WEBVTT

00:00:17.498 --> 00:00:20.677
숫자란 것은 이상합니다.

00:00:20.677 --> 00:00:22.925
물리적인 사물이 아닙니다.

00:00:22.925 --> 00:00:28.535
숫자 2에 부딛치거나
3에 걸려 넘어진 사람은 없죠.

00:00:28.535 --> 00:00:32.455
여러분의 괴짜 
수학 교수님이라고 해도 말이죠.

00:00:32.455 --> 00:00:35.974
숫자는 정신적인 사물도 아닙니다.

00:00:35.974 --> 00:00:39.231
상상 속의 사랑하는 이는
아무리 상상한다고 해도

00:00:39.231 --> 00:00:41.812
현실에서의 사랑하는 사람이
될 수 없습니다.

00:00:41.812 --> 00:00:47.095
숫자 3이라는 생각은
3이라는 생각 이상의 것은 아닙니다.

00:00:47.095 --> 00:00:50.718
숫자는 공간이나 시간 속에
존재하지도 않습니다.

00:00:50.718 --> 00:00:55.027
3이라는 숫자가 부엌의 찬장 안에
들어가 있지도 않을 것이고,

00:00:55.027 --> 00:00:57.340
숫자라는 것이 한때
존재하지 않았다거나,

NOTE Paragraph

00:00:57.340 --> 00:01:03.267
어느날 갑자기 자취를 감춰버릴 거라는
걱정은 할 필요가 없습니다.

00:01:03.267 --> 00:01:10.890
비록 숫자가 우리가 익숙한 생각과
주변의 사물들과는 거리가 멀지만,

00:01:10.892 --> 00:01:18.326
숫자들을 가지고 행동하기 때문에
이 세계와는 깊은 연관이 있습니다.

00:01:18.326 --> 00:01:22.423
우리는 숫자를 이용해서 계산을 하고,
단위를 측정하며,

00:01:22.423 --> 00:01:27.460
과학적 이론을 공식화합니다.

00:01:27.475 --> 00:01:31.213
이런 것들을 보면 숫자라는 것은
더욱 이상하게만 느껴집니다.

00:01:31.213 --> 00:01:35.897
우리가 익숙한 세계와는
동떨어져 있는 동시에

00:01:35.897 --> 00:01:40.415
너무나도 깊이 연관되어 있는
것일까요?

00:01:40.415 --> 00:01:45.952
이 강연을 통해 숫자의 본질을
세 개의 이론으로 정의해보겠습니다.

00:01:45.952 --> 00:01:49.881
그것들은 
수학자들과 철학자들에 의해

00:01:49.881 --> 00:01:56.680
19세기 말에서 20세기 초에
개발된 것들입니다.

00:01:56.680 --> 00:02:00.492
이 세 관점들의 전제는

00:02:00.492 --> 00:02:05.490
우리가 수로 세는 것들이
여러 집합들로 나눠진다는 겁니다.

00:02:05.490 --> 00:02:11.527
하나의 집합은 무엇이든간에
여러 물체를 하나로 여기는 겁니다.

00:02:11.527 --> 00:02:19.699
예를 들어, 당신이 어제 마신
맥주병이 몇 개 있다고 합시다.

00:02:19.699 --> 00:02:22.938
맥주병들를 이 괄호 안에 넣어

00:02:22.938 --> 00:02:25.672
병 여섯 개가
하나의 집합이라고 칩니다.

00:02:25.672 --> 00:02:33.392
또 여러분의 애완동물 두 마리
파이도와 필릭스를 집합 하나로 칩시다.

00:02:33.402 --> 00:02:38.203
아니면 자연수를 모두 통틀어
하나의 집합이라고 하죠.

00:02:38.203 --> 00:02:40.425
이 안에 모든 자연수가
들어있는 것이죠.

00:02:40.425 --> 00:02:44.245
0, 1, 2, 3, 4 등등이요.

