1
00:00:00,740 --> 00:00:04,160
Digamos que eu quero encontrar o volume de um cubo, onde os

2
00:00:04,160 --> 00:00:07,150
valores do cubo-- x está entre-- x é maior

3
00:00:07,150 --> 00:00:10,350
que ou igual a 0, é menor que ou igual a,

4
00:00:10,350 --> 00:00:11,780
sei lá, 3.

5
00:00:11,780 --> 00:00:14,600
Digamos que y é maior ou igual a 0, e é

6
00:00:14,600 --> 00:00:17,000
menor ou igual a 4.

7
00:00:17,000 --> 00:00:21,270
E digamos que z é maior que ou igual a 0 e

8
00:00:21,270 --> 00:00:23,055
é menor que ou igual a 2.

9
00:00:23,055 --> 00:00:26,650
E eu sei, usando geometria básica você pode descobrir--

10
00:00:26,650 --> 00:00:30,370
você sabe, simplesmente fazer o produto da largura pela altura pela

11
00:00:30,370 --> 00:00:31,340
profundidade e você consegue o volume.

12
00:00:31,340 --> 00:00:34,280
Mas eu quero fazer este exemplo, apenas para você se acostumar com

13
00:00:34,280 --> 00:00:36,700
o que uma integral tripla parece, como ela se relaciona com uma

14
00:00:36,700 --> 00:00:39,180
integral dupla, e depois neste vídeo nós poderemos fazer

15
00:00:39,180 --> 00:00:40,290
algo um pouco mais complicado.

16
00:00:40,290 --> 00:00:44,040
Então vamos apenas desenhar o volume.

17
00:00:44,040 --> 00:00:51,780
Então esse é meu eixo x, esse é meu eixo z e este é o y.

18
00:00:54,330 --> 00:00:55,795
x, y, z.

19
00:00:59,600 --> 00:01:00,080
Ok.

20
00:01:00,080 --> 00:01:01,910
Então, x está entre 0 e 3.

21
00:01:01,910 --> 00:01:03,070
Então isso é x igual a 0.

22
00:01:03,070 --> 00:01:09,120
Este é x igual a-- vejamos, 1, 2, 3.

23
00:01:09,120 --> 00:01:10,570
y está entre 0 e 4.

24
00:01:10,570 --> 00:01:13,180
1, 2, 3, 4.

25
00:01:13,180 --> 00:01:15,450
Então o plano x-y deverá ser parecido com isso.

26
00:01:15,450 --> 00:01:20,520
A base do nosso cubo deve parecer com isso.

27
00:01:20,520 --> 00:01:21,770
E z está entre 0 e 2.

28
00:01:21,770 --> 00:01:25,350
Então 0 é o plano x-y, e então 1, 2.

29
00:01:25,350 --> 00:01:27,130
Então este deve ser o topo.

30
00:01:27,130 --> 00:01:30,600
E talvez eu farei isso numa cor levemente diferente.

31
00:01:30,600 --> 00:01:34,520
Ao longo do eixo x-z.

32
00:01:34,520 --> 00:01:36,360
Você tem um limite aqui, e então ele deve

33
00:01:36,360 --> 00:01:38,316
ficar mais ou menos assim.

34
00:01:38,316 --> 00:01:41,850
Você tem um limite aqui, que fica assim.

35
00:01:41,850 --> 00:01:43,810
Um limite aqui.

36
00:01:43,810 --> 00:01:45,600
Então nós queremos descobrir o volume deste cubo.

37
00:01:45,600 --> 00:01:46,370
E você pode fazê-lo.

38
00:01:46,370 --> 00:01:51,540
Você pode dizer, bem, a profundidade é 3, a base, a largura é 4,

39
00:01:51,540 --> 00:01:53,920
então a área é 12 vezes a altura.

40
00:01:53,920 --> 00:01:55,170
12 vezes 2 é 24.

41
00:01:55,170 --> 00:01:58,980
Você pode dizer que são 24 unidades cúbicas, ou seja lá

42
00:01:58,980 --> 00:01:59,630
qual unidades nós estamos usando.

43
00:01:59,630 --> 00:02:01,990
Mas vamos usar uma integral tripla.

44
00:02:01,990 --> 00:02:03,640
Então o que uma integral tripla significa?

45
00:02:03,640 --> 00:02:07,110
Bem, o que nós podemos fazer é tirar o volume de uma bem

46
00:02:07,110 --> 00:02:10,670
pequena-- eu não quero dizer área-- de um volume bem pequeno.

