[Script Info]
Title: 
[Events]
Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text
Dialogue: 0,0:00:00.00,0:00:00.49,Default,,0000,0000,0000,,.
Dialogue: 0,0:00:00.49,0:00:05.43,Default,,0000,0000,0000,,Hvilke talmængder tilhører tallet
Dialogue: 0,0:00:05.43,0:00:07.33,Default,,0000,0000,0000,,3,4028 og så videre?
Dialogue: 0,0:00:07.33,0:00:09.15,Default,,0000,0000,0000,,Lad os først tænke over,
Dialogue: 0,0:00:09.15,0:00:10.69,Default,,0000,0000,0000,,hvad det her repræsenterer og især,
Dialogue: 0,0:00:10.69,0:00:13.00,Default,,0000,0000,0000,,hvad stregen ovenover betyder.
Dialogue: 0,0:00:13.00,0:00:15.77,Default,,0000,0000,0000,,Stregen ovenover betyder,
Dialogue: 0,0:00:15.77,0:00:17.42,Default,,0000,0000,0000,,at 28 gentages uendeligt.
Dialogue: 0,0:00:17.42,0:00:25.09,Default,,0000,0000,0000,,Vi kan skrive tallet som 3,4028,
Dialogue: 0,0:00:25.09,0:00:26.11,Default,,0000,0000,0000,,men 28 gentages uendeligt.
Dialogue: 0,0:00:26.11,0:00:29.74,Default,,0000,0000,0000,,Det fortsætter og fortsætter for evigt.
Dialogue: 0,0:00:29.74,0:00:32.30,Default,,0000,0000,0000,,Vi kunne skrive 28 igen og igen.
Dialogue: 0,0:00:32.30,0:00:35.21,Default,,0000,0000,0000,,Det er selvfølgelig lettere
Dialogue: 0,0:00:35.21,0:00:37.62,Default,,0000,0000,0000,,at tegne den her streg ovenover 28, så det gør vi.
Dialogue: 0,0:00:37.62,0:00:41.29,Default,,0000,0000,0000,,Lad os nu overveje, hvilke talmængder det tilhører.
Dialogue: 0,0:00:41.29,0:00:44.60,Default,,0000,0000,0000,,Den største talmængde, vi indtil videre har kigget på,
Dialogue: 0,0:00:44.60,0:00:45.33,Default,,0000,0000,0000,,er reelle tal.
Dialogue: 0,0:00:45.33,0:00:48.42,Default,,0000,0000,0000,,Det her tal tilhører helt sikkert de reelle tal.
Dialogue: 0,0:00:48.42,0:00:50.30,Default,,0000,0000,0000,,De reelle tal er hele den tallinje,
Dialogue: 0,0:00:50.30,0:00:51.99,Default,,0000,0000,0000,,vi normalt bruger.
Dialogue: 0,0:00:51.99,0:00:55.66,Default,,0000,0000,0000,,3,4028 er omkring her.
Dialogue: 0,0:00:55.66,0:01:01.34,Default,,0000,0000,0000,,Det her er minus 1, 0, 1, 2, 3 og 4.
Dialogue: 0,0:01:01.34,0:01:04.73,Default,,0000,0000,0000,,3,4028 er lidt mere end 3,4
Dialogue: 0,0:01:04.73,0:01:06.49,Default,,0000,0000,0000,,og lidt mindre end 3,41.
Dialogue: 0,0:01:06.49,0:01:07.76,Default,,0000,0000,0000,,Det vil være her.
Dialogue: 0,0:01:07.76,0:01:09.45,Default,,0000,0000,0000,,Det er helt sikkert på tallinjen.
Dialogue: 0,0:01:09.45,0:01:11.09,Default,,0000,0000,0000,,Det er altså et reelt tal.
Dialogue: 0,0:01:11.09,0:01:13.87,Default,,0000,0000,0000,,.
Dialogue: 0,0:01:13.87,0:01:16.37,Default,,0000,0000,0000,,Det er faktisk uden tvivl et reelt tal.
Dialogue: 0,0:01:16.37,0:01:19.08,Default,,0000,0000,0000,,Det er ikke lige så let at svare på,
Dialogue: 0,0:01:19.08,0:01:20.18,Default,,0000,0000,0000,,om det er et rationelt tal.
