1
00:00:00,800 --> 00:00:03,017
Zkusme více příkladů

2
00:00:03,017 --> 00:00:07,036
pro lepší pochopení trigonometrických funkcí.

3
00:00:07,036 --> 00:00:11,447
Takže, zkonstruujeme pravoúhlé trojúhelníky.

4
00:00:11,447 --> 00:00:13,668
Zkonstruujeme několik pravoúhlých trojúhelníků,

5
00:00:13,668 --> 00:00:15,186
a chci aby bylo jasné,

6
00:00:15,186 --> 00:00:18,042
že tak jak jsem to zatím definoval, bude to fungovat pouze s pravoúhlými trojúhelníky,

7
00:00:18,042 --> 00:00:23,475
Takže pokud budete chtít počítat trigonometrické funkce úhlů v obecných trojúhelnících

8
00:00:23,475 --> 00:00:25,704
uvidíte, že nejprve v nich budete muset zkonstruovat pravoúhlé trojúhelníky,

9
00:00:25,704 --> 00:00:27,867
ale nyní se soustřeďme na pravoúhlé.

10
00:00:27,867 --> 00:00:31,344
Řekněme, že mám trojúhelník,

11
00:00:31,344 --> 00:00:33,897
ve kterém tato strana je dlouhá sedm,

12
00:00:33,897 --> 00:00:37,757
a délka této strany

13
00:00:37,757 --> 00:00:39,452
nechť je čtyři.

14
00:00:39,452 --> 00:00:42,516
A nyní zkusme určit délku přepony.

15
00:00:42,516 --> 00:00:45,720
Takže, přeponu si označíme "h"

16
00:00:45,720 --> 00:00:52,200
h na druhou se rovná sedm na druhou plus čtyři na druhou.

17
00:00:52,200 --> 00:00:55,194
Jak víme z Pythagorovy věty,

18
00:00:55,194 --> 00:00:57,469
délka přepony na druhou se rovná

19
00:00:57,469 --> 00:01:01,974
součtu druhých mocnin obou odvěsen.

20
00:01:01,974 --> 00:01:04,533
h na druhou se rovná sedm na druhou plus čtyři na druhou.

21
00:01:04,533 --> 00:01:09,776
Takže toto se rovná čtyřicet devět plus šestnáct,

22
00:01:09,776 --> 00:01:11,800
čtyřicet devět plus šestnáct,

23
00:01:11,800 --> 00:01:18,553
čtyřicet devět plus deset je padesát devět plus šest je šedesát pět.

24
00:01:18,553 --> 00:01:21,107
takže h na druhou je šedesát pět,

25
00:01:21,107 --> 00:01:25,705
h na druhou - napíši to jiným odstínem žluté

26
00:01:25,705 --> 00:01:28,818
takže h na druhou se rovná šedesát pět.

27
00:01:28,818 --> 00:01:33,533
Mám to správně? 49 plus 10 je 59, plus dalších 6 je 65

28
00:01:33,533 --> 00:01:37,600
takže h se rovná, obě strany odmocníme,

29
00:01:37,600 --> 00:01:39,200
druhá odmocnina

30
00:01:39,200 --> 00:01:42,933
odmocnina z šedesáti pěti. A toto již nemůžeme dále zjednodušit.

31
00:01:42,933 --> 00:01:44,699
Zde je je třináct.

32
00:01:44,699 --> 00:01:47,463
Tohle je totéž jako třináct krát pět,

33
00:01:47,463 --> 00:01:50,388
ani jedna strana není celočíselně odmocnitelná

34
00:01:50,388 --> 00:01:51,804
obojí jsou prvočísla, takže dál už to nelze zjednodušit.

35
00:01:51,804 --> 00:01:55,467
Takže toto se rovná druhé odmocnině z šedesáti pěti.

36
00:01:55,467 --> 00:02:02,114
A nyní určíme trigonometrické funkce tohoto úhlu.

37
00:02:02,114 --> 00:02:05,457
Označme si tento úhel Théta.

38
00:02:05,457 --> 00:02:06,533
Vždy když počítáte trigonometrii

39
00:02:06,533 --> 00:02:09,467
můžete si poznamenant - alespoň já to tak dělám -

40
00:02:09,467 --> 00:02:11,714
soh cah toa

41
00:02:11,714 --> 00:02:13,120
soh...

