Son muz: Olasılık üzerine bir düşünce deneyi - Leonardo Barichello

Dersin tamamı için: http://ed.ted.com/lessons/the-last-banana-a-thought-experiment-in-probability-leonardo-barichello

Bir zar oyunu düşünün: atılan en büyük sayı bir, iki, üç veya dört ise, birinci oyuncu kazanır. Atılan en büyük sayı beş veya altı ise, ikinci oyuncu kazanır. Hangi oyuncunun oyunu kazanma olasılığı daha yüksektir? Leonardo Barichello, olasılığın mantıksız görünen bu bulmacanın cevabını nasıl barındırdığını açıklıyor.

Ders Leonardo Barichello, animasyon ise Ace & Son Moving Picture Co, LLC tarafından hazırlanmıştır.

Sen ve bir arkadaşın
ıssız bir adada mahsur kaldınız,

kalan son muz için zar atacaksınız.

Şu kuralları belirlediniz:

İki zar atacaksınız

ve eğer en büyük sayı
bir, iki, üç veya dört ise,

birinci oyuncu kazanır.

En büyük sayı beş veya altı ise,
ikinci oyuncu kazanır.

İki kez daha deneyelim.

Burada birinci oyuncu kazanıyor,

burada da ikinci oyuncu.

Siz kim olmak istersiniz?

İlk bakışta, dört sayıdan birisi
en yüksek olduğunda kazanacağı için,

birinci oyuncu avantajlı gibi görünebilir,

fakat aslında

ikinci oyuncunun her maçı
kazanma ihtimali ortalama %50'dir.

Bunu anlamanın yollarından birisi,
iki zar atarak oluşabilecek

olası kombinasyonları listelemek

ve daha sonra her oyuncunun
kazandığı oyunları saymaktır.

Sarı zar için olasılıklar bunlardır.

Mavi zar için de olasılıklar bunlardır.

Çizelgedeki her hücre iki zarı attığınızda
olası bir kombinasyonu gösteriyor.

Önce dört ve sonra beş atarsanız,

ikinci oyuncunun zaferini
bu hücrede işaretleyeceğiz.

Üç ve bir, birinci oyuncuya
şurada bir zafer sağlar.

36 olası kombinasyon var,

her birinin gerçekleşme şansı da aynı.

Matematikçiler buna aynı
derecede muhtemel olaylar diyor.

Şimdi, ilk bakışın neden yanlış
olduğunu görüyoruz.

Birinci oyuncuda dört,
ikincide ise yalnızca iki

kazanan sayı bulunsa da

her sayının en yüksek olma
şansı aynı değildir.

Bir numarasının en yüksek
olabilmesi için, 36'da bir şans vardır.

Fakat altının en yüksek olması
için, 36'da 11 şans vardır.

Yani, bu kombinasyonlardan
herhangi birisi atılırsa,

birinci oyuncu kazanır.

Bu kombinasyonlardan
herhangi birisi atılırsa,

ikinci oyuncu kazanır.

36 olası kombinasyon içerisinde

16'sı birinci oyuncuya,
20'si de ikinci oyuncuya zafer sağlar.

Bunu şöyle de düşünebilirsiniz;

birinci oyuncunun
kazanmasının tek yolu,

her iki zarın da bir,
iki, üç veya dört gelmesidir.

Beş ya da altı, ikinci oyuncunun
kazanması anlamına gelir.

Bir zarın bir, iki, üç veya dört
gelme ihtimali, altıda dörttür.

Her zar atışının sonucu,
bir diğerinden bağımsızdır.

Olasılıkları çarparak
bağımsız olayların

bileşik olasılıkları hesaplanabilir.

Her iki zarda da bir,
iki, üç veya dört gelme şansı,

4/6 kere 4/6 ya da 16/36'dır.

Birinin kazanması gerektiği için,

ikinci oyuncunun kazanma şansı
36/36 eksi 16/36

veya 20/36'dır.

Tablo oluşturarak edindiğimiz
kesin aynı olasılıklar bunlardır.

Fakat bu, ikinci oyuncunun
kazanacağı anlamına gelmiyor

veya ikinci oyuncu olarak 36 oyun
oynasanız da, 20'sini kazanabilirsiniz.

Zar atma gibi olaylara bu yüzden
rastlantısal denmektedir.

Her neticenin teorik
olasılığını hesaplayabilsek bile,

yalnızca birkaç olayı inceleyerek

beklenen sonuçları
elde edemeyebilirsiniz.

Fakat bu rastlantısal olayları çok,
çok, çok kez tekrar ederseniz

ikinci oyuncunun kazanacağı gibi
belirli bir neticenin frekansı,

teorik olasılığına yaklaşır;

teorik olasılık ise, tüm olasılıkları
yazarak ve her netice için olasılıkları

sayarak elde ettiğimiz değerdir.

Yani, ıssız bir adada
sonsuza dek zar oynasaydınız,

sonuçta ikinci oyuncu
oyunların %56'sını,

birinci oyuncu ise
%44'ünü kazanacaktı.

Fakat o zaman da, elbette,
muz çoktan bitmiş olacaktı.