Dialogue: 0,0:01:20.18,0:01:25.04,Default,,0000,0000,0000,,Et rationelt tal er et tal,
Dialogue: 0,0:01:25.04,0:01:26.89,Default,,0000,0000,0000,,det kan udtrykkes som en brøk.
Dialogue: 0,0:01:26.89,0:01:34.39,Default,,0000,0000,0000,,Hvis vi siger, at p er rationelt, betyder det,
Dialogue: 0,0:01:34.39,0:01:37.84,Default,,0000,0000,0000,,at det kan udtrykkes som forholdet mellem 2 heltal.
Dialogue: 0,0:01:37.84,0:01:45.62,Default,,0000,0000,0000,,p kan altså skrives som forholdet mellem 2
Dialogue: 0,0:01:45.62,0:01:47.90,Default,,0000,0000,0000,,heltal, m over n.
Dialogue: 0,0:01:47.90,0:01:50.96,Default,,0000,0000,0000,,Kan vi udtrykke det her som
Dialogue: 0,0:01:50.96,0:01:51.41,Default,,0000,0000,0000,,forholdet mellem 2 heltal?
Dialogue: 0,0:01:51.41,0:01:52.41,Default,,0000,0000,0000,,Kan vi skrive det her
Dialogue: 0,0:01:52.41,0:01:53.99,Default,,0000,0000,0000,,som en brøk?
Dialogue: 0,0:01:53.99,0:01:58.51,Default,,0000,0000,0000,,Lad os prøve at skrive det som en brøk.
Dialogue: 0,0:01:58.51,0:02:01.31,Default,,0000,0000,0000,,Lad os sige, at x er lig med det her tal.
Dialogue: 0,0:02:01.31,0:02:09.96,Default,,0000,0000,0000,,x er lig med 3,4028.
Dialogue: 0,0:02:09.96,0:02:12.65,Default,,0000,0000,0000,,Hvad er 10000x?
Dialogue: 0,0:02:12.65,0:02:14.47,Default,,0000,0000,0000,,Vi bruger 10000x,
Dialogue: 0,0:02:14.47,0:02:16.96,Default,,0000,0000,0000,,fordi vi vil flytte kommaet helt over til højre.
Dialogue: 0,0:02:16.96,0:02:21.71,Default,,0000,0000,0000,,10000x.
Dialogue: 0,0:02:21.71,0:02:23.38,Default,,0000,0000,0000,,Hvad er det lig med?
Dialogue: 0,0:02:23.38,0:02:26.35,Default,,0000,0000,0000,,Hver gang man ganger med 10,
Dialogue: 0,0:02:26.35,0:02:27.42,Default,,0000,0000,0000,,rykker man kommaet 1 plads til højre.
Dialogue: 0,0:02:27.42,0:02:29.79,Default,,0000,0000,0000,,10000 er 10 i fjerde.
Dialogue: 0,0:02:29.79,0:02:31.78,Default,,0000,0000,0000,,Det er altså det samme som at rykke
Dialogue: 0,0:02:31.78,0:02:32.83,Default,,0000,0000,0000,,kommaet 4 pladser til højre.
Dialogue: 0,0:02:32.83,0:02:36.40,Default,,0000,0000,0000,,1, 2, 3, 4.
Dialogue: 0,0:02:36.40,0:02:40.58,Default,,0000,0000,0000,,Det er 34028.
Dialogue: 0,0:02:40.58,0:02:42.70,Default,,0000,0000,0000,,De her 28'ere fortsætter uendeligt.
Dialogue: 0,0:02:42.70,0:02:45.82,Default,,0000,0000,0000,,Der står altså stadig 28 igen og igen
Dialogue: 0,0:02:45.82,0:02:46.72,Default,,0000,0000,0000,,efter det her.
Dialogue: 0,0:02:46.72,0:02:49.55,Default,,0000,0000,0000,,De blev bare rykket 5 pladser
Dialogue: 0,0:02:49.55,0:02:50.43,Default,,0000,0000,0000,,til venstre for kommaet.
Dialogue: 0,0:02:50.43,0:02:51.07,Default,,0000,0000,0000,,Sådan kan man se på det.
