1
00:00:17,498 --> 00:00:20,677
숫자란 것은 이상합니다.

2
00:00:20,677 --> 00:00:22,925
물리적인 사물이 아닙니다.

3
00:00:22,925 --> 00:00:28,535
숫자 2에 부딛치거나
3에 걸려 넘어진 사람은 없죠.

4
00:00:28,535 --> 00:00:32,455
여러분의 괴짜 
수학 교수님이라고 해도 말이죠.

5
00:00:32,455 --> 00:00:35,974
숫자는 정신적인 사물도 아닙니다.

6
00:00:35,974 --> 00:00:39,231
상상 속의 사랑하는 이는
아무리 상상한다고 해도

7
00:00:39,231 --> 00:00:41,812
현실에서의 사랑하는 사람이
될 수 없습니다.

8
00:00:41,812 --> 00:00:47,095
숫자 3이라는 생각은
3이라는 생각 이상의 것은 아닙니다.

9
00:00:47,095 --> 00:00:50,718
숫자는 공간이나 시간 속에
존재하지도 않습니다.

10
00:00:50,718 --> 00:00:55,027
3이라는 숫자가 부엌의 찬장 안에
들어가 있지도 않을 것이고,

11
00:00:55,027 --> 00:00:57,340
숫자라는 것이 한때
존재하지 않았다거나,

12
00:00:57,340 --> 00:01:03,267
어느날 갑자기 자취를 감춰버릴 거라는
걱정은 할 필요가 없습니다.

13
00:01:03,267 --> 00:01:10,890
비록 숫자가 우리가 익숙한 생각과
주변의 사물들과는 거리가 멀지만,

14
00:01:10,892 --> 00:01:18,326
숫자들을 가지고 행동하기 때문에
이 세계와는 깊은 연관이 있습니다.

15
00:01:18,326 --> 00:01:22,423
우리는 숫자를 이용해서 계산을 하고,
단위를 측정하며,

16
00:01:22,423 --> 00:01:27,460
과학적 이론을 공식화합니다.

17
00:01:27,475 --> 00:01:31,213
이런 것들을 보면 숫자라는 것은
더욱 이상하게만 느껴집니다.

18
00:01:31,213 --> 00:01:35,897
우리가 익숙한 세계와는
동떨어져 있는 동시에

19
00:01:35,897 --> 00:01:40,415
너무나도 깊이 연관되어 있는
것일까요?

20
00:01:40,415 --> 00:01:45,952
이 강연을 통해 숫자의 본질을
세 개의 이론으로 정의해보겠습니다.

21
00:01:45,952 --> 00:01:49,881
그것들은 
수학자들과 철학자들에 의해

22
00:01:49,881 --> 00:01:56,680
19세기 말에서 20세기 초에
개발된 것들입니다.

23
00:01:56,680 --> 00:02:00,492
이 세 관점들의 전제는

24
00:02:00,492 --> 00:02:05,490
우리가 수로 세는 것들이
여러 집합들로 나눠진다는 겁니다.

25
00:02:05,490 --> 00:02:11,527
하나의 집합은 무엇이든간에
여러 물체를 하나로 여기는 겁니다.

26
00:02:11,527 --> 00:02:19,699
예를 들어, 당신이 어제 마신
맥주병이 몇 개 있다고 합시다.

27
00:02:19,699 --> 00:02:22,938
맥주병들를 이 괄호 안에 넣어

28
00:02:22,938 --> 00:02:25,672
병 여섯 개가
하나의 집합이라고 칩니다.

29
00:02:25,672 --> 00:02:33,392
또 여러분의 애완동물 두 마리
파이도와 필릭스를 집합 하나로 칩시다.

30
00:02:33,402 --> 00:02:38,203
아니면 자연수를 모두 통틀어
하나의 집합이라고 하죠.

31
00:02:38,203 --> 00:02:40,425
이 안에 모든 자연수가
들어있는 것이죠.

32
00:02:40,425 --> 00:02:44,245
0, 1, 2, 3, 4 등등이요.