00:02:44.245 --> 00:02:49.002
우리가 수를 셀 때 하나의 집합과
특정한 수를 연관시킵니다.

00:02:49.002 --> 00:02:52.256
이 맥주병들의 경우에는
6과 연관을 시킵니다.

00:02:52.256 --> 00:02:56.845
너무 취해서 숫자를 세는 게
어렵지 않다면요.

00:02:56.845 --> 00:03:00.061
애완동물들의 경우엔
2와 연관시키죠.

00:03:00.061 --> 00:03:04.667
자연수의 경우, 그 모든 숫자들을
하나의 집합 안에 넣는다면

00:03:04.667 --> 00:03:07.891
어떠한 무한수가 나오겠죠.

00:03:07.891 --> 00:03:12.098
숫자의 본질에 관해 말씀드릴
첫 번째 이론은

00:03:12.098 --> 00:03:16.682
두 명의 위대한 철학자와 수학자인
고틀로프 프레게와

00:03:16.682 --> 00:03:19.662
버트렌드 러셀에 의해
각각 세워졌습니다.

00:03:19.662 --> 00:03:23.730
이 두 학자들은
서로 상당히 달랐습니다.

00:03:23.730 --> 00:03:27.082
러셀은 영국의 귀족 출신이었고

00:03:27.082 --> 00:03:30.895
프레게는 독일의
중산층 집안 출신이었습니다.

00:03:30.895 --> 00:03:35.263
러셀은 단호한 자유주의자였고

00:03:35.263 --> 00:03:39.360
프레게는 안타깝게도
나치 찬양자였습니다.

00:03:39.360 --> 00:03:45.479
러셀에게는 네 명의 아내와
무수한 내연녀들이 있었습니다.

00:03:45.479 --> 00:03:47.760
프레게에게는 
단 한 명의 아내가 있었고,

00:03:47.760 --> 00:03:53.172
제가 알고 있는 바로는, 
행복하고 안정적인 결혼생활을 했습니다.

00:03:53.172 --> 00:03:55.816
이런 다른 점들에도 불구하고,

00:03:55.816 --> 00:03:59.379
그들은 숫자의 본질에 관해
거의 같은 관점을 가지고 있었습니다.

00:03:59.391 --> 00:04:00.709
그게 무엇이었을까요?

00:04:00.709 --> 00:04:04.094
숫자 2를 한번 예로 들어보겠습니다.

00:04:04.094 --> 00:04:09.122
한 집합이 둘로 구성되어 있을 때
2를 사용합니다.

00:04:09.124 --> 00:04:15.554
프레게와 러셀이 속해 있는
집합을 셀 때 쓰일 수 있거나

00:04:15.554 --> 00:04:23.208
여러분 애완동물의 한 쌍, 파이도와
필릭스가 속한 집합을 셀 수 있죠.

00:04:23.225 --> 00:04:27.272
또는 찰스 디킨스 소설 작품의
유명한 두 도시인

00:04:27.272 --> 00:04:29.480
런던과 파리를 셀 때도 쓸 수 있죠.

00:04:29.480 --> 00:04:32.478
런던이 꼭 먼저 와야한다고 봅니다.

00:04:32.478 --> 00:04:35.314
(웃음)

00:04:35.314 --> 00:04:42.952
러셀과 프레게는 이 여러 쌍들을
하나의 큰 집합 안에 포함시켰습니다.

00:04:42.952 --> 00:04:47.220
모든 쌍을 하나의 큰 집합 안에 넣으면
그게 바로 숫자 2가 되는 것입니다.

00:04:47.220 --> 00:04:50.228
여러 집합으로 이루어진
하나의 집합이 되는 것이죠.

00:04:50.228 --> 00:04:55.365
그리고 이 집합들은 2로 셀 수 있는
모든 쌍들로 이루어져 있는 겁니다.

