Físicos, controladores aéreos
e criadores de videojogos
têm todos em comum, pelo menos, uma coisa:
vetores.
O que são exatamente e porque são importantes?
Para responder, precisamos de perceber escalares primeiro.
Um escalar é uma quantidade com magnitude.
Diz-nos o quanto alguma coisa existe.
A distância entre vocês e um banco,
e o volume e a temperatura da bebida no vosso copo
são todos descritos por escalares.
As grandezas vetoriais também têm uma magnitude
e ainda uma informação extra,
a direção.
Para chegarmos ao banco,
precisamos de saber o quão longe está e em que direção,
não só a distância, mas a deslocação.
O que torna os vetores especiais e úteis em todas as áreas
é que eles não mudam com base na perspetiva,
mas permanecem invariáveis ao sistema de coordenadas.
O que é que isso significa?
Digamos que vocês e um amigo estão a mudar a vossa tenda.
Colocam-se em lados opostos, por isso, estão virados para direções opostas.
O vosso amigo dá dois passos para a direita e três passos para a frente
enquanto vocês dão dois passos para a esquerda e três passos para trás.
Mesmo parecendo que se estão a movimentar de forma diferente,
ambos acabam por se mover à mesma distância na mesma direção
seguindo o mesmo vetor.
Independentemente do lado para onde olham
ou do sistema de coordenadas que utilizem sobre o chão,
o vetor não muda.
Vamos usar o familiar sistema cartesiano de coordenadas
com os seus eixos x e y.
Chamamos a estas duas direções a nossa base de coordenadas
porque as usamos para descrever tudo o que colocamos no gráfico.
Digamos que a tenda começa na origem e termina aqui no ponto B.
A seta que liga os dois pontos
é o vetor da origem até B.
Quando o vosso amigo pensa para onde se tem de mover,
isso pode ser escrito matematicamente como: 2x + 3y,
ou, assim, que se chama uma matriz.
Como estão a olhar para o outro lado
a vossa base das coordenadas aponta em direções opostas,
às quais chamamos "x linha" e "y linha"
e o vosso movimento pode ser escrito assim
ou com esta matriz.
Se olharmos para as duas matrizes, elas não são claramente as mesmas,
mas uma matriz sozinha não descreve completamente um vetor.
Cada uma delas precisa de uma base para ter contexto
e quando lhes damos contexto,
vemos que, de facto, descrevem o mesmo vetor.
Podem pensar em elementos da matriz como letras individuais.
Assim como uma sequência de letras só forma uma palavra
no contexto de uma determinada língua,
uma matriz adquire significado como vetor
quando associada a uma base de coordenadas.
Assim como diferentes palavras em duas línguas podem ter o mesmo significado,
diferentes representações de duas bases podem descrever o mesmo vetor.
O vetor é a essência daquilo que está a ser comunicado,
independentemente da linguagem usada para o descrever.
Os escalares também partilham esta propriedade de invariância de coordenadas.
Na verdade, todas as grandezas com esta propriedade
são membros de um grupo chamado tensores.
Vários tipos de tensores contêm diferentes quantidades de informações.
Será que existe alguma coisa
que consegue conter mais informações do que os vetores?
Absolutamente.
Digamos que estão a criar um videojogo
e querem um modelo realista do comportamento da água.
Mesmo que haja forças a agir na mesma direção
com a mesma magnitude,
dependendo de como estão orientadas, podem ver ondas ou remoinhos.
Quando a força, que é um vetor, é combinada com outro vetor de orientação,
temos a quantidade física chamada tensão,
que é um exemplo de um tensor de segunda ordem.
Estes tensores também são usados fora dos videojogos
com todo o tipo de propósitos, incluindo simulações científicas,
desenhos de carros
e exames de imagens cerebrais.
Os escalares, vetores e tensores mostram-nos uma forma bastante simples
de dar sentido a ideias e interações complexas.
Assim sendo, são um ótimo exemplo da elegância, beleza
e utilidade essencial da matemática.