Return to Video

Exact Equations Intuition 2 (proofy)

  • 0:01 - 0:04
    בסרטון האחרון התוודענו לרעיון של
  • 0:04 - 0:06
    חוק השרשרת עם נגזרות חלקיות.
  • 0:06 - 0:10
    ואמרנו שאם יש לנו פונקציה, פסאיי, אות יוונית,
  • 0:10 - 0:14
    פסאיי, זו פונקציה של X ושל Y.
  • 0:14 - 0:17
    ואם נרצה לקחת את החלקי של זה, ביחס
  • 0:17 - 0:19
    ל...לא, אנו רוצים את הנגזרת, לא את החלקי..
  • 0:19 - 0:23
    את הנגזרת של זה, ביחס ל X, זה שווה
  • 0:23 - 0:30
    לחלקי של פסאיי, ביחס ל X, ועוד החלקי
  • 0:30 - 0:35
    של פסאיי, ביחס ל Y, כפול DY, DX.
  • 0:35 - 0:38
    ובסרטון האחרון לא הוכחנו את זה, אבל
  • 0:38 - 0:40
    קיבלנו מעט אינטואיציה כדי
  • 0:40 - 0:41
    שנוכל להאמין.
  • 0:41 - 0:43
    אבל אולי יום אחד נוכיח את זה יותר
  • 0:43 - 0:46
    בקפידה, אבל ניתן למצוא הוכחות ברשת
  • 0:46 - 0:50
    עבור חוק השרשרת עם נגזרות חלקיות.
  • 0:50 - 0:52
    אז בואו נשים את זה בצד ונחקור
  • 0:52 - 0:55
    איכות אחרת של נגזרות חלקיות, ואז אנו מוכנים
  • 0:55 - 0:57
    לקבל את האינטואיציה שעומדת מאחורי המשוואה המדויקת.
  • 0:57 - 0:59
    כיוון שאתם עומדים למצוא, זה דיי מיידי
  • 0:59 - 1:02
    לפתור משוואות מדויקות, אבל האינטואיציה זה קצת
  • 1:02 - 1:05
    יותר..זה לא קשה, כיוון שאם יש
  • 1:05 - 1:07
    לכם אינטואיציה, יש לכם את זה.
  • 1:07 - 1:11
    אז מה אם היה לנו, נגיד, את הפונקציה הזו, פסאיי, ואנו
  • 1:11 - 1:17
    צריכים לקחת את הנגזרת החלקית של פסאיי, ביחס ל X, כדבר ראשון.
  • 1:17 - 1:18
    נכתוב פסאיי.
  • 1:18 - 1:20
    אין צורך לכתוב X ו Y כל פעם.
  • 1:20 - 1:23
    ואז צריך לקחת את הנגזרת החלקית
  • 1:23 - 1:25
    ביחס ל Y.
  • 1:29 - 1:33
    אז רק כציון, ניתן לכתוב זאת, ניתן
  • 1:33 - 1:35
    לחשוב על זה כאילו אתם מכפילים את המקדמים, אז
  • 1:35 - 1:36
    ניתן לכתוב את זה כך.
  • 1:36 - 1:42
    הדי החלקי בריבוע כפול פסאיי, או די בריבוע פסאיי, לחלק
  • 1:42 - 1:48
    די Y די, או DX מפותל.
  • 1:48 - 1:50
    וניתן לכתוב זאת גם כ-- וזו הציון המועדף עליי
  • 1:50 - 1:53
    כיוון שאין בזה את כל העודפים המיותרים האלה
  • 1:53 - 1:54
    בכל מקום.
  • 1:54 - 1:56
    ניתן פשוט לומר, שלוקחים קודם את החלקי,
  • 1:56 - 2:00
    ביחס ל X. זה פשוט אומר החלקי של פסאיי,
  • 2:00 - 2:01
    ביחס ל X.
  • 2:01 - 2:04
    ואז לוקחים את החלקי, ביחס ל Y.
  • 2:04 - 2:06
    זוהי דרך אחת להתיחס.
