1
00:00:00,000 --> 00:00:00,740
-

2
00:00:00,740 --> 00:00:04,160
Encontraré el volumen de un cubo, donde los

3
00:00:04,160 --> 00:00:07,150
valores del cubo: - digamos que x está entre- que x es mayor

4
00:00:07,150 --> 00:00:10,350
o igual a 0, es menor o igual a

5
00:00:10,350 --> 00:00:11,780
3.

6
00:00:11,780 --> 00:00:14,600
Digamos que y is mayor o igual a 0, y es

7
00:00:14,600 --> 00:00:17,000
menor o igual a 4.

8
00:00:17,000 --> 00:00:21,270
Y digamos que z es mayor o igual a 0 y

9
00:00:21,270 --> 00:00:23,055
menor o igual a 2.

10
00:00:23,055 --> 00:00:26,650
Luego usando geometría básica puedes darte cuenta-

11
00:00:26,650 --> 00:00:30,370
sabes, basta multiplicar el ancho por el alto por

12
00:00:30,370 --> 00:00:31,340
el largo y tienes el volumen.

13
00:00:31,340 --> 00:00:34,280
Pero quiero hacer este ejemplo, para que te acostumbres

14
00:00:34,280 --> 00:00:36,700
a como se ve una integral triple, cómo se relaciona con una

15
00:00:36,700 --> 00:00:39,180
doble integral y en el próximo video podremos hacer

16
00:00:39,180 --> 00:00:40,290
algo un poco más complicado.

17
00:00:40,290 --> 00:00:44,040
Entonces dibujemos este volumen.

18
00:00:44,040 --> 00:00:51,780
Este es mi eje x, este es el z, este es el y.

19
00:00:51,780 --> 00:00:54,330
-

20
00:00:54,330 --> 00:00:55,795
x, y, z.

21
00:00:55,795 --> 00:00:59,600
-

22
00:00:59,600 --> 00:01:00,080
Bien.

23
00:01:00,080 --> 00:01:01,910
Entonces x está entre 0 y 3.

24
00:01:01,910 --> 00:01:03,070
Esto es x igual a 0.

25
00:01:03,070 --> 00:01:09,120
Esto es x igual a- veamos, 1, 2, 3.

26
00:01:09,120 --> 00:01:10,570
y está entre 0 y 4.

27
00:01:10,570 --> 00:01:13,180
1, 2, 3, 4.

28
00:01:13,180 --> 00:01:15,450
Entonces el plano x-y se verá como algo así.

29
00:01:15,450 --> 00:01:20,520
El tipo de base de nuestro cubo se verá como algo así.

30
00:01:20,520 --> 00:01:21,770
Entonces z está entre 0 y 2.

31
00:01:21,770 --> 00:01:25,350
Entonces 0 es el plano x-y, y luego 1, 2.

32
00:01:25,350 --> 00:01:27,130
Entonces esto será el punto más alto.

33
00:01:27,130 --> 00:01:30,600
Haré esto en otro color.

34
00:01:30,600 --> 00:01:34,520
Entonces esto es a lo largo del eje x-z.

35
00:01:34,520 --> 00:01:36,360
Tendrá una frontera aquí, luego

36
00:01:36,360 --> 00:01:38,316
seguirá así.

37
00:01:38,316 --> 00:01:41,850
Tendrá una frontera aquí, seguirá así.

38
00:01:41,850 --> 00:01:43,810
Una frontera aquí.

39
00:01:43,810 --> 00:01:45,600
Entonces podemos notar que el volumen es un cubo.

40
00:01:45,600 --> 00:01:46,370
Y tu puedes hacerlo.

41
00:01:46,370 --> 00:01:51,540
Puedes decir, que el largo es 3, la base, el ancho es 4,

42
00:01:51,540 --> 00:01:53,920
entonces esta área es 12 por la altura.

43
00:01:53,920 --> 00:01:55,170
12 por 2 es 24.

44
00:01:55,170 --> 00:01:58,980
Puedes decir es 24 unidades cúbicas, independiente de

45
00:01:58,980 --> 00:01:59,630
las unidades que estemos usando.

46
00:01:59,630 --> 00:02:01,990
Pero hagámoslo como una integral triple.

47
00:02:01,990 --> 00:02:03,640
Entonces ¿Qué significa una integral triple?

48
00:02:03,640 --> 00:02:07,110
Lo que podemos hacer es tomar el volumen de un muy

49
00:02:07,110 --> 00:02:10,670
pequeño -no área- sino volumen.

