WEBVTT 00:00:00.800 --> 00:00:03.017 Zkusme více příkladů 00:00:03.017 --> 00:00:07.036 pro lepší pochopení trigonometrických funkcí. 00:00:07.036 --> 00:00:11.447 Takže, zkonstruujeme pravoúhlé trojúhelníky. 00:00:11.447 --> 00:00:13.668 Zkonstruujeme několik pravoúhlých trojúhelníků, 00:00:13.668 --> 00:00:15.186 a chci aby bylo jasné, 00:00:15.186 --> 00:00:18.042 že tak jak jsem to zatím definoval, bude to fungovat pouze s pravoúhlými trojúhelníky, 00:00:18.042 --> 00:00:23.475 Takže pokud budete chtít počítat trigonometrické funkce úhlů v obecných trojúhelnících 00:00:23.475 --> 00:00:25.704 uvidíte, že nejprve v nich budete muset zkonstruovat pravoúhlé trojúhelníky, 00:00:25.704 --> 00:00:27.867 ale nyní se soustřeďme na pravoúhlé. 00:00:27.867 --> 00:00:31.344 Řekněme, že mám trojúhelník, 00:00:31.344 --> 00:00:33.897 ve kterém tato strana je dlouhá sedm, 00:00:33.897 --> 00:00:37.757 a délka této strany 00:00:37.757 --> 00:00:39.452 nechť je čtyři. 00:00:39.452 --> 00:00:42.516 A nyní zkusme určit délku přepony. 00:00:42.516 --> 00:00:45.720 Takže, přeponu si označíme "h" 00:00:45.720 --> 00:00:52.200 h na druhou se rovná sedm na druhou plus čtyři na druhou. 00:00:52.200 --> 00:00:55.194 Jak víme z Pythagorovy věty, 00:00:55.194 --> 00:00:57.469 délka přepony na druhou se rovná 00:00:57.469 --> 00:01:01.974 součtu druhých mocnin obou odvěsen. 00:01:01.974 --> 00:01:04.533 h na druhou se rovná sedm na druhou plus čtyři na druhou. 00:01:04.533 --> 00:01:09.776 Takže toto se rovná čtyřicet devět plus šestnáct, 00:01:09.776 --> 00:01:11.800 čtyřicet devět plus šestnáct, 00:01:11.800 --> 00:01:18.553 čtyřicet devět plus deset je padesát devět plus šest je šedesát pět. 00:01:18.553 --> 00:01:21.107 takže h na druhou je šedesát pět, 00:01:21.107 --> 00:01:25.705 h na druhou - napíši to jiným odstínem žluté 00:01:25.705 --> 00:01:28.818 takže h na druhou se rovná šedesát pět. 00:01:28.818 --> 00:01:33.533 Mám to správně? 49 plus 10 je 59, plus dalších 6 je 65 00:01:33.533 --> 00:01:37.600 takže h se rovná, obě strany odmocníme, 00:01:37.600 --> 00:01:39.200 druhá odmocnina 00:01:39.200 --> 00:01:42.933 odmocnina z šedesáti pěti. A toto již nemůžeme dále zjednodušit. 00:01:42.933 --> 00:01:44.699 Zde je je třináct. 00:01:44.699 --> 00:01:47.463 Tohle je totéž jako třináct krát pět, 00:01:47.463 --> 00:01:50.388 ani jedna strana není celočíselně odmocnitelná 00:01:50.388 --> 00:01:51.804 obojí jsou prvočísla, takže dál už to nelze zjednodušit. 00:01:51.804 --> 00:01:55.467 Takže toto se rovná druhé odmocnině z šedesáti pěti. 00:01:55.467 --> 00:02:02.114 A nyní určíme trigonometrické funkce tohoto úhlu. 00:02:02.114 --> 00:02:05.457 Označme si tento úhel Théta. 