WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:00.740
-

00:00:00.740 --> 00:00:04.160
Encontraré el volumen de un cubo, donde los

00:00:04.160 --> 00:00:07.150
valores del cubo: - digamos que x está entre- que x es mayor

00:00:07.150 --> 00:00:10.350
o igual a 0, es menor o igual a

00:00:10.350 --> 00:00:11.780
3.

00:00:11.780 --> 00:00:14.600
Digamos que y is mayor o igual a 0, y es

00:00:14.600 --> 00:00:17.000
menor o igual a 4.

00:00:17.000 --> 00:00:21.270
Y digamos que z es mayor o igual a 0 y

00:00:21.270 --> 00:00:23.055
menor o igual a 2.

00:00:23.055 --> 00:00:26.650
Luego usando geometría básica puedes darte cuenta-

00:00:26.650 --> 00:00:30.370
sabes, basta multiplicar el ancho por el alto por

00:00:30.370 --> 00:00:31.340
el largo y tienes el volumen.

00:00:31.340 --> 00:00:34.280
Pero quiero hacer este ejemplo, para que te acostumbres

00:00:34.280 --> 00:00:36.700
a como se ve una integral triple, cómo se relaciona con una

00:00:36.700 --> 00:00:39.180
doble integral y en el próximo video podremos hacer

00:00:39.180 --> 00:00:40.290
algo un poco más complicado.

00:00:40.290 --> 00:00:44.040
Entonces dibujemos este volumen.

00:00:44.040 --> 00:00:51.780
Este es mi eje x, este es el z, este es el y.

00:00:51.780 --> 00:00:54.330
-

00:00:54.330 --> 00:00:55.795
x, y, z.

00:00:55.795 --> 00:00:59.600
-

00:00:59.600 --> 00:01:00.080
Bien.

00:01:00.080 --> 00:01:01.910
Entonces x está entre 0 y 3.

00:01:01.910 --> 00:01:03.070
Esto es x igual a 0.

00:01:03.070 --> 00:01:09.120
Esto es x igual a- veamos, 1, 2, 3.

00:01:09.120 --> 00:01:10.570
y está entre 0 y 4.

00:01:10.570 --> 00:01:13.180
1, 2, 3, 4.

00:01:13.180 --> 00:01:15.450
Entonces el plano x-y se verá como algo así.

00:01:15.450 --> 00:01:20.520
El tipo de base de nuestro cubo se verá como algo así.

00:01:20.520 --> 00:01:21.770
Entonces z está entre 0 y 2.

00:01:21.770 --> 00:01:25.350
Entonces 0 es el plano x-y, y luego 1, 2.

00:01:25.350 --> 00:01:27.130
Entonces esto será el punto más alto.

00:01:27.130 --> 00:01:30.600
Haré esto en otro color.

00:01:30.600 --> 00:01:34.520
Entonces esto es a lo largo del eje x-z.

00:01:34.520 --> 00:01:36.360
Tendrá una frontera aquí, luego

00:01:36.360 --> 00:01:38.316
seguirá así.

00:01:38.316 --> 00:01:41.850
Tendrá una frontera aquí, seguirá así.

00:01:41.850 --> 00:01:43.810
Una frontera aquí.

00:01:43.810 --> 00:01:45.600
Entonces podemos notar que el volumen es un cubo.

00:01:45.600 --> 00:01:46.370
Y tu puedes hacerlo.

00:01:46.370 --> 00:01:51.540
Puedes decir, que el largo es 3, la base, el ancho es 4,

00:01:51.540 --> 00:01:53.920
entonces esta área es 12 por la altura.

00:01:53.920 --> 00:01:55.170
12 por 2 es 24.

00:01:55.170 --> 00:01:58.980
Puedes decir es 24 unidades cúbicas, independiente de

00:01:58.980 --> 00:01:59.630
las unidades que estemos usando.

00:01:59.630 --> 00:02:01.990
Pero hagámoslo como una integral triple.

00:02:01.990 --> 00:02:03.640
Entonces ¿Qué significa una integral triple?

00:02:03.640 --> 00:02:07.110
Lo que podemos hacer es tomar el volumen de un muy

00:02:07.110 --> 00:02:10.670
pequeño -no área- sino volumen.

