WEBVTT

00:00:00.740 --> 00:00:04.160
Digamos que eu quero encontrar o volume de um cubo, onde os

00:00:04.160 --> 00:00:07.150
valores do cubo-- x está entre-- x é maior

00:00:07.150 --> 00:00:10.350
que ou igual a 0, é menor que ou igual a,

00:00:10.350 --> 00:00:11.780
sei lá, 3.

00:00:11.780 --> 00:00:14.600
Digamos que y é maior ou igual a 0, e é

00:00:14.600 --> 00:00:17.000
menor ou igual a 4.

00:00:17.000 --> 00:00:21.270
E digamos que z é maior que ou igual a 0 e

00:00:21.270 --> 00:00:23.055
é menor que ou igual a 2.

00:00:23.055 --> 00:00:26.650
E eu sei, usando geometria básica você pode descobrir--

00:00:26.650 --> 00:00:30.370
você sabe, simplesmente fazer o produto da largura pela altura pela

00:00:30.370 --> 00:00:31.340
profundidade e você consegue o volume.

00:00:31.340 --> 00:00:34.280
Mas eu quero fazer este exemplo, apenas para você se acostumar com

00:00:34.280 --> 00:00:36.700
o que uma integral tripla parece, como ela se relaciona com uma

00:00:36.700 --> 00:00:39.180
integral dupla, e depois neste vídeo nós poderemos fazer

00:00:39.180 --> 00:00:40.290
algo um pouco mais complicado.

00:00:40.290 --> 00:00:44.040
Então vamos apenas desenhar o volume.

00:00:44.040 --> 00:00:51.780
Então esse é meu eixo x, esse é meu eixo z e este é o y.

00:00:54.330 --> 00:00:55.795
x, y, z.

00:00:59.600 --> 00:01:00.080
Ok.

00:01:00.080 --> 00:01:01.910
Então, x está entre 0 e 3.

00:01:01.910 --> 00:01:03.070
Então isso é x igual a 0.

00:01:03.070 --> 00:01:09.120
Este é x igual a-- vejamos, 1, 2, 3.

00:01:09.120 --> 00:01:10.570
y está entre 0 e 4.

00:01:10.570 --> 00:01:13.180
1, 2, 3, 4.

00:01:13.180 --> 00:01:15.450
Então o plano x-y deverá ser parecido com isso.

00:01:15.450 --> 00:01:20.520
A base do nosso cubo deve parecer com isso.

00:01:20.520 --> 00:01:21.770
E z está entre 0 e 2.

00:01:21.770 --> 00:01:25.350
Então 0 é o plano x-y, e então 1, 2.

00:01:25.350 --> 00:01:27.130
Então este deve ser o topo.

00:01:27.130 --> 00:01:30.600
E talvez eu farei isso numa cor levemente diferente.

00:01:30.600 --> 00:01:34.520
Ao longo do eixo x-z.

00:01:34.520 --> 00:01:36.360
Você tem um limite aqui, e então ele deve

00:01:36.360 --> 00:01:38.316
ficar mais ou menos assim.

00:01:38.316 --> 00:01:41.850
Você tem um limite aqui, que fica assim.

00:01:41.850 --> 00:01:43.810
Um limite aqui.

00:01:43.810 --> 00:01:45.600
Então nós queremos descobrir o volume deste cubo.

00:01:45.600 --> 00:01:46.370
E você pode fazê-lo.

00:01:46.370 --> 00:01:51.540
Você pode dizer, bem, a profundidade é 3, a base, a largura é 4,

00:01:51.540 --> 00:01:53.920
então a área é 12 vezes a altura.

00:01:53.920 --> 00:01:55.170
12 vezes 2 é 24.

00:01:55.170 --> 00:01:58.980
Você pode dizer que são 24 unidades cúbicas, ou seja lá

00:01:58.980 --> 00:01:59.630
qual unidades nós estamos usando.

00:01:59.630 --> 00:02:01.990
Mas vamos usar uma integral tripla.

00:02:01.990 --> 00:02:03.640
Então o que uma integral tripla significa?

00:02:03.640 --> 00:02:07.110
Bem, o que nós podemos fazer é tirar o volume de uma bem

00:02:07.110 --> 00:02:10.670
pequena-- eu não quero dizer área-- de um volume bem pequeno.