50
00:02:10,670 --> 00:02:14,770
Digamos que queremos calcular el volumen de un cubo muy pequeño.

51
00:02:14,770 --> 00:02:17,810
En algún lugar en el volumen que tenemos.

52
00:02:17,810 --> 00:02:20,160
Y empezará a tener mayor sentido o a ser

53
00:02:20,160 --> 00:02:22,860
mucho más útil, cuando tenemos fronteras variables

54
00:02:22,860 --> 00:02:25,050
y superficies o curvas como fronteras.

55
00:02:25,050 --> 00:02:26,840
Pero digamos que queremos encontrar el volumen de este

56
00:02:26,840 --> 00:02:29,780
pequeño cubo que está aquí.

57
00:02:29,780 --> 00:02:30,590
Este es mi cubo.

58
00:02:30,590 --> 00:02:33,630
Está en algún lugar de mi gran cubo, de este rectángulo más grande,

59
00:02:33,630 --> 00:02:35,460
o rectángulo cúbico, como quieras llamarlo.

60
00:02:35,460 --> 00:02:36,540
Entonces ¿Cuál es el volumen de ese cubo?

61
00:02:36,540 --> 00:02:38,930
Digamos que el ancho es dy.

62
00:02:38,930 --> 00:02:42,320
-

63
00:02:42,320 --> 00:02:44,010
Entonces la longitud ahí es dy.

64
00:02:44,010 --> 00:02:46,810
Su altura es dx

65
00:02:46,810 --> 00:02:49,660
Perdón, no, su altura es dz, cierto?

66
00:02:49,660 --> 00:02:51,840
De la forma que lo dibujé, z está hacia

67
00:02:51,840 --> 00:02:53,860
Y su largo es dx.

68
00:02:53,860 --> 00:02:55,940
Esto es dx.

69
00:02:55,940 --> 00:02:56,750
Esto es dz.

70
00:02:56,750 --> 00:02:57,720
Esto es dy.

71
00:02:57,720 --> 00:03:01,260
Entonces puedes decir que un pequeño volumen dentro de este mayor

72
00:03:01,260 --> 00:03:04,830
volumen -puedes llamarlo dv, que es el

73
00:03:04,830 --> 00:03:06,750
diferencial del volumen.

74
00:03:06,750 --> 00:03:10,290
Y eso será igual a, puedes decir, que es precisamente

75
00:03:10,290 --> 00:03:13,990
el ancho por el largo por el alto.

76
00:03:13,990 --> 00:03:15,950
dx por dy por dz.

77
00:03:15,950 --> 00:03:17,760
Y puedes cambiar el orden de éstos, cierto?

78
00:03:17,760 --> 00:03:21,010
Porque la multiplicación es asociativa, entonces el

79
00:03:21,010 --> 00:03:22,920
orden no importa.

80
00:03:22,920 --> 00:03:24,540
En todo caso, ¿Qué puedes hacer con esto?

81
00:03:24,540 --> 00:03:27,290
Podemos usar la integral.

82
00:03:27,290 --> 00:03:32,520
Todas las integrales nos ayudan a sumar infinitas partes de

83
00:03:32,520 --> 00:03:36,080
infinitas pequeñas distancias, como dz o dx o

84
00:03:36,080 --> 00:03:38,240
dy, etc.

85
00:03:38,240 --> 00:03:41,620
Entonces, lo que podemos hacer es tomar el cubo y

86
00:03:41,620 --> 00:03:44,110
primero, sumar en la dirección de z.

87
00:03:44,110 --> 00:03:48,330
Entonces podemos tomar el cubo y luego sumar a lo largo del

88
00:03:48,330 --> 00:03:51,230
eje hacia arriba y abajo, el eje z, para obtener

89
00:03:51,230 --> 00:03:52,410
el volumen de la columna.

90
00:03:52,410 --> 00:03:54,550
¿Y cómo se vería esto?

91
00:03:54,550 --> 00:03:56,930
Como vamos hacia arriba y abajo,

92
00:03:56,930 --> 00:04:00,670
tomamos la suma en la dirección z.

93
00:04:00,670 --> 00:04:02,610
Tendremos una integral.

94
00:04:02,610 --> 00:04:04,655
¿Cuál será el menor valor de z?

95
00:04:04,655 --> 00:04:08,310
Es z igual a 0.

96
00:04:08,310 --> 00:04:09,280
¿Y cuál es el mayor valor?

