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Encontraré el volumen de un cubo, donde los
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valores del cubo: - digamos que x está entre- que x es mayor
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o igual a 0, es menor o igual a
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3.
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Digamos que y is mayor o igual a 0, y es
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menor o igual a 4.
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Y digamos que z es mayor o igual a 0 y
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menor o igual a 2.
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Luego usando geometría básica puedes darte cuenta-
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sabes, basta multiplicar el ancho por el alto por
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el largo y tienes el volumen.
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Pero quiero hacer este ejemplo, para que te acostumbres
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a como se ve una integral triple, cómo se relaciona con una
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doble integral y en el próximo video podremos hacer
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algo un poco más complicado.
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Entonces dibujemos este volumen.
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Este es mi eje x, este es el z, este es el y.
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x, y, z.
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Bien.
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Entonces x está entre 0 y 3.
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Esto es x igual a 0.
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Esto es x igual a- veamos, 1, 2, 3.
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y está entre 0 y 4.
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1, 2, 3, 4.
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Entonces el plano x-y se verá como algo así.
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El tipo de base de nuestro cubo se verá como algo así.
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Entonces z está entre 0 y 2.
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Entonces 0 es el plano x-y, y luego 1, 2.
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Entonces esto será el punto más alto.
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Haré esto en otro color.
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Entonces esto es a lo largo del eje x-z.
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Tendrá una frontera aquí, luego
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seguirá así.
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Tendrá una frontera aquí, seguirá así.
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Una frontera aquí.
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Entonces podemos notar que el volumen es un cubo.
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Y tu puedes hacerlo.
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Puedes decir, que el largo es 3, la base, el ancho es 4,
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entonces esta área es 12 por la altura.
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12 por 2 es 24.
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Puedes decir es 24 unidades cúbicas, independiente de
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las unidades que estemos usando.
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Pero hagámoslo como una integral triple.
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Entonces ¿Qué significa una integral triple?
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Lo que podemos hacer es tomar el volumen de un muy
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pequeño -no área- sino volumen.
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Digamos que queremos calcular el volumen de un cubo muy pequeño.
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En algún lugar en el volumen que tenemos.
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Y empezará a tener mayor sentido o a ser
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mucho más útil, cuando tenemos fronteras variables
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y superficies o curvas como fronteras.
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Pero digamos que queremos encontrar el volumen de este
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pequeño cubo que está aquí.
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Este es mi cubo.
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Está en algún lugar de mi gran cubo, de este rectángulo más grande,
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o rectángulo cúbico, como quieras llamarlo.
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Entonces ¿Cuál es el volumen de ese cubo?
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Digamos que el ancho es dy.
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Entonces la longitud ahí es dy.
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Su altura es dx
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Perdón, no, su altura es dz, cierto?
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De la forma que lo dibujé, z está hacia
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Y su largo es dx.
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Esto es dx.
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Esto es dz.
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Esto es dy.
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Entonces puedes decir que un pequeño volumen dentro de este mayor
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volumen -puedes llamarlo dv, que es el
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diferencial del volumen.
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Y eso será igual a, puedes decir, que es precisamente
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el ancho por el largo por el alto.
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dx por dy por dz.
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Y puedes cambiar el orden de éstos, cierto?
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Porque la multiplicación es asociativa, entonces el
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orden no importa.
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En todo caso, ¿Qué puedes hacer con esto?
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Podemos usar la integral.
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Todas las integrales nos ayudan a sumar infinitas partes de
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infinitas pequeñas distancias, como dz o dx o
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dy, etc.
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Entonces, lo que podemos hacer es tomar el cubo y
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primero, sumar en la dirección de z.
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Entonces podemos tomar el cubo y luego sumar a lo largo del
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eje hacia arriba y abajo, el eje z, para obtener
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el volumen de la columna.
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¿Y cómo se vería esto?
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Como vamos hacia arriba y abajo,
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tomamos la suma en la dirección z.
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Tendremos una integral.
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¿Cuál será el menor valor de z?
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Es z igual a 0.
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¿Y cuál es el mayor valor?
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Como si fueras a tomar - sigue sumando esos cubos y
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sigue subiendo, llegarás al límite alto.
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¿Y dónde está lo más alto?
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es cuando z es igual a 2.
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Por supuesto, tomarás la suma de estos dvs.
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Y anotaré primero dz.
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Para que recordemos que
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tomaremos primero la integral respecto a z.
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Luego haremos la de y.
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Y finalmente la x.
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Entonces esta integral, este valor, como lo he escrito,
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nos dará el volumen de una columna dado cualquier x e y.
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Será una función de x e y, pero como estamos trabajando con
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constantes, nos dará
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un valor constante.
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Será el valor constante del volumen de una
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de esas columnas.
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En este caso, será 2 por dy dx.
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Ya que la altura de una de esas columnas es 2,
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luego su ancho y largo es dy y dx.
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Entonces si queremos encontrar el volumen total-
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lo que acabamos de hacer fue encontrar la altura de una columna.
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Entonces podemos tomar las columnas y sumarlas
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en la dirección y.
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Entonces si sumamos en la dirección y, podemos tomar
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otra integral de esta suma en la dirección y.
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¿y va de 0 a cuánto? y está entre 0 y 4.