00:02:10.670 --> 00:02:14.770
Então digamos que eu quero tirar o volume de um cubo minúsculo.

00:02:14.770 --> 00:02:17.810
Algum lugar neste volume em questão.

00:02:17.810 --> 00:02:20.160
E começará a fazer mais sentido, ou começará a ser bem

00:02:20.160 --> 00:02:22.860
mais útil, quando tivermos limites variáveis e

00:02:22.860 --> 00:02:25.050
superfícies e curvas como limites.

00:02:25.050 --> 00:02:26.840
Mas vamos dizer que queremos descobrir o volume deste

00:02:26.840 --> 00:02:29.780
pequeno cubo aqui.

00:02:29.780 --> 00:02:30.590
Esse é meu cubo.

00:02:30.590 --> 00:02:33.630
Está em algum lugar do cubo maior, este retangulo maior,

00:02:33.630 --> 00:02:35.460
retângulo cúbico, ou seja lá como você queira chamá-lo.

00:02:35.460 --> 00:02:36.540
Então qual o volume desse cubo?

00:02:36.540 --> 00:02:38.930
Vamos dizer que sua largura é dy.

00:02:42.320 --> 00:02:44.010
Então este comprimento aqui é dy

00:02:44.010 --> 00:02:46.810
A altura é dx.

00:02:46.810 --> 00:02:49.660
Perdão, não, a altura é dz, certo?

00:02:49.660 --> 00:02:51.840
A forma como desenhei, z é de cima pra baixo.

00:02:51.840 --> 00:02:53.860
E a profundidade é dx.

00:02:53.860 --> 00:02:55.940
Isso é dx.

00:02:55.940 --> 00:02:56.750
Isso é dz.

00:02:56.750 --> 00:02:57.720
Isso é dy.

00:02:57.720 --> 00:03:01.260
Então você pode dizer que o pequeno volume em relação a este grande

00:03:01.260 --> 00:03:04.830
volume-- você pode chamá-lo de dv, o que é algo como um

00:03:04.830 --> 00:03:06.750
volume diferencial.

00:03:06.750 --> 00:03:10.290
E isso poderia ser igual a, você sabe, apenas

00:03:10.290 --> 00:03:13.990
a largura vezes o comprimento vezes a aultura.

00:03:13.990 --> 00:03:15.950
dx vezes dy vezes dz.

00:03:15.950 --> 00:03:17.760
E você pode mudar a ordem deles, certo?

00:03:17.760 --> 00:03:21.010
Porque a multiplicação é associativa, e a ordem

00:03:21.010 --> 00:03:22.920
não tem importancia alguma.

00:03:22.920 --> 00:03:24.540
Mas de qualquer forma, o que você pode fazer com isso aqui?

00:03:24.540 --> 00:03:27.290
Bem, nós podemos tirar a integral.

00:03:27.290 --> 00:03:32.520
Integrais servem para nos ajudar a tirar somas infinitas de

00:03:32.520 --> 00:03:36.080
distancias infinitamente pequenas, como um dz, ou um dx, ou

00:03:36.080 --> 00:03:38.240
um dy, et cetera.

00:03:38.240 --> 00:03:41.620
Então, o que podemos fazer é pegarmos este cubo e

00:03:41.620 --> 00:03:44.110
antes, multiplicá-lo, digamos, na direção z.

00:03:44.110 --> 00:03:48.330
Então nós podemos pegar este cubo e multiplicá-lo ao longo do eixo

00:03:48.330 --> 00:03:51.230
que vai de cima até embaixo-- o eixo z-- então nós obtemos o

00:03:51.230 --> 00:03:52.410
volume de uma coluna.

00:03:52.410 --> 00:03:54.550
Então como isso iria parecer?

00:03:54.550 --> 00:03:56.930
Bem, como estamos indo pra cima e pra baixo, nós estamos multiplicando-- estamos

00:03:56.930 --> 00:04:00.670
tirando a soma na direção z.

00:04:00.670 --> 00:04:02.610
Nòs temos uma integral.

00:04:02.610 --> 00:04:04.655
Então qual o menor valor de z?

00:04:04.655 --> 00:04:08.310
Bem, é z igual a 0.

00:04:08.310 --> 00:04:09.280
E qual o limite superior?

