0:00:00.000,0:00:00.740
-

0:00:00.740,0:00:04.160
Encontraré el volumen de un cubo, donde los

0:00:04.160,0:00:07.150
valores del cubo: - digamos que x está entre- que x es mayor

0:00:07.150,0:00:10.350
o igual a 0, es menor o igual a

0:00:10.350,0:00:11.780
3.

0:00:11.780,0:00:14.600
Digamos que y is mayor o igual a 0, y es

0:00:14.600,0:00:17.000
menor o igual a 4.

0:00:17.000,0:00:21.270
Y digamos que z es mayor o igual a 0 y

0:00:21.270,0:00:23.055
menor o igual a 2.

0:00:23.055,0:00:26.650
Luego usando geometría básica puedes darte cuenta-

0:00:26.650,0:00:30.370
sabes, basta multiplicar el ancho por el alto por

0:00:30.370,0:00:31.340
el largo y tienes el volumen.

0:00:31.340,0:00:34.280
Pero quiero hacer este ejemplo, para que te acostumbres

0:00:34.280,0:00:36.700
a como se ve una integral triple, cómo se relaciona con una

0:00:36.700,0:00:39.180
doble integral y en el próximo video podremos hacer

0:00:39.180,0:00:40.290
algo un poco más complicado.

0:00:40.290,0:00:44.040
Entonces dibujemos este volumen.

0:00:44.040,0:00:51.780
Este es mi eje x, este es el z, este es el y.

0:00:51.780,0:00:54.330
-

0:00:54.330,0:00:55.795
x, y, z.

0:00:55.795,0:00:59.600
-

0:00:59.600,0:01:00.080
Bien.

0:01:00.080,0:01:01.910
Entonces x está entre 0 y 3.

0:01:01.910,0:01:03.070
Esto es x igual a 0.

0:01:03.070,0:01:09.120
Esto es x igual a- veamos, 1, 2, 3.

0:01:09.120,0:01:10.570
y está entre 0 y 4.

0:01:10.570,0:01:13.180
1, 2, 3, 4.

0:01:13.180,0:01:15.450
Entonces el plano x-y se verá como algo así.

0:01:15.450,0:01:20.520
El tipo de base de nuestro cubo se verá como algo así.

0:01:20.520,0:01:21.770
Entonces z está entre 0 y 2.

0:01:21.770,0:01:25.350
Entonces 0 es el plano x-y, y luego 1, 2.

0:01:25.350,0:01:27.130
Entonces esto será el punto más alto.

0:01:27.130,0:01:30.600
Haré esto en otro color.

0:01:30.600,0:01:34.520
Entonces esto es a lo largo del eje x-z.

0:01:34.520,0:01:36.360
Tendrá una frontera aquí, luego

0:01:36.360,0:01:38.316
seguirá así.

0:01:38.316,0:01:41.850
Tendrá una frontera aquí, seguirá así.

0:01:41.850,0:01:43.810
Una frontera aquí.

0:01:43.810,0:01:45.600
Entonces podemos notar que el volumen es un cubo.

0:01:45.600,0:01:46.370
Y tu puedes hacerlo.

0:01:46.370,0:01:51.540
Puedes decir, que el largo es 3, la base, el ancho es 4,

0:01:51.540,0:01:53.920
entonces esta área es 12 por la altura.

0:01:53.920,0:01:55.170
12 por 2 es 24.

0:01:55.170,0:01:58.980
Puedes decir es 24 unidades cúbicas, independiente de

0:01:58.980,0:01:59.630
las unidades que estemos usando.

0:01:59.630,0:02:01.990
Pero hagámoslo como una integral triple.

0:02:01.990,0:02:03.640
Entonces ¿Qué significa una integral triple?

0:02:03.640,0:02:07.110
Lo que podemos hacer es tomar el volumen de un muy

0:02:07.110,0:02:10.670
pequeño -no área- sino volumen.