47
00:02:10,670 --> 00:02:14,770
Então digamos que eu quero tirar o volume de um cubo minúsculo.

48
00:02:14,770 --> 00:02:17,810
Algum lugar neste volume em questão.

49
00:02:17,810 --> 00:02:20,160
E começará a fazer mais sentido, ou começará a ser bem

50
00:02:20,160 --> 00:02:22,860
mais útil, quando tivermos limites variáveis e

51
00:02:22,860 --> 00:02:25,050
superfícies e curvas como limites.

52
00:02:25,050 --> 00:02:26,840
Mas vamos dizer que queremos descobrir o volume deste

53
00:02:26,840 --> 00:02:29,780
pequeno cubo aqui.

54
00:02:29,780 --> 00:02:30,590
Esse é meu cubo.

55
00:02:30,590 --> 00:02:33,630
Está em algum lugar do cubo maior, este retangulo maior,

56
00:02:33,630 --> 00:02:35,460
retângulo cúbico, ou seja lá como você queira chamá-lo.

57
00:02:35,460 --> 00:02:36,540
Então qual o volume desse cubo?

58
00:02:36,540 --> 00:02:38,930
Vamos dizer que sua largura é dy.

59
00:02:42,320 --> 00:02:44,010
Então este comprimento aqui é dy

60
00:02:44,010 --> 00:02:46,810
A altura é dx.

61
00:02:46,810 --> 00:02:49,660
Perdão, não, a altura é dz, certo?

62
00:02:49,660 --> 00:02:51,840
A forma como desenhei, z é de cima pra baixo.

63
00:02:51,840 --> 00:02:53,860
E a profundidade é dx.

64
00:02:53,860 --> 00:02:55,940
Isso é dx.

65
00:02:55,940 --> 00:02:56,750
Isso é dz.

66
00:02:56,750 --> 00:02:57,720
Isso é dy.

67
00:02:57,720 --> 00:03:01,260
Então você pode dizer que o pequeno volume em relação a este grande

68
00:03:01,260 --> 00:03:04,830
volume-- você pode chamá-lo de dv, o que é algo como um

69
00:03:04,830 --> 00:03:06,750
volume diferencial.

70
00:03:06,750 --> 00:03:10,290
E isso poderia ser igual a, você sabe, apenas

71
00:03:10,290 --> 00:03:13,990
a largura vezes o comprimento vezes a aultura.

72
00:03:13,990 --> 00:03:15,950
dx vezes dy vezes dz.

73
00:03:15,950 --> 00:03:17,760
E você pode mudar a ordem deles, certo?

74
00:03:17,760 --> 00:03:21,010
Porque a multiplicação é associativa, e a ordem

75
00:03:21,010 --> 00:03:22,920
não tem importancia alguma.

76
00:03:22,920 --> 00:03:24,540
Mas de qualquer forma, o que você pode fazer com isso aqui?

77
00:03:24,540 --> 00:03:27,290
Bem, nós podemos tirar a integral.

78
00:03:27,290 --> 00:03:32,520
Integrais servem para nos ajudar a tirar somas infinitas de

79
00:03:32,520 --> 00:03:36,080
distancias infinitamente pequenas, como um dz, ou um dx, ou

80
00:03:36,080 --> 00:03:38,240
um dy, et cetera.

81
00:03:38,240 --> 00:03:41,620
Então, o que podemos fazer é pegarmos este cubo e

82
00:03:41,620 --> 00:03:44,110
antes, multiplicá-lo, digamos, na direção z.

83
00:03:44,110 --> 00:03:48,330
Então nós podemos pegar este cubo e multiplicá-lo ao longo do eixo

84
00:03:48,330 --> 00:03:51,230
que vai de cima até embaixo-- o eixo z-- então nós obtemos o

85
00:03:51,230 --> 00:03:52,410
volume de uma coluna.

86
00:03:52,410 --> 00:03:54,550
Então como isso iria parecer?

87
00:03:54,550 --> 00:03:56,930
Bem, como estamos indo pra cima e pra baixo, nós estamos multiplicando-- estamos

88
00:03:56,930 --> 00:04:00,670
tirando a soma na direção z.

89
00:04:00,670 --> 00:04:02,610
Nòs temos uma integral.

90
00:04:02,610 --> 00:04:04,655
Então qual o menor valor de z?

91
00:04:04,655 --> 00:04:08,310
Bem, é z igual a 0.

92
00:04:08,310 --> 00:04:09,280
E qual o limite superior?

