בסרטון האחרון התוודענו לרעיון של חוק השרשרת עם נגזרות חלקיות. ואמרנו שאם יש לנו פונקציה, פסאיי, אות יוונית, פסאיי, זו פונקציה של X ושל Y. ואם נרצה לקחת את החלקי של זה, ביחס ל...לא, אנו רוצים את הנגזרת, לא את החלקי.. את הנגזרת של זה, ביחס ל X, זה שווה לחלקי של פסאיי, ביחס ל X, ועוד החלקי של פסאיי, ביחס ל Y, כפול DY, DX. ובסרטון האחרון לא הוכחנו את זה, אבל קיבלנו מעט אינטואיציה כדי שנוכל להאמין. אבל אולי יום אחד נוכיח את זה יותר בקפידה, אבל ניתן למצוא הוכחות ברשת עבור חוק השרשרת עם נגזרות חלקיות. אז בואו נשים את זה בצד ונחקור איכות אחרת של נגזרות חלקיות, ואז אנו מוכנים לקבל את האינטואיציה שעומדת מאחורי המשוואה המדויקת. כיוון שאתם עומדים למצוא, זה דיי מיידי לפתור משוואות מדויקות, אבל האינטואיציה זה קצת יותר..זה לא קשה, כיוון שאם יש לכם אינטואיציה, יש לכם את זה. אז מה אם היה לנו, נגיד, את הפונקציה הזו, פסאיי, ואנו צריכים לקחת את הנגזרת החלקית של פסאיי, ביחס ל X, כדבר ראשון. נכתוב פסאיי. אין צורך לכתוב X ו Y כל פעם. ואז צריך לקחת את הנגזרת החלקית ביחס ל Y. אז רק כציון, ניתן לכתוב זאת, ניתן לחשוב על זה כאילו אתם מכפילים את המקדמים, אז ניתן לכתוב את זה כך. הדי החלקי בריבוע כפול פסאיי, או די בריבוע פסאיי, לחלק די Y די, או DX מפותל. וניתן לכתוב זאת גם כ-- וזו הציון המועדף עליי כיוון שאין בזה את כל העודפים המיותרים האלה בכל מקום. ניתן פשוט לומר, שלוקחים קודם את החלקי, ביחס ל X. זה פשוט אומר החלקי של פסאיי, ביחס ל X. ואז לוקחים את החלקי, ביחס ל Y. זוהי דרך אחת להתיחס. מה יקרה אם ניקח את החלקי, ביחס ל X, ואז Y? אז ביחס ל X, יש לנו Y קבוע כדי לקבל את החלקי, ביחס ל X. התעלמו מה Y שם. ואז אתם מחזיקים ב X קבוע, ואתם לוקחים את החלקי ביחס ל Y. אז מה ההבדל בין זה ואם נחליף את המעלה? אז מה יקרה אם אנו....רגע, נחליף צבע, אם היה לנו פסאיי, ואנו רוצים לקחת את החלקי, ביחס ל Y, קודם, ואז ניקח את החלקי, ביחס ל X? אז הסימן, כדי יהיה לכם נוח, זה יהיה.. חלקי של X, חלקי של Y. וזה המקדם. וזה יכול להיות מעט מבלבל, בין שני הסימנים כאן, על אף שהם אותו הדבר, הסדר מבולבל. זה מכיוון שזה רק דרך אחרת לחשוב על זה. זה אומר, בסדר, קודם חלקי, ביחס ל X, אח"כ Y. זה נותן לזה היבט יותר של מקדם, אז אנו לוקחים את החלקי של X קודם, ואז לוקחים את Y, כמו שאנו מכפילים את המקדמים. אבל בכל מקרה, זה יכול להכתב בצורה של החלקי של Y, ביחס ל X...סליחה, החלקי של Y, ואז אנו לוקחים את החלקי של זה ביחס ל X. כעת, אם כל אחד מהחלקיים הראשונים הוא מתמשך..