1
00:00:00,000 --> 00:00:00,490
.

2
00:00:00,490 --> 00:00:05,430
Hvilke talmængder tilhører tallet

3
00:00:05,430 --> 00:00:07,330
3,4028 og så videre?

4
00:00:07,330 --> 00:00:09,150
Lad os først tænke over,

5
00:00:09,150 --> 00:00:10,690
hvad det her repræsenterer og især,

6
00:00:10,690 --> 00:00:13,000
hvad stregen ovenover betyder.

7
00:00:13,000 --> 00:00:15,770
Stregen ovenover betyder,

8
00:00:15,770 --> 00:00:17,420
at 28 gentages uendeligt.

9
00:00:17,420 --> 00:00:25,090
Vi kan skrive tallet som 3,4028,

10
00:00:25,090 --> 00:00:26,110
men 28 gentages uendeligt.

11
00:00:26,110 --> 00:00:29,740
Det fortsætter og fortsætter for evigt.

12
00:00:29,740 --> 00:00:32,299
Vi kunne skrive 28 igen og igen.

13
00:00:32,299 --> 00:00:35,210
Det er selvfølgelig lettere

14
00:00:35,210 --> 00:00:37,620
at tegne den her streg ovenover 28, så det gør vi.

15
00:00:37,620 --> 00:00:41,290
Lad os nu overveje, hvilke talmængder det tilhører.

16
00:00:41,290 --> 00:00:44,600
Den største talmængde, vi indtil videre har kigget på,

17
00:00:44,600 --> 00:00:45,330
er reelle tal.

18
00:00:45,330 --> 00:00:48,420
Det her tal tilhører helt sikkert de reelle tal.

19
00:00:48,420 --> 00:00:50,300
De reelle tal er hele den tallinje,

20
00:00:50,300 --> 00:00:51,990
vi normalt bruger.

21
00:00:51,990 --> 00:00:55,660
3,4028 er omkring her.

22
00:00:55,660 --> 00:01:01,340
Det her er minus 1, 0, 1, 2, 3 og 4.

23
00:01:01,340 --> 00:01:04,730
3,4028 er lidt mere end 3,4

24
00:01:04,730 --> 00:01:06,490
og lidt mindre end 3,41.

25
00:01:06,490 --> 00:01:07,760
Det vil være her.

26
00:01:07,760 --> 00:01:09,450
Det er helt sikkert på tallinjen.

27
00:01:09,450 --> 00:01:11,090
Det er altså et reelt tal.

28
00:01:11,090 --> 00:01:13,870
.

29
00:01:13,870 --> 00:01:16,370
Det er faktisk uden tvivl et reelt tal.

30
00:01:16,370 --> 00:01:19,080
Det er ikke lige så let at svare på,

31
00:01:19,080 --> 00:01:20,180
om det er et rationelt tal.

32
00:01:20,180 --> 00:01:25,040
Et rationelt tal er et tal,

33
00:01:25,040 --> 00:01:26,890
det kan udtrykkes som en brøk.

34
00:01:26,890 --> 00:01:34,390
Hvis vi siger, at p er rationelt, betyder det,

35
00:01:34,390 --> 00:01:37,840
at det kan udtrykkes som forholdet mellem 2 heltal.

36
00:01:37,840 --> 00:01:45,620
p kan altså skrives som forholdet mellem 2

37
00:01:45,620 --> 00:01:47,900
heltal, m over n.

38
00:01:47,900 --> 00:01:50,960
Kan vi udtrykke det her som

39
00:01:50,960 --> 00:01:51,410
forholdet mellem 2 heltal?

40
00:01:51,410 --> 00:01:52,410
Kan vi skrive det her

41
00:01:52,410 --> 00:01:53,990
som en brøk?

42
00:01:53,990 --> 00:01:58,510
Lad os prøve at skrive det som en brøk.

43
00:01:58,510 --> 00:02:01,310
Lad os sige, at x er lig med det her tal.

44
00:02:01,310 --> 00:02:09,960
x er lig med 3,4028.

45
00:02:09,960 --> 00:02:12,650
Hvad er 10000x?

46
00:02:12,650 --> 00:02:14,470
Vi bruger 10000x,

47
00:02:14,470 --> 00:02:16,960
fordi vi vil flytte kommaet helt over til højre.

48
00:02:16,960 --> 00:02:21,710
10000x.

49
00:02:21,710 --> 00:02:23,380
Hvad er det lig med?

50
00:02:23,380 --> 00:02:26,350
Hver gang man ganger med 10,

51
00:02:26,350 --> 00:02:27,420
rykker man kommaet 1 plads til højre.

52
00:02:27,420 --> 00:02:29,790
10000 er 10 i fjerde.

