-
Zkusme více příkladů
-
pro lepší pochopení trigonometrických funkcí.
-
Takže, zkonstruujeme pravoúhlé trojúhelníky.
-
Zkonstruujeme několik pravoúhlých trojúhelníků,
-
a chci aby bylo jasné,
-
že tak jak jsem to zatím definoval, bude to fungovat pouze s pravoúhlými trojúhelníky,
-
Takže pokud budete chtít počítat trigonometrické funkce úhlů v obecných trojúhelnících
-
uvidíte, že nejprve v nich budete muset zkonstruovat pravoúhlé trojúhelníky,
-
ale nyní se soustřeďme na pravoúhlé.
-
Řekněme, že mám trojúhelník,
-
ve kterém tato strana je dlouhá sedm,
-
a délka této strany
-
nechť je čtyři.
-
A nyní zkusme určit délku přepony.
-
Takže, přeponu si označíme "h"
-
h na druhou se rovná sedm na druhou plus čtyři na druhou.
-
Jak víme z Pythagorovy věty,
-
délka přepony na druhou se rovná
-
součtu druhých mocnin obou odvěsen.
-
h na druhou se rovná sedm na druhou plus čtyři na druhou.
-
Takže toto se rovná čtyřicet devět plus šestnáct,
-
čtyřicet devět plus šestnáct,
-
čtyřicet devět plus deset je padesát devět plus šest je šedesát pět.
-
takže h na druhou je šedesát pět,
-
h na druhou - napíši to jiným odstínem žluté
-
takže h na druhou se rovná šedesát pět.
-
Mám to správně? 49 plus 10 je 59, plus dalších 6 je 65
-
takže h se rovná, obě strany odmocníme,
-
druhá odmocnina
-
odmocnina z šedesáti pěti. A toto již nemůžeme dále zjednodušit.
-
Zde je je třináct.
-
Tohle je totéž jako třináct krát pět,
-
ani jedna strana není celočíselně odmocnitelná
-
obojí jsou prvočísla, takže dál už to nelze zjednodušit.
-
Takže toto se rovná druhé odmocnině z šedesáti pěti.
-
A nyní určíme trigonometrické funkce tohoto úhlu.
-
Označme si tento úhel Théta.
-
Vždy když počítáte trigonometrii
-
můžete si poznamenant - alespoň já to tak dělám -
-
soh cah toa
-
soh...
-
... soh cah toa. Matně si vzpomínám
-
na svého učitele trigonometrie.
-
Možná jsem to viděl v nějaké knize. Nevím - znáte to...
-
jedna indiánská princezna se jmenovala "soh cah toa", nebo tak něco...
-
ale jde o velmi užitečnou mnemotechnickou pomůcku
-
takže použijeme "soh cah toa".
-
Zkusme například určit kosinus.
-
Chceme zjistit kosinus našeho úhlu.
-
řeknete si "soh cah toa".
-
takže "cah". "Cah" nám říká jak spočítat kosinus,
-
"cah" nám říká,
-
že kosinus je přilehlá proti přeponě (pozn., Adjacent - přilehlá, Hypotenuse - přepona)
-
Kosinus se rovná přilehlé ku přeponě.
-
Takže se podívejme na úhel Théta; která strana je přilehlá?
-
Víme, že přepona
-
že přepona je tato strana zde.
-
Takže ta to být nemůže. Jediná další strana, která přiléhá a
-
není to přepona, je tato dlouhá čtyři.
-
Takže hledaná přilehlá strana
-
doslova přiléhá k danému úhlu,
-
je to jedna ze stran, které určují úhel
-
takže to je čtyři ku přeponě.
-
Již víme, že přepona je odmocnina z šedesáti pěti.
-
takže je to čtyři lomeno odmocninou z šedesáti pěti.
-
občas lidé rádi zjednodušují zlomky
-
tak aby neměli iracionální číslo ve jmenovateli
-
jako třeba odmocninu z šedesáti pěti,
-
pokud to chcete upravit, tak aby nebylo ve jmenovateli iracionální číslo,
-
můžete vynásobit čitatele i jmenovatele zlomku
-
odmocninou z šedesáti pěti.
-
To samozřejmě neovlivní výsledek,
-
protože násobíme něčím co vydělíme samo sebou,
-
takže vlastně násobíme číslem jedna.
-
To nezmění výsledek, ale alespoň se zbavíme iracionálního čísla ve jmenovateli.
-
takže čitatel bude
-
čtyři krát odmocnina z šedesáti pěti,
-
a jmenovatel, odmocnina z šedesáti pěti krát odmocnina z šedesáti pěti, to je šedesáti pět.
-
Nyní je iracionální číslo v čitateli. Takže jsme se ho nezbavili úplně.
