0:00:00.000,0:00:00.490
.

0:00:00.490,0:00:05.430
Hvilke talmængder tilhører tallet

0:00:05.430,0:00:07.330
3,4028 og så videre?

0:00:07.330,0:00:09.150
Lad os først tænke over,

0:00:09.150,0:00:10.690
hvad det her repræsenterer og især,

0:00:10.690,0:00:13.000
hvad stregen ovenover betyder.

0:00:13.000,0:00:15.770
Stregen ovenover betyder,

0:00:15.770,0:00:17.420
at 28 gentages uendeligt.

0:00:17.420,0:00:25.090
Vi kan skrive tallet som 3,4028,

0:00:25.090,0:00:26.110
men 28 gentages uendeligt.

0:00:26.110,0:00:29.740
Det fortsætter og fortsætter for evigt.

0:00:29.740,0:00:32.299
Vi kunne skrive 28 igen og igen.

0:00:32.299,0:00:35.210
Det er selvfølgelig lettere

0:00:35.210,0:00:37.620
at tegne den her streg ovenover 28, så det gør vi.

0:00:37.620,0:00:41.290
Lad os nu overveje, hvilke talmængder det tilhører.

0:00:41.290,0:00:44.600
Den største talmængde, vi indtil videre har kigget på,

0:00:44.600,0:00:45.330
er reelle tal.

0:00:45.330,0:00:48.420
Det her tal tilhører helt sikkert de reelle tal.

0:00:48.420,0:00:50.300
De reelle tal er hele den tallinje,

0:00:50.300,0:00:51.990
vi normalt bruger.

0:00:51.990,0:00:55.660
3,4028 er omkring her.

0:00:55.660,0:01:01.340
Det her er minus 1, 0, 1, 2, 3 og 4.

0:01:01.340,0:01:04.730
3,4028 er lidt mere end 3,4

0:01:04.730,0:01:06.490
og lidt mindre end 3,41.

0:01:06.490,0:01:07.760
Det vil være her.

0:01:07.760,0:01:09.450
Det er helt sikkert på tallinjen.

0:01:09.450,0:01:11.090
Det er altså et reelt tal.

0:01:11.090,0:01:13.870
.

0:01:13.870,0:01:16.370
Det er faktisk uden tvivl et reelt tal.

0:01:16.370,0:01:19.080
Det er ikke lige så let at svare på,

0:01:19.080,0:01:20.180
om det er et rationelt tal.

0:01:20.180,0:01:25.040
Et rationelt tal er et tal,

0:01:25.040,0:01:26.890
det kan udtrykkes som en brøk.

0:01:26.890,0:01:34.390
Hvis vi siger, at p er rationelt, betyder det,

0:01:34.390,0:01:37.840
at det kan udtrykkes som forholdet mellem 2 heltal.

0:01:37.840,0:01:45.620
p kan altså skrives som forholdet mellem 2

0:01:45.620,0:01:47.900
heltal, m over n.

0:01:47.900,0:01:50.960
Kan vi udtrykke det her som

0:01:50.960,0:01:51.410
forholdet mellem 2 heltal?

0:01:51.410,0:01:52.410
Kan vi skrive det her

0:01:52.410,0:01:53.990
som en brøk?

0:01:53.990,0:01:58.510
Lad os prøve at skrive det som en brøk.

0:01:58.510,0:02:01.310
Lad os sige, at x er lig med det her tal.

0:02:01.310,0:02:09.960
x er lig med 3,4028.

0:02:09.960,0:02:12.650
Hvad er 10000x?

0:02:12.650,0:02:14.470
Vi bruger 10000x,

0:02:14.470,0:02:16.960
fordi vi vil flytte kommaet helt over til højre.

0:02:16.960,0:02:21.710
10000x.

0:02:21.710,0:02:23.380
Hvad er det lig med?

0:02:23.380,0:02:26.350
Hver gang man ganger med 10,

0:02:26.350,0:02:27.420
rykker man kommaet 1 plads til højre.

0:02:27.420,0:02:29.790
10000 er 10 i fjerde.