Dialogue: 0,0:02:51.07,0:02:53.14,Default,,0000,0000,0000,,Det giver mening.
Dialogue: 0,0:02:53.14,0:02:54.67,Default,,0000,0000,0000,,Det er næsten 3 1/2.
Dialogue: 0,0:02:54.67,0:02:57.81,Default,,0000,0000,0000,,Hvis man ganger med 10000, får man derfor næsten 35000.
Dialogue: 0,0:02:57.81,0:02:59.49,Default,,0000,0000,0000,,Det er altså 10000x.
Dialogue: 0,0:02:59.49,0:03:00.97,Default,,0000,0000,0000,,Hvad er 100x så?
Dialogue: 0,0:03:00.97,0:03:04.34,Default,,0000,0000,0000,,Vi vil gerne finde 2 tal, hvor den gentagede del
Dialogue: 0,0:03:04.34,0:03:06.59,Default,,0000,0000,0000,,forsvinder, når vi trækker dem fra hinanden,
Dialogue: 0,0:03:06.59,0:03:08.13,Default,,0000,0000,0000,,og de er udtrykt som x.
Dialogue: 0,0:03:08.13,0:03:10.97,Default,,0000,0000,0000,,Derefter kan vi bare behandle dem som almindelige tal.
Dialogue: 0,0:03:10.97,0:03:13.26,Default,,0000,0000,0000,,Hvad er 100x?
Dialogue: 0,0:03:13.26,0:03:15.53,Default,,0000,0000,0000,,100x.
Dialogue: 0,0:03:15.53,0:03:17.01,Default,,0000,0000,0000,,Det flytter det her komma.
Dialogue: 0,0:03:17.01,0:03:18.37,Default,,0000,0000,0000,,Husk, at kommaet var her til at starte med.
Dialogue: 0,0:03:18.37,0:03:20.86,Default,,0000,0000,0000,,Det flytter kommaet 2 pladser til højre.
Dialogue: 0,0:03:20.86,0:03:24.83,Default,,0000,0000,0000,,.
Dialogue: 0,0:03:24.83,0:03:30.75,Default,,0000,0000,0000,,100x er 340,28 og så videre.
Dialogue: 0,0:03:30.75,0:03:32.22,Default,,0000,0000,0000,,Vi kunne have skrevet 28 i det uendelige her,
Dialogue: 0,0:03:32.22,0:03:33.01,Default,,0000,0000,0000,,men det ville ikke have givet meget mening.
Dialogue: 0,0:03:33.01,0:03:34.67,Default,,0000,0000,0000,,Vi vil altid gerne skrive det efter kommaet.
Dialogue: 0,0:03:34.67,0:03:37.34,Default,,0000,0000,0000,,Vi skal skrive 28 igen for at vise, at det er gentaget.
Dialogue: 0,0:03:37.34,0:03:39.71,Default,,0000,0000,0000,,Nu sker der noget interessant.
Dialogue: 0,0:03:39.71,0:03:42.40,Default,,0000,0000,0000,,De her 2 tal er multipla af x.
Dialogue: 0,0:03:42.40,0:03:45.79,Default,,0000,0000,0000,,Hvad sker der, hvis vi trækker
Dialogue: 0,0:03:45.79,0:03:46.71,Default,,0000,0000,0000,,det nederste tal fra det øverste?
Dialogue: 0,0:03:46.71,0:03:48.53,Default,,0000,0000,0000,,Den gentagede del forsvinder.
Dialogue: 0,0:03:48.53,0:03:49.17,Default,,0000,0000,0000,,Lad os gøre det.
Dialogue: 0,0:03:49.17,0:03:52.28,Default,,0000,0000,0000,,Vi gør det på begge sider
Dialogue: 0,0:03:52.28,0:03:53.23,Default,,0000,0000,0000,,af ligningen.
Dialogue: 0,0:03:53.23,0:03:58.21,Default,,0000,0000,0000,,På venstre side bliver 10000x minus
Dialogue: 0,0:03:58.21,0:04:03.62,Default,,0000,0000,0000,,100x lig med 9900x.
Dialogue: 0,0:04:03.62,0:04:06.96,Default,,0000,0000,0000,,På højre side
Dialogue: 0,0:04:06.96,0:04:08.23,Default,,0000,0000,0000,,forsvinder decimaldelen.