  • 2:06 - 2:08
    מה יקרה אם ניקח את החלקי, ביחס ל X,
  • 2:08 - 2:09
    ואז Y?
  • 2:09 - 2:13
    אז ביחס ל X, יש לנו Y קבוע כדי לקבל
  • 2:13 - 2:14
    את החלקי, ביחס ל X.
  • 2:14 - 2:15
    התעלמו מה Y שם.
  • 2:15 - 2:17
    ואז אתם מחזיקים ב X קבוע, ואתם לוקחים את החלקי
  • 2:17 - 2:19
    ביחס ל Y.
  • 2:19 - 2:21
    אז מה ההבדל בין זה ואם
  • 2:21 - 2:22
    נחליף את המעלה?
  • 2:22 - 2:25
    אז מה יקרה אם אנו....רגע, נחליף
  • 2:25 - 2:30
    צבע, אם היה לנו פסאיי, ואנו רוצים לקחת את החלקי,
  • 2:30 - 2:34
    ביחס ל Y, קודם, ואז ניקח את החלקי,
  • 2:34 - 2:37
    ביחס ל X?
  • 2:37 - 2:41
    אז הסימן, כדי יהיה לכם נוח,
  • 2:41 - 2:45
    זה יהיה.. חלקי של X, חלקי של Y.
  • 2:45 - 2:46
    וזה המקדם.
  • 2:46 - 2:49
    וזה יכול להיות מעט מבלבל, בין
  • 2:49 - 2:51
    שני הסימנים כאן, על אף שהם אותו הדבר,
  • 2:51 - 2:53
    הסדר מבולבל.
  • 2:53 - 2:54
    זה מכיוון שזה רק דרך
  • 2:54 - 2:55
    אחרת לחשוב על זה.
  • 2:55 - 2:58
    זה אומר, בסדר, קודם חלקי, ביחס ל X, אח"כ Y.
  • 2:58 - 3:00
    זה נותן לזה היבט יותר של מקדם, אז אנו לוקחים
  • 3:00 - 3:03
    את החלקי של X קודם, ואז לוקחים את Y, כמו
  • 3:03 - 3:05
    שאנו מכפילים את המקדמים.
  • 3:05 - 3:09
    אבל בכל מקרה, זה יכול להכתב בצורה של החלקי של
  • 3:09 - 3:13
    Y, ביחס ל X...סליחה, החלקי של Y, ואז
  • 3:13 - 3:15
    אנו לוקחים את החלקי של זה ביחס ל X.
  • 3:15 - 3:18
    כעת, אם כל אחד
  • 3:18 - 3:21
    מהחלקיים הראשונים הוא מתמשך..ורוב
  • 3:21 - 3:25
    הפונקציות שעסקנו בהן באתר רגיל, כל זמן
  • 3:25 - 3:27
    שאינן חסרות המשכיות, או חורים, או
  • 3:27 - 3:29
    משהו מוזר בהגדרת הפונקציה, הן
  • 3:29 - 3:30
    בדרך כלל המשכיות.
  • 3:30 - 3:33
    ובעיקר בשנה הראשונה של הקורס בחדו"א או
  • 3:33 - 3:36
    בדיפרנציאלים, כנראה שנעסוק בפונקציות
  • 3:36 - 3:38
    המשכיות, באתר שלנו.
  • 3:38 - 3:40
    אם שתי הפונקציות הינן המשכיות, אם שני החלקים
  • 3:40 - 3:45
    הראשונים הם המשכיים, אז שני אלו יהיו
  • 3:45 - 3:47
    שווים אחד לשני.
  • 3:47 - 3:55
    אז פסאיי של X Y יהיה שווה לפסאיי של YX.
  • 3:55 - 4:01
    כעת ניתן להשתמש במידע הזה, שזה
  • 4:01 - 4:05
    חוק השרשרת בשימוש בנגזרות חלקיות,
  • 4:05 - 4:09
    והידע הזה עד כה מאפשר פתרון של קבוצה מסוימת
  • 4:09 - 4:13
    של משוואות דיפרנציאליות, משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון,
  • 4:13 - 4:14
    הנקראות משוואות מדויקות.