33
00:02:44,245 --> 00:02:49,002
우리가 수를 셀 때 하나의 집합과
특정한 수를 연관시킵니다.

34
00:02:49,002 --> 00:02:52,256
이 맥주병들의 경우에는
6과 연관을 시킵니다.

35
00:02:52,256 --> 00:02:56,845
너무 취해서 숫자를 세는 게
어렵지 않다면요.

36
00:02:56,845 --> 00:03:00,061
애완동물들의 경우엔
2와 연관시키죠.

37
00:03:00,061 --> 00:03:04,667
자연수의 경우, 그 모든 숫자들을
하나의 집합 안에 넣는다면

38
00:03:04,667 --> 00:03:07,891
어떠한 무한수가 나오겠죠.

39
00:03:07,891 --> 00:03:12,098
숫자의 본질에 관해 말씀드릴
첫 번째 이론은

40
00:03:12,098 --> 00:03:16,682
두 명의 위대한 철학자와 수학자인
고틀로프 프레게와

41
00:03:16,682 --> 00:03:19,662
버트렌드 러셀에 의해
각각 세워졌습니다.

42
00:03:19,662 --> 00:03:23,730
이 두 학자들은
서로 상당히 달랐습니다.

43
00:03:23,730 --> 00:03:27,082
러셀은 영국의 귀족 출신이었고

44
00:03:27,082 --> 00:03:30,895
프레게는 독일의
중산층 집안 출신이었습니다.

45
00:03:30,895 --> 00:03:35,263
러셀은 단호한 자유주의자였고

46
00:03:35,263 --> 00:03:39,360
프레게는 안타깝게도
나치 찬양자였습니다.

47
00:03:39,360 --> 00:03:45,479
러셀에게는 네 명의 아내와
무수한 내연녀들이 있었습니다.

48
00:03:45,479 --> 00:03:47,760
프레게에게는 
단 한 명의 아내가 있었고,

49
00:03:47,760 --> 00:03:53,172
제가 알고 있는 바로는, 
행복하고 안정적인 결혼생활을 했습니다.

50
00:03:53,172 --> 00:03:55,816
이런 다른 점들에도 불구하고,

51
00:03:55,816 --> 00:03:59,379
그들은 숫자의 본질에 관해
거의 같은 관점을 가지고 있었습니다.

52
00:03:59,391 --> 00:04:00,709
그게 무엇이었을까요?

53
00:04:00,709 --> 00:04:04,094
숫자 2를 한번 예로 들어보겠습니다.

54
00:04:04,094 --> 00:04:09,122
한 집합이 둘로 구성되어 있을 때
2를 사용합니다.

55
00:04:09,124 --> 00:04:15,554
프레게와 러셀이 속해 있는
집합을 셀 때 쓰일 수 있거나

56
00:04:15,554 --> 00:04:23,208
여러분 애완동물의 한 쌍, 파이도와
필릭스가 속한 집합을 셀 수 있죠.

57
00:04:23,225 --> 00:04:27,272
또는 찰스 디킨스 소설 작품의
유명한 두 도시인

58
00:04:27,272 --> 00:04:29,480
런던과 파리를 셀 때도 쓸 수 있죠.

59
00:04:29,480 --> 00:04:32,478
런던이 꼭 먼저 와야한다고 봅니다.

60
00:04:32,478 --> 00:04:35,314
(웃음)

61
00:04:35,314 --> 00:04:42,952
러셀과 프레게는 이 여러 쌍들을
하나의 큰 집합 안에 포함시켰습니다.

62
00:04:42,952 --> 00:04:47,220
모든 쌍을 하나의 큰 집합 안에 넣으면
그게 바로 숫자 2가 되는 것입니다.

63
00:04:47,220 --> 00:04:50,228
여러 집합으로 이루어진
하나의 집합이 되는 것이죠.

64
00:04:50,228 --> 00:04:55,365
그리고 이 집합들은 2로 셀 수 있는
모든 쌍들로 이루어져 있는 겁니다.

65
00:04:55,365 --> 00:04:57,654
다른 숫자들도 마찬가지입니다.