00:02:05.457 --> 00:02:06.533 Vždy když počítáte trigonometrii 00:02:06.533 --> 00:02:09.467 můžete si poznamenant - alespoň já to tak dělám - 00:02:09.467 --> 00:02:11.714 soh cah toa 00:02:11.714 --> 00:02:13.120 soh... 00:02:13.120 --> 00:02:16.464 ... soh cah toa. Matně si vzpomínám 00:02:16.464 --> 00:02:18.786 na svého učitele trigonometrie. 00:02:18.786 --> 00:02:21.293 Možná jsem to viděl v nějaké knize. Nevím - znáte to... 00:02:21.293 --> 00:02:23.867 jedna indiánská princezna se jmenovala "soh cah toa", nebo tak něco... 00:02:23.867 --> 00:02:26.123 ale jde o velmi užitečnou mnemotechnickou pomůcku 00:02:26.123 --> 00:02:27.564 takže použijeme "soh cah toa". 00:02:27.564 --> 00:02:31.046 Zkusme například určit kosinus. 00:02:31.046 --> 00:02:34.436 Chceme zjistit kosinus našeho úhlu. 00:02:34.436 --> 00:02:37.965 řeknete si "soh cah toa". 00:02:37.965 --> 00:02:40.800 takže "cah". "Cah" nám říká jak spočítat kosinus, 00:02:40.800 --> 00:02:43.027 "cah" nám říká, 00:02:43.027 --> 00:02:46.371 že kosinus je přilehlá proti přeponě (pozn., Adjacent - přilehlá, Hypotenuse - přepona) 00:02:46.371 --> 00:02:51.433 Kosinus se rovná přilehlé ku přeponě. 00:02:51.433 --> 00:02:55.798 Takže se podívejme na úhel Théta; která strana je přilehlá? 00:02:55.798 --> 00:02:57.702 Víme, že přepona 00:02:57.702 --> 00:03:00.767 že přepona je tato strana zde. 00:03:00.767 --> 00:03:04.761 Takže ta to být nemůže. Jediná další strana, která přiléhá a 00:03:04.761 --> 00:03:07.133 není to přepona, je tato dlouhá čtyři. 00:03:07.133 --> 00:03:10.473 Takže hledaná přilehlá strana 00:03:10.473 --> 00:03:14.374 doslova přiléhá k danému úhlu, 00:03:14.374 --> 00:03:15.754 je to jedna ze stran, které určují úhel 00:03:15.754 --> 00:03:17.133 takže to je čtyři ku přeponě. 00:03:17.133 --> 00:03:21.108 Již víme, že přepona je odmocnina z šedesáti pěti. 00:03:21.108 --> 00:03:25.380 takže je to čtyři lomeno odmocninou z šedesáti pěti. 00:03:25.380 --> 00:03:29.142 občas lidé rádi zjednodušují zlomky 00:03:29.142 --> 00:03:32.625 tak aby neměli iracionální číslo ve jmenovateli 00:03:32.625 --> 00:03:35.227 jako třeba odmocninu z šedesáti pěti, 00:03:35.227 --> 00:03:39.359 pokud to chcete upravit, tak aby nebylo ve jmenovateli iracionální číslo, 00:03:39.359 --> 00:03:41.634 můžete vynásobit čitatele i jmenovatele zlomku 00:03:41.634 --> 00:03:43.306 odmocninou z šedesáti pěti. 00:03:43.306 --> 00:03:45.094 To samozřejmě neovlivní výsledek, 00:03:45.094 --> 00:03:48.122 protože násobíme něčím co vydělíme samo sebou, 00:03:48.122 --> 00:03:49.111 takže vlastně násobíme číslem jedna. 00:03:49.111 --> 00:03:52.780 To nezmění výsledek, ale alespoň se zbavíme iracionálního čísla ve jmenovateli. 00:03:52.780 --> 00:03:54.127 takže čitatel bude 00:03:54.127 --> 00:03:57.800 čtyři krát odmocnina z šedesáti pěti, 00:03:57.800 --> 00:04:03.461 a jmenovatel, odmocnina z šedesáti pěti krát odmocnina z šedesáti pěti, to je šedesáti pět. 00:04:03.461 --> 00:04:07.130 Nyní je iracionální číslo v čitateli. Takže jsme se ho nezbavili úplně. 