00:02:10.670 --> 00:02:14.770
Digamos que queremos calcular el volumen de un cubo muy pequeño.

00:02:14.770 --> 00:02:17.810
En algún lugar en el volumen que tenemos.

00:02:17.810 --> 00:02:20.160
Y empezará a tener mayor sentido o a ser

00:02:20.160 --> 00:02:22.860
mucho más útil, cuando tenemos fronteras variables

00:02:22.860 --> 00:02:25.050
y superficies o curvas como fronteras.

00:02:25.050 --> 00:02:26.840
Pero digamos que queremos encontrar el volumen de este

00:02:26.840 --> 00:02:29.780
pequeño cubo que está aquí.

00:02:29.780 --> 00:02:30.590
Este es mi cubo.

00:02:30.590 --> 00:02:33.630
Está en algún lugar de mi gran cubo, de este rectángulo más grande,

00:02:33.630 --> 00:02:35.460
o rectángulo cúbico, como quieras llamarlo.

00:02:35.460 --> 00:02:36.540
Entonces ¿Cuál es el volumen de ese cubo?

00:02:36.540 --> 00:02:38.930
Digamos que el ancho es dy.

00:02:38.930 --> 00:02:42.320
-

00:02:42.320 --> 00:02:44.010
Entonces la longitud ahí es dy.

00:02:44.010 --> 00:02:46.810
Su altura es dx

00:02:46.810 --> 00:02:49.660
Perdón, no, su altura es dz, cierto?

00:02:49.660 --> 00:02:51.840
De la forma que lo dibujé, z está hacia

00:02:51.840 --> 00:02:53.860
Y su largo es dx.

00:02:53.860 --> 00:02:55.940
Esto es dx.

00:02:55.940 --> 00:02:56.750
Esto es dz.

00:02:56.750 --> 00:02:57.720
Esto es dy.

00:02:57.720 --> 00:03:01.260
Entonces puedes decir que un pequeño volumen dentro de este mayor

00:03:01.260 --> 00:03:04.830
volumen -puedes llamarlo dv, que es el

00:03:04.830 --> 00:03:06.750
diferencial del volumen.

00:03:06.750 --> 00:03:10.290
Y eso será igual a, puedes decir, que es precisamente

00:03:10.290 --> 00:03:13.990
el ancho por el largo por el alto.

00:03:13.990 --> 00:03:15.950
dx por dy por dz.

00:03:15.950 --> 00:03:17.760
Y puedes cambiar el orden de éstos, cierto?

00:03:17.760 --> 00:03:21.010
Porque la multiplicación es asociativa, entonces el

00:03:21.010 --> 00:03:22.920
orden no importa.

00:03:22.920 --> 00:03:24.540
En todo caso, ¿Qué puedes hacer con esto?

00:03:24.540 --> 00:03:27.290
Podemos usar la integral.

00:03:27.290 --> 00:03:32.520
Todas las integrales nos ayudan a sumar infinitas partes de

00:03:32.520 --> 00:03:36.080
infinitas pequeñas distancias, como dz o dx o

00:03:36.080 --> 00:03:38.240
dy, etc.

00:03:38.240 --> 00:03:41.620
Entonces, lo que podemos hacer es tomar el cubo y

00:03:41.620 --> 00:03:44.110
primero, sumar en la dirección de z.

00:03:44.110 --> 00:03:48.330
Entonces podemos tomar el cubo y luego sumar a lo largo del

00:03:48.330 --> 00:03:51.230
eje hacia arriba y abajo, el eje z, para obtener

00:03:51.230 --> 00:03:52.410
el volumen de la columna.

00:03:52.410 --> 00:03:54.550
¿Y cómo se vería esto?

00:03:54.550 --> 00:03:56.930
Como vamos hacia arriba y abajo,

00:03:56.930 --> 00:04:00.670
tomamos la suma en la dirección z.

00:04:00.670 --> 00:04:02.610
Tendremos una integral.

00:04:02.610 --> 00:04:04.655
¿Cuál será el menor valor de z?

00:04:04.655 --> 00:04:08.310
Es z igual a 0.

00:04:08.310 --> 00:04:09.280
¿Y cuál es el mayor valor?