00:04:09.280 --> 00:04:12.070
Continue adicionando estes cubos, e

00:04:12.070 --> 00:04:14.190
continue indo pra cima, você acaba no limite suerior.

00:04:14.190 --> 00:04:14.770
E qual o limite superior?

00:04:14.770 --> 00:04:16.100
É z igual a 2.

00:04:20.580 --> 00:04:25.010
E, claro, você deve ter a soma desses dv's.

00:04:25.010 --> 00:04:26.130
E eu escreverei dz ates.

00:04:26.130 --> 00:04:28.170
Apenas para lembrar que nós iremos

00:04:28.170 --> 00:04:30.430
tirar a integral relacionada a z antes.

00:04:30.430 --> 00:04:32.010
Digamos então que faremos y em seguida.

00:04:32.010 --> 00:04:34.200
E então faremos x.

00:04:34.200 --> 00:04:37.430
Então esta integral, este valor, como eu escrevi, irá

00:04:37.430 --> 00:04:42.020
descobrir o volume de uma coluna dado algum x e algum y.

00:04:42.020 --> 00:04:45.240
Estará em função de x e y, porém como estamos lidando com

00:04:45.240 --> 00:04:47.130
todos constantes aqui, será um

00:04:47.130 --> 00:04:48.600
valor constante.

00:04:48.600 --> 00:04:52.160
Será o valor constante do volume de uma

00:04:52.160 --> 00:04:53.890
dessas colunas.

00:04:53.890 --> 00:04:56.580
Então, essecialmente, será 2 vezes dy dx.

00:04:56.580 --> 00:04:59.330
Porque a altura de uma coluna dessas é 2,

00:04:59.330 --> 00:05:03.710
então sua largura e profundidade são dy e dx.

00:05:03.710 --> 00:05:06.570
Então se nós queremos descobrir o volume total-- o que

00:05:06.570 --> 00:05:09.270
nós acabamos de fazer é descobrir o valor da altura de uma coluna.

00:05:09.270 --> 00:05:11.300
Então nós podemos pegar essas colunas e multiplicá-las

00:05:11.300 --> 00:05:13.730
na direção y.

00:05:13.730 --> 00:05:15.710
Então se nós estamos multiplicando na direção y, nós podemos simplesmente tirar

00:05:15.710 --> 00:05:20.340
outra integral dessa soma na direção y.

00:05:20.340 --> 00:05:25.650
E y vai de 0 até onde? y vai de 0 até 4.

00:05:25.650 --> 00:05:27.180
Eu escrevi esta integral um pouco demais para a

00:05:27.180 --> 00:05:28.300
esquerda, ficou estranho.

00:05:28.300 --> 00:05:31.000
Mas acho que você entendeu.

00:05:31.000 --> 00:05:33.390
y igual a 0, y igual a 4.

00:05:33.390 --> 00:05:37.420
E então isso irá nos dar o volume de uma folha que é

00:05:37.420 --> 00:05:40.290
paralela ao plano zy.

00:05:40.290 --> 00:05:44.250
E então tudo que nos resta fazer é adicionar outras dessa

00:05:44.250 --> 00:05:46.570
folha na direção x, e nós temos o volume

00:05:46.570 --> 00:05:48.210
da nossa figura inteira.

00:05:48.210 --> 00:05:50.190
Então para somar estas folhas novas, devemos multiplicar

00:05:50.190 --> 00:05:51.750
na direção x.

00:05:51.750 --> 00:05:57.060
E nós vamos de x igual a 0 até x igual a 3.

00:05:57.060 --> 00:05:58.660
E resolver isso é bastante

00:05:58.660 --> 00:05:59.690
intuitivo.

00:05:59.690 --> 00:06:03.020
Então, primeiro nós tiraremos a integral relacionada a z.

00:06:03.020 --> 00:06:05.090
Bem, nós não temos nada escrito aqui, mas nós

00:06:05.090 --> 00:06:06.740
podemos assumir que tem um 1, certo?

00:06:06.740 --> 00:06:10.160
Porque dz vezes dy vezes dx é o mesmo de

00:06:10.160 --> 00:06:12.940
1vezes dz vezes dy dx.

00:06:12.940 --> 00:06:15.500
Então qual o valor dessa integral?

00:06:15.500 --> 00:06:18.760
Bem, a primitiva de 1 em relação a

00:06:18.760 --> 00:06:20.650
z é apenas z, certo?

