 이전의 숫자들의 집합이
되어야 한다고 말했습니다. -
7:24 - 7:292 이전의 숫자는 0과 1이죠.
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7:29 - 7:35우리는 2가 0과 1을 포함한
집합을 가리키게 합니다. -
7:35 - 7:38그런데 아직 0과 1이라는
숫자들이 있습니다. -
7:38 - 7:430도 그 이전의 수들의 집합이지만
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7:43 - 7:460 전에는 수가 존재하지 않으므로
'공집합'이라고 합니다. -
7:46 - 7:48원소를 하나도 포함하지 않은 집합이죠.
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7:48 - 7:531 이전의 숫자는 0 뿐입니다.
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7:53 - 7:57그러므로 1이라는 집합의 원소는
0 밖에 없습니다. -
7:57 - 8:02이제 2, 1, 0이라는
숫자들의 정의는 내려졌습니다. -
8:02 - 8:06이 정의들을 토대로
집합이라는 것이 생기게 됩니다. -
8:06 - 8:102라는 숫자의 집합은
두 개의 원소로 구성되어 있는데, -
8:10 - 8:12그것은 공집합인 0과
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8:12 - 8:17단 하나뿐인 원소가
공집합인 1입니다. -
8:17 - 8:22그리하여 폰 노이만에 의하면,
2라는 숫자는 -
8:22 - 8:25집합들로 이루어져 있습니다.
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8:25 - 8:27집합입니다.
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8:27 - 8:31아주 작은 수까지도 포함되죠.
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8:31 - 8:34다른 모든 숫자들도 마찬가지입니다.
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8:34 - 8:383이라는 숫자는 더욱 복잡한 구조를
가지고 있습니다. -
8:38 - 8:43프레게-러셀 이론이 많은 괴물들을
양산했다고 말씀드렸죠. -
8:43 - 8:48하지만 더 이상 그런
괴물들은 생기지 않았습니다. -
8:48 - 8:51비록 2라는 숫자 안에는
다른 수도 포함되어 있지만, -
8:51 - 8:542 자신을 포함하지는 않기 때문에
괴물들은 천사로 바뀌었습니다. -
8:54 - 8:59괴물이 항상 자신보다 작은 괴물들을
먹어치우는 것과 같습니다. -
8:59 - 9:01자기 자신을 건드리지는 않는거죠.
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9:01 - 9:06이 이론은 철학자들과 수학자들에게
대체적으로 인정받고 있습니다. -
9:06 - 9:09하지만 이해하기 힘든 점도
있습니다. -
9:09 - 9:11제게 가장 신경쓰이는 부분은
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9:11 - 9:142라는 숫자가 그리
특별하지 않다는 것입니다. -
9:14 - 9:202가 모든 쌍들에 공통적으로
존재하는 것이기를 바라지만, -
9:20 - 9:25폰 노이만의 숫자 2는
많은 쌍 중에 하나일 뿐입니다. -
9:25 - 9:31그리고 그 쌍이 다른 모든 쌍들에
공통적으로 존재하는 것이 아니므로 -
9:31 - 9:342라는 숫자는 특별하지 않은 것입니다.
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9:34 - 9:37많은 쌍들 중 한 쌍일 뿐이죠.
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9:37 - 9:45이제 제가 가장 좋아하는
마지막 이론을 소개해드리겠습니다. -
9:45 - 9:50오늘날의 철학자와 수학자들이
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9:50 - 9:53대부분 묵살해버리는 이 이론은
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9:53 - 9:5919세기 말에 게오르크 칸토어가
발전시킨 것입니다. -
9:59 - 10:05칸토어는 다재다능한 사람이었습니다.
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10:05 - 10:08뛰어난 바이올리니스트였고,
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10:11 - 10:16종교와 문학을 아우르는
관심사를 가지고 있었습니다. -
10:17 - 10:22하지만 그는 무한수의 이론으로
가장 잘 알려져 있습니다. -
10:22 - 10:26칸토어는 유한수만을 세는 것에서
멈추지 않았습니다. -
10:26 - 10:29여기 많은 분들이 계시지만,
그 수도 유한수에 속합니다. -
10:29 - 10:32여기 계신 분들의 수나
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10:32 - 10:36은하계에 존재하는 별의 수 같은
유한수 뿐 아니라 -
10:36 - 10:39무한한 수 역시 세려고 했습니다.
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10:39 - 10:45존재하는 모든 자연수나
우주 내의 모든 점들까지 말이죠. -
10:45 - 10:51그리고는 숫자에 관한
일반적인 이론을 세우려 했습니다. -
10:51 - 10:53칸토어의 이론은 무엇이었을까요?
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10:53 - 10:562라는 숫자에 대해
다시 한번 생각해봅시다. -
10:56 - 11:00파이도와 펠릭스를 예로 들게요.
