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Encontraré el volumen de un cubo, donde los
valores del cubo: - digamos que x está entre- que x es mayor
o igual a 0, es menor o igual a
3.
Digamos que y is mayor o igual a 0, y es
menor o igual a 4.
Y digamos que z es mayor o igual a 0 y
menor o igual a 2.
Luego usando geometría básica puedes darte cuenta-
sabes, basta multiplicar el ancho por el alto por
el largo y tienes el volumen.
Pero quiero hacer este ejemplo, para que te acostumbres
a como se ve una integral triple, cómo se relaciona con una
doble integral y en el próximo video podremos hacer
algo un poco más complicado.
Entonces dibujemos este volumen.
Este es mi eje x, este es el z, este es el y.
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x, y, z.
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Bien.
Entonces x está entre 0 y 3.
Esto es x igual a 0.
Esto es x igual a- veamos, 1, 2, 3.
y está entre 0 y 4.
1, 2, 3, 4.
Entonces el plano x-y se verá como algo así.
El tipo de base de nuestro cubo se verá como algo así.
Entonces z está entre 0 y 2.
Entonces 0 es el plano x-y, y luego 1, 2.
Entonces esto será el punto más alto.
Haré esto en otro color.
Entonces esto es a lo largo del eje x-z.
Tendrá una frontera aquí, luego
seguirá así.
Tendrá una frontera aquí, seguirá así.
Una frontera aquí.
Entonces podemos notar que el volumen es un cubo.
Y tu puedes hacerlo.
Puedes decir, que el largo es 3, la base, el ancho es 4,
entonces esta área es 12 por la altura.
12 por 2 es 24.
Puedes decir es 24 unidades cúbicas, independiente de
las unidades que estemos usando.
Pero hagámoslo como una integral triple.
Entonces ¿Qué significa una integral triple?
Lo que podemos hacer es tomar el volumen de un muy
pequeño -no área- sino volumen.
Digamos que queremos calcular el volumen de un cubo muy pequeño.
En algún lugar en el volumen que tenemos.
Y empezará a tener mayor sentido o a ser
mucho más útil, cuando tenemos fronteras variables
y superficies o curvas como fronteras.
Pero digamos que queremos encontrar el volumen de este
pequeño cubo que está aquí.
Este es mi cubo.
Está en algún lugar de mi gran cubo, de este rectángulo más grande,
o rectángulo cúbico, como quieras llamarlo.
Entonces ¿Cuál es el volumen de ese cubo?
Digamos que el ancho es dy.
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Entonces la longitud ahí es dy.
Su altura es dx
Perdón, no, su altura es dz, cierto?
De la forma que lo dibujé, z está hacia
Y su largo es dx.
Esto es dx.
Esto es dz.
Esto es dy.
Entonces puedes decir que un pequeño volumen dentro de este mayor
volumen -puedes llamarlo dv, que es el
diferencial del volumen.
Y eso será igual a, puedes decir, que es precisamente
el ancho por el largo por el alto.
dx por dy por dz.
Y puedes cambiar el orden de éstos, cierto?
Porque la multiplicación es asociativa, entonces el
orden no importa.
En todo caso, ¿Qué puedes hacer con esto?
Podemos usar la integral.
Todas las integrales nos ayudan a sumar infinitas partes de
infinitas pequeñas distancias, como dz o dx o
dy, etc.
Entonces, lo que podemos hacer es tomar el cubo y
primero, sumar en la dirección de z.
Entonces podemos tomar el cubo y luego sumar a lo largo del
eje hacia arriba y abajo, el eje z, para obtener
el volumen de la columna.
¿Y cómo se vería esto?
Como vamos hacia arriba y abajo,
tomamos la suma en la dirección z.
Tendremos una integral.
¿Cuál será el menor valor de z?
Es z igual a 0.
¿Y cuál es el mayor valor?
Como si fueras a tomar - sigue sumando esos cubos y
sigue subiendo, llegarás al límite alto.
¿Y dónde está lo más alto?
es cuando z es igual a 2.
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Por supuesto, tomarás la suma de estos dvs.
Y anotaré primero dz.
Para que recordemos que
tomaremos primero la integral respecto a z.
Luego haremos la de y.
Y finalmente la x.
Entonces esta integral, este valor, como lo he escrito,
nos dará el volumen de una columna dado cualquier x e y.
Será una función de x e y, pero como estamos trabajando con
constantes, nos dará
un valor constante.
Será el valor constante del volumen de una
de esas columnas.
En este caso, será 2 por dy dx.
Ya que la altura de una de esas columnas es 2,
luego su ancho y largo es dy y dx.
Entonces si queremos encontrar el volumen total-
lo que acabamos de hacer fue encontrar la altura de una columna.
Entonces podemos tomar las columnas y sumarlas
en la dirección y.
Entonces si sumamos en la dirección y, podemos tomar
otra integral de esta suma en la dirección y.
¿y va de 0 a cuánto? y está entre 0 y 4.
