0:00:00.490,0:00:02.980
На кое числово множество принадлежи числото

0:00:02.980,0:00:07.330
3,40(28) в период ?

0:00:07.330,0:00:09.150
И преди да отговорим на въпроса, нека помислим

0:00:09.150,0:00:10.690
какво представлява това.

0:00:10.690,0:00:13.000
И какво по-точно означава чертичката върху 28.

0:00:13.000,0:00:15.360
Чертичката отгоре на 28, означава че

0:00:15.360,0:00:17.420
28 просто се повтаря в безкрайност.

0:00:17.420,0:00:24.260
Значи можем да представим това число[br]като 3,4028, но

0:00:24.260,0:00:26.110
28 просто продължава да се повтаря.

0:00:26.110,0:00:29.740
И се повтаря, и се повтаря и т.н.[br]до безкрайност.

0:00:29.740,0:00:32.299
Можем просто да продължим да го пишем[br]отново, и отново.

0:00:32.299,0:00:35.210
Очевидно е по-лесно просто[br]да сложим чертичка

0:00:35.210,0:00:37.620
върху 28, за да обозначим,[br]че се повтаря до безкрайност.

0:00:37.620,0:00:41.290
Сега нека помислим към кое числово множество[br]принадлежи това число?

0:00:41.290,0:00:44.600
Най-голямото множество, с което[br]сме се занимавали досега, е

0:00:44.600,0:00:46.190
множеството на реалните числа.

0:00:46.190,0:00:48.420
И това определено принадлежи[br]към реалните числа.

0:00:48.420,0:00:50.300
Реалните числа са всъщност цялата

0:00:50.300,0:00:51.990
числова ос, която сме[br]свикнали да използваме.

0:00:51.990,0:00:55.660
И 3,40(28) се намира някъде тук.

0:00:55.660,0:01:01.340
Ако това е –1, това е 0, 1, 2, 3, 4.

0:01:01.340,0:01:04.730
3,40(28) е малко повече от 3,4, и

0:01:04.730,0:01:06.490
малко по-малко от 3,41.

0:01:06.490,0:01:07.760
Намира се точно тук.

0:01:07.760,0:01:09.450
Значи определено се намира[br]на числовата ос.

0:01:09.450,0:01:11.090
И е реално число.

0:01:11.090,0:01:13.870
Определено е реално.

0:01:13.870,0:01:16.370
Определено е реално число.

0:01:16.370,0:01:19.080
Обаче не толкова очевидният въпрос е

0:01:19.080,0:01:20.180
дали е рационално число.

0:01:20.180,0:01:25.040
Спомни си, че рационално число е това,[br]което може да бъде представено като

0:01:25.040,0:01:26.890
рационален израз или като[br]обикновена дроб.

0:01:26.890,0:01:34.390
Ако кажем, че пи е рационално число, [br]това означава, че пи

0:01:34.390,0:01:37.840
може да бъде представено като[br]отношението между две цели числа.

0:01:37.840,0:01:45.620
Това означава, че пи може да бъде представено[br]като отношението между

0:01:45.620,0:01:47.900
две цели числа m / n.

0:01:47.900,0:01:50.960
Въпросът е можем ли да представим това[br]като отношение

0:01:50.960,0:01:51.410
на две цели числа?

0:01:51.410,0:01:52.410
Или казано по друг начин,

0:01:52.410,0:01:53.990
можем ли да представим това като дроб?

0:01:53.990,0:01:57.630
И за да направим това, нека наистина[br]го представим като дроб.

0:01:57.630,0:02:01.310
Нека дефинираме 'х' да е равно на това число.

0:02:01.310,0:02:09.960
'х' е равно на 3,40(28).

0:02:09.960,0:02:12.650
Нека помислим какво е 10 000 по 'х'.

0:02:12.650,0:02:14.470
Единствената причина да искаме 10 000х, е защото

0:02:14.470,0:02:16.960
искаме да преместим десетичната запетая надясно.

0:02:16.960,0:02:21.710
10 000х.

0:02:21.710,0:02:23.380
На колко ще бъде равно това?

0:02:23.380,0:02:26.350
Всеки път, когато умножаваме по 10, преместваме

0:02:26.350,0:02:27.420
десетичната запетая една позиция надясно.

