1
00:00:00,490 --> 00:00:02,980
На кое числово множество принадлежи числото

2
00:00:02,980 --> 00:00:07,330
3,40(28) в период ?

3
00:00:07,330 --> 00:00:09,150
И преди да отговорим на въпроса, нека помислим

4
00:00:09,150 --> 00:00:10,690
какво представлява това.

5
00:00:10,690 --> 00:00:13,000
И какво по-точно означава чертичката върху 28.

6
00:00:13,000 --> 00:00:15,360
Чертичката отгоре на 28, означава че

7
00:00:15,360 --> 00:00:17,420
28 просто се повтаря в безкрайност.

8
00:00:17,420 --> 00:00:24,260
Значи можем да представим това число
като 3,4028, но

9
00:00:24,260 --> 00:00:26,110
28 просто продължава да се повтаря.

10
00:00:26,110 --> 00:00:29,740
И се повтаря, и се повтаря и т.н.
до безкрайност.

11
00:00:29,740 --> 00:00:32,299
Можем просто да продължим да го пишем
отново, и отново.

12
00:00:32,299 --> 00:00:35,210
Очевидно е по-лесно просто
да сложим чертичка

13
00:00:35,210 --> 00:00:37,620
върху 28, за да обозначим,
че се повтаря до безкрайност.

14
00:00:37,620 --> 00:00:41,290
Сега нека помислим към кое числово множество
принадлежи това число?

15
00:00:41,290 --> 00:00:44,600
Най-голямото множество, с което
сме се занимавали досега, е

16
00:00:44,600 --> 00:00:46,190
множеството на реалните числа.

17
00:00:46,190 --> 00:00:48,420
И това определено принадлежи
към реалните числа.

18
00:00:48,420 --> 00:00:50,300
Реалните числа са всъщност цялата

19
00:00:50,300 --> 00:00:51,990
числова ос, която сме
свикнали да използваме.

20
00:00:51,990 --> 00:00:55,660
И 3,40(28) се намира някъде тук.

21
00:00:55,660 --> 00:01:01,340
Ако това е –1, това е 0, 1, 2, 3, 4.

22
00:01:01,340 --> 00:01:04,730
3,40(28) е малко повече от 3,4, и

23
00:01:04,730 --> 00:01:06,490
малко по-малко от 3,41.

24
00:01:06,490 --> 00:01:07,760
Намира се точно тук.

25
00:01:07,760 --> 00:01:09,450
Значи определено се намира
на числовата ос.

26
00:01:09,450 --> 00:01:11,090
И е реално число.

27
00:01:11,090 --> 00:01:13,870
Определено е реално.

28
00:01:13,870 --> 00:01:16,370
Определено е реално число.

29
00:01:16,370 --> 00:01:19,080
Обаче не толкова очевидният въпрос е

30
00:01:19,080 --> 00:01:20,180
дали е рационално число.

31
00:01:20,180 --> 00:01:25,040
Спомни си, че рационално число е това,
което може да бъде представено като

32
00:01:25,040 --> 00:01:26,890
рационален израз или като
обикновена дроб.

33
00:01:26,890 --> 00:01:34,390
Ако кажем, че пи е рационално число, 
това означава, че пи

34
00:01:34,390 --> 00:01:37,840
може да бъде представено като
отношението между две цели числа.

35
00:01:37,840 --> 00:01:45,620
Това означава, че пи може да бъде представено
като отношението между

36
00:01:45,620 --> 00:01:47,900
две цели числа m / n.

37
00:01:47,900 --> 00:01:50,960
Въпросът е можем ли да представим това
като отношение

38
00:01:50,960 --> 00:01:51,410
на две цели числа?

39
00:01:51,410 --> 00:01:52,410
Или казано по друг начин,

40
00:01:52,410 --> 00:01:53,990
можем ли да представим това като дроб?

41
00:01:53,990 --> 00:01:57,630
И за да направим това, нека наистина
го представим като дроб.

42
00:01:57,630 --> 00:02:01,310
Нека дефинираме 'х' да е равно на това число.

43
00:02:01,310 --> 00:02:09,960
'х' е равно на 3,40(28).

44
00:02:09,960 --> 00:02:12,650
Нека помислим какво е 10 000 по 'х'.

45
00:02:12,650 --> 00:02:14,470
Единствената причина да искаме 10 000х, е защото

46
00:02:14,470 --> 00:02:16,960
искаме да преместим десетичната запетая надясно.

47
00:02:16,960 --> 00:02:21,710
10 000х.

48
00:02:21,710 --> 00:02:23,380
На колко ще бъде равно това?

49
00:02:23,380 --> 00:02:26,350
Всеки път, когато умножаваме по 10, преместваме

50
00:02:26,350 --> 00:02:27,420
десетичната запетая една позиция надясно.