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Anoté la integral muy a la
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izquierda, se ve raro.
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Pero creo que entiendes la idea.
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y es igual a 0 hasta y es igual a 4.
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Luego esto nos dará el volumen de una hoja que es
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paralela al plano zy.
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Luego lo único que nos falta es sumar todas estas
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hojas en la dirección x, y tendremos el volumen
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de toda nuestra figura.
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Entonces para sumar todas esas hojas, tendremos que sumar
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en la dirección x.
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Iremos de x igual a 0, hasta x igual a 3.
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Y evaluar esto es bien sencillo.
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sencillo.
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Primero tomamos la integral respecto a z.
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Bueno, no tenemos nada escrito aquí abajo. pero
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podemos asumir que ahí va un 1, cierto?
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Porque dz por dy por dx es lo mismo que
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1 por dz por dy por dx.
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Entonces ¿Cuál es el valor de esta integral?
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Bueno la integral de 1 respecto a
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z es z, verdad?
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Porque la primitiva de z es 1.
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Y lo evaluas de 2 a 0.
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Entonces te quedas con entonces es 2 menos 0.
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Entonces queda 2.
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Entonces te queda 2 y tomas la integral de eso desde
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y igual a 0 hasta y igual a 4 dy, y luego
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está la x.
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Desde x igual a 0 hasta x igual 3 dx.
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Fíjate cuando tomamos la integral respecto a z,
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terminamos con una doble integral.
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Y esta doble integral es exactamente la misma integral que habríamos
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hecho en los videos anteriores en la doble integral, donde
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habrías dicho, bien z es una función de x e y.
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Entonces podrías haber escrito z es una función de x
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e y es siempre igual a 2.
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Es una función constante.
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es independiente de x y de y.
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Pero si has definido z de este modo y querías
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calcular el volumen que encierra esta superficie, donde la superficie
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es z igual a 2 - tu sabes que ésta es una superficie, es z
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igual a 2 - habríamos terminado con esto.
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Entonces ves que lo que hacemos con la triple
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integral, es en realidad lo mismo.
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Y puedes estar preguntándote, ¿Por qué estamos
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haciendo esto?
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Y te lo mostraré en seguida.
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En todo caso, para evaluar esto, puedes tomar la
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integral de esto respecto a y, tienes 2y-
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déjame bajar un poco.
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Queda 2y evaluando eso en 4 y 0.
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Luego, obtienes 2 por 4
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Eso es 8 menos 0.
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Luego integras eso respecto
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a x de 0 a 3.
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Lo cual es 8x de 0 a 3.
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Que será igual a 24 unidades cúbicas
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Ahora la obvia pregunta es ¿Para qué sirve esto?
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Cuando tienes un tipo de variable constante dentro
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del volumen, estás bien,
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podrías haberlo calculado con una integral doble.
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Pero que pasa si te digo: nuestro objetivo no es calcular
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el volumen de esta figura.
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Nuestro objetivo es calcular la masa de la figura.
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Y más aún, este volumen- este área de espacio o
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lo que sea- tiene una masa no uniforme.
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Si su masa fuera uniforme, podrías simplemente multiplicar su densidad
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uniforme por su volumen y obtendrás su masa.
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Pero digamos que la densidad cambia.
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Puede ser el volumen de un gas o incluso algún
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material formado por diferentes compuestos.
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Entonces digamos que su densidad es una función variable
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de x, y y z.
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Entonces digamos que la densidad- esta filo, esto que
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parece una p, es lo que normalmente se usa en física para la densidad- entonces
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su densidad es una función de x, y and z.
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Hágamoslo simple-- multipliquemos
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x por y por z.
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Si queremos calcular la masa de un volumen cualquiera, será
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el volumen por la densidad, verdad?
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Ya que la densidad- las unidades de densidad son como kilógramos
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por metro cúbico.
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Entonces si la multiplicas por metros cúbicos, obtienes los kilógramos.
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con lo cual podemos decir que la masa- bueno, usaré una notación, d
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masa - esto no es una función.
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Bueno, no quiero escribir los paréntesis, porque eso
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lo hace parecer una función.
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Entonces, una masa muy diferencial, o muy pequeña, será
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igual a la densidad en ese punto, lo cual será xyz,
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por el volumen de la pequeña masa.
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Y el volumen de esa pequeña masa lo podemos escribir como dv.
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Y sabemos que ese dv es lo mismo que el ancho por
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el alto por el largo.
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dv no siempre va a ser dx por dy por dz.
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Si usamos otras coordenadas, si usamos
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coordenadas polares, puede ser algo un poco diferente.
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Y lo haremos eventualmente.
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Pero si queremos calcular la masa, como estamos usando
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coordenadas cartesianas, será la densidad de la función
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en ese punto por nuestra diferencial del volumen.
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Entonces dx dy dz.
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Y por supuesto, aquí cambiamos el orden.
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Entonces cuando quieras calcular el volumen- cuando quieras
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calcular la masa- lo cual haré en el próximo video,
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esencialmente tendremos que integrar esta función.
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En oposición a 1 sobre z, y y x.
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Y haré eso en el proximo video.
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y verás que es muy simple cualcular la
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función primitiva y evitar errores de descuido.
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Nos vemos en el próximo video.
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