Základy Trigonometrie II

Jedno z nejpupulárnějších videí Khan Academy, Základy Trigonometrie II.

Zkusme více příkladů

pro lepší pochopení trigonometrických funkcí.

Takže, zkonstruujeme pravoúhlé trojúhelníky.

Zkonstruujeme několik pravoúhlých trojúhelníků,

a chci aby bylo jasné,

že tak jak jsem to zatím definoval, bude to fungovat pouze s pravoúhlými trojúhelníky,

Takže pokud budete chtít počítat trigonometrické funkce úhlů v obecných trojúhelnících

uvidíte, že nejprve v nich budete muset zkonstruovat pravoúhlé trojúhelníky,

ale nyní se soustřeďme na pravoúhlé.

Řekněme, že mám trojúhelník,

ve kterém tato strana je dlouhá sedm,

a délka této strany

nechť je čtyři.

A nyní zkusme určit délku přepony.

Takže, přeponu si označíme "h"

h na druhou se rovná sedm na druhou plus čtyři na druhou.

Jak víme z Pythagorovy věty,

délka přepony na druhou se rovná

součtu druhých mocnin obou odvěsen.

h na druhou se rovná sedm na druhou plus čtyři na druhou.

Takže toto se rovná čtyřicet devět plus šestnáct,

čtyřicet devět plus šestnáct,

čtyřicet devět plus deset je padesát devět plus šest je šedesát pět.

takže h na druhou je šedesát pět,

h na druhou - napíši to jiným odstínem žluté

takže h na druhou se rovná šedesát pět.

Mám to správně? 49 plus 10 je 59, plus dalších 6 je 65

takže h se rovná, obě strany odmocníme,

druhá odmocnina

odmocnina z šedesáti pěti. A toto již nemůžeme dále zjednodušit.

Zde je je třináct.

Tohle je totéž jako třináct krát pět,

ani jedna strana není celočíselně odmocnitelná

obojí jsou prvočísla, takže dál už to nelze zjednodušit.

Takže toto se rovná druhé odmocnině z šedesáti pěti.

A nyní určíme trigonometrické funkce tohoto úhlu.

Označme si tento úhel Théta.

Vždy když počítáte trigonometrii

můžete si poznamenant - alespoň já to tak dělám -

soh cah toa

soh...

... soh cah toa. Matně si vzpomínám

na svého učitele trigonometrie.

Možná jsem to viděl v nějaké knize. Nevím - znáte to...

jedna indiánská princezna se jmenovala "soh cah toa", nebo tak něco...

ale jde o velmi užitečnou mnemotechnickou pomůcku

takže použijeme "soh cah toa".

Zkusme například určit kosinus.

Chceme zjistit kosinus našeho úhlu.

řeknete si "soh cah toa".

takže "cah". "Cah" nám říká jak spočítat kosinus,

"cah" nám říká,

že kosinus je přilehlá proti přeponě (pozn., Adjacent - přilehlá, Hypotenuse - přepona)

Kosinus se rovná přilehlé ku přeponě.

Takže se podívejme na úhel Théta; která strana je přilehlá?

Víme, že přepona

že přepona je tato strana zde.

Takže ta to být nemůže. Jediná další strana, která přiléhá a

není to přepona, je tato dlouhá čtyři.

Takže hledaná přilehlá strana

doslova přiléhá k danému úhlu,

je to jedna ze stran, které určují úhel

takže to je čtyři ku přeponě.

Již víme, že přepona je odmocnina z šedesáti pěti.

takže je to čtyři lomeno odmocninou z šedesáti pěti.

občas lidé rádi zjednodušují zlomky

tak aby neměli iracionální číslo ve jmenovateli

jako třeba odmocninu z šedesáti pěti,

pokud to chcete upravit, tak aby nebylo ve jmenovateli iracionální číslo,

můžete vynásobit čitatele i jmenovatele zlomku

odmocninou z šedesáti pěti.

To samozřejmě neovlivní výsledek,

protože násobíme něčím co vydělíme samo sebou,

takže vlastně násobíme číslem jedna.

To nezmění výsledek, ale alespoň se zbavíme iracionálního čísla ve jmenovateli.

takže čitatel bude

čtyři krát odmocnina z šedesáti pěti,

a jmenovatel, odmocnina z šedesáti pěti krát odmocnina z šedesáti pěti, to je šedesáti pět.