0:02:29.790,0:02:31.780
Det er altså det samme som at rykke

0:02:31.780,0:02:32.830
kommaet 4 pladser til højre.

0:02:32.830,0:02:36.400
1, 2, 3, 4.

0:02:36.400,0:02:40.575
Det er 34028.

0:02:40.575,0:02:42.700
De her 28'ere fortsætter uendeligt.

0:02:42.700,0:02:45.820
Der står altså stadig 28 igen og igen

0:02:45.820,0:02:46.720
efter det her.

0:02:46.720,0:02:49.550
De blev bare rykket 5 pladser

0:02:49.550,0:02:50.430
til venstre for kommaet.

0:02:50.430,0:02:51.070
Sådan kan man se på det.

0:02:51.070,0:02:53.140
Det giver mening.

0:02:53.140,0:02:54.670
Det er næsten 3 1/2.

0:02:54.670,0:02:57.810
Hvis man ganger med 10000, får man derfor næsten 35000.

0:02:57.810,0:02:59.490
Det er altså 10000x.

0:02:59.490,0:03:00.970
Hvad er 100x så?

0:03:00.970,0:03:04.340
Vi vil gerne finde 2 tal, hvor den gentagede del

0:03:04.340,0:03:06.590
forsvinder, når vi trækker dem fra hinanden,

0:03:06.590,0:03:08.130
og de er udtrykt som x.

0:03:08.130,0:03:10.970
Derefter kan vi bare behandle dem som almindelige tal.

0:03:10.970,0:03:13.260
Hvad er 100x?

0:03:13.260,0:03:15.530
100x.

0:03:15.530,0:03:17.010
Det flytter det her komma.

0:03:17.010,0:03:18.370
Husk, at kommaet var her til at starte med.

0:03:18.370,0:03:20.860
Det flytter kommaet 2 pladser til højre.

0:03:20.860,0:03:24.830
.

0:03:24.830,0:03:30.750
100x er 340,28 og så videre.

0:03:30.750,0:03:32.220
Vi kunne have skrevet 28 i det uendelige her,

0:03:32.220,0:03:33.010
men det ville ikke have givet meget mening.

0:03:33.010,0:03:34.670
Vi vil altid gerne skrive det efter kommaet.

0:03:34.670,0:03:37.340
Vi skal skrive 28 igen for at vise, at det er gentaget.

0:03:37.340,0:03:39.710
Nu sker der noget interessant.

0:03:39.710,0:03:42.400
De her 2 tal er multipla af x.

0:03:42.400,0:03:45.790
Hvad sker der, hvis vi trækker

0:03:45.790,0:03:46.710
det nederste tal fra det øverste?

0:03:46.710,0:03:48.530
Den gentagede del forsvinder.

0:03:48.530,0:03:49.170
Lad os gøre det.

0:03:49.170,0:03:52.280
Vi gør det på begge sider

0:03:52.280,0:03:53.230
af ligningen.

0:03:53.230,0:03:58.210
På venstre side bliver 10000x minus

0:03:58.210,0:04:03.620
100x lig med 9900x.

0:04:03.620,0:04:06.960
På højre side

0:04:06.960,0:04:08.230
forsvinder decimaldelen.

0:04:08.230,0:04:12.030
Vi skal regne ud, hvad 34028 minus 340 er.

0:04:12.030,0:04:14.120
Lad os gøre det.

0:04:14.120,0:04:16.010
8 er større end 0,

0:04:16.010,0:04:16.649
så vi skal ikke skrive det om her.

0:04:16.649,0:04:19.769
2 er mindre end 4.

0:04:19.769,0:04:22.200
Vi skal altså skrive det om,

0:04:22.200,0:04:25.510
men vi kan ikke låne endnu, fordi der står 0 her.

0:04:25.510,0:04:27.710
0 er mindre end 3, så vi skal skrive det om

0:04:27.710,0:04:29.000
eller låne her.

0:04:29.000,0:04:31.770
Lad os låne fra 4 først.