00:04:55.365 --> 00:04:57.654
다른 숫자들도 마찬가지입니다.

00:04:57.654 --> 00:05:00.096
3이라는 숫자는 3개로 이루어진
모든 수의 집합이고,

00:05:00.096 --> 00:05:04.424
4라는 숫자는 4개로 이루어진
모든 수의 집합이고, 기타 등등이죠.

00:05:04.424 --> 00:05:08.022
단순하지만 훌륭한 이론입니다.

00:05:08.026 --> 00:05:12.594
하지만, 이에 대한
반론도 등장했습니다.

00:05:12.594 --> 00:05:15.526
이 반론을 직접 보여드릴 수는 없지만,

00:05:15.526 --> 00:05:19.843
어떻게 발생되었는지
대략적으로 설명드릴 수는 있습니다.

00:05:19.843 --> 00:05:24.828
아까 2라는 숫자는 모든 쌍들의
집합이라고 말씀드렸죠.

00:05:24.828 --> 00:05:27.248
그게 무엇이 되었든간에요.

00:05:27.248 --> 00:05:33.918
정확히 말하자면, 그 쌍들은
2라는 숫자를 포함하는 것들입니다.

00:05:33.918 --> 00:05:35.943
하나의 쌍을 예로 들어보겠습니다.

00:05:35.943 --> 00:05:39.787
숫자 2와 1을 포함한 한 쌍입니다.

00:05:39.787 --> 00:05:45.853
한 쌍으로 이루어진 1과 2는
이미 2라는 숫자 내에 있습니다.

00:05:45.853 --> 00:05:50.062
2라는 숫자 안에는
2 자신이 포함되어 있습니다.

00:05:50.062 --> 00:05:53.328
불가능해 보일 것 같죠.

00:05:53.328 --> 00:05:55.289
비유를 하나 해보겠습니다.

00:05:55.289 --> 00:06:00.292
굶주린 뱀이 자신의 꼬리를
물으려고 한다고 상상해봅시다.

00:06:00.292 --> 00:06:03.288
성공할 수도 있습니다.

00:06:03.288 --> 00:06:06.737
그린다고 해봤는데 잘 안 됐네요.

00:06:06.737 --> 00:06:09.315
보기엔 좀 그렇지만, 가능합니다.

00:06:09.315 --> 00:06:10.769
(웃음)

00:06:10.769 --> 00:06:14.202
그 뱀은 얼마나 배고픔에 굶주렸는지

00:06:14.202 --> 00:06:18.755
자기 자신을 통째로 먹어삼키려 합니다.

00:06:18.755 --> 00:06:20.675
이건 불가능한 일입니다.

00:06:20.675 --> 00:06:26.014
뱀이 자기 뱃속에
들어가는 것일테니까요.

00:06:26.014 --> 00:06:29.038
2라는 숫자가 바로 이런 경우입니다.

00:06:29.038 --> 00:06:36.302
보시다시피, 자신 안에
이미 포함되어 있는 숫자인 것이죠.

00:06:36.302 --> 00:06:39.111
이것을 어떻게 해결했을까요?

00:06:39.111 --> 00:06:44.614
수학자였던 존 폰 노이만은
훌륭한 해결책을 내놓았습니다.

00:06:44.614 --> 00:06:50.160
폰 노이만은 역사상 가장 다재다능한
수학자 중 한 명이었다고 할 수 있죠.

00:06:50.160 --> 00:06:55.235
그는 게임 이론과 현대의 컴퓨터를
발명하는 데 일조했습니다.

00:06:55.235 --> 00:06:58.459
그는 영재였으며

00:06:58.459 --> 00:07:01.464
정말 대단한 컴퓨터 기술을
가지고 있었습니다.

00:07:01.464 --> 00:07:04.581
그의 해결책은 무엇이었을까요?

00:07:04.581 --> 00:07:05.661
폰 노이만입니다.