42
00:02:13,120 --> 00:02:16,464
... soh cah toa. Matně si vzpomínám

43
00:02:16,464 --> 00:02:18,786
na svého učitele trigonometrie.

44
00:02:18,786 --> 00:02:21,293
Možná jsem to viděl v nějaké knize. Nevím - znáte to...

45
00:02:21,293 --> 00:02:23,867
jedna indiánská princezna se jmenovala "soh cah toa", nebo tak něco...

46
00:02:23,867 --> 00:02:26,123
ale jde o velmi užitečnou mnemotechnickou pomůcku

47
00:02:26,123 --> 00:02:27,564
takže použijeme "soh cah toa".

48
00:02:27,564 --> 00:02:31,046
Zkusme například určit kosinus.

49
00:02:31,046 --> 00:02:34,436
Chceme zjistit kosinus našeho úhlu.

50
00:02:34,436 --> 00:02:37,965
řeknete si "soh cah toa".

51
00:02:37,965 --> 00:02:40,800
takže "cah". "Cah" nám říká jak spočítat kosinus,

52
00:02:40,800 --> 00:02:43,027
"cah" nám říká,

53
00:02:43,027 --> 00:02:46,371
že kosinus je přilehlá proti přeponě (pozn., Adjacent - přilehlá, Hypotenuse - přepona)

54
00:02:46,371 --> 00:02:51,433
Kosinus se rovná přilehlé ku přeponě.

55
00:02:51,433 --> 00:02:55,798
Takže se podívejme na úhel Théta; která strana je přilehlá?

56
00:02:55,798 --> 00:02:57,702
Víme, že přepona

57
00:02:57,702 --> 00:03:00,767
že přepona je tato strana zde.

58
00:03:00,767 --> 00:03:04,761
Takže ta to být nemůže. Jediná další strana, která přiléhá a

59
00:03:04,761 --> 00:03:07,133
není to přepona, je tato dlouhá čtyři.

60
00:03:07,133 --> 00:03:10,473
Takže hledaná přilehlá strana

61
00:03:10,473 --> 00:03:14,374
doslova přiléhá k danému úhlu,

62
00:03:14,374 --> 00:03:15,754
je to jedna ze stran, které určují úhel

63
00:03:15,754 --> 00:03:17,133
takže to je čtyři ku přeponě.

64
00:03:17,133 --> 00:03:21,108
Již víme, že přepona je odmocnina z šedesáti pěti.

65
00:03:21,108 --> 00:03:25,380
takže je to čtyři lomeno odmocninou z šedesáti pěti.

66
00:03:25,380 --> 00:03:29,142
občas lidé rádi zjednodušují zlomky

67
00:03:29,142 --> 00:03:32,625
tak aby neměli iracionální číslo ve jmenovateli

68
00:03:32,625 --> 00:03:35,227
jako třeba odmocninu z šedesáti pěti,

69
00:03:35,227 --> 00:03:39,359
pokud to chcete upravit, tak aby nebylo ve jmenovateli iracionální číslo,

70
00:03:39,359 --> 00:03:41,634
můžete vynásobit čitatele i jmenovatele zlomku

71
00:03:41,634 --> 00:03:43,306
odmocninou z šedesáti pěti.

72
00:03:43,306 --> 00:03:45,094
To samozřejmě neovlivní výsledek,

73
00:03:45,094 --> 00:03:48,122
protože násobíme něčím co vydělíme samo sebou,

74
00:03:48,122 --> 00:03:49,111
takže vlastně násobíme číslem jedna.

75
00:03:49,111 --> 00:03:52,780
To nezmění výsledek, ale alespoň se zbavíme iracionálního čísla ve jmenovateli.

76
00:03:52,780 --> 00:03:54,127
takže čitatel bude

77
00:03:54,127 --> 00:03:57,800
čtyři krát odmocnina z šedesáti pěti,

78
00:03:57,800 --> 00:04:03,461
a jmenovatel, odmocnina z šedesáti pěti krát odmocnina z šedesáti pěti, to je šedesáti pět.

79
00:04:03,461 --> 00:04:07,130
Nyní je iracionální číslo v čitateli. Takže jsme se ho nezbavili úplně.