0:02:27.420,0:02:29.790
10 000 е 10 на четвърта степен.

0:02:29.790,0:02:31.780
Значи преместваме десетичната запетая

0:02:31.780,0:02:32.830
четири позиции надясно.

0:02:32.830,0:02:36.400
1, 2, 3, 4.

0:02:36.400,0:02:40.575
Става 34 028.

0:02:40.575,0:02:42.700
Но 28 продължава да се повтаря.

0:02:42.700,0:02:45.820
Значи все още имаме 28 отново и отново,

0:02:45.820,0:02:46.720
и отново до безкрайност.

0:02:46.720,0:02:49.550
Те просто се преместиха вляво[br]от десетичната запетая

0:02:49.550,0:02:50.430
с 5 позиции.

0:02:50.430,0:02:51.070
Може да гледаш на нещата по този начин.

0:02:51.070,0:02:53.140
Звучи свързано.

0:02:53.140,0:02:54.670
Това е почти 3 и половина.

0:02:54.670,0:02:57.810
Ако умножиш по 10 000, получава се почти 35 000.

0:02:57.810,0:02:59.490
Значи толкова е 10 000х.

0:02:59.490,0:03:00.970
Сега нека помислим също така и за 100х.

0:03:00.970,0:03:04.340
И тук цялото упражнение е,[br]че искаме да намерим две числа,

0:03:04.340,0:03:06.590
които, когато се извадят едно от друго,

0:03:06.590,0:03:08.130
частта, която се повтаря, да изчезне.

0:03:08.130,0:03:10.970
И да можем да ги разглеждаме като обикновени числа.

0:03:10.970,0:03:13.260
Така, нека видим колко е 100х.

0:03:13.260,0:03:15.530
100х.

0:03:15.530,0:03:17.010
Това премества тази десетична запетая.

0:03:17.010,0:03:18.370
Спомни си, беше ето тук в началото.

0:03:18.370,0:03:20.860
Преместваме я две позиции надясно.

0:03:20.860,0:03:24.830
Значи 100х ще бъде 300...[br]нека запишем това.

0:03:24.830,0:03:30.750
Ще бъде 340,(28) в период.

0:03:30.750,0:03:32.220
Можехме да сложим (28) тук,

0:03:32.220,0:03:33.010
но нямаше да има толкова смисъл.

0:03:33.010,0:03:34.670
Винаги трябва да се пише[br]след десетичната запетая.

0:03:34.670,0:03:37.340
Трябва да напишем (28) още веднъж след десетичната запетая, [br]за да покажем че се повтаря.

0:03:37.340,0:03:39.710
Сега става нещо интересно.

0:03:39.710,0:03:42.400
Тези две числа са просто кратни на 'х'.

0:03:42.400,0:03:45.790
И ако извадя долното число от горното,

0:03:45.790,0:03:46.710
какво ще получим?

0:03:46.710,0:03:48.530
Ами повтарящата се част ще изчезне!

0:03:48.530,0:03:49.170
Нека направим това.

0:03:49.170,0:03:52.280
Нека го направим с двете страни на уравнението.

0:03:52.280,0:03:53.230
Хайде.

0:03:53.230,0:03:56.440
От лявата страна на уравнението:

0:03:56.440,0:04:03.620
10 000х минус 100х е равно на 9 900х.

0:04:03.620,0:04:06.960
И от дясната страна, да видим...

0:04:06.960,0:04:08.230
дробната част ще се съкрати.

0:04:08.230,0:04:12.030
И трябва просто да сметнем колко е[br]34 028 минус 340.

0:04:12.030,0:04:14.120
Да видим.

0:04:14.120,0:04:16.010
8 е по-голямо от 0, така че нямаме

0:04:16.010,0:04:16.649
прегрупиране.

0:04:16.649,0:04:19.769
2 е по-малко от 4.

0:04:19.769,0:04:22.200
Трябва да прегрупираме, но не можем

0:04:22.200,0:04:25.510
да заемем още, защото имаме 0 тук.

0:04:25.510,0:04:27.710
0 е по-малко от 3, значи трябва да разместим,

0:04:27.710,0:04:29.000
или да имаме наум.