93
00:04:09,280 --> 00:04:12,070
Continue adicionando estes cubos, e

94
00:04:12,070 --> 00:04:14,190
continue indo pra cima, você acaba no limite suerior.

95
00:04:14,190 --> 00:04:14,770
E qual o limite superior?

96
00:04:14,770 --> 00:04:16,100
É z igual a 2.

97
00:04:20,580 --> 00:04:25,010
E, claro, você deve ter a soma desses dv's.

98
00:04:25,010 --> 00:04:26,130
E eu escreverei dz ates.

99
00:04:26,130 --> 00:04:28,170
Apenas para lembrar que nós iremos

100
00:04:28,170 --> 00:04:30,430
tirar a integral relacionada a z antes.

101
00:04:30,430 --> 00:04:32,010
Digamos então que faremos y em seguida.

102
00:04:32,010 --> 00:04:34,200
E então faremos x.

103
00:04:34,200 --> 00:04:37,430
Então esta integral, este valor, como eu escrevi, irá

104
00:04:37,430 --> 00:04:42,020
descobrir o volume de uma coluna dado algum x e algum y.

105
00:04:42,020 --> 00:04:45,240
Estará em função de x e y, porém como estamos lidando com

106
00:04:45,240 --> 00:04:47,130
todos constantes aqui, será um

107
00:04:47,130 --> 00:04:48,600
valor constante.

108
00:04:48,600 --> 00:04:52,160
Será o valor constante do volume de uma

109
00:04:52,160 --> 00:04:53,890
dessas colunas.

110
00:04:53,890 --> 00:04:56,580
Então, essecialmente, será 2 vezes dy dx.

111
00:04:56,580 --> 00:04:59,330
Porque a altura de uma coluna dessas é 2,

112
00:04:59,330 --> 00:05:03,710
então sua largura e profundidade são dy e dx.

113
00:05:03,710 --> 00:05:06,570
Então se nós queremos descobrir o volume total-- o que

114
00:05:06,570 --> 00:05:09,270
nós acabamos de fazer é descobrir o valor da altura de uma coluna.

115
00:05:09,270 --> 00:05:11,300
Então nós podemos pegar essas colunas e multiplicá-las

116
00:05:11,300 --> 00:05:13,730
na direção y.

117
00:05:13,730 --> 00:05:15,710
Então se nós estamos multiplicando na direção y, nós podemos simplesmente tirar

118
00:05:15,710 --> 00:05:20,340
outra integral dessa soma na direção y.

119
00:05:20,340 --> 00:05:25,650
E y vai de 0 até onde? y vai de 0 até 4.

120
00:05:25,650 --> 00:05:27,180
Eu escrevi esta integral um pouco demais para a

121
00:05:27,180 --> 00:05:28,300
esquerda, ficou estranho.

122
00:05:28,300 --> 00:05:31,000
Mas acho que você entendeu.

123
00:05:31,000 --> 00:05:33,390
y igual a 0, y igual a 4.

124
00:05:33,390 --> 00:05:37,420
E então isso irá nos dar o volume de uma folha que é

125
00:05:37,420 --> 00:05:40,290
paralela ao plano zy.

126
00:05:40,290 --> 00:05:44,250
E então tudo que nos resta fazer é adicionar outras dessa

127
00:05:44,250 --> 00:05:46,570
folha na direção x, e nós temos o volume

128
00:05:46,570 --> 00:05:48,210
da nossa figura inteira.

129
00:05:48,210 --> 00:05:50,190
Então para somar estas folhas novas, devemos multiplicar

130
00:05:50,190 --> 00:05:51,750
na direção x.

131
00:05:51,750 --> 00:05:57,060
E nós vamos de x igual a 0 até x igual a 3.

132
00:05:57,060 --> 00:05:58,660
E resolver isso é bastante

133
00:05:58,660 --> 00:05:59,690
intuitivo.

134
00:05:59,690 --> 00:06:03,020
Então, primeiro nós tiraremos a integral relacionada a z.

135
00:06:03,020 --> 00:06:05,090
Bem, nós não temos nada escrito aqui, mas nós

136
00:06:05,090 --> 00:06:06,740
podemos assumir que tem um 1, certo?

137
00:06:06,740 --> 00:06:10,160
Porque dz vezes dy vezes dx é o mesmo de

138
00:06:10,160 --> 00:06:12,940
1vezes dz vezes dy dx.

139
00:06:12,940 --> 00:06:15,500
Então qual o valor dessa integral?

140
00:06:15,500 --> 00:06:18,760
Bem, a primitiva de 1 em relação a

141
00:06:18,760 --> 00:06:20,650
z é apenas z, certo?