80
00:04:07,130 --> 00:04:09,777
Nyní se podívejme na ostatní trigonometrické funkce

81
00:04:09,777 --> 00:04:12,401
nebo alespoň ty základní.

82
00:04:12,401 --> 00:04:14,399
Později se totiž naučíme, že jich existuje velké množství

83
00:04:14,399 --> 00:04:15,443
ale všechny jsou odvozené z těchto základních.

84
00:04:15,443 --> 00:04:19,733
takže, podívejme se nyní na sinus Théta. Opět použijeme "soh cah toa".

85
00:04:19,733 --> 00:04:25,474
"soh" nám říká co udělat s funkcí sinus. Sinus je protilehlá ku přeponě (pozn. Opposite - protilehlá)

86
00:04:25,474 --> 00:04:29,200
Sinus se rovná protilehlé ku přeponě.

87
00:04:29,200 --> 00:04:31,372
Sinus je protilehlá ku přeponě.

88
00:04:31,372 --> 00:04:34,390
Takže, která strana je protilehlá k tomuto úhlu?

89
00:04:34,390 --> 00:04:38,430
Je to ta naproti, ke které se úhel otevírá, protilehlá je sedm

90
00:04:38,430 --> 00:04:41,200
takže protilehlá strana je dlouhá sedm.

91
00:04:41,200 --> 00:04:44,468
To je zde, toto je protilehlá strana

92
00:04:44,468 --> 00:04:47,800
a k tomu přepona. Je to protilehlá ku přeponě

93
00:04:47,800 --> 00:04:51,109
Přepona je odmocnina z šedesáti pěti.

94
00:04:51,109 --> 00:04:52,966
Druhá odmocnina z šedesáti pěti.

95
00:04:52,966 --> 00:04:55,133
a opět, pokud bychom to chtěli zjednodušit,

96
00:04:55,133 --> 00:04:59,933
mohli bychom vynásobit odmocninou z šedesáti pěti ku odmocnině z šedesáti pěti,

97
00:04:59,933 --> 00:05:04,298
a v čitateli dostaneme sedm krát odmocnina z šedesáti pěti

98
00:05:04,298 --> 00:05:07,966
a ve jmenovateli bude opět šedesát pět

99
00:05:07,966 --> 00:05:10,474
Nyní zkusme tangens

100
00:05:10,474 --> 00:05:12,796
Spočítáme tangens.

101
00:05:12,796 --> 00:05:14,793
Takže pokud se zeptám na tangens

102
00:05:14,793 --> 00:05:17,394
tangens úhlu théta

103
00:05:17,394 --> 00:05:20,784
opět použijeme pomůcku "soh cah toa".

104
00:05:20,784 --> 00:05:23,106
toa nám říká, jak určit tangens

105
00:05:23,106 --> 00:05:24,800
to nám říká...

106
00:05:24,800 --> 00:05:27,053
to nám říká, že tangens

107
00:05:27,053 --> 00:05:29,867
se rovná protilehlé ku přilehlé

108
00:05:29,867 --> 00:05:33,137
se rovná protilehlá

109
00:05:33,137 --> 00:05:35,867
protilehlá ku přilehlé

110
00:05:35,867 --> 00:05:38,709
Která strana je protilehlá k tomuto úhlu? To jsme si již řekli.

111
00:05:38,709 --> 00:05:41,124
je to sedm. Úhel se otevírá ke straně dlouhé sedm.

112
00:05:41,124 --> 00:05:42,533
Protilehlá je sedm.

113
00:05:42,533 --> 00:05:46,372
Takže je to sedm k té straně která je přilehlá.

114
00:05:46,372 --> 00:05:48,200
dobře tato strana, čtyřka, je přilehlá.

115
00:05:48,200 --> 00:05:51,295
Tato čtyřka je přilehlá. Takže přilehlá strana je dlouhá čtyři

116
00:05:51,295 --> 00:05:54,330
takže to je sedm ku čtyřem,

117
00:05:54,330 --> 00:05:56,133
a jsme hotoví.

118
00:05:56,133 --> 00:05:59,375
Určili jsme všechny trigonometrické poměry pro théta. Zkusme další.

