0:00:17.498,0:00:20.677
숫자란 것은 이상합니다.

0:00:20.677,0:00:22.925
물리적인 사물이 아닙니다.

0:00:22.925,0:00:28.535
숫자 2에 부딛치거나[br]3에 걸려 넘어진 사람은 없죠.

0:00:28.535,0:00:32.455
여러분의 괴짜 [br]수학 교수님이라고 해도 말이죠.

0:00:32.455,0:00:35.974
숫자는 정신적인 사물도 아닙니다.

0:00:35.974,0:00:39.231
상상 속의 사랑하는 이는[br]아무리 상상한다고 해도

0:00:39.231,0:00:41.812
현실에서의 사랑하는 사람이[br]될 수 없습니다.

0:00:41.812,0:00:47.095
숫자 3이라는 생각은[br]3이라는 생각 이상의 것은 아닙니다.

0:00:47.095,0:00:50.718
숫자는 공간이나 시간 속에[br]존재하지도 않습니다.

0:00:50.718,0:00:55.027
3이라는 숫자가 부엌의 찬장 안에[br]들어가 있지도 않을 것이고,

0:00:55.027,0:00:57.340
숫자라는 것이 한때[br]존재하지 않았다거나,

0:00:57.340,0:01:03.267
어느날 갑자기 자취를 감춰버릴 거라는[br]걱정은 할 필요가 없습니다.

0:01:03.267,0:01:10.890
비록 숫자가 우리가 익숙한 생각과[br]주변의 사물들과는 거리가 멀지만,

0:01:10.892,0:01:18.326
숫자들을 가지고 행동하기 때문에[br]이 세계와는 깊은 연관이 있습니다.

0:01:18.326,0:01:22.423
우리는 숫자를 이용해서 계산을 하고,[br]단위를 측정하며,

0:01:22.423,0:01:27.460
과학적 이론을 공식화합니다.

0:01:27.475,0:01:31.213
이런 것들을 보면 숫자라는 것은[br]더욱 이상하게만 느껴집니다.

0:01:31.213,0:01:35.897
우리가 익숙한 세계와는[br]동떨어져 있는 동시에

0:01:35.897,0:01:40.415
너무나도 깊이 연관되어 있는[br]것일까요?

0:01:40.415,0:01:45.952
이 강연을 통해 숫자의 본질을[br]세 개의 이론으로 정의해보겠습니다.

0:01:45.952,0:01:49.881
그것들은 [br]수학자들과 철학자들에 의해

0:01:49.881,0:01:56.680
19세기 말에서 20세기 초에[br]개발된 것들입니다.

0:01:56.680,0:02:00.492
이 세 관점들의 전제는

0:02:00.492,0:02:05.490
우리가 수로 세는 것들이[br]여러 집합들로 나눠진다는 겁니다.

0:02:05.490,0:02:11.527
하나의 집합은 무엇이든간에[br]여러 물체를 하나로 여기는 겁니다.

0:02:11.527,0:02:19.699
예를 들어, 당신이 어제 마신[br]맥주병이 몇 개 있다고 합시다.

0:02:19.699,0:02:22.938
맥주병들를 이 괄호 안에 넣어

0:02:22.938,0:02:25.672
병 여섯 개가[br]하나의 집합이라고 칩니다.

0:02:25.672,0:02:33.392
또 여러분의 애완동물 두 마리[br]파이도와 필릭스를 집합 하나로 칩시다.

0:02:33.402,0:02:38.203
아니면 자연수를 모두 통틀어[br]하나의 집합이라고 하죠.

0:02:38.203,0:02:40.425
이 안에 모든 자연수가[br]들어있는 것이죠.

0:02:40.425,0:02:44.245
0, 1, 2, 3, 4 등등이요.

0:02:44.245,0:02:49.002
우리가 수를 셀 때 하나의 집합과[br]특정한 수를 연관시킵니다.

0:02:49.002,0:02:52.256
이 맥주병들의 경우에는[br]6과 연관을 시킵니다.

0:02:52.256,0:02:56.845
너무 취해서 숫자를 세는 게[br]어렵지 않다면요.

0:02:56.845,0:03:00.061
애완동물들의 경우엔[br]2와 연관시키죠.

0:03:00.061,0:03:04.667
자연수의 경우, 그 모든 숫자들을[br]하나의 집합 안에 넣는다면

0:03:04.667,0:03:07.891
어떠한 무한수가 나오겠죠.