  • 4:14 - 4:18
    ואיך משוואות מדויקות נראות?
  • 4:18 - 4:22
    משוואות מדויקות נראות כך.
  • 4:22 - 4:24
    בחירת צבע זה הדבר הקשה.
  • 4:24 - 4:26
    נניח שזו המשוואה הדיפרנציאלית שלנו.
  • 4:26 - 4:30
    יש לנו כמה פונקציות של X ושל Y.
  • 4:30 - 4:32
    אז נניח, זה יכול להיות X בריבוע כפול
  • 4:32 - 4:33
    cos של Y או משהו.
  • 4:33 - 4:35
    זה יכול להיות של פונקציה של X ו Y.
  • 4:35 - 4:40
    ועוד כמה פונקציות של X ו Y, נקרא לזה n, כפול DY,
  • 4:40 - 4:45
    DX שווה ל 0.
  • 4:45 - 4:48
    וזה...לא ברור אם זה כבר משוואה מדויקת,
  • 4:48 - 4:51
    אבל אם רואים משהו בצורה הזו, הרושם הראשון
  • 4:51 - 4:53
    צריך להיות ,
  • 4:53 - 4:54
    האם זה ניתן להפרדה?
  • 4:54 - 4:56
    ואתם צריכים לשחק מעט עם האלגברה
  • 4:56 - 4:58
    לראות אם זה ניתן להפרדה, כיוון
  • 4:58 - 4:59
    שזו תמיד הדרך הנוחה ביותר.
  • 4:59 - 5:02
    אם זה לא ניתן להפרדה, אבל עדיין אתם יכולים לכתוב זאת בצורה הזו,
  • 5:02 - 5:04
    אתם שואלים האם זו משוואה מדויקת?
  • 5:04 - 5:06
    ומהי משוואה מדויקת?
  • 5:06 - 5:07
    הביטו,
  • 5:07 - 5:12
    התבנית הזו כאן נראית
  • 5:12 - 5:14
    ממש כמו התבנית הזו.
  • 5:14 - 5:18
    מה אם M היא החלקי של פסאיי, ביחס ל X?
  • 5:18 - 5:25
    מה אם פסאיי, ביחס ל X, שווה ל M?
  • 5:25 - 5:27
    מה אם זה היה פסאיי, ביחס ל X?
  • 5:27 - 5:30
    ומה אם זה היה פסאיי, ביחס ל Y?
  • 5:30 - 5:32
    אז פסאיי, ביחס ל Y, שווה ל N.
  • 5:32 - 5:33
    ומה אם?
  • 5:33 - 5:35
    הכוונה שאנו לא יודעים בוודאות, נכון?
  • 5:35 - 5:38
    אם רואים את זה באופן אקראי, לא נדע
  • 5:38 - 5:40
    שזה החלקי של פונקציה ביחס ל X,
  • 5:40 - 5:43
    וזה החלקי, ביחס ל Y של
  • 5:43 - 5:44
    איזה פונקציה.
  • 5:44 - 5:46
    אבל אנו רק אומרים, מה אם?
  • 5:46 - 5:50
    אם זה היה נכון, אז היינו יכולים לכתוב זאת מחדש
  • 5:50 - 5:53
    כחלקי של פסאיי, ביחס ל X, ועוד החלקי של פסאיי,
  • 5:53 - 5:59
    ביחס ל Y, כפול DY, DX, שווה ל 0.
  • 5:59 - 6:02
    והדבר הזה כאן, הצד השמאלי כאן, זה
  • 6:02 - 6:05
    אותו הדבר כמו זה, נכון?
  • 6:05 - 6:08
    זה רק הנגזרת של פסאיי, ביחס ל X,
  • 6:08 - 6:11
    כאשר משתמשים בחוק השרשרת של נגזרת חלקית.
  • 6:11 - 6:13
    אז ניתן לכתוב זאת מחדש.
  • 6:13 - 6:17
    ניתן לכתוב, זו הנגזרת של פסאיי,
  • 6:17 - 6:20
    ביחס ל X, בתוך הפונקציה של של X,
  • 6:20 - 6:23
    Y, שווה ל 0.
