WEBVTT

00:00:00.490 --> 00:00:02.980
На кое числово множество принадлежи числото

00:00:02.980 --> 00:00:07.330
3,40(28) в период ?

00:00:07.330 --> 00:00:09.150
И преди да отговорим на въпроса, нека помислим

00:00:09.150 --> 00:00:10.690
какво представлява това.

00:00:10.690 --> 00:00:13.000
И какво по-точно означава чертичката върху 28.

00:00:13.000 --> 00:00:15.360
Чертичката отгоре на 28, означава че

00:00:15.360 --> 00:00:17.420
28 просто се повтаря в безкрайност.

00:00:17.420 --> 00:00:24.260
Значи можем да представим това число
като 3,4028, но

00:00:24.260 --> 00:00:26.110
28 просто продължава да се повтаря.

00:00:26.110 --> 00:00:29.740
И се повтаря, и се повтаря и т.н.
до безкрайност.

00:00:29.740 --> 00:00:32.299
Можем просто да продължим да го пишем
отново, и отново.

00:00:32.299 --> 00:00:35.210
Очевидно е по-лесно просто
да сложим чертичка

00:00:35.210 --> 00:00:37.620
върху 28, за да обозначим,
че се повтаря до безкрайност.

00:00:37.620 --> 00:00:41.290
Сега нека помислим към кое числово множество
принадлежи това число?

00:00:41.290 --> 00:00:44.600
Най-голямото множество, с което
сме се занимавали досега, е

00:00:44.600 --> 00:00:46.190
множеството на реалните числа.

00:00:46.190 --> 00:00:48.420
И това определено принадлежи
към реалните числа.

00:00:48.420 --> 00:00:50.300
Реалните числа са всъщност цялата

00:00:50.300 --> 00:00:51.990
числова ос, която сме
свикнали да използваме.

00:00:51.990 --> 00:00:55.660
И 3,40(28) се намира някъде тук.

00:00:55.660 --> 00:01:01.340
Ако това е –1, това е 0, 1, 2, 3, 4.

00:01:01.340 --> 00:01:04.730
3,40(28) е малко повече от 3,4, и

00:01:04.730 --> 00:01:06.490
малко по-малко от 3,41.

00:01:06.490 --> 00:01:07.760
Намира се точно тук.

00:01:07.760 --> 00:01:09.450
Значи определено се намира
на числовата ос.

00:01:09.450 --> 00:01:11.090
И е реално число.

00:01:11.090 --> 00:01:13.870
Определено е реално.

00:01:13.870 --> 00:01:16.370
Определено е реално число.

00:01:16.370 --> 00:01:19.080
Обаче не толкова очевидният въпрос е

00:01:19.080 --> 00:01:20.180
дали е рационално число.

00:01:20.180 --> 00:01:25.040
Спомни си, че рационално число е това,
което може да бъде представено като

00:01:25.040 --> 00:01:26.890
рационален израз или като
обикновена дроб.

00:01:26.890 --> 00:01:34.390
Ако кажем, че пи е рационално число, 
това означава, че пи

00:01:34.390 --> 00:01:37.840
може да бъде представено като
отношението между две цели числа.

00:01:37.840 --> 00:01:45.620
Това означава, че пи може да бъде представено
като отношението между

00:01:45.620 --> 00:01:47.900
две цели числа m / n.

00:01:47.900 --> 00:01:50.960
Въпросът е можем ли да представим това
като отношение

00:01:50.960 --> 00:01:51.410
на две цели числа?

00:01:51.410 --> 00:01:52.410
Или казано по друг начин,

00:01:52.410 --> 00:01:53.990
можем ли да представим това като дроб?

00:01:53.990 --> 00:01:57.630
И за да направим това, нека наистина
го представим като дроб.

00:01:57.630 --> 00:02:01.310
Нека дефинираме 'х' да е равно на това число.

00:02:01.310 --> 00:02:09.960
'х' е равно на 3,40(28).

00:02:09.960 --> 00:02:12.650
Нека помислим какво е 10 000 по 'х'.

00:02:12.650 --> 00:02:14.470
Единствената причина да искаме 10 000х, е защото

00:02:14.470 --> 00:02:16.960
искаме да преместим десетичната запетая надясно.

00:02:16.960 --> 00:02:21.710
10 000х.

00:02:21.710 --> 00:02:23.380
На колко ще бъде равно това?

00:02:23.380 --> 00:02:26.350
Всеки път, когато умножаваме по 10, преместваме

00:02:26.350 --> 00:02:27.420
десетичната запетая една позиция надясно.

