Digamos que eu quero encontrar o volume de um cubo, onde os valores do cubo-- x está entre-- x é maior que ou igual a 0, é menor que ou igual a, sei lá, 3. Digamos que y é maior ou igual a 0, e é menor ou igual a 4. E digamos que z é maior que ou igual a 0 e é menor que ou igual a 2. E eu sei, usando geometria básica você pode descobrir-- você sabe, simplesmente fazer o produto da largura pela altura pela profundidade e você consegue o volume. Mas eu quero fazer este exemplo, apenas para você se acostumar com o que uma integral tripla parece, como ela se relaciona com uma integral dupla, e depois neste vídeo nós poderemos fazer algo um pouco mais complicado. Então vamos apenas desenhar o volume. Então esse é meu eixo x, esse é meu eixo z e este é o y. x, y, z. Ok. Então, x está entre 0 e 3. Então isso é x igual a 0. Este é x igual a-- vejamos, 1, 2, 3. y está entre 0 e 4. 1, 2, 3, 4. Então o plano x-y deverá ser parecido com isso. A base do nosso cubo deve parecer com isso. E z está entre 0 e 2. Então 0 é o plano x-y, e então 1, 2. Então este deve ser o topo. E talvez eu farei isso numa cor levemente diferente. Ao longo do eixo x-z. Você tem um limite aqui, e então ele deve ficar mais ou menos assim. Você tem um limite aqui, que fica assim. Um limite aqui. Então nós queremos descobrir o volume deste cubo. E você pode fazê-lo. Você pode dizer, bem, a profundidade é 3, a base, a largura é 4, então a área é 12 vezes a altura. 12 vezes 2 é 24. Você pode dizer que são 24 unidades cúbicas, ou seja lá qual unidades nós estamos usando. Mas vamos usar uma integral tripla. Então o que uma integral tripla significa? Bem, o que nós podemos fazer é tirar o volume de uma bem pequena-- eu não quero dizer área-- de um volume bem pequeno. Então digamos que eu quero tirar o volume de um cubo minúsculo. Algum lugar neste volume em questão. E começará a fazer mais sentido, ou começará a ser bem mais útil, quando tivermos limites variáveis e superfícies e curvas como limites. Mas vamos dizer que queremos descobrir o volume deste pequeno cubo aqui. Esse é meu cubo. Está em algum lugar do cubo maior, este retangulo maior, retângulo cúbico, ou seja lá como você queira chamá-lo. Então qual o volume desse cubo? Vamos dizer que sua largura é dy. Então este comprimento aqui é dy A altura é dx. Perdão, não, a altura é dz, certo? A forma como desenhei, z é de cima pra baixo. E a profundidade é dx. Isso é dx. Isso é dz. Isso é dy. Então você pode dizer que o pequeno volume em relação a este grande volume-- você pode chamá-lo de dv, o que é algo como um volume diferencial. E isso poderia ser igual a, você sabe, apenas a largura vezes o comprimento vezes a aultura. dx vezes dy vezes dz. E você pode mudar a ordem deles, certo? Porque a multiplicação é associativa, e a ordem não tem importancia alguma. Mas de qualquer forma, o que você pode fazer com isso aqui? Bem, nós podemos tirar a integral. Integrais servem para nos ajudar a tirar somas infinitas de distancias infinitamente pequenas, como um dz, ou um dx, ou um dy, et cetera. Então, o que podemos fazer é pegarmos este cubo e antes, multiplicá-lo, digamos, na direção z. Então nós podemos pegar este cubo e multiplicá-lo ao longo do eixo que vai de cima até embaixo-- o eixo z-- então nós obtemos o volume de uma coluna. Então como isso iria parecer? Bem, como estamos indo pra cima e pra baixo, nós estamos multiplicando-- estamos tirando a soma na direção z. Nòs temos uma integral. Então qual o menor valor de z? Bem, é z igual a 0. E qual o limite superior? Continue adicionando estes cubos, e continue indo pra cima, você acaba no limite suerior. E qual o limite superior? É z igual a 2. E, claro, você deve ter a soma desses dv's. E eu escreverei dz ates. Apenas para lembrar que nós iremos tirar a integral relacionada a z antes. Digamos então que faremos y em seguida. E então faremos x. Então esta integral, este valor, como eu escrevi, irá descobrir o volume de uma coluna dado algum x e algum y. Estará em função de x e y, porém como estamos lidando com todos constantes aqui, será um valor constante. Será o valor constante do volume de uma dessas colunas. Então, essecialmente, será 2 vezes dy dx. Porque a altura de uma coluna dessas é 2, então sua largura e profundidade são dy e dx. Então se nós queremos descobrir o volume total-- o que nós acabamos de fazer é descobrir o valor da altura de uma coluna. Então nós podemos pegar essas colunas e multiplicá-las na direção y. Então se nós estamos multiplicando na direção y, nós podemos simplesmente tirar outra integral dessa soma na direção y. E y vai de 0 até onde? y vai de 0 até 4. Eu escrevi esta integral