142
00:06:20,650 --> 00:06:22,700
Porque a derivada de z é 1.

143
00:06:22,700 --> 00:06:27,640
E você resolve isso de 2 até 0.

144
00:06:27,640 --> 00:06:30,210
Então você fica com-- então é 2 menos 0.

145
00:06:30,210 --> 00:06:31,580
Então você fica com 2.

146
00:06:31,580 --> 00:06:34,390
Então você fica com 2, e você tira a integral disso de

147
00:06:34,390 --> 00:06:38,080
y igual a 0, até y igual a 4 dy, e então

148
00:06:38,080 --> 00:06:40,060
você tem o x.

149
00:06:40,060 --> 00:06:45,280
De x igual a 0, até x igual a 3 dx.

150
00:06:45,280 --> 00:06:48,440
E perceba, quando nós tiramos a integral em relação a

151
00:06:48,440 --> 00:06:50,210
z, nós ficamos com uma integral dupla.

152
00:06:50,210 --> 00:06:52,830
E essa integral dupla é exatamente a mesma que nós teríamos

153
00:06:52,830 --> 00:06:56,440
feito nos vídeos anteriores de integral dupla, onde você

154
00:06:56,440 --> 00:06:59,510
teria apenas dito, bem, z é uma função de x e y.

155
00:06:59,510 --> 00:07:01,880
Então você podia ter escrito, sabe, z é uma função de x

156
00:07:01,880 --> 00:07:04,230
e y, é sempre igual a 2.

157
00:07:04,230 --> 00:07:05,180
Uma função constante.

158
00:07:05,180 --> 00:07:06,980
É independente de x e y.

159
00:07:06,980 --> 00:07:09,210
Mas se você tivesse definido z desta forma, e você quisesse

160
00:07:09,210 --> 00:07:11,985
descobrir o volume debaixo dessa superfície, onde a superfície

161
00:07:11,985 --> 00:07:15,370
é z igual a 2-- sabe, isso é uma superfície, é z

162
00:07:15,370 --> 00:07:17,580
igual a 2-- nós acabariamos chegando em algo assim.

163
00:07:17,580 --> 00:07:19,130
Então veja que o que estamos fazendo com integrais

164
00:07:19,130 --> 00:07:21,030
triplas, é realmente, realmente nada diferente.

165
00:07:21,030 --> 00:07:22,060
E você deve estar se perguntando, bem, por que nós

166
00:07:22,060 --> 00:07:22,840
estamos fazendo isso afinal?

167
00:07:22,840 --> 00:07:25,730
E eu irei te mostrar isso num segundo.

168
00:07:25,730 --> 00:07:28,320
Mas enfim, para responder isso, você tira a

169
00:07:28,320 --> 00:07:32,070
primitiva disso em relação a y, você tem 2y-- deixe

170
00:07:32,070 --> 00:07:33,760
eu abaixar um pouco.

171
00:07:33,760 --> 00:07:38,530
Você obtem 2y, entre 4 e 0.

172
00:07:38,530 --> 00:07:41,150
E então, você fica com 2 vezes 4.

173
00:07:41,150 --> 00:07:42,540
Então é 8 menos 0.

174
00:07:42,540 --> 00:07:46,070
E então você integra isso em relação

175
00:07:46,070 --> 00:07:48,340
a x de 0 até 3.

176
00:07:48,340 --> 00:07:52,430
Então é 8x de 0 até 3.

177
00:07:52,430 --> 00:07:55,430
E isso é igual a 24 unidades cúbicas.

178
00:07:55,430 --> 00:07:59,780
Então eu sei que a pergunta óbvia é: Para que isso é útil?

179
00:07:59,780 --> 00:08:05,420
Bem, quando você tem um tipo de valor constante

180
00:08:05,420 --> 00:08:06,400
no volume, você está certo,

181
00:08:06,400 --> 00:08:08,230
Você pode tirar apenas uma integral dupla.

182
00:08:08,230 --> 00:08:11,610
Mas e se eu te dissesse que nosso objetivo não é descobrir

183
00:08:11,610 --> 00:08:13,670
o volume dessa figura.

184
00:08:13,670 --> 00:08:16,550
Nosso objetivo é obter a massa desta figura.

185
00:08:16,550 --> 00:08:21,660
Ou mais, este volume-- esta área do espaço ou

186
00:08:21,660 --> 00:08:23,670
enfim-- a massa não é uniforme.