0:02:10.670,0:02:14.770
Digamos que queremos calcular el volumen de un cubo muy pequeño.

0:02:14.770,0:02:17.810
En algún lugar en el volumen que tenemos.

0:02:17.810,0:02:20.160
Y empezará a tener mayor sentido o a ser

0:02:20.160,0:02:22.860
mucho más útil, cuando tenemos fronteras variables

0:02:22.860,0:02:25.050
y superficies o curvas como fronteras.

0:02:25.050,0:02:26.840
Pero digamos que queremos encontrar el volumen de este

0:02:26.840,0:02:29.780
pequeño cubo que está aquí.

0:02:29.780,0:02:30.590
Este es mi cubo.

0:02:30.590,0:02:33.630
Está en algún lugar de mi gran cubo, de este rectángulo más grande,

0:02:33.630,0:02:35.460
o rectángulo cúbico, como quieras llamarlo.

0:02:35.460,0:02:36.540
Entonces ¿Cuál es el volumen de ese cubo?

0:02:36.540,0:02:38.930
Digamos que el ancho es dy.

0:02:38.930,0:02:42.320
-

0:02:42.320,0:02:44.010
Entonces la longitud ahí es dy.

0:02:44.010,0:02:46.810
Su altura es dx

0:02:46.810,0:02:49.660
Perdón, no, su altura es dz, cierto?

0:02:49.660,0:02:51.840
De la forma que lo dibujé, z está hacia

0:02:51.840,0:02:53.860
Y su largo es dx.

0:02:53.860,0:02:55.940
Esto es dx.

0:02:55.940,0:02:56.750
Esto es dz.

0:02:56.750,0:02:57.720
Esto es dy.

0:02:57.720,0:03:01.260
Entonces puedes decir que un pequeño volumen dentro de este mayor

0:03:01.260,0:03:04.830
volumen -puedes llamarlo dv, que es el

0:03:04.830,0:03:06.750
diferencial del volumen.

0:03:06.750,0:03:10.290
Y eso será igual a, puedes decir, que es precisamente

0:03:10.290,0:03:13.990
el ancho por el largo por el alto.

0:03:13.990,0:03:15.950
dx por dy por dz.

0:03:15.950,0:03:17.760
Y puedes cambiar el orden de éstos, cierto?

0:03:17.760,0:03:21.010
Porque la multiplicación es asociativa, entonces el

0:03:21.010,0:03:22.920
orden no importa.

0:03:22.920,0:03:24.540
En todo caso, ¿Qué puedes hacer con esto?

0:03:24.540,0:03:27.290
Podemos usar la integral.

0:03:27.290,0:03:32.520
Todas las integrales nos ayudan a sumar infinitas partes de

0:03:32.520,0:03:36.080
infinitas pequeñas distancias, como dz o dx o

0:03:36.080,0:03:38.240
dy, etc.

0:03:38.240,0:03:41.620
Entonces, lo que podemos hacer es tomar el cubo y

0:03:41.620,0:03:44.110
primero, sumar en la dirección de z.

0:03:44.110,0:03:48.330
Entonces podemos tomar el cubo y luego sumar a lo largo del

0:03:48.330,0:03:51.230
eje hacia arriba y abajo, el eje z, para obtener

0:03:51.230,0:03:52.410
el volumen de la columna.

0:03:52.410,0:03:54.550
¿Y cómo se vería esto?

0:03:54.550,0:03:56.930
Como vamos hacia arriba y abajo,

0:03:56.930,0:04:00.670
tomamos la suma en la dirección z.

0:04:00.670,0:04:02.610
Tendremos una integral.

0:04:02.610,0:04:04.655
¿Cuál será el menor valor de z?

0:04:04.655,0:04:08.310
Es z igual a 0.

0:04:08.310,0:04:09.280
¿Y cuál es el mayor valor?