66
00:04:57,654 --> 00:05:00,096
3이라는 숫자는 3개로 이루어진
모든 수의 집합이고,

67
00:05:00,096 --> 00:05:04,424
4라는 숫자는 4개로 이루어진
모든 수의 집합이고, 기타 등등이죠.

68
00:05:04,424 --> 00:05:08,022
단순하지만 훌륭한 이론입니다.

69
00:05:08,026 --> 00:05:12,594
하지만, 이에 대한
반론도 등장했습니다.

70
00:05:12,594 --> 00:05:15,526
이 반론을 직접 보여드릴 수는 없지만,

71
00:05:15,526 --> 00:05:19,843
어떻게 발생되었는지
대략적으로 설명드릴 수는 있습니다.

72
00:05:19,843 --> 00:05:24,828
아까 2라는 숫자는 모든 쌍들의
집합이라고 말씀드렸죠.

73
00:05:24,828 --> 00:05:27,248
그게 무엇이 되었든간에요.

74
00:05:27,248 --> 00:05:33,918
정확히 말하자면, 그 쌍들은
2라는 숫자를 포함하는 것들입니다.

75
00:05:33,918 --> 00:05:35,943
하나의 쌍을 예로 들어보겠습니다.

76
00:05:35,943 --> 00:05:39,787
숫자 2와 1을 포함한 한 쌍입니다.

77
00:05:39,787 --> 00:05:45,853
한 쌍으로 이루어진 1과 2는
이미 2라는 숫자 내에 있습니다.

78
00:05:45,853 --> 00:05:50,062
2라는 숫자 안에는
2 자신이 포함되어 있습니다.

79
00:05:50,062 --> 00:05:53,328
불가능해 보일 것 같죠.

80
00:05:53,328 --> 00:05:55,289
비유를 하나 해보겠습니다.

81
00:05:55,289 --> 00:06:00,292
굶주린 뱀이 자신의 꼬리를
물으려고 한다고 상상해봅시다.

82
00:06:00,292 --> 00:06:03,288
성공할 수도 있습니다.

83
00:06:03,288 --> 00:06:06,737
그린다고 해봤는데 잘 안 됐네요.

84
00:06:06,737 --> 00:06:09,315
보기엔 좀 그렇지만, 가능합니다.

85
00:06:09,315 --> 00:06:10,769
(웃음)

86
00:06:10,769 --> 00:06:14,202
그 뱀은 얼마나 배고픔에 굶주렸는지

87
00:06:14,202 --> 00:06:18,755
자기 자신을 통째로 먹어삼키려 합니다.

88
00:06:18,755 --> 00:06:20,675
이건 불가능한 일입니다.

89
00:06:20,675 --> 00:06:26,014
뱀이 자기 뱃속에
들어가는 것일테니까요.

90
00:06:26,014 --> 00:06:29,038
2라는 숫자가 바로 이런 경우입니다.

91
00:06:29,038 --> 00:06:36,302
보시다시피, 자신 안에
이미 포함되어 있는 숫자인 것이죠.

92
00:06:36,302 --> 00:06:39,111
이것을 어떻게 해결했을까요?

93
00:06:39,111 --> 00:06:44,614
수학자였던 존 폰 노이만은
훌륭한 해결책을 내놓았습니다.

94
00:06:44,614 --> 00:06:50,160
폰 노이만은 역사상 가장 다재다능한
수학자 중 한 명이었다고 할 수 있죠.

95
00:06:50,160 --> 00:06:55,235
그는 게임 이론과 현대의 컴퓨터를
발명하는 데 일조했습니다.

96
00:06:55,235 --> 00:06:58,459
그는 영재였으며

97
00:06:58,459 --> 00:07:01,464
정말 대단한 컴퓨터 기술을
가지고 있었습니다.

98
00:07:01,464 --> 00:07:04,581
그의 해결책은 무엇이었을까요?

99
00:07:04,581 --> 00:07:05,661
폰 노이만입니다.