97
00:04:09,280 --> 00:04:12,070
Como si fueras a tomar - sigue sumando esos cubos y

98
00:04:12,070 --> 00:04:14,190
sigue subiendo, llegarás al límite alto.

99
00:04:14,190 --> 00:04:14,770
¿Y dónde está lo más alto?

100
00:04:14,770 --> 00:04:16,100
es cuando z es igual a 2.

101
00:04:16,100 --> 00:04:20,580
-

102
00:04:20,580 --> 00:04:25,010
Por supuesto, tomarás la suma de estos dvs.

103
00:04:25,010 --> 00:04:26,130
Y anotaré primero dz.

104
00:04:26,130 --> 00:04:28,170
Para que recordemos que

105
00:04:28,170 --> 00:04:30,430
tomaremos primero la integral respecto a z.

106
00:04:30,430 --> 00:04:32,010
Luego haremos la de y.

107
00:04:32,010 --> 00:04:34,200
Y finalmente la x.

108
00:04:34,200 --> 00:04:37,430
Entonces esta integral, este valor, como lo he escrito,

109
00:04:37,430 --> 00:04:42,020
nos dará el volumen de una columna dado cualquier x e y.

110
00:04:42,020 --> 00:04:45,240
Será una función de x e y, pero como estamos trabajando con

111
00:04:45,240 --> 00:04:47,130
constantes, nos dará

112
00:04:47,130 --> 00:04:48,600
un valor constante.

113
00:04:48,600 --> 00:04:52,160
Será el valor constante del volumen de una

114
00:04:52,160 --> 00:04:53,890
de esas columnas.

115
00:04:53,890 --> 00:04:56,580
En este caso, será 2 por dy dx.

116
00:04:56,580 --> 00:04:59,330
Ya que la altura de una de esas columnas es 2,

117
00:04:59,330 --> 00:05:03,710
luego su ancho y largo es dy y dx.

118
00:05:03,710 --> 00:05:06,570
Entonces si queremos encontrar el volumen total-

119
00:05:06,570 --> 00:05:09,270
lo que acabamos de hacer fue encontrar la altura de una columna.

120
00:05:09,270 --> 00:05:11,300
Entonces podemos tomar las columnas y sumarlas

121
00:05:11,300 --> 00:05:13,730
en la dirección y.

122
00:05:13,730 --> 00:05:15,710
Entonces si sumamos en la dirección y, podemos tomar

123
00:05:15,710 --> 00:05:20,340
otra integral de esta suma en la dirección y.

124
00:05:20,340 --> 00:05:25,650
¿y va de 0 a cuánto? y está entre 0 y 4.

125
00:05:25,650 --> 00:05:27,180
Anoté la integral muy a la

126
00:05:27,180 --> 00:05:28,300
izquierda, se ve raro.

127
00:05:28,300 --> 00:05:31,000
Pero creo que entiendes la idea.

128
00:05:31,000 --> 00:05:33,390
y es igual a 0 hasta y es igual a 4.

129
00:05:33,390 --> 00:05:37,420
Luego esto nos dará el volumen de una hoja que es

130
00:05:37,420 --> 00:05:40,290
paralela al plano zy.

131
00:05:40,290 --> 00:05:44,250
Luego lo único que nos falta es sumar todas estas

132
00:05:44,250 --> 00:05:46,570
hojas en la dirección x, y tendremos el volumen

133
00:05:46,570 --> 00:05:48,210
de toda nuestra figura.

134
00:05:48,210 --> 00:05:50,190
Entonces para sumar todas esas hojas, tendremos que sumar

135
00:05:50,190 --> 00:05:51,750
en la dirección x.

136
00:05:51,750 --> 00:05:57,060
Iremos de x igual a 0, hasta x igual a 3.

137
00:05:57,060 --> 00:05:58,660
Y evaluar esto es bien sencillo.

138
00:05:58,660 --> 00:05:59,690
sencillo.

139
00:05:59,690 --> 00:06:03,020
Primero tomamos la integral respecto a z.

140
00:06:03,020 --> 00:06:05,090
Bueno, no tenemos nada escrito aquí abajo. pero

141
00:06:05,090 --> 00:06:06,740
podemos asumir que ahí va un 1, cierto?

142
00:06:06,740 --> 00:06:10,160
Porque dz por dy por dx es lo mismo que

143
00:06:10,160 --> 00:06:12,940
1 por dz por dy por dx.

144
00:06:12,940 --> 00:06:15,500
Entonces ¿Cuál es el valor de esta integral?