Anoté la integral muy a la
izquierda, se ve raro.
Pero creo que entiendes la idea.
y es igual a 0 hasta y es igual a 4.
Luego esto nos dará el volumen de una hoja que es
paralela al plano zy.
Luego lo único que nos falta es sumar todas estas
hojas en la dirección x, y tendremos el volumen
de toda nuestra figura.
Entonces para sumar todas esas hojas, tendremos que sumar
en la dirección x.
Iremos de x igual a 0, hasta x igual a 3.
Y evaluar esto es bien sencillo.
sencillo.
Primero tomamos la integral respecto a z.
Bueno, no tenemos nada escrito aquí abajo. pero
podemos asumir que ahí va un 1, cierto?
Porque dz por dy por dx es lo mismo que
1 por dz por dy por dx.
Entonces ¿Cuál es el valor de esta integral?
Bueno la integral de 1 respecto a
z es z, verdad?
Porque la primitiva de z es 1.
Y lo evaluas de 2 a 0.
Entonces te quedas con entonces es 2 menos 0.
Entonces queda 2.
Entonces te queda 2 y tomas la integral de eso desde
y igual a 0 hasta y igual a 4 dy, y luego
está la x.
Desde x igual a 0 hasta x igual 3 dx.
Fíjate cuando tomamos la integral respecto a z,
terminamos con una doble integral.
Y esta doble integral es exactamente la misma integral que habríamos
hecho en los videos anteriores en la doble integral, donde
habrías dicho, bien z es una función de x e y.
Entonces podrías haber escrito z es una función de x
e y es siempre igual a 2.
Es una función constante.
es independiente de x y de y.
Pero si has definido z de este modo y querías
calcular el volumen que encierra esta superficie, donde la superficie
es z igual a 2 - tu sabes que ésta es una superficie, es z
igual a 2 - habríamos terminado con esto.
Entonces ves que lo que hacemos con la triple
integral, es en realidad lo mismo.
Y puedes estar preguntándote, ¿Por qué estamos
haciendo esto?
Y te lo mostraré en seguida.
En todo caso, para evaluar esto, puedes tomar la
integral de esto respecto a y, tienes 2y-
déjame bajar un poco.
Queda 2y evaluando eso en 4 y 0.
Luego, obtienes 2 por 4
Eso es 8 menos 0.
Luego integras eso respecto
a x de 0 a 3.
Lo cual es 8x de 0 a 3.
Que será igual a 24 unidades cúbicas
Ahora la obvia pregunta es ¿Para qué sirve esto?
Cuando tienes un tipo de variable constante dentro
del volumen, estás bien,
podrías haberlo calculado con una integral doble.
Pero que pasa si te digo: nuestro objetivo no es calcular
el volumen de esta figura.
Nuestro objetivo es calcular la masa de la figura.
Y más aún, este volumen- este área de espacio o
lo que sea- tiene una masa no uniforme.
Si su masa fuera uniforme, podrías simplemente multiplicar su densidad
uniforme por su volumen y obtendrás su masa.
Pero digamos que la densidad cambia.
Puede ser el volumen de un gas o incluso algún
material formado por diferentes compuestos.
Entonces digamos que su densidad es una función variable
de x, y y z.
Entonces digamos que la densidad- esta filo, esto que
parece una p, es lo que normalmente se usa en física para la densidad- entonces
su densidad es una función de x, y and z.
Hágamoslo simple-- multipliquemos
x por y por z.
Si queremos calcular la masa de un volumen cualquiera, será
el volumen por la densidad, verdad?
Ya que la densidad- las unidades de densidad son como kilógramos
por metro cúbico.
Entonces si la multiplicas por metros cúbicos, obtienes los kilógramos.
con lo cual podemos decir que la masa- bueno, usaré una notación, d
masa - esto no es una función.
Bueno, no quiero escribir los paréntesis, porque eso
lo hace parecer una función.
Entonces, una masa muy diferencial, o muy pequeña, será
igual a la densidad en ese punto, lo cual será xyz,
por el volumen de la pequeña masa.
Y el volumen de esa pequeña masa lo podemos escribir como dv.
Y sabemos que ese dv es lo mismo que el ancho por
el alto por el largo.
dv no siempre va a ser dx por dy por dz.
Si usamos otras coordenadas, si usamos
coordenadas polares, puede ser algo un poco diferente.
Y lo haremos eventualmente.
Pero si queremos calcular la masa, como estamos usando
coordenadas cartesianas, será la densidad de la función
en ese punto por nuestra diferencial del volumen.
Entonces dx dy dz.
Y por supuesto, aquí cambiamos el orden.
Entonces cuando quieras calcular el volumen- cuando quieras
calcular la masa- lo cual haré en el próximo video,
esencialmente tendremos que integrar esta función.
En oposición a 1 sobre z, y y x.
Y haré eso en el proximo video.
y verás que es muy simple cualcular la
función primitiva y evitar errores de descuido.
Nos vemos en el próximo video.
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