0:04:31.770,0:04:36.590
Hvis vi låner fra 4, bliver det her 3,

0:04:36.590,0:04:38.140
og så bliver det her 10.

0:04:38.140,0:04:40.460
Nu kan 2 låne fra 10.

0:04:40.460,0:04:44.090
Det her bliver 9, og det her bliver 12.

0:04:44.090,0:04:45.820
Nu kan vi trække fra.

0:04:45.820,0:04:48.390
8 minus 0 er 8.

0:04:48.390,0:04:51.110
12 minus 4 er 8.

0:04:51.110,0:04:53.880
9 minus 3 er 6.

0:04:53.880,0:04:55.920
3 minus ingenting er 3.

0:04:55.920,0:04:57.950
3 minus ingenting er 3.

0:04:57.950,0:05:05.320
9900x er altså lig med 33688.

0:05:05.320,0:05:09.180
Vi har lige trukket 340 fra det her.

0:05:09.180,0:05:13.110
Vi får altså 33.668.

0:05:13.110,0:05:15.710
Hvis vi vil finde x,

0:05:15.710,0:05:21.610
skal vi dividere begge sider med 9900.

0:05:21.610,0:05:23.990
Vi dividerer venstre side med 9900,

0:05:23.990,0:05:26.900
og vi dividerer højre side med 9900.

0:05:26.900,0:05:28.000
Hvad står tilbage?

0:05:28.000,0:05:36.850
x er lig med 33688 over 9900.

0:05:36.850,0:05:38.550
Hvad var det specielle ved det her?

0:05:38.550,0:05:41.900
x var det her tal.

0:05:41.900,0:05:44.580
x var det tal, vi startede med, nemlig det her uendelige tal.

0:05:44.580,0:05:47.500
Ved at bruge lidt algebra

0:05:47.500,0:05:49.660
og trække et multiplum fra et andet,

0:05:49.660,0:05:52.530
kan vi nu skrive det samme x som en brøk.

0:05:52.530,0:05:55.780
Det her er ikke i korteste form.

0:05:55.780,0:05:58.900
De kan helt sikkert begge divideres med 2 og måske også med 4.

0:05:58.900,0:06:01.960
Vi kan forkorte brøken,

0:06:01.960,0:06:02.910
men det er vi ligeglade med.

0:06:02.910,0:06:05.055
Vi går kun op i, at vi kan skrive x,

0:06:05.055,0:06:09.050
altså det her tal, som en brøk.

0:06:09.050,0:06:11.620
Det er forholdet mellem 2 heltal.

0:06:11.620,0:06:14.720
Tallet er altså rationelt.

0:06:14.720,0:06:16.550
Det er rationelt.

0:06:16.550,0:06:19.010
Teknikken vi brugte kan ikke kun

0:06:19.010,0:06:20.700
bruges til det her tal.

0:06:20.700,0:06:24.370
Hver gang man har et tal med gentagne cifre,

0:06:24.370,0:06:25.000
kan man bruge den her teknik.

0:06:25.000,0:06:27.530
Generelt er gentagne cifre altså rationelle.

0:06:27.530,0:06:30.090
Dem, der er irrationelle, er de cifre,

0:06:30.090,0:06:32.860
der aldrig nogensinde gentages, eksempelvis pi.

0:06:32.860,0:06:34.590
Det er vist temmelig

0:06:34.590,0:06:35.810
tydeligt, at det her ikke er et heltal.

0:06:35.810,0:06:37.410
Heltallene er de hele tal,

0:06:37.410,0:06:38.020
der findes.

0:06:38.020,0:06:40.390
Det her er et sted mellem heltallene.

0:06:40.390,0:06:43.360
Det er ikke et naturligt tal eller et helt tal,

0:06:43.360,0:06:46.240
der kan ses som en underkategori af heltal.

0:06:46.240,0:06:47.360
Det er ikke nogen af dem.

0:06:47.360,0:06:49.110
Det er reelt, og det er rationelt.

0:06:49.110,0:06:51.460
Det er det eneste, vi kan sige om det.