100
00:07:05,661 --> 00:07:07,206
그는 말했습니다,

101
00:07:07,206 --> 00:07:13,051
"2라는 숫자를 모든 쌍의
집합으로 보기 보다는

102
00:07:13,051 --> 00:07:16,478
어떤 특정한 한 쌍으로 보자."

103
00:07:16,478 --> 00:07:18,553
그렇다면 어떤 쌍을 의미한 걸까요?

104
00:07:18,553 --> 00:07:24,043
2는 그 이전의 숫자들의 집합이
되어야 한다고 말했습니다.

105
00:07:24,043 --> 00:07:28,827
2 이전의 숫자는 0과 1이죠.

106
00:07:28,827 --> 00:07:34,831
우리는 2가 0과 1을 포함한
집합을 가리키게 합니다.

107
00:07:34,831 --> 00:07:37,984
그런데 아직 0과 1이라는
숫자들이 있습니다.

108
00:07:37,984 --> 00:07:42,752
0도 그 이전의 수들의 집합이지만

109
00:07:42,752 --> 00:07:45,866
0 전에는 수가 존재하지 않으므로
'공집합'이라고 합니다.

110
00:07:45,866 --> 00:07:48,103
원소를 하나도 포함하지 않은 집합이죠.

111
00:07:48,103 --> 00:07:52,778
1 이전의 숫자는 0 뿐입니다.

112
00:07:52,778 --> 00:07:57,268
그러므로 1이라는 집합의 원소는
0 밖에 없습니다.

113
00:07:57,275 --> 00:08:01,731
이제 2, 1, 0이라는
숫자들의 정의는 내려졌습니다.

114
00:08:01,731 --> 00:08:05,679
이 정의들을 토대로
집합이라는 것이 생기게 됩니다.

115
00:08:05,679 --> 00:08:10,110
2라는 숫자의 집합은
두 개의 원소로 구성되어 있는데,

116
00:08:10,110 --> 00:08:11,846
그것은 공집합인 0과

117
00:08:11,846 --> 00:08:17,353
단 하나뿐인 원소가
공집합인 1입니다.

118
00:08:17,359 --> 00:08:21,966
그리하여 폰 노이만에 의하면,
2라는 숫자는

119
00:08:21,966 --> 00:08:25,117
집합들로 이루어져 있습니다.

120
00:08:25,117 --> 00:08:27,205
집합입니다.

121
00:08:27,205 --> 00:08:31,183
아주 작은 수까지도 포함되죠.

122
00:08:31,183 --> 00:08:33,890
다른 모든 숫자들도 마찬가지입니다.

123
00:08:33,890 --> 00:08:38,249
3이라는 숫자는 더욱 복잡한 구조를
가지고 있습니다.

124
00:08:38,249 --> 00:08:42,954
프레게-러셀 이론이 많은 괴물들을
양산했다고 말씀드렸죠.

125
00:08:42,954 --> 00:08:47,840
하지만 더 이상 그런 
괴물들은 생기지 않았습니다.

126
00:08:47,840 --> 00:08:50,980
비록 2라는 숫자 안에는
다른 수도 포함되어 있지만,

127
00:08:50,980 --> 00:08:54,007
2 자신을 포함하지는 않기 때문에
괴물들은 천사로 바뀌었습니다.

128
00:08:54,007 --> 00:08:58,911
괴물이 항상 자신보다 작은 괴물들을
먹어치우는 것과 같습니다.

129
00:08:58,911 --> 00:09:00,781
자기 자신을 건드리지는 않는거죠.

130
00:09:00,781 --> 00:09:05,743
이 이론은 철학자들과 수학자들에게
대체적으로 인정받고 있습니다.

131
00:09:05,743 --> 00:09:08,819
하지만 이해하기 힘든 점도
있습니다.

132
00:09:08,819 --> 00:09:11,039
제게 가장 신경쓰이는 부분은

133
00:09:11,039 --> 00:09:14,340
2라는 숫자가 그리
특별하지 않다는 것입니다.