00:02:27.420 --> 00:02:29.790
10 000 е 10 на четвърта степен.

00:02:29.790 --> 00:02:31.780
Значи преместваме десетичната запетая

00:02:31.780 --> 00:02:32.830
четири позиции надясно.

00:02:32.830 --> 00:02:36.400
1, 2, 3, 4.

00:02:36.400 --> 00:02:40.575
Става 34 028.

00:02:40.575 --> 00:02:42.700
Но 28 продължава да се повтаря.

00:02:42.700 --> 00:02:45.820
Значи все още имаме 28 отново и отново,

00:02:45.820 --> 00:02:46.720
и отново до безкрайност.

00:02:46.720 --> 00:02:49.550
Те просто се преместиха вляво
от десетичната запетая

00:02:49.550 --> 00:02:50.430
с 5 позиции.

00:02:50.430 --> 00:02:51.070
Може да гледаш на нещата по този начин.

00:02:51.070 --> 00:02:53.140
Звучи свързано.

00:02:53.140 --> 00:02:54.670
Това е почти 3 и половина.

00:02:54.670 --> 00:02:57.810
Ако умножиш по 10 000, получава се почти 35 000.

00:02:57.810 --> 00:02:59.490
Значи толкова е 10 000х.

00:02:59.490 --> 00:03:00.970
Сега нека помислим също така и за 100х.

00:03:00.970 --> 00:03:04.340
И тук цялото упражнение е,
че искаме да намерим две числа,

00:03:04.340 --> 00:03:06.590
които, когато се извадят едно от друго,

00:03:06.590 --> 00:03:08.130
частта, която се повтаря, да изчезне.

00:03:08.130 --> 00:03:10.970
И да можем да ги разглеждаме като обикновени числа.

00:03:10.970 --> 00:03:13.260
Така, нека видим колко е 100х.

00:03:13.260 --> 00:03:15.530
100х.

00:03:15.530 --> 00:03:17.010
Това премества тази десетична запетая.

00:03:17.010 --> 00:03:18.370
Спомни си, беше ето тук в началото.

00:03:18.370 --> 00:03:20.860
Преместваме я две позиции надясно.

00:03:20.860 --> 00:03:24.830
Значи 100х ще бъде 300...
нека запишем това.

00:03:24.830 --> 00:03:30.750
Ще бъде 340,(28) в период.

00:03:30.750 --> 00:03:32.220
Можехме да сложим (28) тук,

00:03:32.220 --> 00:03:33.010
но нямаше да има толкова смисъл.

00:03:33.010 --> 00:03:34.670
Винаги трябва да се пише
след десетичната запетая.

00:03:34.670 --> 00:03:37.340
Трябва да напишем (28) още веднъж след десетичната запетая, 
за да покажем че се повтаря.

00:03:37.340 --> 00:03:39.710
Сега става нещо интересно.

00:03:39.710 --> 00:03:42.400
Тези две числа са просто кратни на 'х'.

00:03:42.400 --> 00:03:45.790
И ако извадя долното число от горното,

00:03:45.790 --> 00:03:46.710
какво ще получим?

00:03:46.710 --> 00:03:48.530
Ами повтарящата се част ще изчезне!

00:03:48.530 --> 00:03:49.170
Нека направим това.

00:03:49.170 --> 00:03:52.280
Нека го направим с двете страни на уравнението.

00:03:52.280 --> 00:03:53.230
Хайде.

00:03:53.230 --> 00:03:56.440
От лявата страна на уравнението:

00:03:56.440 --> 00:04:03.620
10 000х минус 100х е равно на 9 900х.

00:04:03.620 --> 00:04:06.960
И от дясната страна, да видим...

00:04:06.960 --> 00:04:08.230
дробната част ще се съкрати.

00:04:08.230 --> 00:04:12.030
И трябва просто да сметнем колко е
34 028 минус 340.

00:04:12.030 --> 00:04:14.120
Да видим.

00:04:14.120 --> 00:04:16.010
8 е по-голямо от 0, така че нямаме

00:04:16.010 --> 00:04:16.649
прегрупиране.

00:04:16.649 --> 00:04:19.769
2 е по-малко от 4.

00:04:19.769 --> 00:04:22.200
Трябва да прегрупираме, но не можем

00:04:22.200 --> 00:04:25.510
да заемем още, защото имаме 0 тук.

00:04:25.510 --> 00:04:27.710
0 е по-малко от 3, значи трябва да разместим,

00:04:27.710 --> 00:04:29.000
или да имаме наум.