  • 6:23 - 6:28
    אז אם רואים משוואה דיפרנציאלית, ויש לה
  • 6:28 - 6:31
    את הצורה הזו, ואנו לא יכולים להפריד אותה, אבל
  • 6:31 - 6:32
    אולי זו משוואה מדויקת.
  • 6:32 - 6:36
    והאמת שזה מה שנחשב קודם
  • 6:36 - 6:39
    למשוואה מדויקת.
  • 6:39 - 6:41
    אבל אם אתם רואים צורה זו, אתם חושבים שאולי
  • 6:41 - 6:42
    זו משוואה מדויקת.
  • 6:42 - 6:45
    אם זוהי משוואה מדויקת,..ותיכף נראה איך בוחנים זאת
  • 6:45 - 6:48
    כשנשתמש בנתונים האלו..אז זה יכול
  • 6:48 - 6:53
    להכתב כנגזרת של כמה פונקציות, פסאיי,
  • 6:53 - 6:55
    שבו זה החלקי של פסאיי, ביחס ל X.
  • 6:55 - 6:58
    זה החלקי של פסאיי, ביחס ל Y.
  • 6:58 - 7:00
    ואז אם אתם יכולים לכתוב זאת כך, ואתם
  • 7:00 - 7:01
    לוקחים את הנגזרת של שני הצדדים, סליחה, אתם לוקחים
  • 7:01 - 7:07
    את האנטי נגזרת של שני הצדדים, ותקבלו פסאיי של X,
  • 7:07 - 7:10
    Y שווה ל c כפתרון.
  • 7:10 - 7:13
    אז ישנם שני דברים שצריך לשים לב אליהם.
  • 7:13 - 7:16
    ואז אתם תוהים,
  • 7:16 - 7:20
    עברתם על פסאיי, ועל חלקיים, וכל זה.
  • 7:20 - 7:22
    ראשית, איך נדע שזו משוואה מדויקת?
  • 7:22 - 7:25
    ושנית, אם זו משוואה מדויקת, שאומרת לנו
  • 7:25 - 7:28
    שיש איזה פסאיי, אז איך אנו נגיע לפתרון של פסאיי?
  • 7:28 - 7:32
    הדרך לדעת זאת, היא באמצעות משוואה מדויקת, זה להשתמש
  • 7:32 - 7:35
    במידע הזה שכאן.
  • 7:35 - 7:38
    אנו יודעים שאם פסאיי, והנגזרות שלו מתמשכים לאורך
  • 7:38 - 7:42
    כמה אתרים, שכאשר אתם לוקחים את החלקי,
  • 7:42 - 7:46
    ביחס ל X ואז ל Y, זה אותו הדבר כמו לעשות
  • 7:46 - 7:47
    את זה בסדר האחר.
  • 7:47 - 7:49
    אז אנו אומרים, זה החלקי,
  • 7:49 - 7:52
    ביחס ל X, נכון?
  • 7:53 - 7:56
    וזה החלקי, ביחס ל Y.
  • 7:56 - 8:00
    אז אם זוהי משוואה מדויקת, אם זוהי המשוואה
  • 8:00 - 8:03
    המדויקת, אם היינו לוקחים את החלקיים של זה, ביחס
  • 8:03 - 8:05
    ל Y, נכון?
  • 8:05 - 8:12
    אם ניקח את החלקי של M, ביחס ל Y, אז
  • 8:12 - 8:16
    החלקי של פסאיי, ביחס ל X, שווה ל M.
  • 8:16 - 8:18
    אם ניקח את החלקי של אלו, ביחס ל Y,
  • 8:18 - 8:22
    אז נוכל לכתוב זאת בדרך הזו, ואז זה צריך להיות
  • 8:22 - 8:28
    שווה לחלקי של N, ביחס ל X, נכון?
  • 8:28 - 8:32
    החלקי של פסאיי, ביחס ל Y, שווה ל N.
