O que é um vetor? — David Huynh

Vejam a lição completa: http://ed.ted.com/lessons/what-is-a-vector-david-huynh

Físicos, controladores aéreos e criadores de videojogos têm todos, pelo menos, uma coisa em comum: vetores. Mas o que são eles exatamente e porque é que são importantes? David Huynh explica como os vetores são um ótimo exemplo de elegância, beleza e utilidade fundamental da matemática.

Lição de David Huynh, animação de Anton Trofimov.

Físicos, controladores aéreos

e criadores de videojogos

têm todos em comum,
pelo menos, uma coisa:

vetores.

O que são exatamente
e porque são importantes?

Para responder, precisamos
de perceber escalares primeiro.

Um escalar é uma quantidade com magnitude.

Diz-nos o quanto alguma coisa existe.

A distância entre vocês e um banco,

e o volume e a temperatura
da bebida no vosso copo

são todos descritos por escalares.

As grandezas vetoriais
também têm uma magnitude

e ainda uma informação extra,

a direção.

Para chegarmos ao banco,

precisamos de saber o quão longe está
e em que direção,

não só a distância, mas a deslocação.

O que torna os vetores especiais
e úteis em todas as áreas

é que eles não mudam
com base na perspetiva,

mas permanecem invariáveis
ao sistema de coordenadas.

O que é que isso significa?

Digamos que vocês e um amigo
estão a mudar a vossa tenda.

Colocam-se em lados opostos, por isso,
estão virados para direções opostas.

O vosso amigo dá dois passos
para a direita e três passos para a frente

enquanto vocês dão dois passos
para a esquerda e três passos para trás.

Mesmo parecendo que se estão
a movimentar de forma diferente,

ambos acabam por se mover
à mesma distância na mesma direção

seguindo o mesmo vetor.

Independentemente do lado para onde olham

ou do sistema de coordenadas
que utilizem sobre o chão,

o vetor não muda.

Vamos usar o familiar sistema
cartesiano de coordenadas

com os seus eixos x e y.

Chamamos a estas duas direções
a nossa base de coordenadas

porque as usamos para descrever
tudo o que colocamos no gráfico.

Digamos que a tenda começa na origem
e termina aqui no ponto B.

A seta que liga os dois pontos

é o vetor da origem até B.

Quando o vosso amigo pensa
para onde se tem de mover,

isso pode ser escrito matematicamente
como: 2x + 3y,

ou, assim, que se chama uma matriz.

Como estão a olhar para o outro lado

a vossa base das coordenadas
aponta em direções opostas,

às quais chamamos "x linha" e "y linha"

e o vosso movimento
pode ser escrito assim

ou com esta matriz.

Se olharmos para as duas matrizes,
elas não são claramente as mesmas,

mas uma matriz sozinha não descreve
completamente um vetor.

Cada uma delas precisa
de uma base para ter contexto

e quando lhes damos contexto,

vemos que, de facto,
descrevem o mesmo vetor.

Podem pensar em elementos
da matriz como letras individuais.

Assim como uma sequência
de letras só forma uma palavra

no contexto de uma determinada língua,

uma matriz adquire significado como vetor

quando associada
a uma base de coordenadas.

Assim como diferentes palavras em duas
línguas podem ter o mesmo significado,

diferentes representações de duas bases
podem descrever o mesmo vetor.

O vetor é a essência daquilo
que está a ser comunicado,

independentemente da linguagem
usada para o descrever.

Os escalares também partilham esta
propriedade de invariância de coordenadas.

Na verdade, todas as grandezas
com esta propriedade

são membros de um grupo
chamado tensores.

Vários tipos de tensores contêm
diferentes quantidades de informações.

Será que existe alguma coisa

que consegue conter
mais informações do que os vetores?

Absolutamente.

Digamos que estão a criar um videojogo

e querem um modelo realista
do comportamento da água.

Mesmo que haja forças a agir
na mesma direção

com a mesma magnitude,

dependendo de como estão orientadas,
podem ver ondas ou remoinhos.

Quando a força, que é um vetor,
é combinada com outro vetor de orientação,

temos a quantidade física chamada tensão,

que é um exemplo de um tensor
de segunda ordem.

Estes tensores também são usados
fora dos videojogos

com todo o tipo de propósitos,
incluindo simulações científicas,

desenhos de carros

e exames de imagens cerebrais.

Os escalares, vetores e tensores
mostram-nos uma forma bastante simples

de dar sentido a ideias
e interações complexas.

Assim sendo, são um ótimo exemplo
da elegância, beleza

e utilidade essencial da matemática.