Числово множество

На кое числово множество принадлежи числото

3,40(28) в период ?

И преди да отговорим на въпроса, нека помислим

какво представлява това.

И какво по-точно означава чертичката върху 28.

Чертичката отгоре на 28, означава че

28 просто се повтаря в безкрайност.

Значи можем да представим това число
като 3,4028, но

28 просто продължава да се повтаря.

И се повтаря, и се повтаря и т.н.
до безкрайност.

Можем просто да продължим да го пишем
отново, и отново.

Очевидно е по-лесно просто
да сложим чертичка

върху 28, за да обозначим,
че се повтаря до безкрайност.

Сега нека помислим към кое числово множество
принадлежи това число?

Най-голямото множество, с което
сме се занимавали досега, е

множеството на реалните числа.

И това определено принадлежи
към реалните числа.

Реалните числа са всъщност цялата

числова ос, която сме
свикнали да използваме.

И 3,40(28) се намира някъде тук.

Ако това е –1, това е 0, 1, 2, 3, 4.

3,40(28) е малко повече от 3,4, и

малко по-малко от 3,41.

Намира се точно тук.

Значи определено се намира
на числовата ос.

И е реално число.

Определено е реално.

Определено е реално число.

Обаче не толкова очевидният въпрос е

дали е рационално число.

Спомни си, че рационално число е това,
което може да бъде представено като

рационален израз или като
обикновена дроб.

Ако кажем, че пи е рационално число,
това означава, че пи

може да бъде представено като
отношението между две цели числа.

Това означава, че пи може да бъде представено
като отношението между

две цели числа m / n.

Въпросът е можем ли да представим това
като отношение

на две цели числа?

Или казано по друг начин,

можем ли да представим това като дроб?

И за да направим това, нека наистина
го представим като дроб.

Нека дефинираме 'х' да е равно на това число.

'х' е равно на 3,40(28).

Нека помислим какво е 10 000 по 'х'.

Единствената причина да искаме 10 000х, е защото

искаме да преместим десетичната запетая надясно.

10 000х.

На колко ще бъде равно това?

Всеки път, когато умножаваме по 10, преместваме

десетичната запетая една позиция надясно.

10 000 е 10 на четвърта степен.

Значи преместваме десетичната запетая

четири позиции надясно.

1, 2, 3, 4.

Става 34 028.

Но 28 продължава да се повтаря.

Значи все още имаме 28 отново и отново,

и отново до безкрайност.

Те просто се преместиха вляво
от десетичната запетая

с 5 позиции.

Може да гледаш на нещата по този начин.

Звучи свързано.

Това е почти 3 и половина.

Ако умножиш по 10 000, получава се почти 35 000.

Значи толкова е 10 000х.

Сега нека помислим също така и за 100х.

И тук цялото упражнение е,
че искаме да намерим две числа,

които, когато се извадят едно от друго,

частта, която се повтаря, да изчезне.

И да можем да ги разглеждаме като обикновени числа.

Така, нека видим колко е 100х.

100х.

Това премества тази десетична запетая.

Спомни си, беше ето тук в началото.

Преместваме я две позиции надясно.

Значи 100х ще бъде 300...
нека запишем това.

Ще бъде 340,(28) в период.

Можехме да сложим (28) тук,

но нямаше да има толкова смисъл.

Винаги трябва да се пише
след десетичната запетая.

Трябва да напишем (28) още веднъж след десетичната запетая,
за да покажем че се повтаря.

Сега става нещо интересно.

Тези две числа са просто кратни на 'х'.

И ако извадя долното число от горното,

какво ще получим?

Ами повтарящата се част ще изчезне!

Нека направим това.

Нека го направим с двете страни на уравнението.

Хайде.

От лявата страна на уравнението:

10 000х минус 100х е равно на 9 900х.

И от дясната страна, да видим...

дробната част ще се съкрати.

И трябва просто да сметнем колко е
34 028 минус 340.

Да видим.

8 е по-голямо от 0, така че нямаме

прегрупиране.

2 е по-малко от 4.

Трябва да прегрупираме, но не можем

да заемем още, защото имаме 0 тук.

0 е по-малко от 3, значи трябва да разместим,

или да имаме наум.

Нека вземем първо от 4.

Ако вземем от 4, това става 3,

и това става 10.

Сега 2 може да вземе от 10.

Това става 9, а това става 12.

И вече можем да извършим изваждането.

8 минус 0 е 8.

12 минус 4 е 8.

9 минус 3 е 6.

3 минус нищо е 3.

3 минус нищо е 3.

Така, 9 900х е равно на 33 688.

Вече извадихме 340 от това тук.

Получаваме 33 688.

Сега за да намерим х,
просто разделяме

двете страни на 9 900.

Разделяме лявата страна на 9 900.

Както и дясната.

И сега какво получаваме?

Получаваме, че х е равно на
33 688 делено на 9 900.

И какво всъщност означава това?

Ами 'х' е числото, с което започнахме,

числото, което се повтаряше в безкрайност.

И с малко алгебрични действия и

изваждане на едно кратно от друго,

изразихме същото това 'х' като дроб.

Това не е най-простото обяснение.
Има се предвид, че

и двете определено се делят на 2,
а изглежда и на 4.

Можем да ги опростим,

но това не ни интересува в момента.

Всичко, което ни интересува, е фактът,
че можем да представим 'х',

можем да представим това число като дроб.

Като отношението на две цели числа.

Следователно това число
също така е рационално.

Също така е рационално число.

И този похват, който използвахме, може да се

използва не само за това число.

Всеки път, когато имаш число с повтарящи се цифри,

можеш да използваш тази техника.

Да обобщим: числата, чиито цифри след десетичната запетая се повтарят, са рационални.

Ирационалните са числа са тези, чиито цифри
след десетичната запетая никога,

никога не се повтарят, като пи.

Колкото за другите въпроси, мисля че е очевидно,

че не е цяло число.

Целите числа са

си цели числа.

Това число е някъде между целите числа.

Не е естествено число, или цяло число, които в зависимост

от контекста се разглеждат като
подмножества на целите числа.

Определено не е от тях.

Това число е реално и рационално.

Това може да се каже за него.