0:04:29.000,0:04:31.770
Нека вземем първо от 4.

0:04:31.770,0:04:36.590
Ако вземем от 4, това става 3,

0:04:36.590,0:04:38.140
и това става 10.

0:04:38.140,0:04:40.460
Сега 2 може да вземе от 10.

0:04:40.460,0:04:44.090
Това става 9, а това става 12.

0:04:44.090,0:04:45.820
И вече можем да извършим изваждането.

0:04:45.820,0:04:48.390
8 минус 0 е 8.

0:04:48.390,0:04:51.110
12 минус 4 е 8.

0:04:51.110,0:04:53.880
9 минус 3 е 6.

0:04:53.880,0:04:55.920
3 минус нищо е 3.

0:04:55.920,0:04:57.950
3 минус нищо е 3.

0:04:57.950,0:05:05.320
Така, 9 900х е равно на 33 688.

0:05:05.320,0:05:09.180
Вече извадихме 340 от това тук.

0:05:09.180,0:05:13.110
Получаваме 33 688.

0:05:13.110,0:05:15.710
Сега за да намерим х,[br]просто разделяме

0:05:15.710,0:05:21.610
двете страни на 9 900.

0:05:21.610,0:05:23.990
Разделяме лявата страна на 9 900.

0:05:23.990,0:05:26.900
Както и дясната.

0:05:26.900,0:05:28.000
И сега какво получаваме?

0:05:28.000,0:05:36.850
Получаваме, че х е равно на[br]33 688 делено на 9 900.

0:05:36.850,0:05:38.550
И какво всъщност означава това?

0:05:38.550,0:05:41.900
Ами 'х' е числото, с което започнахме,

0:05:41.900,0:05:44.580
числото, което се повтаряше в безкрайност.

0:05:44.580,0:05:47.500
И с малко алгебрични действия и

0:05:47.500,0:05:49.660
изваждане на едно кратно от друго,

0:05:49.660,0:05:52.530
изразихме същото това 'х' като дроб.

0:05:52.530,0:05:55.780
Това не е най-простото обяснение. [br]Има се предвид, че

0:05:55.780,0:05:58.900
и двете определено се делят на 2,[br]а изглежда и на 4.

0:05:58.900,0:06:01.960
Можем да ги опростим,

0:06:01.960,0:06:02.910
но това не ни интересува в момента.

0:06:02.910,0:06:05.055
Всичко, което ни интересува, е фактът,[br]че можем да представим 'х',

0:06:05.055,0:06:09.050
можем да представим това число като дроб.

0:06:09.050,0:06:11.620
Като отношението на две цели числа.

0:06:11.620,0:06:14.720
Следователно това число[br]също така е рационално.

0:06:14.720,0:06:16.550
Също така е рационално число.

0:06:16.550,0:06:19.010
И този похват, който използвахме, може да се

0:06:19.010,0:06:20.700
използва не само за това число.

0:06:20.700,0:06:24.370
Всеки път, когато имаш число с повтарящи се цифри,

0:06:24.370,0:06:25.000
можеш да използваш тази техника.

0:06:25.000,0:06:27.530
Да обобщим: числата, чиито цифри след десетичната запетая се повтарят, са рационални.

0:06:27.530,0:06:30.090
Ирационалните са числа са тези, чиито цифри[br]след десетичната запетая никога,

0:06:30.090,0:06:32.860
никога не се повтарят, като пи.

0:06:32.860,0:06:34.590
Колкото за другите въпроси, мисля че е очевидно,

0:06:34.590,0:06:35.810
че не е цяло число.

0:06:35.810,0:06:37.410
Целите числа са

0:06:37.410,0:06:38.020
си цели числа.

0:06:38.020,0:06:40.390
Това число е някъде между целите числа.

0:06:40.390,0:06:43.360
Не е естествено число, или цяло число, които в зависимост

0:06:43.360,0:06:46.240
от контекста се разглеждат като[br]подмножества на целите числа.

0:06:46.240,0:06:47.360
Определено не е от тях.

0:06:47.360,0:06:49.110
Това число е реално и рационално.

0:06:49.110,0:06:51.460
Това може да се каже за него.