Integrais triplas 1

Introduction to the triple integral

Digamos que eu quero encontrar o volume de um cubo, onde os

valores do cubo-- x está entre-- x é maior

que ou igual a 0, é menor que ou igual a,

sei lá, 3.

Digamos que y é maior ou igual a 0, e é

menor ou igual a 4.

E digamos que z é maior que ou igual a 0 e

é menor que ou igual a 2.

E eu sei, usando geometria básica você pode descobrir--

você sabe, simplesmente fazer o produto da largura pela altura pela

profundidade e você consegue o volume.

Mas eu quero fazer este exemplo, apenas para você se acostumar com

o que uma integral tripla parece, como ela se relaciona com uma

integral dupla, e depois neste vídeo nós poderemos fazer

algo um pouco mais complicado.

Então vamos apenas desenhar o volume.

Então esse é meu eixo x, esse é meu eixo z e este é o y.

x, y, z.

Ok.

Então, x está entre 0 e 3.

Então isso é x igual a 0.

Este é x igual a-- vejamos, 1, 2, 3.

y está entre 0 e 4.

1, 2, 3, 4.

Então o plano x-y deverá ser parecido com isso.

A base do nosso cubo deve parecer com isso.

E z está entre 0 e 2.

Então 0 é o plano x-y, e então 1, 2.

Então este deve ser o topo.

E talvez eu farei isso numa cor levemente diferente.

Ao longo do eixo x-z.

Você tem um limite aqui, e então ele deve

ficar mais ou menos assim.

Você tem um limite aqui, que fica assim.

Um limite aqui.

Então nós queremos descobrir o volume deste cubo.

E você pode fazê-lo.

Você pode dizer, bem, a profundidade é 3, a base, a largura é 4,

então a área é 12 vezes a altura.

12 vezes 2 é 24.

Você pode dizer que são 24 unidades cúbicas, ou seja lá

qual unidades nós estamos usando.

Mas vamos usar uma integral tripla.

Então o que uma integral tripla significa?

Bem, o que nós podemos fazer é tirar o volume de uma bem

pequena-- eu não quero dizer área-- de um volume bem pequeno.

Então digamos que eu quero tirar o volume de um cubo minúsculo.

Algum lugar neste volume em questão.

E começará a fazer mais sentido, ou começará a ser bem

mais útil, quando tivermos limites variáveis e

superfícies e curvas como limites.

Mas vamos dizer que queremos descobrir o volume deste

pequeno cubo aqui.

Esse é meu cubo.

Está em algum lugar do cubo maior, este retangulo maior,

retângulo cúbico, ou seja lá como você queira chamá-lo.

Então qual o volume desse cubo?

Vamos dizer que sua largura é dy.

Então este comprimento aqui é dy

A altura é dx.

Perdão, não, a altura é dz, certo?

A forma como desenhei, z é de cima pra baixo.

E a profundidade é dx.

Isso é dx.

Isso é dz.

Isso é dy.

Então você pode dizer que o pequeno volume em relação a este grande

volume-- você pode chamá-lo de dv, o que é algo como um

volume diferencial.

E isso poderia ser igual a, você sabe, apenas

a largura vezes o comprimento vezes a aultura.

dx vezes dy vezes dz.

E você pode mudar a ordem deles, certo?

Porque a multiplicação é associativa, e a ordem

não tem importancia alguma.

Mas de qualquer forma, o que você pode fazer com isso aqui?

Bem, nós podemos tirar a integral.

Integrais servem para nos ajudar a tirar somas infinitas de

distancias infinitamente pequenas, como um dz, ou um dx, ou

um dy, et cetera.

Então, o que podemos fazer é pegarmos este cubo e

antes, multiplicá-lo, digamos, na direção z.

Então nós podemos pegar este cubo e multiplicá-lo ao longo do eixo

que vai de cima até embaixo-- o eixo z-- então nós obtemos o

volume de uma coluna.

Então como isso iria parecer?

Bem, como estamos indo pra cima e pra baixo, nós estamos multiplicando-- estamos

tirando a soma na direção z.

Nòs temos uma integral.

Então qual o menor valor de z?

Bem, é z igual a 0.

E qual o limite superior?

Continue adicionando estes cubos, e

continue indo pra cima, você acaba no limite suerior.

E qual o limite superior?

É z igual a 2.

E, claro, você deve ter a soma desses dv's.

E eu escreverei dz ates.

Apenas para lembrar que nós iremos

tirar a integral relacionada a z antes.

Digamos então que faremos y em seguida.

E então faremos x.

Então esta integral, este valor, como eu escrevi, irá

descobrir o volume de uma coluna dado algum x e algum y.

Estará em função de x e y, porém como estamos lidando com

todos constantes aqui, será um

valor constante.

Será o valor constante do volume de uma

dessas colunas.

Então, essecialmente, será 2 vezes dy dx.

Porque a altura de uma coluna dessas é 2,

então sua largura e profundidade são dy e dx.

Então se nós queremos descobrir o volume total-- o que

nós acabamos de fazer é descobrir o valor da altura de uma coluna.

Então nós podemos pegar essas colunas e multiplicá-las

na direção y.

Então se nós estamos multiplicando na direção y, nós podemos simplesmente tirar

outra integral dessa soma na direção y.