187
00:08:23,670 --> 00:08:28,190
Se a massa fosse uniforme, você poderia apenas multiplicar a sua densidade

188
00:08:28,190 --> 00:08:31,240
uniforme pelo volume, e você teria a massa.

189
00:08:31,240 --> 00:08:33,040
Mas digamos que a densidade muda.

190
00:08:33,040 --> 00:08:36,340
Pode ser o volume de algum gás ou pode ser até um

191
00:08:36,340 --> 00:08:39,070
material com diversos componentes nele.

192
00:08:39,070 --> 00:08:42,370
Então digamos que sua densidade é uma função variável

193
00:08:42,370 --> 00:08:43,240
de x, y e z.

194
00:08:43,240 --> 00:08:47,650
Então vamos dizer que a densidade-- esta linha, essa coisa que parece

195
00:08:47,650 --> 00:08:50,720
um p é o que você normalmente usa na física para desidade-- então

196
00:08:50,720 --> 00:08:54,390
sua densidade é uma função de x, y e z.

197
00:08:54,390 --> 00:08:55,710
Vamos-- apenas para deixar simples-- vamos fazer

198
00:08:55,710 --> 00:08:59,840
x vezes y vezes z.

199
00:08:59,840 --> 00:09:06,020
Se nós quiséssemos descobrir a massa de qualquer volume pequeno, ele

200
00:09:06,020 --> 00:09:08,440
seria esse volume vezes a densidade, certo?

201
00:09:08,440 --> 00:09:12,190
Porque a densidade-- as unidades de densidade são como quilogramas

202
00:09:12,190 --> 00:09:13,590
por metro cúbico.

203
00:09:13,590 --> 00:09:16,400
Então se você multiplica ele por um metro cúbico, você consegue quilogramas.

204
00:09:16,400 --> 00:09:20,260
Então nós podemos dizer que a massa-- bem, eu farei uma notação, d

205
00:09:20,260 --> 00:09:23,730
masa-- isso não é uma função.

206
00:09:23,730 --> 00:09:25,230
Bem, não quero escrever isso em parênteses, porque isso

207
00:09:25,230 --> 00:09:26,230
faz parecer uma função.

208
00:09:26,230 --> 00:09:30,490
Então, uma massa muito diferencial, ou uma massa muito pequena, irá ser

209
00:09:30,490 --> 00:09:35,860
igual à densidade nesse ponto, que deverá ser xyz,

210
00:09:35,860 --> 00:09:39,810
vezes o volume dessa massa minúscula.

211
00:09:39,810 --> 00:09:42,780
E o volume dessa pequena massa nós podemos escrever como dv.

212
00:09:42,780 --> 00:09:48,790
E nós sabemos que dv é a mesma coisa que a largura vezes

213
00:09:48,790 --> 00:09:49,670
a altura vezes a profundidade.

214
00:09:49,670 --> 00:09:52,350
dv nem sempre deve ser dx vezes dy vezes dz.

215
00:09:52,350 --> 00:09:54,000
Se nós fizermos outras coordenadas, se usarmos

216
00:09:54,000 --> 00:09:57,670
coordenadas polares, isso pode ser algo um pouco diferente.

217
00:09:57,670 --> 00:09:59,160
E nós eventualmente faremos isso.

218
00:09:59,160 --> 00:10:01,280
Mas se nós queremos descobrir a massa, como estamos usando

219
00:10:01,280 --> 00:10:03,550
coordenadas retangulares, ela deverá ser a função densidade

220
00:10:03,550 --> 00:10:07,030
nesse ponto vezes nosso volume diferencial.

221
00:10:07,030 --> 00:10:11,330
Então vezes dx dy dz.

222
00:10:11,330 --> 00:10:13,870
E, claro, nós podemos mudar a ordem aqui.

223
00:10:13,870 --> 00:10:16,386
Então quando você descobrir o volume-- quando você quiser

224
00:10:16,386 --> 00:10:19,000
descobrir a massa-- que eu farei no próximo vídeo, nós

225
00:10:19,000 --> 00:10:21,290
essencialmente devemos integrar a função.

226
00:10:21,290 --> 00:10:27,400
Diferente de simplesmente 1 sobre z, y e x.

227
00:10:27,400 --> 00:10:28,690
E eu farei isso no próximo vídeo.

228
00:10:28,690 --> 00:10:32,050
E você verá que esse processo é basicamente tirar um monte de

229
00:10:32,050 --> 00:10:34,700
primitivas triviais e tomar cuidado com erros bobos.

230
00:10:34,700 --> 00:10:37,280
Nos vemos no próximo vídeo.