00:04:07.130 --> 00:04:09.777 Nyní se podívejme na ostatní trigonometrické funkce 00:04:09.777 --> 00:04:12.401 nebo alespoň ty základní. 00:04:12.401 --> 00:04:14.399 Později se totiž naučíme, že jich existuje velké množství 00:04:14.399 --> 00:04:15.443 ale všechny jsou odvozené z těchto základních. 00:04:15.443 --> 00:04:19.733 takže, podívejme se nyní na sinus Théta. Opět použijeme "soh cah toa". 00:04:19.733 --> 00:04:25.474 "soh" nám říká co udělat s funkcí sinus. Sinus je protilehlá ku přeponě (pozn. Opposite - protilehlá) 00:04:25.474 --> 00:04:29.200 Sinus se rovná protilehlé ku přeponě. 00:04:29.200 --> 00:04:31.372 Sinus je protilehlá ku přeponě. 00:04:31.372 --> 00:04:34.390 Takže, která strana je protilehlá k tomuto úhlu? 00:04:34.390 --> 00:04:38.430 Je to ta naproti, ke které se úhel otevírá, protilehlá je sedm 00:04:38.430 --> 00:04:41.200 takže protilehlá strana je dlouhá sedm. 00:04:41.200 --> 00:04:44.468 To je zde, toto je protilehlá strana 00:04:44.468 --> 00:04:47.800 a k tomu přepona. Je to protilehlá ku přeponě 00:04:47.800 --> 00:04:51.109 Přepona je odmocnina z šedesáti pěti. 00:04:51.109 --> 00:04:52.966 Druhá odmocnina z šedesáti pěti. 00:04:52.966 --> 00:04:55.133 a opět, pokud bychom to chtěli zjednodušit, 00:04:55.133 --> 00:04:59.933 mohli bychom vynásobit odmocninou z šedesáti pěti ku odmocnině z šedesáti pěti, 00:04:59.933 --> 00:05:04.298 a v čitateli dostaneme sedm krát odmocnina z šedesáti pěti 00:05:04.298 --> 00:05:07.966 a ve jmenovateli bude opět šedesát pět 00:05:07.966 --> 00:05:10.474 Nyní zkusme tangens 00:05:10.474 --> 00:05:12.796 Spočítáme tangens. 00:05:12.796 --> 00:05:14.793 Takže pokud se zeptám na tangens 00:05:14.793 --> 00:05:17.394 tangens úhlu théta 00:05:17.394 --> 00:05:20.784 opět použijeme pomůcku "soh cah toa". 00:05:20.784 --> 00:05:23.106 toa nám říká, jak určit tangens 00:05:23.106 --> 00:05:24.800 to nám říká... 00:05:24.800 --> 00:05:27.053 to nám říká, že tangens 00:05:27.053 --> 00:05:29.867 se rovná protilehlé ku přilehlé 00:05:29.867 --> 00:05:33.137 se rovná protilehlá 00:05:33.137 --> 00:05:35.867 protilehlá ku přilehlé 00:05:35.867 --> 00:05:38.709 Která strana je protilehlá k tomuto úhlu? To jsme si již řekli. 00:05:38.709 --> 00:05:41.124 je to sedm. Úhel se otevírá ke straně dlouhé sedm. 00:05:41.124 --> 00:05:42.533 Protilehlá je sedm. 00:05:42.533 --> 00:05:46.372 Takže je to sedm k té straně která je přilehlá. 00:05:46.372 --> 00:05:48.200 dobře tato strana, čtyřka, je přilehlá. 00:05:48.200 --> 00:05:51.295 Tato čtyřka je přilehlá. Takže přilehlá strana je dlouhá čtyři 00:05:51.295 --> 00:05:54.330 takže to je sedm ku čtyřem, 00:05:54.330 --> 00:05:56.133 a jsme hotoví. 