00:04:29.000 --> 00:04:31.770
Нека вземем първо от 4.

00:04:31.770 --> 00:04:36.590
Ако вземем от 4, това става 3,

00:04:36.590 --> 00:04:38.140
и това става 10.

00:04:38.140 --> 00:04:40.460
Сега 2 може да вземе от 10.

00:04:40.460 --> 00:04:44.090
Това става 9, а това става 12.

00:04:44.090 --> 00:04:45.820
И вече можем да извършим изваждането.

00:04:45.820 --> 00:04:48.390
8 минус 0 е 8.

00:04:48.390 --> 00:04:51.110
12 минус 4 е 8.

00:04:51.110 --> 00:04:53.880
9 минус 3 е 6.

00:04:53.880 --> 00:04:55.920
3 минус нищо е 3.

00:04:55.920 --> 00:04:57.950
3 минус нищо е 3.

00:04:57.950 --> 00:05:05.320
Така, 9 900х е равно на 33 688.

00:05:05.320 --> 00:05:09.180
Вече извадихме 340 от това тук.

00:05:09.180 --> 00:05:13.110
Получаваме 33 688.

00:05:13.110 --> 00:05:15.710
Сега за да намерим х,
просто разделяме

00:05:15.710 --> 00:05:21.610
двете страни на 9 900.

00:05:21.610 --> 00:05:23.990
Разделяме лявата страна на 9 900.

00:05:23.990 --> 00:05:26.900
Както и дясната.

00:05:26.900 --> 00:05:28.000
И сега какво получаваме?

00:05:28.000 --> 00:05:36.850
Получаваме, че х е равно на
33 688 делено на 9 900.

00:05:36.850 --> 00:05:38.550
И какво всъщност означава това?

00:05:38.550 --> 00:05:41.900
Ами 'х' е числото, с което започнахме,

00:05:41.900 --> 00:05:44.580
числото, което се повтаряше в безкрайност.

00:05:44.580 --> 00:05:47.500
И с малко алгебрични действия и

00:05:47.500 --> 00:05:49.660
изваждане на едно кратно от друго,

00:05:49.660 --> 00:05:52.530
изразихме същото това 'х' като дроб.

00:05:52.530 --> 00:05:55.780
Това не е най-простото обяснение. 
Има се предвид, че

00:05:55.780 --> 00:05:58.900
и двете определено се делят на 2,
а изглежда и на 4.

00:05:58.900 --> 00:06:01.960
Можем да ги опростим,

00:06:01.960 --> 00:06:02.910
но това не ни интересува в момента.

00:06:02.910 --> 00:06:05.055
Всичко, което ни интересува, е фактът,
че можем да представим 'х',

00:06:05.055 --> 00:06:09.050
можем да представим това число като дроб.

00:06:09.050 --> 00:06:11.620
Като отношението на две цели числа.

00:06:11.620 --> 00:06:14.720
Следователно това число
също така е рационално.

00:06:14.720 --> 00:06:16.550
Също така е рационално число.

00:06:16.550 --> 00:06:19.010
И този похват, който използвахме, може да се

00:06:19.010 --> 00:06:20.700
използва не само за това число.

00:06:20.700 --> 00:06:24.370
Всеки път, когато имаш число с повтарящи се цифри,

00:06:24.370 --> 00:06:25.000
можеш да използваш тази техника.

00:06:25.000 --> 00:06:27.530
Да обобщим: числата, чиито цифри след десетичната запетая се повтарят, са рационални.

00:06:27.530 --> 00:06:30.090
Ирационалните са числа са тези, чиито цифри
след десетичната запетая никога,

00:06:30.090 --> 00:06:32.860
никога не се повтарят, като пи.

00:06:32.860 --> 00:06:34.590
Колкото за другите въпроси, мисля че е очевидно,

00:06:34.590 --> 00:06:35.810
че не е цяло число.

00:06:35.810 --> 00:06:37.410
Целите числа са

00:06:37.410 --> 00:06:38.020
си цели числа.

00:06:38.020 --> 00:06:40.390
Това число е някъде между целите числа.

00:06:40.390 --> 00:06:43.360
Не е естествено число, или цяло число, които в зависимост

00:06:43.360 --> 00:06:46.240
от контекста се разглеждат като
подмножества на целите числа.

00:06:46.240 --> 00:06:47.360
Определено не е от тях.

00:06:47.360 --> 00:06:49.110
Това число е реално и рационално.

00:06:49.110 --> 00:06:51.460
Това може да се каже за него.