51
00:02:27,420 --> 00:02:29,790
10 000 е 10 на четвърта степен.

52
00:02:29,790 --> 00:02:31,780
Значи преместваме десетичната запетая

53
00:02:31,780 --> 00:02:32,830
четири позиции надясно.

54
00:02:32,830 --> 00:02:36,400
1, 2, 3, 4.

55
00:02:36,400 --> 00:02:40,575
Става 34 028.

56
00:02:40,575 --> 00:02:42,700
Но 28 продължава да се повтаря.

57
00:02:42,700 --> 00:02:45,820
Значи все още имаме 28 отново и отново,

58
00:02:45,820 --> 00:02:46,720
и отново до безкрайност.

59
00:02:46,720 --> 00:02:49,550
Те просто се преместиха вляво
от десетичната запетая

60
00:02:49,550 --> 00:02:50,430
с 5 позиции.

61
00:02:50,430 --> 00:02:51,070
Може да гледаш на нещата по този начин.

62
00:02:51,070 --> 00:02:53,140
Звучи свързано.

63
00:02:53,140 --> 00:02:54,670
Това е почти 3 и половина.

64
00:02:54,670 --> 00:02:57,810
Ако умножиш по 10 000, получава се почти 35 000.

65
00:02:57,810 --> 00:02:59,490
Значи толкова е 10 000х.

66
00:02:59,490 --> 00:03:00,970
Сега нека помислим също така и за 100х.

67
00:03:00,970 --> 00:03:04,340
И тук цялото упражнение е,
че искаме да намерим две числа,

68
00:03:04,340 --> 00:03:06,590
които, когато се извадят едно от друго,

69
00:03:06,590 --> 00:03:08,130
частта, която се повтаря, да изчезне.

70
00:03:08,130 --> 00:03:10,970
И да можем да ги разглеждаме като обикновени числа.

71
00:03:10,970 --> 00:03:13,260
Така, нека видим колко е 100х.

72
00:03:13,260 --> 00:03:15,530
100х.

73
00:03:15,530 --> 00:03:17,010
Това премества тази десетична запетая.

74
00:03:17,010 --> 00:03:18,370
Спомни си, беше ето тук в началото.

75
00:03:18,370 --> 00:03:20,860
Преместваме я две позиции надясно.

76
00:03:20,860 --> 00:03:24,830
Значи 100х ще бъде 300...
нека запишем това.

77
00:03:24,830 --> 00:03:30,750
Ще бъде 340,(28) в период.

78
00:03:30,750 --> 00:03:32,220
Можехме да сложим (28) тук,

79
00:03:32,220 --> 00:03:33,010
но нямаше да има толкова смисъл.

80
00:03:33,010 --> 00:03:34,670
Винаги трябва да се пише
след десетичната запетая.

81
00:03:34,670 --> 00:03:37,340
Трябва да напишем (28) още веднъж след десетичната запетая, 
за да покажем че се повтаря.

82
00:03:37,340 --> 00:03:39,710
Сега става нещо интересно.

83
00:03:39,710 --> 00:03:42,400
Тези две числа са просто кратни на 'х'.

84
00:03:42,400 --> 00:03:45,790
И ако извадя долното число от горното,

85
00:03:45,790 --> 00:03:46,710
какво ще получим?

86
00:03:46,710 --> 00:03:48,530
Ами повтарящата се част ще изчезне!

87
00:03:48,530 --> 00:03:49,170
Нека направим това.

88
00:03:49,170 --> 00:03:52,280
Нека го направим с двете страни на уравнението.

89
00:03:52,280 --> 00:03:53,230
Хайде.

90
00:03:53,230 --> 00:03:56,440
От лявата страна на уравнението:

91
00:03:56,440 --> 00:04:03,620
10 000х минус 100х е равно на 9 900х.

92
00:04:03,620 --> 00:04:06,960
И от дясната страна, да видим...

93
00:04:06,960 --> 00:04:08,230
дробната част ще се съкрати.

94
00:04:08,230 --> 00:04:12,030
И трябва просто да сметнем колко е
34 028 минус 340.

95
00:04:12,030 --> 00:04:14,120
Да видим.

96
00:04:14,120 --> 00:04:16,010
8 е по-голямо от 0, така че нямаме

97
00:04:16,010 --> 00:04:16,649
прегрупиране.

98
00:04:16,649 --> 00:04:19,769
2 е по-малко от 4.

99
00:04:19,769 --> 00:04:22,200
Трябва да прегрупираме, но не можем

100
00:04:22,200 --> 00:04:25,510
да заемем още, защото имаме 0 тук.

101
00:04:25,510 --> 00:04:27,710
0 е по-малко от 3, значи трябва да разместим,

102
00:04:27,710 --> 00:04:29,000
или да имаме наум.