119
00:05:59,375 --> 00:06:00,416
Udělejme ještě jeden.

120
00:06:00,416 --> 00:06:02,719
udělám to o trochu konkrétnější, protože dosud jsme říkali,

121
00:06:02,719 --> 00:06:06,434
"co je tangens x, tangens théta." Udělejme to ještě trochu konkrétnější.

122
00:06:06,434 --> 00:06:08,431
Řekněme, že...

123
00:06:08,431 --> 00:06:10,799
nakreslím další pravoúhlý trojúhelník,

124
00:06:10,799 --> 00:06:13,772
zde je další pravoúhlý trojúhelník.

125
00:06:13,772 --> 00:06:17,533
Vše s čím pracujeme jsou pravoúhlé trohúhelníky.

126
00:06:17,533 --> 00:06:21,109
Řekněme, že přepona má délku čtyři,

127
00:06:21,109 --> 00:06:26,357
dejme tomu, že tato strana zde má délku dva,

128
00:06:26,357 --> 00:06:31,790
a dejme tomu, že tato délka zde bude dvakrát odmocnina ze tří.

129
00:06:31,790 --> 00:06:33,462
Můžeme ověřit, že to funguje.

130
00:06:33,462 --> 00:06:36,467
Pokud máte tuto stranu na druhou, takže máte - napíšu to -

131
00:06:36,467 --> 00:06:38,803
dvakrát odmocnina ze tří na druhou

132
00:06:38,803 --> 00:06:42,471
plus dvě na druhou, to se rovná kolik?

133
00:06:42,471 --> 00:06:46,467
To jsou dvě. Zde bude čtyři krát tři.

134
00:06:46,467 --> 00:06:49,763
čtyři krát tři plus čtyři,

135
00:06:49,763 --> 00:06:53,478
to se rovná dvanáct plus čtyři což je šestnáct

136
00:06:53,478 --> 00:06:57,800
a šestnáct je skutečně čtyři na druhou. Takže se to rovná čtyři na druhou,

137
00:06:57,800 --> 00:07:01,790
rovná se to čtyři na druhou. Takže Pythagorova věta platí

138
00:07:01,790 --> 00:07:06,133
a pokud si pamatujete něco o trojúhelnících s úhly 30 60 a 90

139
00:07:06,133 --> 00:07:07,781
něco z toho co jste se naučili v geometrii,

140
00:07:07,781 --> 00:07:11,450
poznáte, že toto je právě takový trojúhelník.

141
00:07:11,450 --> 00:07:13,133
Zde je pravý úhel,

142
00:07:13,133 --> 00:07:15,867
Jedná se o pravoúhlý trojúhelník -

143
00:07:15,867 --> 00:07:20,366
Tento úhel má třicet stupňů

144
00:07:20,366 --> 00:07:23,385
a pak tento úhel tady nahoře je

145
00:07:23,385 --> 00:07:26,125
šedesát stupňů,

146
00:07:26,125 --> 00:07:27,797
a je to třicet, šedesát a devadesát protože

147
00:07:27,797 --> 00:07:31,791
strana protilehlá k třiceti stupňům je polovina přepony

148
00:07:31,791 --> 00:07:36,800
a strana protilehlá k 60 stupňům je druhá odmocnina ze 3 krát druhá strana

149
00:07:36,800 --> 00:07:38,432
to není přepona.

150
00:07:38,432 --> 00:07:40,159
Nebudeme...

151
00:07:40,159 --> 00:07:43,415
toto nemá být přehled 30 60 90 trojúhelníků i když jsem to právě udělal.

152
00:07:43,415 --> 00:07:46,933
Určeme trigonometrické poměry pro různé úhly

153
00:07:46,933 --> 00:07:51,295
Takže kdyby se vás někdo zeptal, kolik je

154
00:07:51,295 --> 00:07:54,639
kolik je sinus třiceti stupňů?

155
00:07:54,639 --> 00:07:58,447
a nezapomeňte 30 stupňů je jeden z úhlů v tomto trojúhelníku, ale platí to

156
00:07:58,447 --> 00:08:01,698
kdykoliv budete mít úhel 30 stupňů a máte co do činění s pravoúhlý trojúhelníkem.