ורוב הפונקציות שעסקנו בהן באתר רגיל, כל זמן שאינן חסרות המשכיות, או חורים, או משהו מוזר בהגדרת הפונקציה, הן בדרך כלל המשכיות. ובעיקר בשנה הראשונה של הקורס בחדו"א או בדיפרנציאלים, כנראה שנעסוק בפונקציות המשכיות, באתר שלנו. אם שתי הפונקציות הינן המשכיות, אם שני החלקים הראשונים הם המשכיים, אז שני אלו יהיו שווים אחד לשני. אז פסאיי של X Y יהיה שווה לפסאיי של YX. כעת ניתן להשתמש במידע הזה, שזה חוק השרשרת בשימוש בנגזרות חלקיות, והידע הזה עד כה מאפשר פתרון של קבוצה מסוימת של משוואות דיפרנציאליות, משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון, הנקראות משוואות מדויקות. ואיך משוואות מדויקות נראות? משוואות מדויקות נראות כך. בחירת צבע זה הדבר הקשה. נניח שזו המשוואה הדיפרנציאלית שלנו. יש לנו כמה פונקציות של X ושל Y. אז נניח, זה יכול להיות X בריבוע כפול cos של Y או משהו. זה יכול להיות של פונקציה של X ו Y. ועוד כמה פונקציות של X ו Y, נקרא לזה n, כפול DY, DX שווה ל 0. וזה...לא ברור אם זה כבר משוואה מדויקת, אבל אם רואים משהו בצורה הזו, הרושם הראשון צריך להיות , האם זה ניתן להפרדה? ואתם צריכים לשחק מעט עם האלגברה לראות אם זה ניתן להפרדה, כיוון שזו תמיד הדרך הנוחה ביותר. אם זה לא ניתן להפרדה, אבל עדיין אתם יכולים לכתוב זאת בצורה הזו, אתם שואלים האם זו משוואה מדויקת? ומהי משוואה מדויקת? הביטו, התבנית הזו כאן נראית ממש כמו התבנית הזו. מה אם M היא החלקי של פסאיי, ביחס ל X? מה אם פסאיי, ביחס ל X, שווה ל M? מה אם זה היה פסאיי, ביחס ל X? ומה אם זה היה פסאיי, ביחס ל Y? אז פסאיי, ביחס ל Y, שווה ל N. ומה אם? הכוונה שאנו לא יודעים בוודאות, נכון? אם רואים את זה באופן אקראי, לא נדע שזה החלקי של פונקציה ביחס ל X, וזה החלקי, ביחס ל Y של איזה פונקציה. אבל אנו רק אומרים, מה אם? אם זה היה נכון, אז היינו יכולים לכתוב זאת מחדש כחלקי של פסאיי, ביחס ל X, ועוד החלקי של פסאיי, ביחס ל Y, כפול DY, DX, שווה ל 0. והדבר הזה כאן, הצד השמאלי כאן, זה אותו הדבר כמו זה, נכון? זה רק הנגזרת של פסאיי, ביחס ל X, כאשר משתמשים בחוק השרשרת של נגזרת חלקית. אז ניתן לכתוב זאת מחדש. ניתן לכתוב, זו הנגזרת של פסאיי, ביחס ל X, בתוך הפונקציה של של X, Y, שווה ל 0. אז אם רואים משוואה דיפרנציאלית, ויש לה את הצורה הזו, ואנו לא יכולים להפריד אותה, אבל אולי זו משוואה מדויקת. והאמת שזה מה שנחשב קודם למשוואה מדויקת. אבל אם אתם רואים צורה זו, אתם חושבים שאולי זו משוואה מדויקת. אם זוהי משוואה מדויקת,..ותיכף נראה איך בוחנים זאת כשנשתמש בנתונים האלו..