Digamos que eu quero encontrar o volume de um cubo, onde os
valores do cubo-- x está entre-- x é maior
que ou igual a 0, é menor que ou igual a,
sei lá, 3.
Digamos que y é maior ou igual a 0, e é
menor ou igual a 4.
E digamos que z é maior que ou igual a 0 e
é menor que ou igual a 2.
E eu sei, usando geometria básica você pode descobrir--
você sabe, simplesmente fazer o produto da largura pela altura pela
profundidade e você consegue o volume.
Mas eu quero fazer este exemplo, apenas para você se acostumar com
o que uma integral tripla parece, como ela se relaciona com uma
integral dupla, e depois neste vídeo nós poderemos fazer
algo um pouco mais complicado.
Então vamos apenas desenhar o volume.
Então esse é meu eixo x, esse é meu eixo z e este é o y.
x, y, z.
Ok.
Então, x está entre 0 e 3.
Então isso é x igual a 0.
Este é x igual a-- vejamos, 1, 2, 3.
y está entre 0 e 4.
1, 2, 3, 4.
Então o plano x-y deverá ser parecido com isso.
A base do nosso cubo deve parecer com isso.
E z está entre 0 e 2.
Então 0 é o plano x-y, e então 1, 2.
Então este deve ser o topo.
E talvez eu farei isso numa cor levemente diferente.
Ao longo do eixo x-z.
Você tem um limite aqui, e então ele deve
ficar mais ou menos assim.
Você tem um limite aqui, que fica assim.
Um limite aqui.
Então nós queremos descobrir o volume deste cubo.
E você pode fazê-lo.
Você pode dizer, bem, a profundidade é 3, a base, a largura é 4,
então a área é 12 vezes a altura.
12 vezes 2 é 24.
Você pode dizer que são 24 unidades cúbicas, ou seja lá
qual unidades nós estamos usando.
Mas vamos usar uma integral tripla.
Então o que uma integral tripla significa?
Bem, o que nós podemos fazer é tirar o volume de uma bem
pequena-- eu não quero dizer área-- de um volume bem pequeno.
Então digamos que eu quero tirar o volume de um cubo minúsculo.
Algum lugar neste volume em questão.
E começará a fazer mais sentido, ou começará a ser bem
mais útil, quando tivermos limites variáveis e
superfícies e curvas como limites.
Mas vamos dizer que queremos descobrir o volume deste
pequeno cubo aqui.
Esse é meu cubo.
Está em algum lugar do cubo maior, este retangulo maior,
retângulo cúbico, ou seja lá como você queira chamá-lo.
Então qual o volume desse cubo?
Vamos dizer que sua largura é dy.
Então este comprimento aqui é dy
A altura é dx.
Perdão, não, a altura é dz, certo?
A forma como desenhei, z é de cima pra baixo.
E a profundidade é dx.
Isso é dx.
Isso é dz.
Isso é dy.
Então você pode dizer que o pequeno volume em relação a este grande
volume-- você pode chamá-lo de dv, o que é algo como um
volume diferencial.
E isso poderia ser igual a, você sabe, apenas
a largura vezes o comprimento vezes a aultura.
dx vezes dy vezes dz.
E você pode mudar a ordem deles, certo?
Porque a multiplicação é associativa, e a ordem
não tem importancia alguma.
Mas de qualquer forma, o que você pode fazer com isso aqui?
Bem, nós podemos tirar a integral.
Integrais servem para nos ajudar a tirar somas infinitas de
distancias infinitamente pequenas, como um dz, ou um dx, ou
um dy, et cetera.
Então, o que podemos fazer é pegarmos este cubo e
antes, multiplicá-lo, digamos, na direção z.
Então nós podemos pegar este cubo e multiplicá-lo ao longo do eixo
que vai de cima até embaixo-- o eixo z-- então nós obtemos o
volume de uma coluna.
Então como isso iria parecer?
Bem, como estamos indo pra cima e pra baixo, nós estamos multiplicando-- estamos
tirando a soma na direção z.
Nòs temos uma integral.
Então qual o menor valor de z?
Bem, é z igual a 0.
E qual o limite superior?
Continue adicionando estes cubos, e
continue indo pra cima, você acaba no limite suerior.
E qual o limite superior?
É z igual a 2.
E, claro, você deve ter a soma desses dv's.
E eu escreverei dz ates.
Apenas para lembrar que nós iremos
tirar a integral relacionada a z antes.
Digamos então que faremos y em seguida.
E então faremos x.
Então esta integral, este valor, como eu escrevi, irá
descobrir o volume de uma coluna dado algum x e algum y.
Estará em função de x e y, porém como estamos lidando com
todos constantes aqui, será um
valor constante.
Será o valor constante do volume de uma
dessas colunas.
Então, essecialmente, será 2 vezes dy dx.
Porque a altura de uma coluna dessas é 2,
então sua largura e profundidade são dy e dx.
Então se nós queremos descobrir o volume total-- o que
nós acabamos de fazer é descobrir o valor da altura de uma coluna.
Então nós podemos pegar essas colunas e multiplicá-las
na direção y.
Então se nós estamos multiplicando na direção y, nós podemos simplesmente tirar
outra integral dessa soma na direção y.