157
00:08:01,698 --> 00:08:05,135
V budoucnu budeme mít obecnější definice, ale když řeknete sinus třiceti stupňů,

158
00:08:05,135 --> 00:08:09,035
a tento úhel je třicet stupňů, takže použiji tento pravoúhlý trojúhelník,

159
00:08:09,035 --> 00:08:12,133
pouze si musíme vzpomenout na "soh cah toa"

160
00:08:12,133 --> 00:08:17,116
Napišme to. soh, cah, toa.

161
00:08:17,116 --> 00:08:22,782
soh nám říká, co si počít s sinem. sinus je protilehlá ku přeponě.

162
00:08:22,782 --> 00:08:26,358
sinus 30 stupňů je protilehlá strana,

163
00:08:26,358 --> 00:08:30,723
to je protilehlá strana, která je dvě ku přeponě.

164
00:08:30,723 --> 00:08:32,395
Přepona je čtyři.

165
00:08:32,395 --> 00:08:35,645
jsou to dvě čtvrtiny, což je totéž jako jedna polovina.

166
00:08:35,645 --> 00:08:40,799
sinus třiceti stupňů, se tedy vždy rovná jedné polovině.

167
00:08:40,799 --> 00:08:44,144
a kolik je kosinus?

168
00:08:44,144 --> 00:08:46,867
kolik je kosinus třiceti stupňů?

169
00:08:46,867 --> 00:08:50,135
Ještě jednou se vratíme k "soh cah toa".

170
00:08:50,135 --> 00:08:52,643
cah nám říká, co si počít s kosinem.

171
00:08:52,643 --> 00:08:56,033
Kosinus je přilehlá ku přeponě.

172
00:08:56,033 --> 00:08:59,051
Takže při pohledu na třiceti stupňový úhel, přilehlá je

173
00:08:59,051 --> 00:09:01,791
tato strana, zde je přilehlá. Hned vedle úhlu.

174
00:09:01,791 --> 00:09:05,467
není to přepona. Je to přilehlá ku přeponě.

175
00:09:05,467 --> 00:09:09,129
Takže jsou to dvě odmocniny ze tří

176
00:09:09,129 --> 00:09:13,633
přilehlá ku... ku přeponě, ku čtyřem.

177
00:09:13,633 --> 00:09:16,977
nebo, když to zjednodušíme, vydělíme čitatel i jmenovatel dvěma

178
00:09:16,977 --> 00:09:20,646
je to odmocnina ze tří ku dvěma.

179
00:09:20,646 --> 00:09:22,782
Nakonec zkusme tangens.

180
00:09:22,782 --> 00:09:27,800
Tangens třiceti stupňů,

181
00:09:27,800 --> 00:09:30,305
připomeneme si "soh cah toa".

182
00:09:30,305 --> 00:09:31,699
soh cah toa

183
00:09:31,699 --> 00:09:34,800
toa nám říká, jak určit tangens. Je to protilehlá ku přilehlé

184
00:09:34,800 --> 00:09:38,804
vezměte úhel 30 stupňů, protože nás zajímá tangens 30 stupňů

185
00:09:38,804 --> 00:09:42,101
tangens třiceti. Protilehlá je dvě,

186
00:09:42,101 --> 00:09:46,200
protilehlá je dvě a přilehlá dvě odmocniny ze tří.

187
00:09:46,200 --> 00:09:48,045
Je to hned vedle. Přilehlá.

188
00:09:48,045 --> 00:09:49,439
Přilehlá znamená, že je hned vedle.

189
00:09:49,439 --> 00:09:52,039
Takže dvě druhé odmocniny ze tří

190
00:09:52,039 --> 00:09:54,454
takže se to rovná... dvojky se vykrátí

191
00:09:54,454 --> 00:09:56,776
jedna lomeno odmocnina ze tří

192
00:09:56,776 --> 00:10:00,723
nebo múžeme vynásobit čitatele i jmenovatele odmocninou ze tří.

193
00:10:00,723 --> 00:10:05,367
Takže odmocnina ze tří lomeno odmocnina ze tří

194
00:10:05,367 --> 00:10:08,804
takže čitatel se rovná odmocnině ze tří

195
00:10:08,804 --> 00:10:12,473
a jmenovatel je tři.