-
Nyní se podívejme na ostatní trigonometrické funkce
-
nebo alespoň ty základní.
-
Později se totiž naučíme, že jich existuje velké množství
-
ale všechny jsou odvozené z těchto základních.
-
takže, podívejme se nyní na sinus Théta. Opět použijeme "soh cah toa".
-
"soh" nám říká co udělat s funkcí sinus. Sinus je protilehlá ku přeponě (pozn. Opposite - protilehlá)
-
Sinus se rovná protilehlé ku přeponě.
-
Sinus je protilehlá ku přeponě.
-
Takže, která strana je protilehlá k tomuto úhlu?
-
Je to ta naproti, ke které se úhel otevírá, protilehlá je sedm
-
takže protilehlá strana je dlouhá sedm.
-
To je zde, toto je protilehlá strana
-
a k tomu přepona. Je to protilehlá ku přeponě
-
Přepona je odmocnina z šedesáti pěti.
-
Druhá odmocnina z šedesáti pěti.
-
a opět, pokud bychom to chtěli zjednodušit,
-
mohli bychom vynásobit odmocninou z šedesáti pěti ku odmocnině z šedesáti pěti,
-
a v čitateli dostaneme sedm krát odmocnina z šedesáti pěti
-
a ve jmenovateli bude opět šedesát pět
-
Nyní zkusme tangens
-
Spočítáme tangens.
-
Takže pokud se zeptám na tangens
-
tangens úhlu théta
-
opět použijeme pomůcku "soh cah toa".
-
toa nám říká, jak určit tangens
-
to nám říká...
-
to nám říká, že tangens
-
se rovná protilehlé ku přilehlé
-
se rovná protilehlá
-
protilehlá ku přilehlé
-
Která strana je protilehlá k tomuto úhlu? To jsme si již řekli.
-
je to sedm. Úhel se otevírá ke straně dlouhé sedm.
-
Protilehlá je sedm.
-
Takže je to sedm k té straně která je přilehlá.
-
dobře tato strana, čtyřka, je přilehlá.
-
Tato čtyřka je přilehlá. Takže přilehlá strana je dlouhá čtyři
-
takže to je sedm ku čtyřem,
-
a jsme hotoví.
-
Určili jsme všechny trigonometrické poměry pro théta. Zkusme další.
-
Udělejme ještě jeden.
-
udělám to o trochu konkrétnější, protože dosud jsme říkali,
-
"co je tangens x, tangens théta." Udělejme to ještě trochu konkrétnější.
-
Řekněme, že...
-
nakreslím další pravoúhlý trojúhelník,
-
zde je další pravoúhlý trojúhelník.
-
Vše s čím pracujeme jsou pravoúhlé trohúhelníky.
-
Řekněme, že přepona má délku čtyři,
-
dejme tomu, že tato strana zde má délku dva,
-
a dejme tomu, že tato délka zde bude dvakrát odmocnina ze tří.
-
Můžeme ověřit, že to funguje.
-
Pokud máte tuto stranu na druhou, takže máte - napíšu to -
-
dvakrát odmocnina ze tří na druhou
-
plus dvě na druhou, to se rovná kolik?
-
To jsou dvě. Zde bude čtyři krát tři.
-
čtyři krát tři plus čtyři,
-
to se rovná dvanáct plus čtyři což je šestnáct
-
a šestnáct je skutečně čtyři na druhou. Takže se to rovná čtyři na druhou,
-
rovná se to čtyři na druhou. Takže Pythagorova věta platí
-
a pokud si pamatujete něco o trojúhelnících s úhly 30 60 a 90
-
něco z toho co jste se naučili v geometrii,
-
poznáte, že toto je právě takový trojúhelník.
-
Zde je pravý úhel,
-
Jedná se o pravoúhlý trojúhelník -
-
Tento úhel má třicet stupňů
-
a pak tento úhel tady nahoře je
-
šedesát stupňů,
-
a je to třicet, šedesát a devadesát protože
-
strana protilehlá k třiceti stupňům je polovina přepony
-
a strana protilehlá k 60 stupňům je druhá odmocnina ze 3 krát druhá strana
-
to není přepona.
-
Nebudeme...
-
toto nemá být přehled 30 60 90 trojúhelníků i když jsem to právě udělal.
-
Určeme trigonometrické poměry pro různé úhly
-
Takže kdyby se vás někdo zeptal, kolik je
-
kolik je sinus třiceti stupňů?
-
a nezapomeňte 30 stupňů je jeden z úhlů v tomto trojúhelníku, ale platí to
-
kdykoliv budete mít úhel 30 stupňů a máte co do činění s pravoúhlý trojúhelníkem.