Nyní je iracionální číslo v čitateli. Takže jsme se ho nezbavili úplně.

Nyní se podívejme na ostatní trigonometrické funkce

nebo alespoň ty základní.

Později se totiž naučíme, že jich existuje velké množství

ale všechny jsou odvozené z těchto základních.

takže, podívejme se nyní na sinus Théta. Opět použijeme "soh cah toa".

"soh" nám říká co udělat s funkcí sinus. Sinus je protilehlá ku přeponě (pozn. Opposite - protilehlá)

Sinus se rovná protilehlé ku přeponě.

Sinus je protilehlá ku přeponě.

Takže, která strana je protilehlá k tomuto úhlu?

Je to ta naproti, ke které se úhel otevírá, protilehlá je sedm

takže protilehlá strana je dlouhá sedm.

To je zde, toto je protilehlá strana

a k tomu přepona. Je to protilehlá ku přeponě

Přepona je odmocnina z šedesáti pěti.

Druhá odmocnina z šedesáti pěti.

a opět, pokud bychom to chtěli zjednodušit,

mohli bychom vynásobit odmocninou z šedesáti pěti ku odmocnině z šedesáti pěti,

a v čitateli dostaneme sedm krát odmocnina z šedesáti pěti

a ve jmenovateli bude opět šedesát pět

Nyní zkusme tangens

Spočítáme tangens.

Takže pokud se zeptám na tangens

tangens úhlu théta

opět použijeme pomůcku "soh cah toa".

toa nám říká, jak určit tangens

to nám říká...

to nám říká, že tangens

se rovná protilehlé ku přilehlé

se rovná protilehlá

protilehlá ku přilehlé

Která strana je protilehlá k tomuto úhlu? To jsme si již řekli.

je to sedm. Úhel se otevírá ke straně dlouhé sedm.

Protilehlá je sedm.

Takže je to sedm k té straně která je přilehlá.

dobře tato strana, čtyřka, je přilehlá.

Tato čtyřka je přilehlá. Takže přilehlá strana je dlouhá čtyři

takže to je sedm ku čtyřem,

a jsme hotoví.

Určili jsme všechny trigonometrické poměry pro théta. Zkusme další.

Udělejme ještě jeden.

udělám to o trochu konkrétnější, protože dosud jsme říkali,

"co je tangens x, tangens théta." Udělejme to ještě trochu konkrétnější.

Řekněme, že...

nakreslím další pravoúhlý trojúhelník,

zde je další pravoúhlý trojúhelník.

Vše s čím pracujeme jsou pravoúhlé trohúhelníky.

Řekněme, že přepona má délku čtyři,

dejme tomu, že tato strana zde má délku dva,

a dejme tomu, že tato délka zde bude dvakrát odmocnina ze tří.

Můžeme ověřit, že to funguje.

Pokud máte tuto stranu na druhou, takže máte - napíšu to -

dvakrát odmocnina ze tří na druhou

plus dvě na druhou, to se rovná kolik?

To jsou dvě. Zde bude čtyři krát tři.

čtyři krát tři plus čtyři,

to se rovná dvanáct plus čtyři což je šestnáct

a šestnáct je skutečně čtyři na druhou. Takže se to rovná čtyři na druhou,

rovná se to čtyři na druhou. Takže Pythagorova věta platí

a pokud si pamatujete něco o trojúhelnících s úhly 30 60 a 90

něco z toho co jste se naučili v geometrii,

poznáte, že toto je právě takový trojúhelník.

Zde je pravý úhel,

Jedná se o pravoúhlý trojúhelník -

Tento úhel má třicet stupňů

a pak tento úhel tady nahoře je

šedesát stupňů,

a je to třicet, šedesát a devadesát protože

strana protilehlá k třiceti stupňům je polovina přepony

a strana protilehlá k 60 stupňům je druhá odmocnina ze 3 krát druhá strana

to není přepona.

Nebudeme...

toto nemá být přehled 30 60 90 trojúhelníků i když jsem to právě udělal.

Určeme trigonometrické poměry pro různé úhly

Takže kdyby se vás někdo zeptal, kolik je

kolik je sinus třiceti stupňů?

a nezapomeňte 30 stupňů je jeden z úhlů v tomto trojúhelníku, ale platí to

kdykoliv budete mít úhel 30 stupňů a máte co do činění s pravoúhlý trojúhelníkem.