00:05:56.133 --> 00:05:59.375 Určili jsme všechny trigonometrické poměry pro théta. Zkusme další. 00:05:59.375 --> 00:06:00.416 Udělejme ještě jeden. 00:06:00.416 --> 00:06:02.719 udělám to o trochu konkrétnější, protože dosud jsme říkali, 00:06:02.719 --> 00:06:06.434 "co je tangens x, tangens théta." Udělejme to ještě trochu konkrétnější. 00:06:06.434 --> 00:06:08.431 Řekněme, že... 00:06:08.431 --> 00:06:10.799 nakreslím další pravoúhlý trojúhelník, 00:06:10.799 --> 00:06:13.772 zde je další pravoúhlý trojúhelník. 00:06:13.772 --> 00:06:17.533 Vše s čím pracujeme jsou pravoúhlé trohúhelníky. 00:06:17.533 --> 00:06:21.109 Řekněme, že přepona má délku čtyři, 00:06:21.109 --> 00:06:26.357 dejme tomu, že tato strana zde má délku dva, 00:06:26.357 --> 00:06:31.790 a dejme tomu, že tato délka zde bude dvakrát odmocnina ze tří. 00:06:31.790 --> 00:06:33.462 Můžeme ověřit, že to funguje. 00:06:33.462 --> 00:06:36.467 Pokud máte tuto stranu na druhou, takže máte - napíšu to - 00:06:36.467 --> 00:06:38.803 dvakrát odmocnina ze tří na druhou 00:06:38.803 --> 00:06:42.471 plus dvě na druhou, to se rovná kolik? 00:06:42.471 --> 00:06:46.467 To jsou dvě. Zde bude čtyři krát tři. 00:06:46.467 --> 00:06:49.763 čtyři krát tři plus čtyři, 00:06:49.763 --> 00:06:53.478 to se rovná dvanáct plus čtyři což je šestnáct 00:06:53.478 --> 00:06:57.800 a šestnáct je skutečně čtyři na druhou. Takže se to rovná čtyři na druhou, 00:06:57.800 --> 00:07:01.790 rovná se to čtyři na druhou. Takže Pythagorova věta platí 00:07:01.790 --> 00:07:06.133 a pokud si pamatujete něco o trojúhelnících s úhly 30 60 a 90 00:07:06.133 --> 00:07:07.781 něco z toho co jste se naučili v geometrii, 00:07:07.781 --> 00:07:11.450 poznáte, že toto je právě takový trojúhelník. 00:07:11.450 --> 00:07:13.133 Zde je pravý úhel, 00:07:13.133 --> 00:07:15.867 Jedná se o pravoúhlý trojúhelník - 00:07:15.867 --> 00:07:20.366 Tento úhel má třicet stupňů 00:07:20.366 --> 00:07:23.385 a pak tento úhel tady nahoře je 00:07:23.385 --> 00:07:26.125 šedesát stupňů, 00:07:26.125 --> 00:07:27.797 a je to třicet, šedesát a devadesát protože 00:07:27.797 --> 00:07:31.791 strana protilehlá k třiceti stupňům je polovina přepony 00:07:31.791 --> 00:07:36.800 a strana protilehlá k 60 stupňům je druhá odmocnina ze 3 krát druhá strana 00:07:36.800 --> 00:07:38.432 to není přepona. 00:07:38.432 --> 00:07:40.159 Nebudeme... 00:07:40.159 --> 00:07:43.415 toto nemá být přehled 30 60 90 trojúhelníků i když jsem to právě udělal. 00:07:43.415 --> 00:07:46.933 Určeme trigonometrické poměry pro různé úhly 00:07:46.933 --> 00:07:51.295 Takže kdyby se vás někdo zeptal, kolik je 00:07:51.295 --> 00:07:54.639 kolik je sinus třiceti stupňů? 00:07:54.639 --> 00:07:58.447 a nezapomeňte 30 stupňů je jeden z úhlů v tomto trojúhelníku, ale platí to 00:07:58.447 --> 00:08:01.698 kdykoliv budete mít úhel 30 stupňů a máte co do činění s pravoúhlý trojúhelníkem. 