53
00:02:29,790 --> 00:02:31,780
Det er altså det samme som at rykke

54
00:02:31,780 --> 00:02:32,830
kommaet 4 pladser til højre.

55
00:02:32,830 --> 00:02:36,400
1, 2, 3, 4.

56
00:02:36,400 --> 00:02:40,575
Det er 34028.

57
00:02:40,575 --> 00:02:42,700
De her 28'ere fortsætter uendeligt.

58
00:02:42,700 --> 00:02:45,820
Der står altså stadig 28 igen og igen

59
00:02:45,820 --> 00:02:46,720
efter det her.

60
00:02:46,720 --> 00:02:49,550
De blev bare rykket 5 pladser

61
00:02:49,550 --> 00:02:50,430
til venstre for kommaet.

62
00:02:50,430 --> 00:02:51,070
Sådan kan man se på det.

63
00:02:51,070 --> 00:02:53,140
Det giver mening.

64
00:02:53,140 --> 00:02:54,670
Det er næsten 3 1/2.

65
00:02:54,670 --> 00:02:57,810
Hvis man ganger med 10000, får man derfor næsten 35000.

66
00:02:57,810 --> 00:02:59,490
Det er altså 10000x.

67
00:02:59,490 --> 00:03:00,970
Hvad er 100x så?

68
00:03:00,970 --> 00:03:04,340
Vi vil gerne finde 2 tal, hvor den gentagede del

69
00:03:04,340 --> 00:03:06,590
forsvinder, når vi trækker dem fra hinanden,

70
00:03:06,590 --> 00:03:08,130
og de er udtrykt som x.

71
00:03:08,130 --> 00:03:10,970
Derefter kan vi bare behandle dem som almindelige tal.

72
00:03:10,970 --> 00:03:13,260
Hvad er 100x?

73
00:03:13,260 --> 00:03:15,530
100x.

74
00:03:15,530 --> 00:03:17,010
Det flytter det her komma.

75
00:03:17,010 --> 00:03:18,370
Husk, at kommaet var her til at starte med.

76
00:03:18,370 --> 00:03:20,860
Det flytter kommaet 2 pladser til højre.

77
00:03:20,860 --> 00:03:24,830
.

78
00:03:24,830 --> 00:03:30,750
100x er 340,28 og så videre.

79
00:03:30,750 --> 00:03:32,220
Vi kunne have skrevet 28 i det uendelige her,

80
00:03:32,220 --> 00:03:33,010
men det ville ikke have givet meget mening.

81
00:03:33,010 --> 00:03:34,670
Vi vil altid gerne skrive det efter kommaet.

82
00:03:34,670 --> 00:03:37,340
Vi skal skrive 28 igen for at vise, at det er gentaget.

83
00:03:37,340 --> 00:03:39,710
Nu sker der noget interessant.

84
00:03:39,710 --> 00:03:42,400
De her 2 tal er multipla af x.

85
00:03:42,400 --> 00:03:45,790
Hvad sker der, hvis vi trækker

86
00:03:45,790 --> 00:03:46,710
det nederste tal fra det øverste?

87
00:03:46,710 --> 00:03:48,530
Den gentagede del forsvinder.

88
00:03:48,530 --> 00:03:49,170
Lad os gøre det.

89
00:03:49,170 --> 00:03:52,280
Vi gør det på begge sider

90
00:03:52,280 --> 00:03:53,230
af ligningen.

91
00:03:53,230 --> 00:03:58,210
På venstre side bliver 10000x minus

92
00:03:58,210 --> 00:04:03,620
100x lig med 9900x.

93
00:04:03,620 --> 00:04:06,960
På højre side

94
00:04:06,960 --> 00:04:08,230
forsvinder decimaldelen.

95
00:04:08,230 --> 00:04:12,030
Vi skal regne ud, hvad 34028 minus 340 er.

96
00:04:12,030 --> 00:04:14,120
Lad os gøre det.

97
00:04:14,120 --> 00:04:16,010
8 er større end 0,

98
00:04:16,010 --> 00:04:16,649
så vi skal ikke skrive det om her.

99
00:04:16,649 --> 00:04:19,769
2 er mindre end 4.

100
00:04:19,769 --> 00:04:22,200
Vi skal altså skrive det om,

101
00:04:22,200 --> 00:04:25,510
men vi kan ikke låne endnu, fordi der står 0 her.

102
00:04:25,510 --> 00:04:27,710
0 er mindre end 3, så vi skal skrive det om

103
00:04:27,710 --> 00:04:29,000
eller låne her.

104
00:04:29,000 --> 00:04:31,770
Lad os låne fra 4 først.