0:04:09.280,0:04:12.070
Como si fueras a tomar - sigue sumando esos cubos y

0:04:12.070,0:04:14.190
sigue subiendo, llegarás al límite alto.

0:04:14.190,0:04:14.770
¿Y dónde está lo más alto?

0:04:14.770,0:04:16.100
es cuando z es igual a 2.

0:04:16.100,0:04:20.580
-

0:04:20.580,0:04:25.010
Por supuesto, tomarás la suma de estos dvs.

0:04:25.010,0:04:26.130
Y anotaré primero dz.

0:04:26.130,0:04:28.170
Para que recordemos que

0:04:28.170,0:04:30.430
tomaremos primero la integral respecto a z.

0:04:30.430,0:04:32.010
Luego haremos la de y.

0:04:32.010,0:04:34.200
Y finalmente la x.

0:04:34.200,0:04:37.430
Entonces esta integral, este valor, como lo he escrito,

0:04:37.430,0:04:42.020
nos dará el volumen de una columna dado cualquier x e y.

0:04:42.020,0:04:45.240
Será una función de x e y, pero como estamos trabajando con

0:04:45.240,0:04:47.130
constantes, nos dará

0:04:47.130,0:04:48.600
un valor constante.

0:04:48.600,0:04:52.160
Será el valor constante del volumen de una

0:04:52.160,0:04:53.890
de esas columnas.

0:04:53.890,0:04:56.580
En este caso, será 2 por dy dx.

0:04:56.580,0:04:59.330
Ya que la altura de una de esas columnas es 2,

0:04:59.330,0:05:03.710
luego su ancho y largo es dy y dx.

0:05:03.710,0:05:06.570
Entonces si queremos encontrar el volumen total-

0:05:06.570,0:05:09.270
lo que acabamos de hacer fue encontrar la altura de una columna.

0:05:09.270,0:05:11.300
Entonces podemos tomar las columnas y sumarlas

0:05:11.300,0:05:13.730
en la dirección y.

0:05:13.730,0:05:15.710
Entonces si sumamos en la dirección y, podemos tomar

0:05:15.710,0:05:20.340
otra integral de esta suma en la dirección y.

0:05:20.340,0:05:25.650
¿y va de 0 a cuánto? y está entre 0 y 4.

0:05:25.650,0:05:27.180
Anoté la integral muy a la

0:05:27.180,0:05:28.300
izquierda, se ve raro.

0:05:28.300,0:05:31.000
Pero creo que entiendes la idea.

0:05:31.000,0:05:33.390
y es igual a 0 hasta y es igual a 4.

0:05:33.390,0:05:37.420
Luego esto nos dará el volumen de una hoja que es

0:05:37.420,0:05:40.290
paralela al plano zy.

0:05:40.290,0:05:44.250
Luego lo único que nos falta es sumar todas estas

0:05:44.250,0:05:46.570
hojas en la dirección x, y tendremos el volumen

0:05:46.570,0:05:48.210
de toda nuestra figura.

0:05:48.210,0:05:50.190
Entonces para sumar todas esas hojas, tendremos que sumar

0:05:50.190,0:05:51.750
en la dirección x.

0:05:51.750,0:05:57.060
Iremos de x igual a 0, hasta x igual a 3.

0:05:57.060,0:05:58.660
Y evaluar esto es bien sencillo.

0:05:58.660,0:05:59.690
sencillo.

0:05:59.690,0:06:03.020
Primero tomamos la integral respecto a z.

0:06:03.020,0:06:05.090
Bueno, no tenemos nada escrito aquí abajo. pero

0:06:05.090,0:06:06.740
podemos asumir que ahí va un 1, cierto?

0:06:06.740,0:06:10.160
Porque dz por dy por dx es lo mismo que

0:06:10.160,0:06:12.940
1 por dz por dy por dx.

0:06:12.940,0:06:15.500
Entonces ¿Cuál es el valor de esta integral?