V budoucnu budeme mít obecnější definice, ale když řeknete sinus třiceti stupňů,

a tento úhel je třicet stupňů, takže použiji tento pravoúhlý trojúhelník,

pouze si musíme vzpomenout na "soh cah toa"

Napišme to. soh, cah, toa.

soh nám říká, co si počít s sinem. sinus je protilehlá ku přeponě.

sinus 30 stupňů je protilehlá strana,

to je protilehlá strana, která je dvě ku přeponě.

Přepona je čtyři.

jsou to dvě čtvrtiny, což je totéž jako jedna polovina.

sinus třiceti stupňů, se tedy vždy rovná jedné polovině.

a kolik je kosinus?

kolik je kosinus třiceti stupňů?

Ještě jednou se vratíme k "soh cah toa".

cah nám říká, co si počít s kosinem.

Kosinus je přilehlá ku přeponě.

Takže při pohledu na třiceti stupňový úhel, přilehlá je

tato strana, zde je přilehlá. Hned vedle úhlu.

není to přepona. Je to přilehlá ku přeponě.

Takže jsou to dvě odmocniny ze tří

přilehlá ku... ku přeponě, ku čtyřem.

nebo, když to zjednodušíme, vydělíme čitatel i jmenovatel dvěma

je to odmocnina ze tří ku dvěma.

Nakonec zkusme tangens.

Tangens třiceti stupňů,

připomeneme si "soh cah toa".

soh cah toa

toa nám říká, jak určit tangens. Je to protilehlá ku přilehlé

vezměte úhel 30 stupňů, protože nás zajímá tangens 30 stupňů

tangens třiceti. Protilehlá je dvě,

protilehlá je dvě a přilehlá dvě odmocniny ze tří.

Je to hned vedle. Přilehlá.

Přilehlá znamená, že je hned vedle.

Takže dvě druhé odmocniny ze tří

takže se to rovná... dvojky se vykrátí

jedna lomeno odmocnina ze tří

nebo múžeme vynásobit čitatele i jmenovatele odmocninou ze tří.

Takže odmocnina ze tří lomeno odmocnina ze tří

takže čitatel se rovná odmocnině ze tří

a jmenovatel je tři.

Takže jsme dostali odmocninu ze tří lomeno třemi.

Prima.

Nyní použijeme stejný trojúhelník k určení trigonometrických poměrů pro šedesát stupňů,

jelikož jsme to již nakreslili.

Takže kolik je... kolik je sinus šedesáti stupňů?

doufám, že už to začínáte chápat.

Sinus je protilehlá ku přeponě.

která strana je protilehlá úhlu šedesáti stupňů?

otevírá se proti dvěma odmocninám ze tří,

tedy dvě odmocniny ze tří je strana protilehlá,

a z úhlu šedesáti stupňů

jde to protilehlá ku přeponě

takže je to protilehlá ku přeponě

jsou to dvě odmocniny ze tří lomeno čtyřmi. Čtyři je přepona.

takže se to rovná, toto zjednodušíme na odmocninu ze tří lomeno dvěma.

Kolik je kosinus šedesáti stupňů? Kosinus šedesáti stupňů.

Takže pamatujte kosinus je přilehlá ku přeponě.

přilehlé jsou dvě strany, hned vedle úhlu 60 stupňů.

Takže to je to dvě ku přeponě, a ta je čtyři.

Takže se to rovná jedné polovině

a pak, nakonec, kolik je tangens?

Kolik je tangens šedesáti stupňů?

OK tangens je protilehlá ku přilehlé

protilehlá k úhlu šedesát stupňů

je dvě odmocniny ze tří

dvě druhé odmocniny ze tří

a přilehlá

přilehlá je dvě.

Přilehlá k úhlu šedesát stupňů je dvě.

Takže protilehlá ku přilehlé, dvě odmocniny ze tří ku dvěma

to se rovná jedné odmocnině ze tří.

A ještě se podívejme jak spolu tyto souvisejí

sinus úhlu 30 stupňů je stejný jako kosinus šedesát stupňů.

Kosinus 30 stupňů je totéž jako sinus 60 stupňů

takže tyto dva jsou vzájemně inverzní

a myslím, že pokud se trochu zamyslíte nad tímto trojúhelníkem

začne to celé dávat smysl.

na dalším videu toto budeme dále rozšiřovat

aby jste získali větší praxi.