134
00:09:14,340 --> 00:09:20,048
2가 모든 쌍들에 공통적으로
존재하는 것이기를 바라지만,

135
00:09:20,048 --> 00:09:25,253
폰 노이만의 숫자 2는
많은 쌍 중에 하나일 뿐입니다.

136
00:09:25,253 --> 00:09:30,611
그리고 그 쌍이 다른 모든 쌍들에
공통적으로 존재하는 것이 아니므로

137
00:09:30,611 --> 00:09:34,387
2라는 숫자는 특별하지 않은 것입니다.

138
00:09:34,387 --> 00:09:37,200
많은 쌍들 중 한 쌍일 뿐이죠.

139
00:09:37,200 --> 00:09:44,758
이제 제가 가장 좋아하는
마지막 이론을 소개해드리겠습니다.

140
00:09:44,758 --> 00:09:49,742
오늘날의 철학자와 수학자들이

141
00:09:49,742 --> 00:09:52,634
대부분 묵살해버리는 이 이론은

142
00:09:52,634 --> 00:09:59,425
19세기 말에 게오르크 칸토어가
발전시킨 것입니다.

143
00:09:59,425 --> 00:10:04,815
칸토어는 다재다능한 사람이었습니다.

144
00:10:04,815 --> 00:10:08,464
뛰어난 바이올리니스트였고,

145
00:10:11,104 --> 00:10:16,260
종교와 문학을 아우르는
관심사를 가지고 있었습니다.

146
00:10:17,444 --> 00:10:21,651
하지만 그는 무한수의 이론으로
가장 잘 알려져 있습니다.

147
00:10:21,651 --> 00:10:25,540
칸토어는 유한수만을 세는 것에서
멈추지 않았습니다.

148
00:10:25,540 --> 00:10:29,200
여기 많은 분들이 계시지만,
그 수도 유한수에 속합니다.

149
00:10:29,200 --> 00:10:32,400
여기 계신 분들의 수나

150
00:10:32,400 --> 00:10:36,180
은하계에 존재하는 별의 수 같은
유한수 뿐 아니라

151
00:10:36,180 --> 00:10:39,403
무한한 수 역시 세려고 했습니다.

152
00:10:39,403 --> 00:10:45,452
존재하는 모든 자연수나
우주 내의 모든 점들까지 말이죠.

153
00:10:45,456 --> 00:10:51,358
그리고는 숫자에 관한
일반적인 이론을 세우려 했습니다.

154
00:10:51,358 --> 00:10:53,467
칸토어의 이론은 무엇이었을까요?

155
00:10:53,467 --> 00:10:55,816
2라는 숫자에 대해
다시 한번 생각해봅시다.

156
00:10:55,816 --> 00:11:00,249
파이도와 펠릭스를 예로 들게요.

157
00:11:00,259 --> 00:11:01,613
칸토어는 얘기했죠,

158
00:11:01,613 --> 00:11:08,205
"이 두 사물의 특징적인 점들을
모두 제거해 버립시다.

159
00:11:08,205 --> 00:11:11,699
둘을 구별할 수 있는 것들 모두."

160
00:11:11,699 --> 00:11:14,443
그리하여 털을 없애고

161
00:11:14,443 --> 00:11:18,267
피와 살도 제거합니다.

162
00:11:18,267 --> 00:11:22,062
두 개의 헐벗은 모습만 남았네요.

163
00:11:22,062 --> 00:11:25,479
구분지을 특성이 없는 이것을
칸토어는 하나의 단위라 정의했죠.

164
00:11:25,479 --> 00:11:28,207
이 자리에 동물애호가들이
없었으면 하네요.

165
00:11:28,207 --> 00:11:33,983
어쨌든, 칸토어는 이렇듯
동물을 하나의 단위로 봤습니다.

166
00:11:33,983 --> 00:11:36,205
이 단위라는 것은 무엇일까요?

167
00:11:36,205 --> 00:11:40,032
여러분 통장에 남은
2 달러를 예로 들어보겠습니다.

168
00:11:40,032 --> 00:11:43,497
테드 강연 입장료를 내고 나서도
그정도가 남았다면 좋겠네요.

