-
.
-
Hvilke talmængder tilhører tallet
-
3,4028 og så videre?
-
Lad os først tænke over,
-
hvad det her repræsenterer og især,
-
hvad stregen ovenover betyder.
-
Stregen ovenover betyder,
-
at 28 gentages uendeligt.
-
Vi kan skrive tallet som 3,4028,
-
men 28 gentages uendeligt.
-
Det fortsætter og fortsætter for evigt.
-
Vi kunne skrive 28 igen og igen.
-
Det er selvfølgelig lettere
-
at tegne den her streg ovenover 28, så det gør vi.
-
Lad os nu overveje, hvilke talmængder det tilhører.
-
Den største talmængde, vi indtil videre har kigget på,
-
er reelle tal.
-
Det her tal tilhører helt sikkert de reelle tal.
-
De reelle tal er hele den tallinje,
-
vi normalt bruger.
-
3,4028 er omkring her.
-
Det her er minus 1, 0, 1, 2, 3 og 4.
-
3,4028 er lidt mere end 3,4
-
og lidt mindre end 3,41.
-
Det vil være her.
-
Det er helt sikkert på tallinjen.
-
Det er altså et reelt tal.
-
.
-
Det er faktisk uden tvivl et reelt tal.
-
Det er ikke lige så let at svare på,
-
om det er et rationelt tal.
-
Et rationelt tal er et tal,
-
det kan udtrykkes som en brøk.
-
Hvis vi siger, at p er rationelt, betyder det,
-
at det kan udtrykkes som forholdet mellem 2 heltal.
-
p kan altså skrives som forholdet mellem 2
-
heltal, m over n.
-
Kan vi udtrykke det her som
-
forholdet mellem 2 heltal?
-
Kan vi skrive det her
-
som en brøk?
-
Lad os prøve at skrive det som en brøk.
-
Lad os sige, at x er lig med det her tal.
-
x er lig med 3,4028.
-
Hvad er 10000x?
-
Vi bruger 10000x,
-
fordi vi vil flytte kommaet helt over til højre.
-
10000x.
-
Hvad er det lig med?
-
Hver gang man ganger med 10,
-
rykker man kommaet 1 plads til højre.
-
10000 er 10 i fjerde.
-
Det er altså det samme som at rykke
-
kommaet 4 pladser til højre.
-
1, 2, 3, 4.
-
Det er 34028.
-
De her 28'ere fortsætter uendeligt.
-
Der står altså stadig 28 igen og igen
-
efter det her.
-
De blev bare rykket 5 pladser
-
til venstre for kommaet.
-
Sådan kan man se på det.
-
Det giver mening.
-
Det er næsten 3 1/2.
-
Hvis man ganger med 10000, får man derfor næsten 35000.
-
Det er altså 10000x.
-
Hvad er 100x så?
-
Vi vil gerne finde 2 tal, hvor den gentagede del
-
forsvinder, når vi trækker dem fra hinanden,
-
og de er udtrykt som x.
-
Derefter kan vi bare behandle dem som almindelige tal.
-
Hvad er 100x?
-
100x.
-
Det flytter det her komma.
-
Husk, at kommaet var her til at starte med.
-
Det flytter kommaet 2 pladser til højre.
-
.
-
100x er 340,28 og så videre.
-
Vi kunne have skrevet 28 i det uendelige her,
-
men det ville ikke have givet meget mening.
-
Vi vil altid gerne skrive det efter kommaet.
-
Vi skal skrive 28 igen for at vise, at det er gentaget.
-
Nu sker der noget interessant.
-
De her 2 tal er multipla af x.
-
Hvad sker der, hvis vi trækker
-
det nederste tal fra det øverste?
-
Den gentagede del forsvinder.
-
Lad os gøre det.
-
Vi gør det på begge sider
-
af ligningen.
-
På venstre side bliver 10000x minus
-
100x lig med 9900x.
-
På højre side
-
forsvinder decimaldelen.
-
Vi skal regne ud, hvad 34028 minus 340 er.
-
Lad os gøre det.
-
8 er større end 0,
-
så vi skal ikke skrive det om her.
-
2 er mindre end 4.
-
Vi skal altså skrive det om,
-
men vi kan ikke låne endnu, fordi der står 0 her.
-
0 er mindre end 3, så vi skal skrive det om
-
eller låne her.
-
Lad os låne fra 4 først.
-
Hvis vi låner fra 4, bliver det her 3,
-
og så bliver det her 10.
-
Nu kan 2 låne fra 10.
-
Det her bliver 9, og det her bliver 12.
-
Nu kan vi trække fra.
-
8 minus 0 er 8.
-
12 minus 4 er 8.
-
9 minus 3 er 6.
-
3 minus ingenting er 3.
-
3 minus ingenting er 3.
-
9900x er altså lig med 33688.
-
Vi har lige trukket 340 fra det her.
-
Vi får altså 33.668.
-
Hvis vi vil finde x,
-
skal vi dividere begge sider med 9900.
-
Vi dividerer venstre side med 9900,
-
og vi dividerer højre side med 9900.
-
Hvad står tilbage?
-
x er lig med 33688 over 9900.
-
Hvad var det specielle ved det her?
-
x var det her tal.
-
x var det tal, vi startede med, nemlig det her uendelige tal.
-
Ved at bruge lidt algebra
-
og trække et multiplum fra et andet,
-
kan vi nu skrive det samme x som en brøk.
-
Det her er ikke i korteste form.
-
De kan helt sikkert begge divideres med 2 og måske også med 4.
-
Vi kan forkorte brøken,
-
men det er vi ligeglade med.
-
Vi går kun op i, at vi kan skrive x,
-
altså det her tal, som en brøk.
-
Det er forholdet mellem 2 heltal.
-
Tallet er altså rationelt.
-
Det er rationelt.
-
Teknikken vi brugte kan ikke kun
-
bruges til det her tal.
-
Hver gang man har et tal med gentagne cifre,
-
kan man bruge den her teknik.
-
Generelt er gentagne cifre altså rationelle.
-
Dem, der er irrationelle, er de cifre,
-
der aldrig nogensinde gentages, eksempelvis pi.
-
Det er vist temmelig
-
tydeligt, at det her ikke er et heltal.
-
Heltallene er de hele tal,
-
der findes.
-
Det her er et sted mellem heltallene.
-
Det er ikke et naturligt tal eller et helt tal,
-
der kan ses som en underkategori af heltal.
-
Det er ikke nogen af dem.
-
Det er reelt, og det er rationelt.
-
Det er det eneste, vi kan sige om det.