0:03:07.891,0:03:12.098
숫자의 본질에 관해 말씀드릴[br]첫 번째 이론은

0:03:12.098,0:03:16.682
두 명의 위대한 철학자와 수학자인[br]고틀로프 프레게와

0:03:16.682,0:03:19.662
버트렌드 러셀에 의해[br]각각 세워졌습니다.

0:03:19.662,0:03:23.730
이 두 학자들은[br]서로 상당히 달랐습니다.

0:03:23.730,0:03:27.082
러셀은 영국의 귀족 출신이었고

0:03:27.082,0:03:30.895
프레게는 독일의[br]중산층 집안 출신이었습니다.

0:03:30.895,0:03:35.263
러셀은 단호한 자유주의자였고

0:03:35.263,0:03:39.360
프레게는 안타깝게도[br]나치 찬양자였습니다.

0:03:39.360,0:03:45.479
러셀에게는 네 명의 아내와[br]무수한 내연녀들이 있었습니다.

0:03:45.479,0:03:47.760
프레게에게는 [br]단 한 명의 아내가 있었고,

0:03:47.760,0:03:53.172
제가 알고 있는 바로는, [br]행복하고 안정적인 결혼생활을 했습니다.

0:03:53.172,0:03:55.816
이런 다른 점들에도 불구하고,

0:03:55.816,0:03:59.379
그들은 숫자의 본질에 관해[br]거의 같은 관점을 가지고 있었습니다.

0:03:59.391,0:04:00.709
그게 무엇이었을까요?

0:04:00.709,0:04:04.094
숫자 2를 한번 예로 들어보겠습니다.

0:04:04.094,0:04:09.122
한 집합이 둘로 구성되어 있을 때[br]2를 사용합니다.

0:04:09.124,0:04:15.554
프레게와 러셀이 속해 있는[br]집합을 셀 때 쓰일 수 있거나

0:04:15.554,0:04:23.208
여러분 애완동물의 한 쌍, 파이도와[br]필릭스가 속한 집합을 셀 수 있죠.

0:04:23.225,0:04:27.272
또는 찰스 디킨스 소설 작품의[br]유명한 두 도시인

0:04:27.272,0:04:29.480
런던과 파리를 셀 때도 쓸 수 있죠.

0:04:29.480,0:04:32.478
런던이 꼭 먼저 와야한다고 봅니다.

0:04:32.478,0:04:35.314
(웃음)

0:04:35.314,0:04:42.952
러셀과 프레게는 이 여러 쌍들을[br]하나의 큰 집합 안에 포함시켰습니다.

0:04:42.952,0:04:47.220
모든 쌍을 하나의 큰 집합 안에 넣으면[br]그게 바로 숫자 2가 되는 것입니다.

0:04:47.220,0:04:50.228
여러 집합으로 이루어진[br]하나의 집합이 되는 것이죠.

0:04:50.228,0:04:55.365
그리고 이 집합들은 2로 셀 수 있는[br]모든 쌍들로 이루어져 있는 겁니다.

0:04:55.365,0:04:57.654
다른 숫자들도 마찬가지입니다.

0:04:57.654,0:05:00.096
3이라는 숫자는 3개로 이루어진[br]모든 수의 집합이고,

0:05:00.096,0:05:04.424
4라는 숫자는 4개로 이루어진[br]모든 수의 집합이고, 기타 등등이죠.

0:05:04.424,0:05:08.022
단순하지만 훌륭한 이론입니다.

0:05:08.026,0:05:12.594
하지만, 이에 대한[br]반론도 등장했습니다.

0:05:12.594,0:05:15.526
이 반론을 직접 보여드릴 수는 없지만,

0:05:15.526,0:05:19.843
어떻게 발생되었는지[br]대략적으로 설명드릴 수는 있습니다.

0:05:19.843,0:05:24.828
아까 2라는 숫자는 모든 쌍들의[br]집합이라고 말씀드렸죠.

0:05:24.828,0:05:27.248
그게 무엇이 되었든간에요.

0:05:27.248,0:05:33.918
정확히 말하자면, 그 쌍들은[br]2라는 숫자를 포함하는 것들입니다.

0:05:33.918,0:05:35.943
하나의 쌍을 예로 들어보겠습니다.

0:05:35.943,0:05:39.787
숫자 2와 1을 포함한 한 쌍입니다.

0:05:39.787,0:05:45.853
한 쌍으로 이루어진 1과 2는[br]이미 2라는 숫자 내에 있습니다.