אז זה יכול להכתב כנגזרת של כמה פונקציות, פסאיי, שבו זה החלקי של פסאיי, ביחס ל X. זה החלקי של פסאיי, ביחס ל Y. ואז אם אתם יכולים לכתוב זאת כך, ואתם לוקחים את הנגזרת של שני הצדדים, סליחה, אתם לוקחים את האנטי נגזרת של שני הצדדים, ותקבלו פסאיי של X, Y שווה ל c כפתרון. אז ישנם שני דברים שצריך לשים לב אליהם. ואז אתם תוהים, עברתם על פסאיי, ועל חלקיים, וכל זה. ראשית, איך נדע שזו משוואה מדויקת? ושנית, אם זו משוואה מדויקת, שאומרת לנו שיש איזה פסאיי, אז איך אנו נגיע לפתרון של פסאיי? הדרך לדעת זאת, היא באמצעות משוואה מדויקת, זה להשתמש במידע הזה שכאן. אנו יודעים שאם פסאיי, והנגזרות שלו מתמשכים לאורך כמה אתרים, שכאשר אתם לוקחים את החלקי, ביחס ל X ואז ל Y, זה אותו הדבר כמו לעשות את זה בסדר האחר. אז אנו אומרים, זה החלקי, ביחס ל X, נכון? וזה החלקי, ביחס ל Y. אז אם זוהי משוואה מדויקת, אם זוהי המשוואה המדויקת, אם היינו לוקחים את החלקיים של זה, ביחס ל Y, נכון? אם ניקח את החלקי של M, ביחס ל Y, אז החלקי של פסאיי, ביחס ל X, שווה ל M. אם ניקח את החלקי של אלו, ביחס ל Y, אז נוכל לכתוב זאת בדרך הזו, ואז זה צריך להיות שווה לחלקי של N, ביחס ל X, נכון? החלקי של פסאיי, ביחס ל Y, שווה ל N. אז אם ניקח את החלקי, ביחס ל X, של שני אלו, אנו יודעים מזה שאלו צריכים להיות שווים, אם פסאיי, והחלקיים שלו מתמשכים לאתרים אלו. אז זה גם יהיה שווה. אז זה למעשה המבחן לבחון אם זוהי משוואה מדויקת. אז נכתוב את כל זה מחדש ונסכם מעט אז אם אתם רואים משהו בצורה של, M של X, Y ועוד N של X, Y, כפול DY, DX שווה ל 0. ואז אתם לוקחים את הנגזרת החלקית של M, ביחס ל Y, ואז אתם לוקחים את הנגזרת החלקית של N, ביחס ל X, והם שווים אחד לשני, ואז.. וזה למעשה, רק אם, אז זה ילך לשני הכיוונים.. זוהי משוואה מדויקת, משוואה דיפרנציאלית מדויקת. זוהי משוואה מדויקת. ואם זוהי משוואה מדויקת, זה אומר לנו שיש פסאיי, כזה שהנגזרת של פסאיי של X, Y שווה ל 0, או פסאיי של X ,Y, שווה ל c, זה הפתרון של המשוואה הזו. והנגזרת החלקית של פסאיי, ביחס ל X, שווה ל M. והנגזרת החלקית של פסאיי, ביחס ל Y, שווה ל N. ונראה בסרטון הבא איך להשתמש במידע הזה כדי לפתור עבור פסאיי. אז יש פה כמה דברים להדגשה. זו תהיה הנגזרת החלקית של פסאיי, ביחס ל X, אבל אם אנו עושים את מבחן הדיוק, אנו לוקחים זאת ביחס ל Y, כיוון שאנו רוצים לקחת את הנגזרות המעורבות האלו. באופן דומה, זה יהיה הנגזרת החלקית של פסאיי, ביחס ל Y, אבל כאשר אנו עושים את המבחן, אנו לוקחים את החלקי של זה ביחס ל X כך שנקבל את הנגזרת המעורבת. זה ביחס ל Y, ואז ביחס ל X, אז קיבלתם זאת. יכול להיות שזה קצת מסובך, אבל אם הצלחתם לעקוב על מה שעשינו פה אז יש לכם את האינטואיציה וההבנה של איך עובדת השיטה של משוואות מדויקות. נתראה בסרטון הבא ונפתור כמה משוואות מדויקות.