um pouco demais para a esquerda, ficou estranho. Mas acho que você entendeu. y igual a 0, y igual a 4. E então isso irá nos dar o volume de uma folha que é paralela ao plano zy. E então tudo que nos resta fazer é adicionar outras dessa folha na direção x, e nós temos o volume da nossa figura inteira. Então para somar estas folhas novas, devemos multiplicar na direção x. E nós vamos de x igual a 0 até x igual a 3. E resolver isso é bastante intuitivo. Então, primeiro nós tiraremos a integral relacionada a z. Bem, nós não temos nada escrito aqui, mas nós podemos assumir que tem um 1, certo? Porque dz vezes dy vezes dx é o mesmo de 1vezes dz vezes dy dx. Então qual o valor dessa integral? Bem, a primitiva de 1 em relação a z é apenas z, certo? Porque a derivada de z é 1. E você resolve isso de 2 até 0. Então você fica com-- então é 2 menos 0. Então você fica com 2. Então você fica com 2, e você tira a integral disso de y igual a 0, até y igual a 4 dy, e então você tem o x. De x igual a 0, até x igual a 3 dx. E perceba, quando nós tiramos a integral em relação a z, nós ficamos com uma integral dupla. E essa integral dupla é exatamente a mesma que nós teríamos feito nos vídeos anteriores de integral dupla, onde você teria apenas dito, bem, z é uma função de x e y. Então você podia ter escrito, sabe, z é uma função de x e y, é sempre igual a 2. Uma função constante. É independente de x e y. Mas se você tivesse definido z desta forma, e você quisesse descobrir o volume debaixo dessa superfície, onde a superfície é z igual a 2-- sabe, isso é uma superfície, é z igual a 2-- nós acabariamos chegando em algo assim. Então veja que o que estamos fazendo com integrais triplas, é realmente, realmente nada diferente. E você deve estar se perguntando, bem, por que nós estamos fazendo isso afinal? E eu irei te mostrar isso num segundo. Mas enfim, para responder isso, você tira a primitiva disso em relação a y, você tem 2y-- deixe eu abaixar um pouco. Você obtem 2y, entre 4 e 0. E então, você fica com 2 vezes 4. Então é 8 menos 0. E então você integra isso em relação a x de 0 até 3. Então é 8x de 0 até 3. E isso é igual a 24 unidades cúbicas. Então eu sei que a pergunta óbvia é: Para que isso é útil? Bem, quando você tem um tipo de valor constante no volume, você está certo, Você pode tirar apenas uma integral dupla. Mas e se eu te dissesse que nosso objetivo não é descobrir o volume dessa figura. Nosso objetivo é obter a massa desta figura. Ou mais, este volume-- esta área do espaço ou enfim-- a massa não é uniforme. Se a massa fosse uniforme, você poderia apenas multiplicar a sua densidade uniforme pelo volume, e você teria a massa. Mas digamos que a densidade muda. Pode ser o volume de algum gás ou pode ser até um material com diversos componentes nele. Então digamos que sua densidade é uma função variável de x, y e z. Então vamos dizer que a densidade-- esta linha, essa coisa que parece um p é o que você normalmente usa na física para desidade-- então sua densidade é uma função de x, y e z. Vamos-- apenas para deixar simples-- vamos fazer x vezes y vezes z. Se nós quiséssemos descobrir a massa de qualquer volume pequeno, ele seria esse volume vezes a densidade, certo? Porque a densidade-- as unidades de densidade são como quilogramas por metro cúbico. Então se você multiplica ele por um metro cúbico, você consegue quilogramas. Então nós podemos dizer que a massa-- bem, eu farei uma notação, d masa-- isso não é uma função. Bem, não quero escrever isso em parênteses, porque isso faz parecer uma função. Então, uma massa muito diferencial, ou uma massa muito pequena, irá ser igual à densidade nesse ponto, que deverá ser xyz, vezes o volume dessa massa minúscula. E o volume dessa pequena massa nós podemos escrever como dv. E nós sabemos que dv é a mesma coisa que a largura vezes a altura vezes a profundidade. dv nem sempre deve ser dx vezes dy vezes dz. Se nós fizermos outras coordenadas, se usarmos coordenadas polares, isso pode ser algo um pouco diferente. E nós eventualmente faremos isso. Mas se nós queremos descobrir a massa, como estamos usando coordenadas retangulares, ela deverá ser a função densidade nesse ponto vezes nosso volume diferencial. Então vezes dx dy dz. E, claro, nós podemos mudar a ordem aqui. Então quando você descobrir o volume-- quando você quiser descobrir a massa-- que eu farei no próximo vídeo, nós essencialmente devemos integrar a função. Diferente de simplesmente 1 sobre z, y e x. E eu farei isso no próximo vídeo. E você verá que esse processo é basicamente tirar um monte de primitivas triviais e tomar cuidado com erros bobos. Nos vemos no próximo vídeo.