0:05:45.853,0:05:50.062
2라는 숫자 안에는[br]2 자신이 포함되어 있습니다.

0:05:50.062,0:05:53.328
불가능해 보일 것 같죠.

0:05:53.328,0:05:55.289
비유를 하나 해보겠습니다.

0:05:55.289,0:06:00.292
굶주린 뱀이 자신의 꼬리를[br]물으려고 한다고 상상해봅시다.

0:06:00.292,0:06:03.288
성공할 수도 있습니다.

0:06:03.288,0:06:06.737
그린다고 해봤는데 잘 안 됐네요.

0:06:06.737,0:06:09.315
보기엔 좀 그렇지만, 가능합니다.

0:06:09.315,0:06:10.769
(웃음)

0:06:10.769,0:06:14.202
그 뱀은 얼마나 배고픔에 굶주렸는지

0:06:14.202,0:06:18.755
자기 자신을 통째로 먹어삼키려 합니다.

0:06:18.755,0:06:20.675
이건 불가능한 일입니다.

0:06:20.675,0:06:26.014
뱀이 자기 뱃속에[br]들어가는 것일테니까요.

0:06:26.014,0:06:29.038
2라는 숫자가 바로 이런 경우입니다.

0:06:29.038,0:06:36.302
보시다시피, 자신 안에[br]이미 포함되어 있는 숫자인 것이죠.

0:06:36.302,0:06:39.111
이것을 어떻게 해결했을까요?

0:06:39.111,0:06:44.614
수학자였던 존 폰 노이만은[br]훌륭한 해결책을 내놓았습니다.

0:06:44.614,0:06:50.160
폰 노이만은 역사상 가장 다재다능한[br]수학자 중 한 명이었다고 할 수 있죠.

0:06:50.160,0:06:55.235
그는 게임 이론과 현대의 컴퓨터를[br]발명하는 데 일조했습니다.

0:06:55.235,0:06:58.459
그는 영재였으며

0:06:58.459,0:07:01.464
정말 대단한 컴퓨터 기술을[br]가지고 있었습니다.

0:07:01.464,0:07:04.581
그의 해결책은 무엇이었을까요?

0:07:04.581,0:07:05.661
폰 노이만입니다.

0:07:05.661,0:07:07.206
그는 말했습니다,

0:07:07.206,0:07:13.051
"2라는 숫자를 모든 쌍의[br]집합으로 보기 보다는

0:07:13.051,0:07:16.478
어떤 특정한 한 쌍으로 보자."

0:07:16.478,0:07:18.553
그렇다면 어떤 쌍을 의미한 걸까요?

0:07:18.553,0:07:24.043
2는 그 이전의 숫자들의 집합이[br]되어야 한다고 말했습니다.

0:07:24.043,0:07:28.827
2 이전의 숫자는 0과 1이죠.

0:07:28.827,0:07:34.831
우리는 2가 0과 1을 포함한[br]집합을 가리키게 합니다.

0:07:34.831,0:07:37.984
그런데 아직 0과 1이라는[br]숫자들이 있습니다.

0:07:37.984,0:07:42.752
0도 그 이전의 수들의 집합이지만

0:07:42.752,0:07:45.866
0 전에는 수가 존재하지 않으므로[br]'공집합'이라고 합니다.

0:07:45.866,0:07:48.103
원소를 하나도 포함하지 않은 집합이죠.

0:07:48.103,0:07:52.778
1 이전의 숫자는 0 뿐입니다.

0:07:52.778,0:07:57.268
그러므로 1이라는 집합의 원소는[br]0 밖에 없습니다.

0:07:57.275,0:08:01.731
이제 2, 1, 0이라는[br]숫자들의 정의는 내려졌습니다.

0:08:01.731,0:08:05.679
이 정의들을 토대로[br]집합이라는 것이 생기게 됩니다.

0:08:05.679,0:08:10.110
2라는 숫자의 집합은[br]두 개의 원소로 구성되어 있는데,

0:08:10.110,0:08:11.846
그것은 공집합인 0과

0:08:11.846,0:08:17.353
단 하나뿐인 원소가[br]공집합인 1입니다.

0:08:17.359,0:08:21.966
그리하여 폰 노이만에 의하면,[br]2라는 숫자는

0:08:21.966,0:08:25.117
집합들로 이루어져 있습니다.

0:08:25.117,0:08:27.205
집합입니다.

0:08:27.205,0:08:31.183
아주 작은 수까지도 포함되죠.

