.
Hvilke talmængder tilhører tallet
3,4028 og så videre?
Lad os først tænke over,
hvad det her repræsenterer og især,
hvad stregen ovenover betyder.
Stregen ovenover betyder,
at 28 gentages uendeligt.
Vi kan skrive tallet som 3,4028,
men 28 gentages uendeligt.
Det fortsætter og fortsætter for evigt.
Vi kunne skrive 28 igen og igen.
Det er selvfølgelig lettere
at tegne den her streg ovenover 28, så det gør vi.
Lad os nu overveje, hvilke talmængder det tilhører.
Den største talmængde, vi indtil videre har kigget på,
er reelle tal.
Det her tal tilhører helt sikkert de reelle tal.
De reelle tal er hele den tallinje,
vi normalt bruger.
3,4028 er omkring her.
Det her er minus 1, 0, 1, 2, 3 og 4.
3,4028 er lidt mere end 3,4
og lidt mindre end 3,41.
Det vil være her.
Det er helt sikkert på tallinjen.
Det er altså et reelt tal.
.
Det er faktisk uden tvivl et reelt tal.
Det er ikke lige så let at svare på,
om det er et rationelt tal.
Et rationelt tal er et tal,
det kan udtrykkes som en brøk.
Hvis vi siger, at p er rationelt, betyder det,
at det kan udtrykkes som forholdet mellem 2 heltal.
p kan altså skrives som forholdet mellem 2
heltal, m over n.
Kan vi udtrykke det her som
forholdet mellem 2 heltal?
Kan vi skrive det her
som en brøk?
Lad os prøve at skrive det som en brøk.
Lad os sige, at x er lig med det her tal.
x er lig med 3,4028.
Hvad er 10000x?
Vi bruger 10000x,
fordi vi vil flytte kommaet helt over til højre.
10000x.
Hvad er det lig med?
Hver gang man ganger med 10,
rykker man kommaet 1 plads til højre.
10000 er 10 i fjerde.
Det er altså det samme som at rykke
kommaet 4 pladser til højre.
1, 2, 3, 4.
Det er 34028.
De her 28'ere fortsætter uendeligt.
Der står altså stadig 28 igen og igen
efter det her.
De blev bare rykket 5 pladser
til venstre for kommaet.
Sådan kan man se på det.
Det giver mening.
Det er næsten 3 1/2.
Hvis man ganger med 10000, får man derfor næsten 35000.
Det er altså 10000x.
Hvad er 100x så?
Vi vil gerne finde 2 tal, hvor den gentagede del
forsvinder, når vi trækker dem fra hinanden,
og de er udtrykt som x.
Derefter kan vi bare behandle dem som almindelige tal.
Hvad er 100x?
100x.
Det flytter det her komma.
Husk, at kommaet var her til at starte med.
Det flytter kommaet 2 pladser til højre.
.
100x er 340,28 og så videre.
Vi kunne have skrevet 28 i det uendelige her,
men det ville ikke have givet meget mening.
Vi vil altid gerne skrive det efter kommaet.
Vi skal skrive 28 igen for at vise, at det er gentaget.
Nu sker der noget interessant.
De her 2 tal er multipla af x.
Hvad sker der, hvis vi trækker
det nederste tal fra det øverste?
Den gentagede del forsvinder.
Lad os gøre det.
Vi gør det på begge sider
af ligningen.
På venstre side bliver 10000x minus
100x lig med 9900x.
På højre side
forsvinder decimaldelen.
Vi skal regne ud, hvad 34028 minus 340 er.
Lad os gøre det.
8 er større end 0,
så vi skal ikke skrive det om her.
2 er mindre end 4.
Vi skal altså skrive det om,
men vi kan ikke låne endnu, fordi der står 0 her.
0 er mindre end 3, så vi skal skrive det om
eller låne her.
Lad os låne fra 4 først.
Hvis vi låner fra 4, bliver det her 3,
og så bliver det her 10.
Nu kan 2 låne fra 10.
Det her bliver 9, og det her bliver 12.
Nu kan vi trække fra.
8 minus 0 er 8.
12 minus 4 er 8.
9 minus 3 er 6.
3 minus ingenting er 3.
3 minus ingenting er 3.
9900x er altså lig med 33688.
Vi har lige trukket 340 fra det her.
Vi får altså 33.668.
Hvis vi vil finde x,
skal vi dividere begge sider med 9900.
Vi dividerer venstre side med 9900,
og vi dividerer højre side med 9900.
Hvad står tilbage?
x er lig med 33688 over 9900.
Hvad var det specielle ved det her?
x var det her tal.
x var det tal, vi startede med, nemlig det her uendelige tal.
Ved at bruge lidt algebra
og trække et multiplum fra et andet,
kan vi nu skrive det samme x som en brøk.
Det her er ikke i korteste form.
De kan helt sikkert begge divideres med 2 og måske også med 4.
Vi kan forkorte brøken,
men det er vi ligeglade med.
Vi går kun op i, at vi kan skrive x,
altså det her tal, som en brøk.
Det er forholdet mellem 2 heltal.
Tallet er altså rationelt.
Det er rationelt.
Teknikken vi brugte kan ikke kun
bruges til det her tal.
Hver gang man har et tal med gentagne cifre,
kan man bruge den her teknik.
Generelt er gentagne cifre altså rationelle.
Dem, der er irrationelle, er de cifre,
der aldrig nogensinde gentages, eksempelvis pi.
Det er vist temmelig
tydeligt, at det her ikke er et heltal.
Heltallene er de hele tal,
der findes.
Det her er et sted mellem heltallene.
Det er ikke et naturligt tal eller et helt tal,
der kan ses som en underkategori af heltal.
Det er ikke nogen af dem.
Det er reelt, og det er rationelt.
Det er det eneste, vi kan sige om det.