  • 8:32 - 8:35
    אז אם ניקח את החלקי, ביחס ל X, של שני אלו,
  • 8:35 - 8:41
    אנו יודעים מזה שאלו צריכים להיות שווים, אם פסאיי,
  • 8:41 - 8:44
    והחלקיים שלו מתמשכים לאתרים אלו.
  • 8:44 - 8:49
    אז זה גם יהיה שווה.
  • 8:49 - 8:52
    אז זה למעשה המבחן לבחון אם
  • 8:52 - 8:54
    זוהי משוואה מדויקת.
  • 8:54 - 8:57
    אז נכתוב את כל זה מחדש ונסכם מעט
  • 8:57 - 9:05
    אז אם אתם רואים משהו בצורה של, M של X, Y ועוד N של X,
  • 9:05 - 9:10
    Y, כפול DY, DX שווה ל 0.
  • 9:10 - 9:13
    ואז אתם לוקחים את הנגזרת החלקית של M, ביחס
  • 9:13 - 9:18
    ל Y, ואז אתם לוקחים את הנגזרת החלקית של N,
  • 9:18 - 9:24
    ביחס ל X, והם שווים אחד לשני, ואז..
  • 9:24 - 9:26
    וזה למעשה, רק אם, אז זה ילך לשני הכיוונים..
  • 9:26 - 9:31
    זוהי משוואה מדויקת, משוואה דיפרנציאלית מדויקת.
  • 9:31 - 9:32
    זוהי משוואה מדויקת.
  • 9:32 - 9:36
    ואם זוהי משוואה מדויקת, זה אומר לנו שיש
  • 9:36 - 9:47
    פסאיי, כזה שהנגזרת של פסאיי של X, Y שווה
  • 9:47 - 9:52
    ל 0, או פסאיי של X ,Y, שווה ל c, זה הפתרון
  • 9:52 - 9:53
    של המשוואה הזו.
  • 9:53 - 9:58
    והנגזרת החלקית של פסאיי, ביחס ל X,
  • 9:58 - 10:00
    שווה ל M.
  • 10:00 - 10:04
    והנגזרת החלקית של פסאיי, ביחס ל Y,
  • 10:04 - 10:05
    שווה ל N.
  • 10:05 - 10:08
    ונראה בסרטון הבא איך להשתמש במידע
  • 10:08 - 10:10
    הזה כדי לפתור עבור פסאיי.
  • 10:10 - 10:12
    אז יש פה כמה דברים להדגשה.
  • 10:12 - 10:14
    זו תהיה הנגזרת החלקית של פסאיי,
  • 10:14 - 10:18
    ביחס ל X, אבל אם אנו עושים את מבחן הדיוק,
  • 10:18 - 10:20
    אנו לוקחים זאת ביחס ל Y, כיוון שאנו רוצים
  • 10:20 - 10:21
    לקחת את הנגזרות המעורבות האלו.
  • 10:21 - 10:23
    באופן דומה, זה יהיה הנגזרת החלקית של פסאיי,
  • 10:23 - 10:27
    ביחס ל Y, אבל כאשר אנו עושים את המבחן, אנו לוקחים את
  • 10:27 - 10:30
    החלקי של זה ביחס ל X כך שנקבל
  • 10:30 - 10:31
    את הנגזרת המעורבת.
  • 10:31 - 10:33
    זה ביחס ל Y, ואז ביחס
  • 10:33 - 10:34
    ל X, אז קיבלתם זאת.
  • 10:34 - 10:36
    יכול להיות שזה קצת מסובך,
  • 10:36 - 10:38
    אבל אם הצלחתם לעקוב על מה שעשינו פה
  • 10:38 - 10:41
    אז יש לכם את האינטואיציה וההבנה של איך
  • 10:41 - 10:43
    עובדת השיטה של משוואות מדויקות.
  • 10:43 - 10:46
    נתראה בסרטון הבא
  • 10:46 - 10:49
    ונפתור כמה משוואות מדויקות.
Title:
Exact Equations Intuition 2 (proofy)
Description:
more » « less
Video Language:
English
Duration:
10:51

Hebrew subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.