00:07:05.661 --> 00:07:07.206
그는 말했습니다,

00:07:07.206 --> 00:07:13.051
"2라는 숫자를 모든 쌍의
집합으로 보기 보다는

00:07:13.051 --> 00:07:16.478
어떤 특정한 한 쌍으로 보자."

00:07:16.478 --> 00:07:18.553
그렇다면 어떤 쌍을 의미한 걸까요?

00:07:18.553 --> 00:07:24.043
2는 그 이전의 숫자들의 집합이
되어야 한다고 말했습니다.

00:07:24.043 --> 00:07:28.827
2 이전의 숫자는 0과 1이죠.

00:07:28.827 --> 00:07:34.831
우리는 2가 0과 1을 포함한
집합을 가리키게 합니다.

00:07:34.831 --> 00:07:37.984
그런데 아직 0과 1이라는
숫자들이 있습니다.

00:07:37.984 --> 00:07:42.752
0도 그 이전의 수들의 집합이지만

00:07:42.752 --> 00:07:45.866
0 전에는 수가 존재하지 않으므로
'공집합'이라고 합니다.

00:07:45.866 --> 00:07:48.103
원소를 하나도 포함하지 않은 집합이죠.

00:07:48.103 --> 00:07:52.778
1 이전의 숫자는 0 뿐입니다.

00:07:52.778 --> 00:07:57.268
그러므로 1이라는 집합의 원소는
0 밖에 없습니다.

00:07:57.275 --> 00:08:01.731
이제 2, 1, 0이라는
숫자들의 정의는 내려졌습니다.

00:08:01.731 --> 00:08:05.679
이 정의들을 토대로
집합이라는 것이 생기게 됩니다.

00:08:05.679 --> 00:08:10.110
2라는 숫자의 집합은
두 개의 원소로 구성되어 있는데,

00:08:10.110 --> 00:08:11.846
그것은 공집합인 0과

00:08:11.846 --> 00:08:17.353
단 하나뿐인 원소가
공집합인 1입니다.

00:08:17.359 --> 00:08:21.966
그리하여 폰 노이만에 의하면,
2라는 숫자는

00:08:21.966 --> 00:08:25.117
집합들로 이루어져 있습니다.

00:08:25.117 --> 00:08:27.205
집합입니다.

00:08:27.205 --> 00:08:31.183
아주 작은 수까지도 포함되죠.

00:08:31.183 --> 00:08:33.890
다른 모든 숫자들도 마찬가지입니다.

00:08:33.890 --> 00:08:38.249
3이라는 숫자는 더욱 복잡한 구조를
가지고 있습니다.

00:08:38.249 --> 00:08:42.954
프레게-러셀 이론이 많은 괴물들을
양산했다고 말씀드렸죠.

00:08:42.954 --> 00:08:47.840
하지만 더 이상 그런 
괴물들은 생기지 않았습니다.

00:08:47.840 --> 00:08:50.980
비록 2라는 숫자 안에는
다른 수도 포함되어 있지만,

00:08:50.980 --> 00:08:54.007
2 자신을 포함하지는 않기 때문에
괴물들은 천사로 바뀌었습니다.

00:08:54.007 --> 00:08:58.911
괴물이 항상 자신보다 작은 괴물들을
먹어치우는 것과 같습니다.

00:08:58.911 --> 00:09:00.781
자기 자신을 건드리지는 않는거죠.

00:09:00.781 --> 00:09:05.743
이 이론은 철학자들과 수학자들에게
대체적으로 인정받고 있습니다.

00:09:05.743 --> 00:09:08.819
하지만 이해하기 힘든 점도
있습니다.

00:09:08.819 --> 00:09:11.039
제게 가장 신경쓰이는 부분은

00:09:11.039 --> 00:09:14.340
2라는 숫자가 그리
특별하지 않다는 것입니다.