0:06:15.500,0:06:18.760
Bueno la integral de 1 respecto a

0:06:18.760,0:06:20.650
z es z, verdad?

0:06:20.650,0:06:22.700
Porque la primitiva de z es 1.

0:06:22.700,0:06:27.640
Y lo evaluas de 2 a 0.

0:06:27.640,0:06:30.210
Entonces te quedas con entonces es 2 menos 0.

0:06:30.210,0:06:31.580
Entonces queda 2.

0:06:31.580,0:06:34.390
Entonces te queda 2 y tomas la integral de eso desde

0:06:34.390,0:06:38.080
y igual a 0 hasta y igual a 4 dy, y luego

0:06:38.080,0:06:40.060
está la x.

0:06:40.060,0:06:45.280
Desde x igual a 0 hasta x igual 3 dx.

0:06:45.280,0:06:48.440
Fíjate cuando tomamos la integral respecto a z,

0:06:48.440,0:06:50.210
terminamos con una doble integral.

0:06:50.210,0:06:52.830
Y esta doble integral es exactamente la misma integral que habríamos

0:06:52.830,0:06:56.440
hecho en los videos anteriores en la doble integral, donde

0:06:56.440,0:06:59.510
habrías dicho, bien z es una función de x e y.

0:06:59.510,0:07:01.880
Entonces podrías haber escrito z es una función de x

0:07:01.880,0:07:04.230
e y es siempre igual a 2.

0:07:04.230,0:07:05.180
Es una función constante.

0:07:05.180,0:07:06.980
es independiente de x y de y.

0:07:06.980,0:07:09.210
Pero si has definido z de este modo y querías

0:07:09.210,0:07:11.985
calcular el volumen que encierra esta superficie, donde la superficie

0:07:11.985,0:07:15.370
es z igual a 2 - tu sabes que ésta es una superficie, es z

0:07:15.370,0:07:17.580
igual a 2 - habríamos terminado con esto.

0:07:17.580,0:07:19.130
Entonces ves que lo que hacemos con la triple

0:07:19.130,0:07:21.030
integral, es en realidad lo mismo.

0:07:21.030,0:07:22.060
Y puedes estar preguntándote, ¿Por qué estamos

0:07:22.060,0:07:22.840
haciendo esto?

0:07:22.840,0:07:25.730
Y te lo mostraré en seguida.

0:07:25.730,0:07:28.320
En todo caso, para evaluar esto, puedes tomar la

0:07:28.320,0:07:32.070
integral de esto respecto a y, tienes 2y-

0:07:32.070,0:07:33.760
déjame bajar un poco.

0:07:33.760,0:07:38.530
Queda 2y evaluando eso en 4 y 0.

0:07:38.530,0:07:41.150
Luego, obtienes 2 por 4

0:07:41.150,0:07:42.540
Eso es 8 menos 0.

0:07:42.540,0:07:46.070
Luego integras eso respecto

0:07:46.070,0:07:48.340
a x de 0 a 3.

0:07:48.340,0:07:52.430
Lo cual es 8x de 0 a 3.

0:07:52.430,0:07:55.430
Que será igual a 24 unidades cúbicas

0:07:55.430,0:07:59.780
Ahora la obvia pregunta es ¿Para qué sirve esto?

0:07:59.780,0:08:05.420
Cuando tienes un tipo de variable constante dentro

0:08:05.420,0:08:06.400
del volumen, estás bien,

0:08:06.400,0:08:08.230
podrías haberlo calculado con una integral doble.

0:08:08.230,0:08:11.610
Pero que pasa si te digo: nuestro objetivo no es calcular

0:08:11.610,0:08:13.670
el volumen de esta figura.

0:08:13.670,0:08:16.550
Nuestro objetivo es calcular la masa de la figura.

0:08:16.550,0:08:21.660
Y más aún, este volumen- este área de espacio o

0:08:21.660,0:08:23.670
lo que sea- tiene una masa no uniforme.