00:08:01.698 --> 00:08:05.135 V budoucnu budeme mít obecnější definice, ale když řeknete sinus třiceti stupňů, 00:08:05.135 --> 00:08:09.035 a tento úhel je třicet stupňů, takže použiji tento pravoúhlý trojúhelník, 00:08:09.035 --> 00:08:12.133 pouze si musíme vzpomenout na "soh cah toa" 00:08:12.133 --> 00:08:17.116 Napišme to. soh, cah, toa. 00:08:17.116 --> 00:08:22.782 soh nám říká, co si počít s sinem. sinus je protilehlá ku přeponě. 00:08:22.782 --> 00:08:26.358 sinus 30 stupňů je protilehlá strana, 00:08:26.358 --> 00:08:30.723 to je protilehlá strana, která je dvě ku přeponě. 00:08:30.723 --> 00:08:32.395 Přepona je čtyři. 00:08:32.395 --> 00:08:35.645 jsou to dvě čtvrtiny, což je totéž jako jedna polovina. 00:08:35.645 --> 00:08:40.799 sinus třiceti stupňů, se tedy vždy rovná jedné polovině. 00:08:40.799 --> 00:08:44.144 a kolik je kosinus? 00:08:44.144 --> 00:08:46.867 kolik je kosinus třiceti stupňů? 00:08:46.867 --> 00:08:50.135 Ještě jednou se vratíme k "soh cah toa". 00:08:50.135 --> 00:08:52.643 cah nám říká, co si počít s kosinem. 00:08:52.643 --> 00:08:56.033 Kosinus je přilehlá ku přeponě. 00:08:56.033 --> 00:08:59.051 Takže při pohledu na třiceti stupňový úhel, přilehlá je 00:08:59.051 --> 00:09:01.791 tato strana, zde je přilehlá. Hned vedle úhlu. 00:09:01.791 --> 00:09:05.467 není to přepona. Je to přilehlá ku přeponě. 00:09:05.467 --> 00:09:09.129 Takže jsou to dvě odmocniny ze tří 00:09:09.129 --> 00:09:13.633 přilehlá ku... ku přeponě, ku čtyřem. 00:09:13.633 --> 00:09:16.977 nebo, když to zjednodušíme, vydělíme čitatel i jmenovatel dvěma 00:09:16.977 --> 00:09:20.646 je to odmocnina ze tří ku dvěma. 00:09:20.646 --> 00:09:22.782 Nakonec zkusme tangens. 00:09:22.782 --> 00:09:27.800 Tangens třiceti stupňů, 00:09:27.800 --> 00:09:30.305 připomeneme si "soh cah toa". 00:09:30.305 --> 00:09:31.699 soh cah toa 00:09:31.699 --> 00:09:34.800 toa nám říká, jak určit tangens. Je to protilehlá ku přilehlé 00:09:34.800 --> 00:09:38.804 vezměte úhel 30 stupňů, protože nás zajímá tangens 30 stupňů 00:09:38.804 --> 00:09:42.101 tangens třiceti. Protilehlá je dvě, 00:09:42.101 --> 00:09:46.200 protilehlá je dvě a přilehlá dvě odmocniny ze tří. 00:09:46.200 --> 00:09:48.045 Je to hned vedle. Přilehlá. 00:09:48.045 --> 00:09:49.439 Přilehlá znamená, že je hned vedle. 00:09:49.439 --> 00:09:52.039 Takže dvě druhé odmocniny ze tří 00:09:52.039 --> 00:09:54.454 takže se to rovná... dvojky se vykrátí 00:09:54.454 --> 00:09:56.776 jedna lomeno odmocnina ze tří 00:09:56.776 --> 00:10:00.723 nebo múžeme vynásobit čitatele i jmenovatele odmocninou ze tří. 00:10:00.723 --> 00:10:05.367 Takže odmocnina ze tří lomeno odmocnina ze tří 00:10:05.367 --> 00:10:08.804 takže čitatel se rovná odmocnině ze tří 00:10:08.804 --> 00:10:12.473 a jmenovatel je tři. 00:10:12.473 --> 00:10:15.800 Takže jsme dostali odmocninu ze tří lomeno třemi. 