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11:00 - 11:02칸토어는 얘기했죠,
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11:02 - 11:08"이 두 사물의 특징적인 점들을
모두 제거해 버립시다. -
11:08 - 11:12둘을 구별할 수 있는 것들 모두."
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11:12 - 11:14그리하여 털을 없애고
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11:14 - 11:18피와 살도 제거합니다.
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11:18 - 11:22두 개의 헐벗은 모습만 남았네요.
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11:22 - 11:25구분지을 특성이 없는 이것을
칸토어는 하나의 단위라 정의했죠. -
11:25 - 11:28이 자리에 동물애호가들이
없었으면 하네요. -
11:28 - 11:34어쨌든, 칸토어는 이렇듯
동물을 하나의 단위로 봤습니다. -
11:34 - 11:36이 단위라는 것은 무엇일까요?
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11:36 - 11:40여러분 통장에 남은
2 달러를 예로 들어보겠습니다. -
11:40 - 11:43테드 강연 입장료를 내고 나서도
그정도가 남았다면 좋겠네요. -
11:43 - 11:47이 2 달러는 특별한 건 아니지만
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11:47 - 11:50현금 인출기에서는
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11:50 - 11:53특정한 2 달러로
반환받을 수 있습니다. -
11:53 - 11:55그 자체로는 특별하지 않지만,
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11:55 - 11:58특정한 2 달러로는
반환받을 수 있는 것이죠. -
11:58 - 12:00이것이 칸토어가 말하는
단위와 비슷합니다. -
12:00 - 12:04칸토어의 현금 인출기에서
이 단위를 반환받을 때는 -
12:04 - 12:07두 개를 무작위로 돌려받게 됩니다.
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12:07 - 12:10제비뽑기와 다름이 없죠.
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12:10 - 12:12칸토어의 생각은 이랬습니다:
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12:12 - 12:172라는 숫자로 이 두 단위의
집합이 되도록 하는 것입니다. -
12:17 - 12:19이 두 단위는
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12:19 - 12:22그 어떠한 두 물체로부터도
끌어올 수 있는데, -
12:22 - 12:27숫자 2는 이 두 단위의
집합이 됩니다. -
12:27 - 12:29다른 모든 숫자들도 마찬가지입니다.
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12:29 - 12:31숫자 3은 3개의 단위의 집합이 되고,
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12:31 - 12:34기타의 숫자들 역시 그렇습니다.
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12:34 - 12:37현재 세 가지 시각이 제시되었는데요.
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12:37 - 12:39프레게-러셀의 시각은
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12:39 - 12:42숫자 2가 모든 쌍의
집합이라고 한 것이었고, -
12:42 - 12:44폰 노이만의 시각은
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12:44 - 12:482는 0과 1이라는 원소를 포함한
집합이라고 한 것이었으며, -
12:48 - 12:52칸토어의 시각은
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12:52 - 12:562는 2개의
단위의 집합이라고 했습니다. -
12:56 - 13:01프레게-러셀의 시각은
괴물같은 문제를 만듭니다. -
13:01 - 13:03그래서 우리가 취할 수 없죠.
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13:03 - 13:11폰 노이만의 이론은 2가 모든 쌍에
존재하는 이유의 설명을 제대로 못해요. -
13:11 - 13:15칸토어의 시각은 두가지 중의
어떤 문제점도 갖고 있지 않습니다. -
13:15 - 13:19그 이유는 2라는 숫자가
단위로만 이뤄져 있기 때문입니다. -
13:19 - 13:222 자신이 포함되어 있지는 않거든요.
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13:22 - 13:25또한, 추상적 개념의
과정에서 파생되기 때문에 -
13:25 - 13:28모든 쌍들에
공통적으로 포함되어 있습니다. -
13:28 - 13:34더 엄밀히 말하자면,
각 쌍에 포함되어 있죠. -
13:34 - 13:38칸토어 덕분에 우린 이제 숫자가
무엇인지에 대해 더 잘 알게 됐어죠. -
13:38 - 13:39감사합니다.
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13:39 - 13:40(박수)
- Title:
- 숫자란 무엇인가? | 킷 파인 | TEDxNewYork
- Description:
-
이 강연은 TED 컨퍼런스와 별도로 개최된 지역 TEDx 행사에서 발표되었습니다.
숫자란 물리적인 것도, 상상 속의 것도 아니다. 숫자는 공간이나 시간 속에 존재하지 않지만, 우리의 삶은 숫자와는 아주 깊은 관련이 있다. 이 흥미로운 강연을 통해, 킷 파인은 숫자의 본질을 정의하는 세 가지의 이론을 제시한다.
- Video Language:
- English
- Team:
- closed TED
- Project:
- TEDxTalks
- Duration:
- 13:44
Jeong-Lan Kinser approved Korean subtitles for What are numbers? | Kit Fine | TEDxNewYork | ||
Jeong-Lan Kinser accepted Korean subtitles for What are numbers? | Kit Fine | TEDxNewYork | ||
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