0:08:31.183,0:08:33.890
다른 모든 숫자들도 마찬가지입니다.

0:08:33.890,0:08:38.249
3이라는 숫자는 더욱 복잡한 구조를[br]가지고 있습니다.

0:08:38.249,0:08:42.954
프레게-러셀 이론이 많은 괴물들을[br]양산했다고 말씀드렸죠.

0:08:42.954,0:08:47.840
하지만 더 이상 그런 [br]괴물들은 생기지 않았습니다.

0:08:47.840,0:08:50.980
비록 2라는 숫자 안에는[br]다른 수도 포함되어 있지만,

0:08:50.980,0:08:54.007
2 자신을 포함하지는 않기 때문에[br]괴물들은 천사로 바뀌었습니다.

0:08:54.007,0:08:58.911
괴물이 항상 자신보다 작은 괴물들을[br]먹어치우는 것과 같습니다.

0:08:58.911,0:09:00.781
자기 자신을 건드리지는 않는거죠.

0:09:00.781,0:09:05.743
이 이론은 철학자들과 수학자들에게[br]대체적으로 인정받고 있습니다.

0:09:05.743,0:09:08.819
하지만 이해하기 힘든 점도[br]있습니다.

0:09:08.819,0:09:11.039
제게 가장 신경쓰이는 부분은

0:09:11.039,0:09:14.340
2라는 숫자가 그리[br]특별하지 않다는 것입니다.

0:09:14.340,0:09:20.048
2가 모든 쌍들에 공통적으로[br]존재하는 것이기를 바라지만,

0:09:20.048,0:09:25.253
폰 노이만의 숫자 2는[br]많은 쌍 중에 하나일 뿐입니다.

0:09:25.253,0:09:30.611
그리고 그 쌍이 다른 모든 쌍들에[br]공통적으로 존재하는 것이 아니므로

0:09:30.611,0:09:34.387
2라는 숫자는 특별하지 않은 것입니다.

0:09:34.387,0:09:37.200
많은 쌍들 중 한 쌍일 뿐이죠.

0:09:37.200,0:09:44.758
이제 제가 가장 좋아하는[br]마지막 이론을 소개해드리겠습니다.

0:09:44.758,0:09:49.742
오늘날의 철학자와 수학자들이

0:09:49.742,0:09:52.634
대부분 묵살해버리는 이 이론은

0:09:52.634,0:09:59.425
19세기 말에 게오르크 칸토어가[br]발전시킨 것입니다.

0:09:59.425,0:10:04.815
칸토어는 다재다능한 사람이었습니다.

0:10:04.815,0:10:08.464
뛰어난 바이올리니스트였고,

0:10:11.104,0:10:16.260
종교와 문학을 아우르는[br]관심사를 가지고 있었습니다.

0:10:17.444,0:10:21.651
하지만 그는 무한수의 이론으로[br]가장 잘 알려져 있습니다.

0:10:21.651,0:10:25.540
칸토어는 유한수만을 세는 것에서[br]멈추지 않았습니다.

0:10:25.540,0:10:29.200
여기 많은 분들이 계시지만,[br]그 수도 유한수에 속합니다.

0:10:29.200,0:10:32.400
여기 계신 분들의 수나

0:10:32.400,0:10:36.180
은하계에 존재하는 별의 수 같은[br]유한수 뿐 아니라

0:10:36.180,0:10:39.403
무한한 수 역시 세려고 했습니다.

0:10:39.403,0:10:45.452
존재하는 모든 자연수나[br]우주 내의 모든 점들까지 말이죠.

0:10:45.456,0:10:51.358
그리고는 숫자에 관한[br]일반적인 이론을 세우려 했습니다.

0:10:51.358,0:10:53.467
칸토어의 이론은 무엇이었을까요?

0:10:53.467,0:10:55.816
2라는 숫자에 대해[br]다시 한번 생각해봅시다.

0:10:55.816,0:11:00.249
파이도와 펠릭스를 예로 들게요.

0:11:00.259,0:11:01.613
칸토어는 얘기했죠,

0:11:01.613,0:11:08.205
"이 두 사물의 특징적인 점들을[br]모두 제거해 버립시다.

0:11:08.205,0:11:11.699
둘을 구별할 수 있는 것들 모두."

0:11:11.699,0:11:14.443
그리하여 털을 없애고

0:11:14.443,0:11:18.267
피와 살도 제거합니다.