00:04:09.280 --> 00:04:12.070
Como si fueras a tomar - sigue sumando esos cubos y

00:04:12.070 --> 00:04:14.190
sigue subiendo, llegarás al límite alto.

00:04:14.190 --> 00:04:14.770
¿Y dónde está lo más alto?

00:04:14.770 --> 00:04:16.100
es cuando z es igual a 2.

00:04:16.100 --> 00:04:20.580
-

00:04:20.580 --> 00:04:25.010
Por supuesto, tomarás la suma de estos dvs.

00:04:25.010 --> 00:04:26.130
Y anotaré primero dz.

00:04:26.130 --> 00:04:28.170
Para que recordemos que

00:04:28.170 --> 00:04:30.430
tomaremos primero la integral respecto a z.

00:04:30.430 --> 00:04:32.010
Luego haremos la de y.

00:04:32.010 --> 00:04:34.200
Y finalmente la x.

00:04:34.200 --> 00:04:37.430
Entonces esta integral, este valor, como lo he escrito,

00:04:37.430 --> 00:04:42.020
nos dará el volumen de una columna dado cualquier x e y.

00:04:42.020 --> 00:04:45.240
Será una función de x e y, pero como estamos trabajando con

00:04:45.240 --> 00:04:47.130
constantes, nos dará

00:04:47.130 --> 00:04:48.600
un valor constante.

00:04:48.600 --> 00:04:52.160
Será el valor constante del volumen de una

00:04:52.160 --> 00:04:53.890
de esas columnas.

00:04:53.890 --> 00:04:56.580
En este caso, será 2 por dy dx.

00:04:56.580 --> 00:04:59.330
Ya que la altura de una de esas columnas es 2,

00:04:59.330 --> 00:05:03.710
luego su ancho y largo es dy y dx.

00:05:03.710 --> 00:05:06.570
Entonces si queremos encontrar el volumen total-

00:05:06.570 --> 00:05:09.270
lo que acabamos de hacer fue encontrar la altura de una columna.

00:05:09.270 --> 00:05:11.300
Entonces podemos tomar las columnas y sumarlas

00:05:11.300 --> 00:05:13.730
en la dirección y.

00:05:13.730 --> 00:05:15.710
Entonces si sumamos en la dirección y, podemos tomar

00:05:15.710 --> 00:05:20.340
otra integral de esta suma en la dirección y.

00:05:20.340 --> 00:05:25.650
¿y va de 0 a cuánto? y está entre 0 y 4.

00:05:25.650 --> 00:05:27.180
Anoté la integral muy a la

00:05:27.180 --> 00:05:28.300
izquierda, se ve raro.

00:05:28.300 --> 00:05:31.000
Pero creo que entiendes la idea.

00:05:31.000 --> 00:05:33.390
y es igual a 0 hasta y es igual a 4.

00:05:33.390 --> 00:05:37.420
Luego esto nos dará el volumen de una hoja que es

00:05:37.420 --> 00:05:40.290
paralela al plano zy.

00:05:40.290 --> 00:05:44.250
Luego lo único que nos falta es sumar todas estas

00:05:44.250 --> 00:05:46.570
hojas en la dirección x, y tendremos el volumen

00:05:46.570 --> 00:05:48.210
de toda nuestra figura.

00:05:48.210 --> 00:05:50.190
Entonces para sumar todas esas hojas, tendremos que sumar

00:05:50.190 --> 00:05:51.750
en la dirección x.

00:05:51.750 --> 00:05:57.060
Iremos de x igual a 0, hasta x igual a 3.

00:05:57.060 --> 00:05:58.660
Y evaluar esto es bien sencillo.

00:05:58.660 --> 00:05:59.690
sencillo.

00:05:59.690 --> 00:06:03.020
Primero tomamos la integral respecto a z.

00:06:03.020 --> 00:06:05.090
Bueno, no tenemos nada escrito aquí abajo. pero

00:06:05.090 --> 00:06:06.740
podemos asumir que ahí va un 1, cierto?

00:06:06.740 --> 00:06:10.160
Porque dz por dy por dx es lo mismo que

00:06:10.160 --> 00:06:12.940
1 por dz por dy por dx.

00:06:12.940 --> 00:06:15.500
Entonces ¿Cuál es el valor de esta integral?