00:10:15.800 --> 00:10:17.442 Prima. 00:10:17.442 --> 00:10:20.693 Nyní použijeme stejný trojúhelník k určení trigonometrických poměrů pro šedesát stupňů, 00:10:20.693 --> 00:10:22.457 jelikož jsme to již nakreslili. 00:10:22.457 --> 00:10:28.328 Takže kolik je... kolik je sinus šedesáti stupňů? 00:10:28.328 --> 00:10:30.166 doufám, že už to začínáte chápat. 00:10:30.166 --> 00:10:34.253 Sinus je protilehlá ku přeponě. 00:10:34.253 --> 00:10:36.668 která strana je protilehlá úhlu šedesáti stupňů? 00:10:36.668 --> 00:10:39.315 otevírá se proti dvěma odmocninám ze tří, 00:10:39.315 --> 00:10:42.566 tedy dvě odmocniny ze tří je strana protilehlá, 00:10:42.566 --> 00:10:45.306 a z úhlu šedesáti stupňů 00:10:45.306 --> 00:10:47.999 jde to protilehlá ku přeponě 00:10:47.999 --> 00:10:50.507 takže je to protilehlá ku přeponě 00:10:50.507 --> 00:10:54.315 jsou to dvě odmocniny ze tří lomeno čtyřmi. Čtyři je přepona. 00:10:54.315 --> 00:10:59.981 takže se to rovná, toto zjednodušíme na odmocninu ze tří lomeno dvěma. 00:10:59.981 --> 00:11:05.507 Kolik je kosinus šedesáti stupňů? Kosinus šedesáti stupňů. 00:11:05.507 --> 00:11:10.244 Takže pamatujte kosinus je přilehlá ku přeponě. 00:11:10.244 --> 00:11:13.667 přilehlé jsou dvě strany, hned vedle úhlu 60 stupňů. 00:11:13.667 --> 00:11:17.907 Takže to je to dvě ku přeponě, a ta je čtyři. 00:11:17.907 --> 00:11:20.972 Takže se to rovná jedné polovině 00:11:20.972 --> 00:11:24.176 a pak, nakonec, kolik je tangens? 00:11:24.176 --> 00:11:27.984 Kolik je tangens šedesáti stupňů? 00:11:27.984 --> 00:11:32.349 OK tangens je protilehlá ku přilehlé 00:11:32.349 --> 00:11:34.671 protilehlá k úhlu šedesát stupňů 00:11:34.671 --> 00:11:36.400 je dvě odmocniny ze tří 00:11:36.400 --> 00:11:38.000 dvě druhé odmocniny ze tří 00:11:38.000 --> 00:11:39.919 a přilehlá 00:11:39.919 --> 00:11:42.733 přilehlá je dvě. 00:11:42.733 --> 00:11:44.800 Přilehlá k úhlu šedesát stupňů je dvě. 00:11:44.800 --> 00:11:48.650 Takže protilehlá ku přilehlé, dvě odmocniny ze tří ku dvěma 00:11:48.650 --> 00:11:52.644 to se rovná jedné odmocnině ze tří. 00:11:52.644 --> 00:11:54.641 A ještě se podívejme jak spolu tyto souvisejí 00:11:54.641 --> 00:11:57.984 sinus úhlu 30 stupňů je stejný jako kosinus šedesát stupňů. 00:11:57.984 --> 00:12:01.333 Kosinus 30 stupňů je totéž jako sinus 60 stupňů 00:12:01.333 --> 00:12:03.966 takže tyto dva jsou vzájemně inverzní 00:12:03.966 --> 00:12:05.635 a myslím, že pokud se trochu zamyslíte nad tímto trojúhelníkem 00:12:05.635 --> 00:12:07.105 začne to celé dávat smysl. 00:12:07.105 --> 00:12:08.461 na dalším videu toto budeme dále rozšiřovat 00:12:08.461 --> 99:59:59.999 aby jste získali větší praxi.