00:09:14.340 --> 00:09:20.048
2가 모든 쌍들에 공통적으로
존재하는 것이기를 바라지만,

00:09:20.048 --> 00:09:25.253
폰 노이만의 숫자 2는
많은 쌍 중에 하나일 뿐입니다.

00:09:25.253 --> 00:09:30.611
그리고 그 쌍이 다른 모든 쌍들에
공통적으로 존재하는 것이 아니므로

00:09:30.611 --> 00:09:34.387
2라는 숫자는 특별하지 않은 것입니다.

00:09:34.387 --> 00:09:37.200
많은 쌍들 중 한 쌍일 뿐이죠.

00:09:37.200 --> 00:09:44.758
이제 제가 가장 좋아하는
마지막 이론을 소개해드리겠습니다.

00:09:44.758 --> 00:09:49.742
오늘날의 철학자와 수학자들이

00:09:49.742 --> 00:09:52.634
대부분 묵살해버리는 이 이론은

00:09:52.634 --> 00:09:59.425
19세기 말에 게오르크 칸토어가
발전시킨 것입니다.

00:09:59.425 --> 00:10:04.815
칸토어는 다재다능한 사람이었습니다.

00:10:04.815 --> 00:10:08.464
뛰어난 바이올리니스트였고,

00:10:11.104 --> 00:10:16.260
종교와 문학을 아우르는
관심사를 가지고 있었습니다.

00:10:17.444 --> 00:10:21.651
하지만 그는 무한수의 이론으로
가장 잘 알려져 있습니다.

00:10:21.651 --> 00:10:25.540
칸토어는 유한수만을 세는 것에서
멈추지 않았습니다.

00:10:25.540 --> 00:10:29.200
여기 많은 분들이 계시지만,
그 수도 유한수에 속합니다.

00:10:29.200 --> 00:10:32.400
여기 계신 분들의 수나

00:10:32.400 --> 00:10:36.180
은하계에 존재하는 별의 수 같은
유한수 뿐 아니라

00:10:36.180 --> 00:10:39.403
무한한 수 역시 세려고 했습니다.

00:10:39.403 --> 00:10:45.452
존재하는 모든 자연수나
우주 내의 모든 점들까지 말이죠.

00:10:45.456 --> 00:10:51.358
그리고는 숫자에 관한
일반적인 이론을 세우려 했습니다.

00:10:51.358 --> 00:10:53.467
칸토어의 이론은 무엇이었을까요?

00:10:53.467 --> 00:10:55.816
2라는 숫자에 대해
다시 한번 생각해봅시다.

00:10:55.816 --> 00:11:00.249
파이도와 펠릭스를 예로 들게요.

00:11:00.259 --> 00:11:01.613
칸토어는 얘기했죠,

00:11:01.613 --> 00:11:08.205
"이 두 사물의 특징적인 점들을
모두 제거해 버립시다.

00:11:08.205 --> 00:11:11.699
둘을 구별할 수 있는 것들 모두."

00:11:11.699 --> 00:11:14.443
그리하여 털을 없애고

00:11:14.443 --> 00:11:18.267
피와 살도 제거합니다.

00:11:18.267 --> 00:11:22.062
두 개의 헐벗은 모습만 남았네요.

00:11:22.062 --> 00:11:25.479
구분지을 특성이 없는 이것을
칸토어는 하나의 단위라 정의했죠.

00:11:25.479 --> 00:11:28.207
이 자리에 동물애호가들이
없었으면 하네요.

00:11:28.207 --> 00:11:33.983
어쨌든, 칸토어는 이렇듯
동물을 하나의 단위로 봤습니다.

00:11:33.983 --> 00:11:36.205
이 단위라는 것은 무엇일까요?

00:11:36.205 --> 00:11:40.032
여러분 통장에 남은
2 달러를 예로 들어보겠습니다.

00:11:40.032 --> 00:11:43.497
테드 강연 입장료를 내고 나서도
그정도가 남았다면 좋겠네요.