145
00:06:15,500 --> 00:06:18,760
Bueno la integral de 1 respecto a

146
00:06:18,760 --> 00:06:20,650
z es z, verdad?

147
00:06:20,650 --> 00:06:22,700
Porque la primitiva de z es 1.

148
00:06:22,700 --> 00:06:27,640
Y lo evaluas de 2 a 0.

149
00:06:27,640 --> 00:06:30,210
Entonces te quedas con entonces es 2 menos 0.

150
00:06:30,210 --> 00:06:31,580
Entonces queda 2.

151
00:06:31,580 --> 00:06:34,390
Entonces te queda 2 y tomas la integral de eso desde

152
00:06:34,390 --> 00:06:38,080
y igual a 0 hasta y igual a 4 dy, y luego

153
00:06:38,080 --> 00:06:40,060
está la x.

154
00:06:40,060 --> 00:06:45,280
Desde x igual a 0 hasta x igual 3 dx.

155
00:06:45,280 --> 00:06:48,440
Fíjate cuando tomamos la integral respecto a z,

156
00:06:48,440 --> 00:06:50,210
terminamos con una doble integral.

157
00:06:50,210 --> 00:06:52,830
Y esta doble integral es exactamente la misma integral que habríamos

158
00:06:52,830 --> 00:06:56,440
hecho en los videos anteriores en la doble integral, donde

159
00:06:56,440 --> 00:06:59,510
habrías dicho, bien z es una función de x e y.

160
00:06:59,510 --> 00:07:01,880
Entonces podrías haber escrito z es una función de x

161
00:07:01,880 --> 00:07:04,230
e y es siempre igual a 2.

162
00:07:04,230 --> 00:07:05,180
Es una función constante.

163
00:07:05,180 --> 00:07:06,980
es independiente de x y de y.

164
00:07:06,980 --> 00:07:09,210
Pero si has definido z de este modo y querías

165
00:07:09,210 --> 00:07:11,985
calcular el volumen que encierra esta superficie, donde la superficie

166
00:07:11,985 --> 00:07:15,370
es z igual a 2 - tu sabes que ésta es una superficie, es z

167
00:07:15,370 --> 00:07:17,580
igual a 2 - habríamos terminado con esto.

168
00:07:17,580 --> 00:07:19,130
Entonces ves que lo que hacemos con la triple

169
00:07:19,130 --> 00:07:21,030
integral, es en realidad lo mismo.

170
00:07:21,030 --> 00:07:22,060
Y puedes estar preguntándote, ¿Por qué estamos

171
00:07:22,060 --> 00:07:22,840
haciendo esto?

172
00:07:22,840 --> 00:07:25,730
Y te lo mostraré en seguida.

173
00:07:25,730 --> 00:07:28,320
En todo caso, para evaluar esto, puedes tomar la

174
00:07:28,320 --> 00:07:32,070
integral de esto respecto a y, tienes 2y-

175
00:07:32,070 --> 00:07:33,760
déjame bajar un poco.

176
00:07:33,760 --> 00:07:38,530
Queda 2y evaluando eso en 4 y 0.

177
00:07:38,530 --> 00:07:41,150
Luego, obtienes 2 por 4

178
00:07:41,150 --> 00:07:42,540
Eso es 8 menos 0.

179
00:07:42,540 --> 00:07:46,070
Luego integras eso respecto

180
00:07:46,070 --> 00:07:48,340
a x de 0 a 3.

181
00:07:48,340 --> 00:07:52,430
Lo cual es 8x de 0 a 3.

182
00:07:52,430 --> 00:07:55,430
Que será igual a 24 unidades cúbicas

183
00:07:55,430 --> 00:07:59,780
Ahora la obvia pregunta es ¿Para qué sirve esto?

184
00:07:59,780 --> 00:08:05,420
Cuando tienes un tipo de variable constante dentro

185
00:08:05,420 --> 00:08:06,400
del volumen, estás bien,

186
00:08:06,400 --> 00:08:08,230
podrías haberlo calculado con una integral doble.

187
00:08:08,230 --> 00:08:11,610
Pero que pasa si te digo: nuestro objetivo no es calcular

188
00:08:11,610 --> 00:08:13,670
el volumen de esta figura.

189
00:08:13,670 --> 00:08:16,550
Nuestro objetivo es calcular la masa de la figura.

190
00:08:16,550 --> 00:08:21,660
Y más aún, este volumen- este área de espacio o

191
00:08:21,660 --> 00:08:23,670
lo que sea- tiene una masa no uniforme.