Dialogue: 0,0:04:08.23,0:04:12.03,Default,,0000,0000,0000,,Vi skal regne ud, hvad 34028 minus 340 er.
Dialogue: 0,0:04:12.03,0:04:14.12,Default,,0000,0000,0000,,Lad os gøre det.
Dialogue: 0,0:04:14.12,0:04:16.01,Default,,0000,0000,0000,,8 er større end 0,
Dialogue: 0,0:04:16.01,0:04:16.65,Default,,0000,0000,0000,,så vi skal ikke skrive det om her.
Dialogue: 0,0:04:16.65,0:04:19.77,Default,,0000,0000,0000,,2 er mindre end 4.
Dialogue: 0,0:04:19.77,0:04:22.20,Default,,0000,0000,0000,,Vi skal altså skrive det om,
Dialogue: 0,0:04:22.20,0:04:25.51,Default,,0000,0000,0000,,men vi kan ikke låne endnu, fordi der står 0 her.
Dialogue: 0,0:04:25.51,0:04:27.71,Default,,0000,0000,0000,,0 er mindre end 3, så vi skal skrive det om
Dialogue: 0,0:04:27.71,0:04:29.00,Default,,0000,0000,0000,,eller låne her.
Dialogue: 0,0:04:29.00,0:04:31.77,Default,,0000,0000,0000,,Lad os låne fra 4 først.
Dialogue: 0,0:04:31.77,0:04:36.59,Default,,0000,0000,0000,,Hvis vi låner fra 4, bliver det her 3,
Dialogue: 0,0:04:36.59,0:04:38.14,Default,,0000,0000,0000,,og så bliver det her 10.
Dialogue: 0,0:04:38.14,0:04:40.46,Default,,0000,0000,0000,,Nu kan 2 låne fra 10.
Dialogue: 0,0:04:40.46,0:04:44.09,Default,,0000,0000,0000,,Det her bliver 9, og det her bliver 12.
Dialogue: 0,0:04:44.09,0:04:45.82,Default,,0000,0000,0000,,Nu kan vi trække fra.
Dialogue: 0,0:04:45.82,0:04:48.39,Default,,0000,0000,0000,,8 minus 0 er 8.
Dialogue: 0,0:04:48.39,0:04:51.11,Default,,0000,0000,0000,,12 minus 4 er 8.
Dialogue: 0,0:04:51.11,0:04:53.88,Default,,0000,0000,0000,,9 minus 3 er 6.
Dialogue: 0,0:04:53.88,0:04:55.92,Default,,0000,0000,0000,,3 minus ingenting er 3.
Dialogue: 0,0:04:55.92,0:04:57.95,Default,,0000,0000,0000,,3 minus ingenting er 3.
Dialogue: 0,0:04:57.95,0:05:05.32,Default,,0000,0000,0000,,9900x er altså lig med 33688.
Dialogue: 0,0:05:05.32,0:05:09.18,Default,,0000,0000,0000,,Vi har lige trukket 340 fra det her.
Dialogue: 0,0:05:09.18,0:05:13.11,Default,,0000,0000,0000,,Vi får altså 33.668.
Dialogue: 0,0:05:13.11,0:05:15.71,Default,,0000,0000,0000,,Hvis vi vil finde x,
Dialogue: 0,0:05:15.71,0:05:21.61,Default,,0000,0000,0000,,skal vi dividere begge sider med 9900.
Dialogue: 0,0:05:21.61,0:05:23.99,Default,,0000,0000,0000,,Vi dividerer venstre side med 9900,
Dialogue: 0,0:05:23.99,0:05:26.90,Default,,0000,0000,0000,,og vi dividerer højre side med 9900.
Dialogue: 0,0:05:26.90,0:05:28.00,Default,,0000,0000,0000,,Hvad står tilbage?
Dialogue: 0,0:05:28.00,0:05:36.85,Default,,0000,0000,0000,,x er lig med 33688 over 9900.
Dialogue: 0,0:05:36.85,0:05:38.55,Default,,0000,0000,0000,,Hvad var det specielle ved det her?
Dialogue: 0,0:05:38.55,0:05:41.90,Default,,0000,0000,0000,,x var det her tal.