00:11:43.497 --> 00:11:47.362
이 2 달러는 특별한 건 아니지만

00:11:47.362 --> 00:11:49.602
현금 인출기에서는

00:11:49.602 --> 00:11:52.753
특정한 2 달러로
반환받을 수 있습니다.

00:11:52.753 --> 00:11:55.009
그 자체로는 특별하지 않지만,

00:11:55.009 --> 00:11:57.653
특정한 2 달러로는
반환받을 수 있는 것이죠.

00:11:57.653 --> 00:11:59.700
이것이 칸토어가 말하는
단위와 비슷합니다.

00:11:59.700 --> 00:12:03.812
칸토어의 현금 인출기에서
이 단위를 반환받을 때는

00:12:03.812 --> 00:12:06.593
두 개를 무작위로 돌려받게 됩니다.

00:12:06.593 --> 00:12:09.641
제비뽑기와 다름이 없죠.

00:12:09.641 --> 00:12:12.145
칸토어의 생각은 이랬습니다:

00:12:12.145 --> 00:12:17.090
2라는 숫자로 이 두 단위의
집합이 되도록 하는 것입니다.

00:12:17.090 --> 00:12:19.230
이 두 단위는

00:12:19.230 --> 00:12:22.359
그 어떠한 두 물체로부터도
끌어올 수 있는데,

00:12:22.359 --> 00:12:26.892
숫자 2는 이 두 단위의
집합이 됩니다.

00:12:26.892 --> 00:12:29.018
다른 모든 숫자들도 마찬가지입니다.

00:12:29.018 --> 00:12:31.411
숫자 3은 3개의 단위의 집합이 되고,

00:12:31.411 --> 00:12:33.811
기타의 숫자들 역시 그렇습니다.

00:12:33.811 --> 00:12:37.002
현재 세 가지 시각이 제시되었는데요.

00:12:37.002 --> 00:12:38.808
프레게-러셀의 시각은

00:12:38.808 --> 00:12:42.193
숫자 2가 모든 쌍의
집합이라고 한 것이었고,

00:12:42.193 --> 00:12:44.043
폰 노이만의 시각은

00:12:44.043 --> 00:12:47.976
2는 0과 1이라는 원소를 포함한
집합이라고 한 것이었으며,

00:12:47.976 --> 00:12:51.601
칸토어의 시각은

00:12:51.601 --> 00:12:55.587
2는 2개의 
단위의 집합이라고 했습니다.

00:12:55.587 --> 00:13:00.843
프레게-러셀의 시각은 
괴물같은 문제를 만듭니다.

00:13:00.843 --> 00:13:02.949
그래서 우리가 취할 수 없죠.

00:13:02.949 --> 00:13:10.987
폰 노이만의 이론은 2가 모든 쌍에
존재하는 이유의 설명을 제대로 못해요.

00:13:10.987 --> 00:13:15.178
칸토어의 시각은 두가지 중의
어떤 문제점도 갖고 있지 않습니다.

00:13:15.178 --> 00:13:18.997
그 이유는 2라는 숫자가
단위로만 이뤄져 있기 때문입니다.

00:13:18.997 --> 00:13:21.932
2 자신이 포함되어 있지는 않거든요.

00:13:21.932 --> 00:13:25.097
또한, 추상적 개념의
과정에서 파생되기 때문에

00:13:25.097 --> 00:13:28.137
모든 쌍들에
공통적으로 포함되어 있습니다.

00:13:28.137 --> 00:13:33.637
더 엄밀히 말하자면,
각 쌍에 포함되어 있죠.

00:13:33.637 --> 00:13:37.732
칸토어 덕분에 우린 이제 숫자가 
무엇인지에 대해 더 잘 알게 됐어죠.

00:13:37.735 --> 00:13:39.244
감사합니다.

00:13:39.244 --> 00:13:40.090
(박수)