192
00:08:23,670 --> 00:08:28,190
Si su masa fuera uniforme, podrías simplemente multiplicar su densidad

193
00:08:28,190 --> 00:08:31,240
uniforme por su volumen y obtendrás su masa.

194
00:08:31,240 --> 00:08:33,040
Pero digamos que la densidad cambia.

195
00:08:33,040 --> 00:08:36,340
Puede ser el volumen de un gas o incluso algún

196
00:08:36,340 --> 00:08:39,070
material formado por diferentes compuestos.

197
00:08:39,070 --> 00:08:42,370
Entonces digamos que su densidad es una función variable

198
00:08:42,370 --> 00:08:43,240
de x, y y z.

199
00:08:43,240 --> 00:08:47,650
Entonces digamos que la densidad- esta filo, esto que

200
00:08:47,650 --> 00:08:50,720
parece una p, es lo que normalmente se usa en física para la densidad- entonces

201
00:08:50,720 --> 00:08:54,390
su densidad es una función de x, y and z.

202
00:08:54,390 --> 00:08:55,710
Hágamoslo simple-- multipliquemos

203
00:08:55,710 --> 00:08:59,840
x por y por z.

204
00:08:59,840 --> 00:09:06,020
Si queremos calcular la masa de un volumen cualquiera, será

205
00:09:06,020 --> 00:09:08,440
el volumen por la densidad, verdad?

206
00:09:08,440 --> 00:09:12,190
Ya que la densidad- las unidades de densidad son como kilógramos

207
00:09:12,190 --> 00:09:13,590
por metro cúbico.

208
00:09:13,590 --> 00:09:16,400
Entonces si la multiplicas por metros cúbicos, obtienes los kilógramos.

209
00:09:16,400 --> 00:09:20,260
con lo cual podemos decir que la masa- bueno, usaré una notación, d

210
00:09:20,260 --> 00:09:23,730
masa - esto no es una función.

211
00:09:23,730 --> 00:09:25,230
Bueno, no quiero escribir los paréntesis, porque eso

212
00:09:25,230 --> 00:09:26,230
lo hace parecer una función.

213
00:09:26,230 --> 00:09:30,490
Entonces, una masa muy diferencial, o muy pequeña, será

214
00:09:30,490 --> 00:09:35,860
igual a la densidad en ese punto, lo cual será xyz,

215
00:09:35,860 --> 00:09:39,810
por el volumen de la pequeña masa.

216
00:09:39,810 --> 00:09:42,780
Y el volumen de esa pequeña masa lo podemos escribir como dv.

217
00:09:42,780 --> 00:09:48,790
Y sabemos que ese dv es lo mismo que el ancho por

218
00:09:48,790 --> 00:09:49,670
el alto por el largo.

219
00:09:49,670 --> 00:09:52,350
dv no siempre va a ser dx por dy por dz.

220
00:09:52,350 --> 00:09:54,000
Si usamos otras coordenadas, si usamos

221
00:09:54,000 --> 00:09:57,670
coordenadas polares, puede ser algo un poco diferente.

222
00:09:57,670 --> 00:09:59,160
Y lo haremos eventualmente.

223
00:09:59,160 --> 00:10:01,280
Pero si queremos calcular la masa, como estamos usando

224
00:10:01,280 --> 00:10:03,550
coordenadas cartesianas, será la densidad de la función

225
00:10:03,550 --> 00:10:07,030
en ese punto por nuestra diferencial del volumen.

226
00:10:07,030 --> 00:10:11,330
Entonces dx dy dz.

227
00:10:11,330 --> 00:10:13,870
Y por supuesto, aquí cambiamos el orden.

228
00:10:13,870 --> 00:10:16,386
Entonces cuando quieras calcular el volumen- cuando quieras

229
00:10:16,386 --> 00:10:19,000
calcular la masa- lo cual haré en el próximo video,

230
00:10:19,000 --> 00:10:21,290
esencialmente tendremos que integrar esta función.

231
00:10:21,290 --> 00:10:27,400
En oposición a 1 sobre z, y y x.

232
00:10:27,400 --> 00:10:28,690
Y haré eso en el proximo video.

233
00:10:28,690 --> 00:10:32,050
y verás que es muy simple cualcular la

234
00:10:32,050 --> 00:10:34,700
función primitiva y evitar errores de descuido.

235
00:10:34,700 --> 00:10:37,280
Nos vemos en el próximo video.

236
00:10:37,280 --> 00:10:37,900
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