00:06:15.500 --> 00:06:18.760
Bueno la integral de 1 respecto a

00:06:18.760 --> 00:06:20.650
z es z, verdad?

00:06:20.650 --> 00:06:22.700
Porque la primitiva de z es 1.

00:06:22.700 --> 00:06:27.640
Y lo evaluas de 2 a 0.

00:06:27.640 --> 00:06:30.210
Entonces te quedas con entonces es 2 menos 0.

00:06:30.210 --> 00:06:31.580
Entonces queda 2.

00:06:31.580 --> 00:06:34.390
Entonces te queda 2 y tomas la integral de eso desde

00:06:34.390 --> 00:06:38.080
y igual a 0 hasta y igual a 4 dy, y luego

00:06:38.080 --> 00:06:40.060
está la x.

00:06:40.060 --> 00:06:45.280
Desde x igual a 0 hasta x igual 3 dx.

00:06:45.280 --> 00:06:48.440
Fíjate cuando tomamos la integral respecto a z,

00:06:48.440 --> 00:06:50.210
terminamos con una doble integral.

00:06:50.210 --> 00:06:52.830
Y esta doble integral es exactamente la misma integral que habríamos

00:06:52.830 --> 00:06:56.440
hecho en los videos anteriores en la doble integral, donde

00:06:56.440 --> 00:06:59.510
habrías dicho, bien z es una función de x e y.

00:06:59.510 --> 00:07:01.880
Entonces podrías haber escrito z es una función de x

00:07:01.880 --> 00:07:04.230
e y es siempre igual a 2.

00:07:04.230 --> 00:07:05.180
Es una función constante.

00:07:05.180 --> 00:07:06.980
es independiente de x y de y.

00:07:06.980 --> 00:07:09.210
Pero si has definido z de este modo y querías

00:07:09.210 --> 00:07:11.985
calcular el volumen que encierra esta superficie, donde la superficie

00:07:11.985 --> 00:07:15.370
es z igual a 2 - tu sabes que ésta es una superficie, es z

00:07:15.370 --> 00:07:17.580
igual a 2 - habríamos terminado con esto.

00:07:17.580 --> 00:07:19.130
Entonces ves que lo que hacemos con la triple

00:07:19.130 --> 00:07:21.030
integral, es en realidad lo mismo.

00:07:21.030 --> 00:07:22.060
Y puedes estar preguntándote, ¿Por qué estamos

00:07:22.060 --> 00:07:22.840
haciendo esto?

00:07:22.840 --> 00:07:25.730
Y te lo mostraré en seguida.

00:07:25.730 --> 00:07:28.320
En todo caso, para evaluar esto, puedes tomar la

00:07:28.320 --> 00:07:32.070
integral de esto respecto a y, tienes 2y-

00:07:32.070 --> 00:07:33.760
déjame bajar un poco.

00:07:33.760 --> 00:07:38.530
Queda 2y evaluando eso en 4 y 0.

00:07:38.530 --> 00:07:41.150
Luego, obtienes 2 por 4

00:07:41.150 --> 00:07:42.540
Eso es 8 menos 0.

00:07:42.540 --> 00:07:46.070
Luego integras eso respecto

00:07:46.070 --> 00:07:48.340
a x de 0 a 3.

00:07:48.340 --> 00:07:52.430
Lo cual es 8x de 0 a 3.

00:07:52.430 --> 00:07:55.430
Que será igual a 24 unidades cúbicas

00:07:55.430 --> 00:07:59.780
Ahora la obvia pregunta es ¿Para qué sirve esto?

00:07:59.780 --> 00:08:05.420
Cuando tienes un tipo de variable constante dentro

00:08:05.420 --> 00:08:06.400
del volumen, estás bien,

00:08:06.400 --> 00:08:08.230
podrías haberlo calculado con una integral doble.

00:08:08.230 --> 00:08:11.610
Pero que pasa si te digo: nuestro objetivo no es calcular

00:08:11.610 --> 00:08:13.670
el volumen de esta figura.

00:08:13.670 --> 00:08:16.550
Nuestro objetivo es calcular la masa de la figura.

00:08:16.550 --> 00:08:21.660
Y más aún, este volumen- este área de espacio o

00:08:21.660 --> 00:08:23.670
lo que sea- tiene una masa no uniforme.