Dialogue: 0,0:05:41.90,0:05:44.58,Default,,0000,0000,0000,,x var det tal, vi startede med, nemlig det her uendelige tal.
Dialogue: 0,0:05:44.58,0:05:47.50,Default,,0000,0000,0000,,Ved at bruge lidt algebra
Dialogue: 0,0:05:47.50,0:05:49.66,Default,,0000,0000,0000,,og trække et multiplum fra et andet,
Dialogue: 0,0:05:49.66,0:05:52.53,Default,,0000,0000,0000,,kan vi nu skrive det samme x som en brøk.
Dialogue: 0,0:05:52.53,0:05:55.78,Default,,0000,0000,0000,,Det her er ikke i korteste form.
Dialogue: 0,0:05:55.78,0:05:58.90,Default,,0000,0000,0000,,De kan helt sikkert begge divideres med 2 og måske også med 4.
Dialogue: 0,0:05:58.90,0:06:01.96,Default,,0000,0000,0000,,Vi kan forkorte brøken,
Dialogue: 0,0:06:01.96,0:06:02.91,Default,,0000,0000,0000,,men det er vi ligeglade med.
Dialogue: 0,0:06:02.91,0:06:05.06,Default,,0000,0000,0000,,Vi går kun op i, at vi kan skrive x,
Dialogue: 0,0:06:05.06,0:06:09.05,Default,,0000,0000,0000,,altså det her tal, som en brøk.
Dialogue: 0,0:06:09.05,0:06:11.62,Default,,0000,0000,0000,,Det er forholdet mellem 2 heltal.
Dialogue: 0,0:06:11.62,0:06:14.72,Default,,0000,0000,0000,,Tallet er altså rationelt.
Dialogue: 0,0:06:14.72,0:06:16.55,Default,,0000,0000,0000,,Det er rationelt.
Dialogue: 0,0:06:16.55,0:06:19.01,Default,,0000,0000,0000,,Teknikken vi brugte kan ikke kun
Dialogue: 0,0:06:19.01,0:06:20.70,Default,,0000,0000,0000,,bruges til det her tal.
Dialogue: 0,0:06:20.70,0:06:24.37,Default,,0000,0000,0000,,Hver gang man har et tal med gentagne cifre,
Dialogue: 0,0:06:24.37,0:06:25.00,Default,,0000,0000,0000,,kan man bruge den her teknik.
Dialogue: 0,0:06:25.00,0:06:27.53,Default,,0000,0000,0000,,Generelt er gentagne cifre altså rationelle.
Dialogue: 0,0:06:27.53,0:06:30.09,Default,,0000,0000,0000,,Dem, der er irrationelle, er de cifre,
Dialogue: 0,0:06:30.09,0:06:32.86,Default,,0000,0000,0000,,der aldrig nogensinde gentages, eksempelvis pi.
Dialogue: 0,0:06:32.86,0:06:34.59,Default,,0000,0000,0000,,Det er vist temmelig
Dialogue: 0,0:06:34.59,0:06:35.81,Default,,0000,0000,0000,,tydeligt, at det her ikke er et heltal.
Dialogue: 0,0:06:35.81,0:06:37.41,Default,,0000,0000,0000,,Heltallene er de hele tal,
Dialogue: 0,0:06:37.41,0:06:38.02,Default,,0000,0000,0000,,der findes.
Dialogue: 0,0:06:38.02,0:06:40.39,Default,,0000,0000,0000,,Det her er et sted mellem heltallene.
Dialogue: 0,0:06:40.39,0:06:43.36,Default,,0000,0000,0000,,Det er ikke et naturligt tal eller et helt tal,
Dialogue: 0,0:06:43.36,0:06:46.24,Default,,0000,0000,0000,,der kan ses som en underkategori af heltal.
Dialogue: 0,0:06:46.24,0:06:47.36,Default,,0000,0000,0000,,Det er ikke nogen af dem.
Dialogue: 0,0:06:47.36,0:06:49.11,Default,,0000,0000,0000,,Det er reelt, og det er rationelt.
Dialogue: 0,0:06:49.11,0:06:51.46,Default,,0000,0000,0000,,Det er det eneste, vi kan sige om det.