105
00:04:31,770 --> 00:04:36,590
Hvis vi låner fra 4, bliver det her 3,

106
00:04:36,590 --> 00:04:38,140
og så bliver det her 10.

107
00:04:38,140 --> 00:04:40,460
Nu kan 2 låne fra 10.

108
00:04:40,460 --> 00:04:44,090
Det her bliver 9, og det her bliver 12.

109
00:04:44,090 --> 00:04:45,820
Nu kan vi trække fra.

110
00:04:45,820 --> 00:04:48,390
8 minus 0 er 8.

111
00:04:48,390 --> 00:04:51,110
12 minus 4 er 8.

112
00:04:51,110 --> 00:04:53,880
9 minus 3 er 6.

113
00:04:53,880 --> 00:04:55,920
3 minus ingenting er 3.

114
00:04:55,920 --> 00:04:57,950
3 minus ingenting er 3.

115
00:04:57,950 --> 00:05:05,320
9900x er altså lig med 33688.

116
00:05:05,320 --> 00:05:09,180
Vi har lige trukket 340 fra det her.

117
00:05:09,180 --> 00:05:13,110
Vi får altså 33.668.

118
00:05:13,110 --> 00:05:15,710
Hvis vi vil finde x,

119
00:05:15,710 --> 00:05:21,610
skal vi dividere begge sider med 9900.

120
00:05:21,610 --> 00:05:23,990
Vi dividerer venstre side med 9900,

121
00:05:23,990 --> 00:05:26,900
og vi dividerer højre side med 9900.

122
00:05:26,900 --> 00:05:28,000
Hvad står tilbage?

123
00:05:28,000 --> 00:05:36,850
x er lig med 33688 over 9900.

124
00:05:36,850 --> 00:05:38,550
Hvad var det specielle ved det her?

125
00:05:38,550 --> 00:05:41,900
x var det her tal.

126
00:05:41,900 --> 00:05:44,580
x var det tal, vi startede med, nemlig det her uendelige tal.

127
00:05:44,580 --> 00:05:47,500
Ved at bruge lidt algebra

128
00:05:47,500 --> 00:05:49,660
og trække et multiplum fra et andet,

129
00:05:49,660 --> 00:05:52,530
kan vi nu skrive det samme x som en brøk.

130
00:05:52,530 --> 00:05:55,780
Det her er ikke i korteste form.

131
00:05:55,780 --> 00:05:58,900
De kan helt sikkert begge divideres med 2 og måske også med 4.

132
00:05:58,900 --> 00:06:01,960
Vi kan forkorte brøken,

133
00:06:01,960 --> 00:06:02,910
men det er vi ligeglade med.

134
00:06:02,910 --> 00:06:05,055
Vi går kun op i, at vi kan skrive x,

135
00:06:05,055 --> 00:06:09,050
altså det her tal, som en brøk.

136
00:06:09,050 --> 00:06:11,620
Det er forholdet mellem 2 heltal.

137
00:06:11,620 --> 00:06:14,720
Tallet er altså rationelt.

138
00:06:14,720 --> 00:06:16,550
Det er rationelt.

139
00:06:16,550 --> 00:06:19,010
Teknikken vi brugte kan ikke kun

140
00:06:19,010 --> 00:06:20,700
bruges til det her tal.

141
00:06:20,700 --> 00:06:24,370
Hver gang man har et tal med gentagne cifre,

142
00:06:24,370 --> 00:06:25,000
kan man bruge den her teknik.

143
00:06:25,000 --> 00:06:27,530
Generelt er gentagne cifre altså rationelle.

144
00:06:27,530 --> 00:06:30,090
Dem, der er irrationelle, er de cifre,

145
00:06:30,090 --> 00:06:32,860
der aldrig nogensinde gentages, eksempelvis pi.

146
00:06:32,860 --> 00:06:34,590
Det er vist temmelig

147
00:06:34,590 --> 00:06:35,810
tydeligt, at det her ikke er et heltal.

148
00:06:35,810 --> 00:06:37,410
Heltallene er de hele tal,

149
00:06:37,410 --> 00:06:38,020
der findes.

150
00:06:38,020 --> 00:06:40,390
Det her er et sted mellem heltallene.

151
00:06:40,390 --> 00:06:43,360
Det er ikke et naturligt tal eller et helt tal,

152
00:06:43,360 --> 00:06:46,240
der kan ses som en underkategori af heltal.

153
00:06:46,240 --> 00:06:47,360
Det er ikke nogen af dem.

154
00:06:47,360 --> 00:06:49,110
Det er reelt, og det er rationelt.

155
00:06:49,110 --> 00:06:51,460
Det er det eneste, vi kan sige om det.