00:08:23.670 --> 00:08:28.190
Si su masa fuera uniforme, podrías simplemente multiplicar su densidad

00:08:28.190 --> 00:08:31.240
uniforme por su volumen y obtendrás su masa.

00:08:31.240 --> 00:08:33.040
Pero digamos que la densidad cambia.

00:08:33.040 --> 00:08:36.340
Puede ser el volumen de un gas o incluso algún

00:08:36.340 --> 00:08:39.070
material formado por diferentes compuestos.

00:08:39.070 --> 00:08:42.370
Entonces digamos que su densidad es una función variable

00:08:42.370 --> 00:08:43.240
de x, y y z.

00:08:43.240 --> 00:08:47.650
Entonces digamos que la densidad- esta filo, esto que

00:08:47.650 --> 00:08:50.720
parece una p, es lo que normalmente se usa en física para la densidad- entonces

00:08:50.720 --> 00:08:54.390
su densidad es una función de x, y and z.

00:08:54.390 --> 00:08:55.710
Hágamoslo simple-- multipliquemos

00:08:55.710 --> 00:08:59.840
x por y por z.

00:08:59.840 --> 00:09:06.020
Si queremos calcular la masa de un volumen cualquiera, será

00:09:06.020 --> 00:09:08.440
el volumen por la densidad, verdad?

00:09:08.440 --> 00:09:12.190
Ya que la densidad- las unidades de densidad son como kilógramos

00:09:12.190 --> 00:09:13.590
por metro cúbico.

00:09:13.590 --> 00:09:16.400
Entonces si la multiplicas por metros cúbicos, obtienes los kilógramos.

00:09:16.400 --> 00:09:20.260
con lo cual podemos decir que la masa- bueno, usaré una notación, d

00:09:20.260 --> 00:09:23.730
masa - esto no es una función.

00:09:23.730 --> 00:09:25.230
Bueno, no quiero escribir los paréntesis, porque eso

00:09:25.230 --> 00:09:26.230
lo hace parecer una función.

00:09:26.230 --> 00:09:30.490
Entonces, una masa muy diferencial, o muy pequeña, será

00:09:30.490 --> 00:09:35.860
igual a la densidad en ese punto, lo cual será xyz,

00:09:35.860 --> 00:09:39.810
por el volumen de la pequeña masa.

00:09:39.810 --> 00:09:42.780
Y el volumen de esa pequeña masa lo podemos escribir como dv.

00:09:42.780 --> 00:09:48.790
Y sabemos que ese dv es lo mismo que el ancho por

00:09:48.790 --> 00:09:49.670
el alto por el largo.

00:09:49.670 --> 00:09:52.350
dv no siempre va a ser dx por dy por dz.

00:09:52.350 --> 00:09:54.000
Si usamos otras coordenadas, si usamos

00:09:54.000 --> 00:09:57.670
coordenadas polares, puede ser algo un poco diferente.

00:09:57.670 --> 00:09:59.160
Y lo haremos eventualmente.

00:09:59.160 --> 00:10:01.280
Pero si queremos calcular la masa, como estamos usando

00:10:01.280 --> 00:10:03.550
coordenadas cartesianas, será la densidad de la función

00:10:03.550 --> 00:10:07.030
en ese punto por nuestra diferencial del volumen.

00:10:07.030 --> 00:10:11.330
Entonces dx dy dz.

00:10:11.330 --> 00:10:13.870
Y por supuesto, aquí cambiamos el orden.

00:10:13.870 --> 00:10:16.386
Entonces cuando quieras calcular el volumen- cuando quieras

00:10:16.386 --> 00:10:19.000
calcular la masa- lo cual haré en el próximo video,

00:10:19.000 --> 00:10:21.290
esencialmente tendremos que integrar esta función.

00:10:21.290 --> 00:10:27.400
En oposición a 1 sobre z, y y x.

00:10:27.400 --> 00:10:28.690
Y haré eso en el proximo video.

00:10:28.690 --> 00:10:32.050
y verás que es muy simple cualcular la

00:10:32.050 --> 00:10:34.700
función primitiva y evitar errores de descuido.

00:10:34.700 --> 00:10:37.280
Nos vemos en el próximo video.

00:10:37.280 --> 00:10:37.900
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