169
00:11:43,497 --> 00:11:47,362
이 2 달러는 특별한 건 아니지만

170
00:11:47,362 --> 00:11:49,602
현금 인출기에서는

171
00:11:49,602 --> 00:11:52,753
특정한 2 달러로
반환받을 수 있습니다.

172
00:11:52,753 --> 00:11:55,009
그 자체로는 특별하지 않지만,

173
00:11:55,009 --> 00:11:57,653
특정한 2 달러로는
반환받을 수 있는 것이죠.

174
00:11:57,653 --> 00:11:59,700
이것이 칸토어가 말하는
단위와 비슷합니다.

175
00:11:59,700 --> 00:12:03,812
칸토어의 현금 인출기에서
이 단위를 반환받을 때는

176
00:12:03,812 --> 00:12:06,593
두 개를 무작위로 돌려받게 됩니다.

177
00:12:06,593 --> 00:12:09,641
제비뽑기와 다름이 없죠.

178
00:12:09,641 --> 00:12:12,145
칸토어의 생각은 이랬습니다:

179
00:12:12,145 --> 00:12:17,090
2라는 숫자로 이 두 단위의
집합이 되도록 하는 것입니다.

180
00:12:17,090 --> 00:12:19,230
이 두 단위는

181
00:12:19,230 --> 00:12:22,359
그 어떠한 두 물체로부터도
끌어올 수 있는데,

182
00:12:22,359 --> 00:12:26,892
숫자 2는 이 두 단위의
집합이 됩니다.

183
00:12:26,892 --> 00:12:29,018
다른 모든 숫자들도 마찬가지입니다.

184
00:12:29,018 --> 00:12:31,411
숫자 3은 3개의 단위의 집합이 되고,

185
00:12:31,411 --> 00:12:33,811
기타의 숫자들 역시 그렇습니다.

186
00:12:33,811 --> 00:12:37,002
현재 세 가지 시각이 제시되었는데요.

187
00:12:37,002 --> 00:12:38,808
프레게-러셀의 시각은

188
00:12:38,808 --> 00:12:42,193
숫자 2가 모든 쌍의
집합이라고 한 것이었고,

189
00:12:42,193 --> 00:12:44,043
폰 노이만의 시각은

190
00:12:44,043 --> 00:12:47,976
2는 0과 1이라는 원소를 포함한
집합이라고 한 것이었으며,

191
00:12:47,976 --> 00:12:51,601
칸토어의 시각은

192
00:12:51,601 --> 00:12:55,587
2는 2개의 
단위의 집합이라고 했습니다.

193
00:12:55,587 --> 00:13:00,843
프레게-러셀의 시각은 
괴물같은 문제를 만듭니다.

194
00:13:00,843 --> 00:13:02,949
그래서 우리가 취할 수 없죠.

195
00:13:02,949 --> 00:13:10,987
폰 노이만의 이론은 2가 모든 쌍에
존재하는 이유의 설명을 제대로 못해요.

196
00:13:10,987 --> 00:13:15,178
칸토어의 시각은 두가지 중의
어떤 문제점도 갖고 있지 않습니다.

197
00:13:15,178 --> 00:13:18,997
그 이유는 2라는 숫자가
단위로만 이뤄져 있기 때문입니다.

198
00:13:18,997 --> 00:13:21,932
2 자신이 포함되어 있지는 않거든요.

199
00:13:21,932 --> 00:13:25,097
또한, 추상적 개념의
과정에서 파생되기 때문에

200
00:13:25,097 --> 00:13:28,137
모든 쌍들에
공통적으로 포함되어 있습니다.

201
00:13:28,137 --> 00:13:33,637
더 엄밀히 말하자면,
각 쌍에 포함되어 있죠.

202
00:13:33,637 --> 00:13:37,732
칸토어 덕분에 우린 이제 숫자가 
무엇인지에 대해 더 잘 알게 됐어죠.

203
00:13:37,735 --> 00:13:39,244
감사합니다.

204
00:13:39,244 --> 00:13:40,090
(박수)