103
00:04:29,000 --> 00:04:31,770
Нека вземем първо от 4.

104
00:04:31,770 --> 00:04:36,590
Ако вземем от 4, това става 3,

105
00:04:36,590 --> 00:04:38,140
и това става 10.

106
00:04:38,140 --> 00:04:40,460
Сега 2 може да вземе от 10.

107
00:04:40,460 --> 00:04:44,090
Това става 9, а това става 12.

108
00:04:44,090 --> 00:04:45,820
И вече можем да извършим изваждането.

109
00:04:45,820 --> 00:04:48,390
8 минус 0 е 8.

110
00:04:48,390 --> 00:04:51,110
12 минус 4 е 8.

111
00:04:51,110 --> 00:04:53,880
9 минус 3 е 6.

112
00:04:53,880 --> 00:04:55,920
3 минус нищо е 3.

113
00:04:55,920 --> 00:04:57,950
3 минус нищо е 3.

114
00:04:57,950 --> 00:05:05,320
Така, 9 900х е равно на 33 688.

115
00:05:05,320 --> 00:05:09,180
Вече извадихме 340 от това тук.

116
00:05:09,180 --> 00:05:13,110
Получаваме 33 688.

117
00:05:13,110 --> 00:05:15,710
Сега за да намерим х,
просто разделяме

118
00:05:15,710 --> 00:05:21,610
двете страни на 9 900.

119
00:05:21,610 --> 00:05:23,990
Разделяме лявата страна на 9 900.

120
00:05:23,990 --> 00:05:26,900
Както и дясната.

121
00:05:26,900 --> 00:05:28,000
И сега какво получаваме?

122
00:05:28,000 --> 00:05:36,850
Получаваме, че х е равно на
33 688 делено на 9 900.

123
00:05:36,850 --> 00:05:38,550
И какво всъщност означава това?

124
00:05:38,550 --> 00:05:41,900
Ами 'х' е числото, с което започнахме,

125
00:05:41,900 --> 00:05:44,580
числото, което се повтаряше в безкрайност.

126
00:05:44,580 --> 00:05:47,500
И с малко алгебрични действия и

127
00:05:47,500 --> 00:05:49,660
изваждане на едно кратно от друго,

128
00:05:49,660 --> 00:05:52,530
изразихме същото това 'х' като дроб.

129
00:05:52,530 --> 00:05:55,780
Това не е най-простото обяснение. 
Има се предвид, че

130
00:05:55,780 --> 00:05:58,900
и двете определено се делят на 2,
а изглежда и на 4.

131
00:05:58,900 --> 00:06:01,960
Можем да ги опростим,

132
00:06:01,960 --> 00:06:02,910
но това не ни интересува в момента.

133
00:06:02,910 --> 00:06:05,055
Всичко, което ни интересува, е фактът,
че можем да представим 'х',

134
00:06:05,055 --> 00:06:09,050
можем да представим това число като дроб.

135
00:06:09,050 --> 00:06:11,620
Като отношението на две цели числа.

136
00:06:11,620 --> 00:06:14,720
Следователно това число
също така е рационално.

137
00:06:14,720 --> 00:06:16,550
Също така е рационално число.

138
00:06:16,550 --> 00:06:19,010
И този похват, който използвахме, може да се

139
00:06:19,010 --> 00:06:20,700
използва не само за това число.

140
00:06:20,700 --> 00:06:24,370
Всеки път, когато имаш число с повтарящи се цифри,

141
00:06:24,370 --> 00:06:25,000
можеш да използваш тази техника.

142
00:06:25,000 --> 00:06:27,530
Да обобщим: числата, чиито цифри след десетичната запетая се повтарят, са рационални.

143
00:06:27,530 --> 00:06:30,090
Ирационалните са числа са тези, чиито цифри
след десетичната запетая никога,

144
00:06:30,090 --> 00:06:32,860
никога не се повтарят, като пи.

145
00:06:32,860 --> 00:06:34,590
Колкото за другите въпроси, мисля че е очевидно,

146
00:06:34,590 --> 00:06:35,810
че не е цяло число.

147
00:06:35,810 --> 00:06:37,410
Целите числа са

148
00:06:37,410 --> 00:06:38,020
си цели числа.

149
00:06:38,020 --> 00:06:40,390
Това число е някъде между целите числа.

150
00:06:40,390 --> 00:06:43,360
Не е естествено число, или цяло число, които в зависимост

151
00:06:43,360 --> 00:06:46,240
от контекста се разглеждат като
подмножества на целите числа.

152
00:06:46,240 --> 00:06:47,360
Определено не е от тях.

153
00:06:47,360 --> 00:06:49,110
Това число е реално и рационално.

154
00:06:49,110 --> 00:06:51,460
Това може да се каже за него.