0:08:23.670,0:08:28.190
Si su masa fuera uniforme, podrías simplemente multiplicar su densidad

0:08:28.190,0:08:31.240
uniforme por su volumen y obtendrás su masa.

0:08:31.240,0:08:33.040
Pero digamos que la densidad cambia.

0:08:33.040,0:08:36.340
Puede ser el volumen de un gas o incluso algún

0:08:36.340,0:08:39.070
material formado por diferentes compuestos.

0:08:39.070,0:08:42.370
Entonces digamos que su densidad es una función variable

0:08:42.370,0:08:43.240
de x, y y z.

0:08:43.240,0:08:47.650
Entonces digamos que la densidad- esta filo, esto que

0:08:47.650,0:08:50.720
parece una p, es lo que normalmente se usa en física para la densidad- entonces

0:08:50.720,0:08:54.390
su densidad es una función de x, y and z.

0:08:54.390,0:08:55.710
Hágamoslo simple-- multipliquemos

0:08:55.710,0:08:59.840
x por y por z.

0:08:59.840,0:09:06.020
Si queremos calcular la masa de un volumen cualquiera, será

0:09:06.020,0:09:08.440
el volumen por la densidad, verdad?

0:09:08.440,0:09:12.190
Ya que la densidad- las unidades de densidad son como kilógramos

0:09:12.190,0:09:13.590
por metro cúbico.

0:09:13.590,0:09:16.400
Entonces si la multiplicas por metros cúbicos, obtienes los kilógramos.

0:09:16.400,0:09:20.260
con lo cual podemos decir que la masa- bueno, usaré una notación, d

0:09:20.260,0:09:23.730
masa - esto no es una función.

0:09:23.730,0:09:25.230
Bueno, no quiero escribir los paréntesis, porque eso

0:09:25.230,0:09:26.230
lo hace parecer una función.

0:09:26.230,0:09:30.490
Entonces, una masa muy diferencial, o muy pequeña, será

0:09:30.490,0:09:35.860
igual a la densidad en ese punto, lo cual será xyz,

0:09:35.860,0:09:39.810
por el volumen de la pequeña masa.

0:09:39.810,0:09:42.780
Y el volumen de esa pequeña masa lo podemos escribir como dv.

0:09:42.780,0:09:48.790
Y sabemos que ese dv es lo mismo que el ancho por

0:09:48.790,0:09:49.670
el alto por el largo.

0:09:49.670,0:09:52.350
dv no siempre va a ser dx por dy por dz.

0:09:52.350,0:09:54.000
Si usamos otras coordenadas, si usamos

0:09:54.000,0:09:57.670
coordenadas polares, puede ser algo un poco diferente.

0:09:57.670,0:09:59.160
Y lo haremos eventualmente.

0:09:59.160,0:10:01.280
Pero si queremos calcular la masa, como estamos usando

0:10:01.280,0:10:03.550
coordenadas cartesianas, será la densidad de la función

0:10:03.550,0:10:07.030
en ese punto por nuestra diferencial del volumen.

0:10:07.030,0:10:11.330
Entonces dx dy dz.

0:10:11.330,0:10:13.870
Y por supuesto, aquí cambiamos el orden.

0:10:13.870,0:10:16.386
Entonces cuando quieras calcular el volumen- cuando quieras

0:10:16.386,0:10:19.000
calcular la masa- lo cual haré en el próximo video,

0:10:19.000,0:10:21.290
esencialmente tendremos que integrar esta función.

0:10:21.290,0:10:27.400
En oposición a 1 sobre z, y y x.

0:10:27.400,0:10:28.690
Y haré eso en el proximo video.

0:10:28.690,0:10:32.050
y verás que es muy simple cualcular la

0:10:32.050,0:10:34.700
función primitiva y evitar errores de descuido.

0:10:34.700,0:10:37.280
Nos vemos en el próximo video.

0:10:37.280,0:10:37.900
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