E y vai de 0 até onde? y vai de 0 até 4.

Eu escrevi esta integral um pouco demais para a

esquerda, ficou estranho.

Mas acho que você entendeu.

y igual a 0, y igual a 4.

E então isso irá nos dar o volume de uma folha que é

paralela ao plano zy.

E então tudo que nos resta fazer é adicionar outras dessa

folha na direção x, e nós temos o volume

da nossa figura inteira.

Então para somar estas folhas novas, devemos multiplicar

na direção x.

E nós vamos de x igual a 0 até x igual a 3.

E resolver isso é bastante

intuitivo.

Então, primeiro nós tiraremos a integral relacionada a z.

Bem, nós não temos nada escrito aqui, mas nós

podemos assumir que tem um 1, certo?

Porque dz vezes dy vezes dx é o mesmo de

1vezes dz vezes dy dx.

Então qual o valor dessa integral?

Bem, a primitiva de 1 em relação a

z é apenas z, certo?

Porque a derivada de z é 1.

E você resolve isso de 2 até 0.

Então você fica com-- então é 2 menos 0.

Então você fica com 2.

Então você fica com 2, e você tira a integral disso de

y igual a 0, até y igual a 4 dy, e então

você tem o x.

De x igual a 0, até x igual a 3 dx.

E perceba, quando nós tiramos a integral em relação a

z, nós ficamos com uma integral dupla.

E essa integral dupla é exatamente a mesma que nós teríamos

feito nos vídeos anteriores de integral dupla, onde você

teria apenas dito, bem, z é uma função de x e y.

Então você podia ter escrito, sabe, z é uma função de x

e y, é sempre igual a 2.

Uma função constante.

É independente de x e y.

Mas se você tivesse definido z desta forma, e você quisesse

descobrir o volume debaixo dessa superfície, onde a superfície

é z igual a 2-- sabe, isso é uma superfície, é z

igual a 2-- nós acabariamos chegando em algo assim.

Então veja que o que estamos fazendo com integrais

triplas, é realmente, realmente nada diferente.

E você deve estar se perguntando, bem, por que nós

estamos fazendo isso afinal?

E eu irei te mostrar isso num segundo.

Mas enfim, para responder isso, você tira a

primitiva disso em relação a y, você tem 2y-- deixe

eu abaixar um pouco.

Você obtem 2y, entre 4 e 0.

E então, você fica com 2 vezes 4.

Então é 8 menos 0.

E então você integra isso em relação

a x de 0 até 3.

Então é 8x de 0 até 3.

E isso é igual a 24 unidades cúbicas.

Então eu sei que a pergunta óbvia é: Para que isso é útil?

Bem, quando você tem um tipo de valor constante

no volume, você está certo,

Você pode tirar apenas uma integral dupla.

Mas e se eu te dissesse que nosso objetivo não é descobrir

o volume dessa figura.

Nosso objetivo é obter a massa desta figura.

Ou mais, este volume-- esta área do espaço ou

enfim-- a massa não é uniforme.

Se a massa fosse uniforme, você poderia apenas multiplicar a sua densidade

uniforme pelo volume, e você teria a massa.

Mas digamos que a densidade muda.

Pode ser o volume de algum gás ou pode ser até um

material com diversos componentes nele.

Então digamos que sua densidade é uma função variável

de x, y e z.

Então vamos dizer que a densidade-- esta linha, essa coisa que parece

um p é o que você normalmente usa na física para desidade-- então

sua densidade é uma função de x, y e z.

Vamos-- apenas para deixar simples-- vamos fazer

x vezes y vezes z.

Se nós quiséssemos descobrir a massa de qualquer volume pequeno, ele

seria esse volume vezes a densidade, certo?

Porque a densidade-- as unidades de densidade são como quilogramas

por metro cúbico.

Então se você multiplica ele por um metro cúbico, você consegue quilogramas.

Então nós podemos dizer que a massa-- bem, eu farei uma notação, d

masa-- isso não é uma função.

Bem, não quero escrever isso em parênteses, porque isso

faz parecer uma função.

Então, uma massa muito diferencial, ou uma massa muito pequena, irá ser

igual à densidade nesse ponto, que deverá ser xyz,

vezes o volume dessa massa minúscula.

E o volume dessa pequena massa nós podemos escrever como dv.

E nós sabemos que dv é a mesma coisa que a largura vezes

a altura vezes a profundidade.

dv nem sempre deve ser dx vezes dy vezes dz.

Se nós fizermos outras coordenadas, se usarmos

coordenadas polares, isso pode ser algo um pouco diferente.

E nós eventualmente faremos isso.

Mas se nós queremos descobrir a massa, como estamos usando

coordenadas retangulares, ela deverá ser a função densidade

nesse ponto vezes nosso volume diferencial.

Então vezes dx dy dz.

E, claro, nós podemos mudar a ordem aqui.

Então quando você descobrir o volume-- quando você quiser

descobrir a massa-- que eu farei no próximo vídeo, nós

essencialmente devemos integrar a função.

Diferente de simplesmente 1 sobre z, y e x.

E eu farei isso no próximo vídeo.

E você verá que esse processo é basicamente tirar um monte de

primitivas triviais e tomar cuidado com erros bobos.

Nos vemos no próximo vídeo.