0:11:18.267,0:11:22.062
두 개의 헐벗은 모습만 남았네요.

0:11:22.062,0:11:25.479
구분지을 특성이 없는 이것을[br]칸토어는 하나의 단위라 정의했죠.

0:11:25.479,0:11:28.207
이 자리에 동물애호가들이[br]없었으면 하네요.

0:11:28.207,0:11:33.983
어쨌든, 칸토어는 이렇듯[br]동물을 하나의 단위로 봤습니다.

0:11:33.983,0:11:36.205
이 단위라는 것은 무엇일까요?

0:11:36.205,0:11:40.032
여러분 통장에 남은[br]2 달러를 예로 들어보겠습니다.

0:11:40.032,0:11:43.497
테드 강연 입장료를 내고 나서도[br]그정도가 남았다면 좋겠네요.

0:11:43.497,0:11:47.362
이 2 달러는 특별한 건 아니지만

0:11:47.362,0:11:49.602
현금 인출기에서는

0:11:49.602,0:11:52.753
특정한 2 달러로[br]반환받을 수 있습니다.

0:11:52.753,0:11:55.009
그 자체로는 특별하지 않지만,

0:11:55.009,0:11:57.653
특정한 2 달러로는[br]반환받을 수 있는 것이죠.

0:11:57.653,0:11:59.700
이것이 칸토어가 말하는[br]단위와 비슷합니다.

0:11:59.700,0:12:03.812
칸토어의 현금 인출기에서[br]이 단위를 반환받을 때는

0:12:03.812,0:12:06.593
두 개를 무작위로 돌려받게 됩니다.

0:12:06.593,0:12:09.641
제비뽑기와 다름이 없죠.

0:12:09.641,0:12:12.145
칸토어의 생각은 이랬습니다:

0:12:12.145,0:12:17.090
2라는 숫자로 이 두 단위의[br]집합이 되도록 하는 것입니다.

0:12:17.090,0:12:19.230
이 두 단위는

0:12:19.230,0:12:22.359
그 어떠한 두 물체로부터도[br]끌어올 수 있는데,

0:12:22.359,0:12:26.892
숫자 2는 이 두 단위의[br]집합이 됩니다.

0:12:26.892,0:12:29.018
다른 모든 숫자들도 마찬가지입니다.

0:12:29.018,0:12:31.411
숫자 3은 3개의 단위의 집합이 되고,

0:12:31.411,0:12:33.811
기타의 숫자들 역시 그렇습니다.

0:12:33.811,0:12:37.002
현재 세 가지 시각이 제시되었는데요.

0:12:37.002,0:12:38.808
프레게-러셀의 시각은

0:12:38.808,0:12:42.193
숫자 2가 모든 쌍의[br]집합이라고 한 것이었고,

0:12:42.193,0:12:44.043
폰 노이만의 시각은

0:12:44.043,0:12:47.976
2는 0과 1이라는 원소를 포함한[br]집합이라고 한 것이었으며,

0:12:47.976,0:12:51.601
칸토어의 시각은

0:12:51.601,0:12:55.587
2는 2개의 [br]단위의 집합이라고 했습니다.

0:12:55.587,0:13:00.843
프레게-러셀의 시각은 [br]괴물같은 문제를 만듭니다.

0:13:00.843,0:13:02.949
그래서 우리가 취할 수 없죠.

0:13:02.949,0:13:10.987
폰 노이만의 이론은 2가 모든 쌍에[br]존재하는 이유의 설명을 제대로 못해요.

0:13:10.987,0:13:15.178
칸토어의 시각은 두가지 중의[br]어떤 문제점도 갖고 있지 않습니다.

0:13:15.178,0:13:18.997
그 이유는 2라는 숫자가[br]단위로만 이뤄져 있기 때문입니다.

0:13:18.997,0:13:21.932
2 자신이 포함되어 있지는 않거든요.

0:13:21.932,0:13:25.097
또한, 추상적 개념의[br]과정에서 파생되기 때문에

0:13:25.097,0:13:28.137
모든 쌍들에[br]공통적으로 포함되어 있습니다.

0:13:28.137,0:13:33.637
더 엄밀히 말하자면,[br]각 쌍에 포함되어 있죠.

0:13:33.637,0:13:37.732
칸토어 덕분에 우린 이제 숫자가 [br]무엇인지에 대해 더 잘 알게 됐어죠.

0:13:37.735,0:13:39.244
감사합니다.

0:13:39.244,0:13:40.090
(박수)