-
V budoucnu budeme mít obecnější definice, ale když řeknete sinus třiceti stupňů,
-
a tento úhel je třicet stupňů, takže použiji tento pravoúhlý trojúhelník,
-
pouze si musíme vzpomenout na "soh cah toa"
-
Napišme to. soh, cah, toa.
-
soh nám říká, co si počít s sinem. sinus je protilehlá ku přeponě.
-
sinus 30 stupňů je protilehlá strana,
-
to je protilehlá strana, která je dvě ku přeponě.
-
Přepona je čtyři.
-
jsou to dvě čtvrtiny, což je totéž jako jedna polovina.
-
sinus třiceti stupňů, se tedy vždy rovná jedné polovině.
-
a kolik je kosinus?
-
kolik je kosinus třiceti stupňů?
-
Ještě jednou se vratíme k "soh cah toa".
-
cah nám říká, co si počít s kosinem.
-
Kosinus je přilehlá ku přeponě.
-
Takže při pohledu na třiceti stupňový úhel, přilehlá je
-
tato strana, zde je přilehlá. Hned vedle úhlu.
-
není to přepona. Je to přilehlá ku přeponě.
-
Takže jsou to dvě odmocniny ze tří
-
přilehlá ku... ku přeponě, ku čtyřem.
-
nebo, když to zjednodušíme, vydělíme čitatel i jmenovatel dvěma
-
je to odmocnina ze tří ku dvěma.
-
Nakonec zkusme tangens.
-
Tangens třiceti stupňů,
-
připomeneme si "soh cah toa".
-
soh cah toa
-
toa nám říká, jak určit tangens. Je to protilehlá ku přilehlé
-
vezměte úhel 30 stupňů, protože nás zajímá tangens 30 stupňů
-
tangens třiceti. Protilehlá je dvě,
-
protilehlá je dvě a přilehlá dvě odmocniny ze tří.
-
Je to hned vedle. Přilehlá.
-
Přilehlá znamená, že je hned vedle.
-
Takže dvě druhé odmocniny ze tří
-
takže se to rovná... dvojky se vykrátí
-
jedna lomeno odmocnina ze tří
-
nebo múžeme vynásobit čitatele i jmenovatele odmocninou ze tří.
-
Takže odmocnina ze tří lomeno odmocnina ze tří
-
takže čitatel se rovná odmocnině ze tří
-
a jmenovatel je tři.
-
Takže jsme dostali odmocninu ze tří lomeno třemi.
-
Prima.
-
Nyní použijeme stejný trojúhelník k určení trigonometrických poměrů pro šedesát stupňů,
-
jelikož jsme to již nakreslili.
-
Takže kolik je... kolik je sinus šedesáti stupňů?
-
doufám, že už to začínáte chápat.
-
Sinus je protilehlá ku přeponě.
-
která strana je protilehlá úhlu šedesáti stupňů?
-
otevírá se proti dvěma odmocninám ze tří,
-
tedy dvě odmocniny ze tří je strana protilehlá,
-
a z úhlu šedesáti stupňů
-
jde to protilehlá ku přeponě
-
takže je to protilehlá ku přeponě
-
jsou to dvě odmocniny ze tří lomeno čtyřmi. Čtyři je přepona.
-
takže se to rovná, toto zjednodušíme na odmocninu ze tří lomeno dvěma.
-
Kolik je kosinus šedesáti stupňů? Kosinus šedesáti stupňů.
-
Takže pamatujte kosinus je přilehlá ku přeponě.
-
přilehlé jsou dvě strany, hned vedle úhlu 60 stupňů.
-
Takže to je to dvě ku přeponě, a ta je čtyři.
-
Takže se to rovná jedné polovině
-
a pak, nakonec, kolik je tangens?
-
Kolik je tangens šedesáti stupňů?
-
OK tangens je protilehlá ku přilehlé
-
protilehlá k úhlu šedesát stupňů
-
je dvě odmocniny ze tří
-
dvě druhé odmocniny ze tří
-
a přilehlá
-
přilehlá je dvě.
-
Přilehlá k úhlu šedesát stupňů je dvě.
-
Takže protilehlá ku přilehlé, dvě odmocniny ze tří ku dvěma
-
to se rovná jedné odmocnině ze tří.
-
A ještě se podívejme jak spolu tyto souvisejí
-
sinus úhlu 30 stupňů je stejný jako kosinus šedesát stupňů.
-
Kosinus 30 stupňů je totéž jako sinus 60 stupňů
-
takže tyto dva jsou vzájemně inverzní
-
a myslím, že pokud se trochu zamyslíte nad tímto trojúhelníkem
-
začne to celé dávat smysl.
-
na dalším videu toto budeme dále rozšiřovat
-
aby jste získali větší praxi.