00:06:20.650 --> 00:06:22.700
Porque a derivada de z é 1.

00:06:22.700 --> 00:06:27.640
E você resolve isso de 2 até 0.

00:06:27.640 --> 00:06:30.210
Então você fica com-- então é 2 menos 0.

00:06:30.210 --> 00:06:31.580
Então você fica com 2.

00:06:31.580 --> 00:06:34.390
Então você fica com 2, e você tira a integral disso de

00:06:34.390 --> 00:06:38.080
y igual a 0, até y igual a 4 dy, e então

00:06:38.080 --> 00:06:40.060
você tem o x.

00:06:40.060 --> 00:06:45.280
De x igual a 0, até x igual a 3 dx.

00:06:45.280 --> 00:06:48.440
E perceba, quando nós tiramos a integral em relação a

00:06:48.440 --> 00:06:50.210
z, nós ficamos com uma integral dupla.

00:06:50.210 --> 00:06:52.830
E essa integral dupla é exatamente a mesma que nós teríamos

00:06:52.830 --> 00:06:56.440
feito nos vídeos anteriores de integral dupla, onde você

00:06:56.440 --> 00:06:59.510
teria apenas dito, bem, z é uma função de x e y.

00:06:59.510 --> 00:07:01.880
Então você podia ter escrito, sabe, z é uma função de x

00:07:01.880 --> 00:07:04.230
e y, é sempre igual a 2.

00:07:04.230 --> 00:07:05.180
Uma função constante.

00:07:05.180 --> 00:07:06.980
É independente de x e y.

00:07:06.980 --> 00:07:09.210
Mas se você tivesse definido z desta forma, e você quisesse

00:07:09.210 --> 00:07:11.985
descobrir o volume debaixo dessa superfície, onde a superfície

00:07:11.985 --> 00:07:15.370
é z igual a 2-- sabe, isso é uma superfície, é z

00:07:15.370 --> 00:07:17.580
igual a 2-- nós acabariamos chegando em algo assim.

00:07:17.580 --> 00:07:19.130
Então veja que o que estamos fazendo com integrais

00:07:19.130 --> 00:07:21.030
triplas, é realmente, realmente nada diferente.

00:07:21.030 --> 00:07:22.060
E você deve estar se perguntando, bem, por que nós

00:07:22.060 --> 00:07:22.840
estamos fazendo isso afinal?

00:07:22.840 --> 00:07:25.730
E eu irei te mostrar isso num segundo.

00:07:25.730 --> 00:07:28.320
Mas enfim, para responder isso, você tira a

00:07:28.320 --> 00:07:32.070
primitiva disso em relação a y, você tem 2y-- deixe

00:07:32.070 --> 00:07:33.760
eu abaixar um pouco.

00:07:33.760 --> 00:07:38.530
Você obtem 2y, entre 4 e 0.

00:07:38.530 --> 00:07:41.150
E então, você fica com 2 vezes 4.

00:07:41.150 --> 00:07:42.540
Então é 8 menos 0.

00:07:42.540 --> 00:07:46.070
E então você integra isso em relação

00:07:46.070 --> 00:07:48.340
a x de 0 até 3.

00:07:48.340 --> 00:07:52.430
Então é 8x de 0 até 3.

00:07:52.430 --> 00:07:55.430
E isso é igual a 24 unidades cúbicas.

00:07:55.430 --> 00:07:59.780
Então eu sei que a pergunta óbvia é: Para que isso é útil?

00:07:59.780 --> 00:08:05.420
Bem, quando você tem um tipo de valor constante

00:08:05.420 --> 00:08:06.400
no volume, você está certo,

00:08:06.400 --> 00:08:08.230
Você pode tirar apenas uma integral dupla.

00:08:08.230 --> 00:08:11.610
Mas e se eu te dissesse que nosso objetivo não é descobrir

00:08:11.610 --> 00:08:13.670
o volume dessa figura.

00:08:13.670 --> 00:08:16.550
Nosso objetivo é obter a massa desta figura.

00:08:16.550 --> 00:08:21.660
Ou mais, este volume-- esta área do espaço ou

00:08:21.660 --> 00:08:23.670
enfim-- a massa não é uniforme.