196
00:10:12,473 --> 00:10:15,800
Takže jsme dostali odmocninu ze tří lomeno třemi.

197
00:10:15,800 --> 00:10:17,442
Prima.

198
00:10:17,442 --> 00:10:20,693
Nyní použijeme stejný trojúhelník k určení trigonometrických poměrů pro šedesát stupňů,

199
00:10:20,693 --> 00:10:22,457
jelikož jsme to již nakreslili.

200
00:10:22,457 --> 00:10:28,328
Takže kolik je... kolik je sinus šedesáti stupňů?

201
00:10:28,328 --> 00:10:30,166
doufám, že už to začínáte chápat.

202
00:10:30,166 --> 00:10:34,253
Sinus je protilehlá ku přeponě.

203
00:10:34,253 --> 00:10:36,668
která strana je protilehlá úhlu šedesáti stupňů?

204
00:10:36,668 --> 00:10:39,315
otevírá se proti dvěma odmocninám ze tří,

205
00:10:39,315 --> 00:10:42,566
tedy dvě odmocniny ze tří je strana protilehlá,

206
00:10:42,566 --> 00:10:45,306
a z úhlu šedesáti stupňů

207
00:10:45,306 --> 00:10:47,999
jde to protilehlá ku přeponě

208
00:10:47,999 --> 00:10:50,507
takže je to protilehlá ku přeponě

209
00:10:50,507 --> 00:10:54,315
jsou to dvě odmocniny ze tří lomeno čtyřmi. Čtyři je přepona.

210
00:10:54,315 --> 00:10:59,981
takže se to rovná, toto zjednodušíme na odmocninu ze tří lomeno dvěma.

211
00:10:59,981 --> 00:11:05,507
Kolik je kosinus šedesáti stupňů? Kosinus šedesáti stupňů.

212
00:11:05,507 --> 00:11:10,244
Takže pamatujte kosinus je přilehlá ku přeponě.

213
00:11:10,244 --> 00:11:13,667
přilehlé jsou dvě strany, hned vedle úhlu 60 stupňů.

214
00:11:13,667 --> 00:11:17,907
Takže to je to dvě ku přeponě, a ta je čtyři.

215
00:11:17,907 --> 00:11:20,972
Takže se to rovná jedné polovině

216
00:11:20,972 --> 00:11:24,176
a pak, nakonec, kolik je tangens?

217
00:11:24,176 --> 00:11:27,984
Kolik je tangens šedesáti stupňů?

218
00:11:27,984 --> 00:11:32,349
OK tangens je protilehlá ku přilehlé

219
00:11:32,349 --> 00:11:34,671
protilehlá k úhlu šedesát stupňů

220
00:11:34,671 --> 00:11:36,400
je dvě odmocniny ze tří

221
00:11:36,400 --> 00:11:38,000
dvě druhé odmocniny ze tří

222
00:11:38,000 --> 00:11:39,919
a přilehlá

223
00:11:39,919 --> 00:11:42,733
přilehlá je dvě.

224
00:11:42,733 --> 00:11:44,800
Přilehlá k úhlu šedesát stupňů je dvě.

225
00:11:44,800 --> 00:11:48,650
Takže protilehlá ku přilehlé, dvě odmocniny ze tří ku dvěma

226
00:11:48,650 --> 00:11:52,644
to se rovná jedné odmocnině ze tří.

227
00:11:52,644 --> 00:11:54,641
A ještě se podívejme jak spolu tyto souvisejí

228
00:11:54,641 --> 00:11:57,984
sinus úhlu 30 stupňů je stejný jako kosinus šedesát stupňů.

229
00:11:57,984 --> 00:12:01,333
Kosinus 30 stupňů je totéž jako sinus 60 stupňů

230
00:12:01,333 --> 00:12:03,966
takže tyto dva jsou vzájemně inverzní

231
00:12:03,966 --> 00:12:05,635
a myslím, že pokud se trochu zamyslíte nad tímto trojúhelníkem

232
00:12:05,635 --> 00:12:07,105
začne to celé dávat smysl.

233
00:12:07,105 --> 00:12:08,461
na dalším videu toto budeme dále rozšiřovat

234
00:12:08,461 --> 99:59:59,999
aby jste získali větší praxi.