E y vai de 0 até onde? y vai de 0 até 4.
Eu escrevi esta integral um pouco demais para a
esquerda, ficou estranho.
Mas acho que você entendeu.
y igual a 0, y igual a 4.
E então isso irá nos dar o volume de uma folha que é
paralela ao plano zy.
E então tudo que nos resta fazer é adicionar outras dessa
folha na direção x, e nós temos o volume
da nossa figura inteira.
Então para somar estas folhas novas, devemos multiplicar
na direção x.
E nós vamos de x igual a 0 até x igual a 3.
E resolver isso é bastante
intuitivo.
Então, primeiro nós tiraremos a integral relacionada a z.
Bem, nós não temos nada escrito aqui, mas nós
podemos assumir que tem um 1, certo?
Porque dz vezes dy vezes dx é o mesmo de
1vezes dz vezes dy dx.
Então qual o valor dessa integral?
Bem, a primitiva de 1 em relação a
z é apenas z, certo?
Porque a derivada de z é 1.
E você resolve isso de 2 até 0.
Então você fica com-- então é 2 menos 0.
Então você fica com 2.
Então você fica com 2, e você tira a integral disso de
y igual a 0, até y igual a 4 dy, e então
você tem o x.
De x igual a 0, até x igual a 3 dx.
E perceba, quando nós tiramos a integral em relação a
z, nós ficamos com uma integral dupla.
E essa integral dupla é exatamente a mesma que nós teríamos
feito nos vídeos anteriores de integral dupla, onde você
teria apenas dito, bem, z é uma função de x e y.
Então você podia ter escrito, sabe, z é uma função de x
e y, é sempre igual a 2.
Uma função constante.
É independente de x e y.
Mas se você tivesse definido z desta forma, e você quisesse
descobrir o volume debaixo dessa superfície, onde a superfície
é z igual a 2-- sabe, isso é uma superfície, é z
igual a 2-- nós acabariamos chegando em algo assim.
Então veja que o que estamos fazendo com integrais
triplas, é realmente, realmente nada diferente.
E você deve estar se perguntando, bem, por que nós
estamos fazendo isso afinal?
E eu irei te mostrar isso num segundo.
Mas enfim, para responder isso, você tira a
primitiva disso em relação a y, você tem 2y-- deixe
eu abaixar um pouco.
Você obtem 2y, entre 4 e 0.
E então, você fica com 2 vezes 4.
Então é 8 menos 0.
E então você integra isso em relação
a x de 0 até 3.
Então é 8x de 0 até 3.
E isso é igual a 24 unidades cúbicas.
Então eu sei que a pergunta óbvia é: Para que isso é útil?
Bem, quando você tem um tipo de valor constante
no volume, você está certo,
Você pode tirar apenas uma integral dupla.
Mas e se eu te dissesse que nosso objetivo não é descobrir
o volume dessa figura.
Nosso objetivo é obter a massa desta figura.
Ou mais, este volume-- esta área do espaço ou
enfim-- a massa não é uniforme.
Se a massa fosse uniforme, você poderia apenas multiplicar a sua densidade
uniforme pelo volume, e você teria a massa.
Mas digamos que a densidade muda.
Pode ser o volume de algum gás ou pode ser até um
material com diversos componentes nele.
Então digamos que sua densidade é uma função variável
de x, y e z.
Então vamos dizer que a densidade-- esta linha, essa coisa que parece
um p é o que você normalmente usa na física para desidade-- então
sua densidade é uma função de x, y e z.
Vamos-- apenas para deixar simples-- vamos fazer
x vezes y vezes z.
Se nós quiséssemos descobrir a massa de qualquer volume pequeno, ele
seria esse volume vezes a densidade, certo?
Porque a densidade-- as unidades de densidade são como quilogramas
por metro cúbico.
Então se você multiplica ele por um metro cúbico, você consegue quilogramas.
Então nós podemos dizer que a massa-- bem, eu farei uma notação, d
masa-- isso não é uma função.
Bem, não quero escrever isso em parênteses, porque isso
faz parecer uma função.
Então, uma massa muito diferencial, ou uma massa muito pequena, irá ser
igual à densidade nesse ponto, que deverá ser xyz,
vezes o volume dessa massa minúscula.
E o volume dessa pequena massa nós podemos escrever como dv.
E nós sabemos que dv é a mesma coisa que a largura vezes
a altura vezes a profundidade.
dv nem sempre deve ser dx vezes dy vezes dz.
Se nós fizermos outras coordenadas, se usarmos
coordenadas polares, isso pode ser algo um pouco diferente.
E nós eventualmente faremos isso.
Mas se nós queremos descobrir a massa, como estamos usando
coordenadas retangulares, ela deverá ser a função densidade
nesse ponto vezes nosso volume diferencial.
Então vezes dx dy dz.
E, claro, nós podemos mudar a ordem aqui.
Então quando você descobrir o volume-- quando você quiser
descobrir a massa-- que eu farei no próximo vídeo, nós
essencialmente devemos integrar a função.
Diferente de simplesmente 1 sobre z, y e x.
E eu farei isso no próximo vídeo.
E você verá que esse processo é basicamente tirar um monte de
primitivas triviais e tomar cuidado com erros bobos.
Nos vemos no próximo vídeo.