00:08:23.670 --> 00:08:28.190
Se a massa fosse uniforme, você poderia apenas multiplicar a sua densidade

00:08:28.190 --> 00:08:31.240
uniforme pelo volume, e você teria a massa.

00:08:31.240 --> 00:08:33.040
Mas digamos que a densidade muda.

00:08:33.040 --> 00:08:36.340
Pode ser o volume de algum gás ou pode ser até um

00:08:36.340 --> 00:08:39.070
material com diversos componentes nele.

00:08:39.070 --> 00:08:42.370
Então digamos que sua densidade é uma função variável

00:08:42.370 --> 00:08:43.240
de x, y e z.

00:08:43.240 --> 00:08:47.650
Então vamos dizer que a densidade-- esta linha, essa coisa que parece

00:08:47.650 --> 00:08:50.720
um p é o que você normalmente usa na física para desidade-- então

00:08:50.720 --> 00:08:54.390
sua densidade é uma função de x, y e z.

00:08:54.390 --> 00:08:55.710
Vamos-- apenas para deixar simples-- vamos fazer

00:08:55.710 --> 00:08:59.840
x vezes y vezes z.

00:08:59.840 --> 00:09:06.020
Se nós quiséssemos descobrir a massa de qualquer volume pequeno, ele

00:09:06.020 --> 00:09:08.440
seria esse volume vezes a densidade, certo?

00:09:08.440 --> 00:09:12.190
Porque a densidade-- as unidades de densidade são como quilogramas

00:09:12.190 --> 00:09:13.590
por metro cúbico.

00:09:13.590 --> 00:09:16.400
Então se você multiplica ele por um metro cúbico, você consegue quilogramas.

00:09:16.400 --> 00:09:20.260
Então nós podemos dizer que a massa-- bem, eu farei uma notação, d

00:09:20.260 --> 00:09:23.730
masa-- isso não é uma função.

00:09:23.730 --> 00:09:25.230
Bem, não quero escrever isso em parênteses, porque isso

00:09:25.230 --> 00:09:26.230
faz parecer uma função.

00:09:26.230 --> 00:09:30.490
Então, uma massa muito diferencial, ou uma massa muito pequena, irá ser

00:09:30.490 --> 00:09:35.860
igual à densidade nesse ponto, que deverá ser xyz,

00:09:35.860 --> 00:09:39.810
vezes o volume dessa massa minúscula.

00:09:39.810 --> 00:09:42.780
E o volume dessa pequena massa nós podemos escrever como dv.

00:09:42.780 --> 00:09:48.790
E nós sabemos que dv é a mesma coisa que a largura vezes

00:09:48.790 --> 00:09:49.670
a altura vezes a profundidade.

00:09:49.670 --> 00:09:52.350
dv nem sempre deve ser dx vezes dy vezes dz.

00:09:52.350 --> 00:09:54.000
Se nós fizermos outras coordenadas, se usarmos

00:09:54.000 --> 00:09:57.670
coordenadas polares, isso pode ser algo um pouco diferente.

00:09:57.670 --> 00:09:59.160
E nós eventualmente faremos isso.

00:09:59.160 --> 00:10:01.280
Mas se nós queremos descobrir a massa, como estamos usando

00:10:01.280 --> 00:10:03.550
coordenadas retangulares, ela deverá ser a função densidade

00:10:03.550 --> 00:10:07.030
nesse ponto vezes nosso volume diferencial.

00:10:07.030 --> 00:10:11.330
Então vezes dx dy dz.

00:10:11.330 --> 00:10:13.870
E, claro, nós podemos mudar a ordem aqui.

00:10:13.870 --> 00:10:16.386
Então quando você descobrir o volume-- quando você quiser

00:10:16.386 --> 00:10:19.000
descobrir a massa-- que eu farei no próximo vídeo, nós

00:10:19.000 --> 00:10:21.290
essencialmente devemos integrar a função.

00:10:21.290 --> 00:10:27.400
Diferente de simplesmente 1 sobre z, y e x.

00:10:27.400 --> 00:10:28.690
E eu farei isso no próximo vídeo.

00:10:28.690 --> 00:10:32.050
E você verá que esse processo é basicamente tirar um monte de

00:10:32.050 --> 00:10:34.700
primitivas triviais e tomar cuidado com erros bobos.

00:10:34.700 --> 00:10:37.280
Nos vemos no próximo vídeo.