0:00:00.710,0:00:04.070
בסרטון האחרון התוודענו לרעיון של

0:00:04.070,0:00:05.520
חוק השרשרת עם נגזרות חלקיות.

0:00:05.520,0:00:10.080
ואמרנו שאם יש לנו פונקציה, פסאיי, אות יוונית,

0:00:10.080,0:00:14.020
פסאיי, זו פונקציה של X ושל Y.

0:00:14.020,0:00:16.770
ואם נרצה לקחת את החלקי של זה, ביחס

0:00:16.770,0:00:19.360
ל...לא, אנו רוצים את הנגזרת, לא את החלקי..

0:00:19.360,0:00:23.430
את הנגזרת של זה, ביחס ל X, זה שווה

0:00:23.430,0:00:29.540
לחלקי של פסאיי, ביחס ל X, ועוד החלקי

0:00:29.540,0:00:35.400
של פסאיי, ביחס ל Y, כפול DY, DX.

0:00:35.400,0:00:37.630
ובסרטון האחרון לא הוכחנו את זה, אבל

0:00:37.630,0:00:40.000
קיבלנו מעט אינטואיציה כדי

0:00:40.000,0:00:40.960
שנוכל להאמין.

0:00:40.960,0:00:43.030
אבל אולי יום אחד נוכיח את זה יותר

0:00:43.030,0:00:46.120
בקפידה, אבל ניתן למצוא הוכחות ברשת

0:00:46.120,0:00:49.960
עבור חוק השרשרת עם נגזרות חלקיות.

0:00:49.960,0:00:51.950
אז בואו נשים את זה בצד ונחקור

0:00:51.950,0:00:54.800
איכות אחרת של נגזרות חלקיות, ואז אנו מוכנים

0:00:54.800,0:00:57.080
לקבל את האינטואיציה שעומדת מאחורי המשוואה המדויקת.

0:00:57.080,0:00:59.070
כיוון שאתם עומדים למצוא, זה דיי מיידי

0:00:59.070,0:01:02.210
לפתור משוואות מדויקות, אבל האינטואיציה זה קצת

0:01:02.210,0:01:05.140
יותר..זה לא קשה, כיוון שאם יש

0:01:05.140,0:01:06.890
לכם אינטואיציה, יש לכם את זה.

0:01:06.890,0:01:11.490
אז מה אם היה לנו, נגיד, את הפונקציה הזו, פסאיי, ואנו

0:01:11.490,0:01:16.580
צריכים לקחת את הנגזרת החלקית של פסאיי, ביחס ל X, כדבר ראשון.

0:01:16.580,0:01:17.510
נכתוב פסאיי.

0:01:17.510,0:01:19.640
אין צורך לכתוב X ו Y כל פעם.

0:01:19.640,0:01:22.890
ואז צריך לקחת את הנגזרת החלקית

0:01:22.890,0:01:25.485
ביחס ל Y.

0:01:28.920,0:01:32.730
אז רק כציון, ניתן לכתוב זאת, ניתן

0:01:32.730,0:01:34.620
לחשוב על זה כאילו אתם מכפילים את המקדמים, אז

0:01:34.620,0:01:36.050
ניתן לכתוב את זה כך.

0:01:36.050,0:01:42.400
הדי החלקי בריבוע כפול פסאיי, או די בריבוע פסאיי, לחלק

0:01:42.400,0:01:47.540
די Y די, או DX מפותל.

0:01:47.540,0:01:50.330
וניתן לכתוב זאת גם כ-- וזו הציון המועדף עליי

0:01:50.330,0:01:53.040
כיוון שאין בזה את כל העודפים המיותרים האלה

0:01:53.040,0:01:53.800
בכל מקום.

0:01:53.800,0:01:56.350
ניתן פשוט לומר, שלוקחים קודם את החלקי,

0:01:56.350,0:02:00.050
ביחס ל X. זה פשוט אומר החלקי של פסאיי,

0:02:00.050,0:02:01.240
ביחס ל X.

0:02:01.240,0:02:04.060
ואז לוקחים את החלקי, ביחס ל Y.

0:02:04.060,0:02:05.870
זוהי דרך אחת להתיחס.

0:02:05.870,0:02:07.970
מה יקרה אם ניקח את החלקי, ביחס ל X,

0:02:07.970,0:02:08.650
ואז Y?

0:02:08.650,0:02:13.100
אז ביחס ל X, יש לנו Y קבוע כדי לקבל

0:02:13.100,0:02:14.190
את החלקי, ביחס ל X.

0:02:14.190,0:02:15.000
התעלמו מה Y שם.

0:02:15.000,0:02:17.060
ואז אתם מחזיקים ב X קבוע, ואתם לוקחים את החלקי

0:02:17.060,0:02:18.670
ביחס ל Y.

0:02:18.670,0:02:21.480
אז מה ההבדל בין זה ואם

0:02:21.480,0:02:22.370
נחליף את המעלה?

0:02:22.370,0:02:24.970
אז מה יקרה אם אנו....רגע, נחליף

0:02:24.970,0:02:30.400
צבע, אם היה לנו פסאיי, ואנו רוצים לקחת את החלקי,

0:02:30.400,0:02:34.480
ביחס ל Y, קודם, ואז ניקח את החלקי,

0:02:34.480,0:02:36.510
ביחס ל X?

0:02:36.510,0:02:40.640
אז הסימן, כדי יהיה לכם נוח,

0:02:40.640,0:02:44.660
זה יהיה.. חלקי של X, חלקי של Y.

0:02:44.660,0:02:46.360
וזה המקדם.

0:02:46.360,0:02:48.750
וזה יכול להיות מעט מבלבל, בין

0:02:48.750,0:02:51.060
שני הסימנים כאן, על אף שהם אותו הדבר,

0:02:51.060,0:02:52.740
הסדר מבולבל.

0:02:52.740,0:02:54.060
זה מכיוון שזה רק דרך

0:02:54.060,0:02:54.910
אחרת לחשוב על זה.

0:02:54.910,0:02:57.990
זה אומר, בסדר, קודם חלקי, ביחס ל X, אח"כ Y.

0:02:57.990,0:03:00.160
זה נותן לזה היבט יותר של מקדם, אז אנו לוקחים

0:03:00.160,0:03:03.000
את החלקי של X קודם, ואז לוקחים את Y, כמו

0:03:03.000,0:03:04.950
שאנו מכפילים את המקדמים.

0:03:04.950,0:03:08.840
אבל בכל מקרה, זה יכול להכתב בצורה של החלקי של

0:03:08.840,0:03:13.070
Y, ביחס ל X...סליחה, החלקי של Y, ואז

0:03:13.070,0:03:14.910
אנו לוקחים את החלקי של זה ביחס ל X.

0:03:14.910,0:03:17.980
כעת, אם כל אחד

0:03:17.980,0:03:20.840
מהחלקיים הראשונים הוא מתמשך..ורוב

0:03:20.840,0:03:24.510
הפונקציות שעסקנו בהן באתר רגיל, כל זמן

0:03:24.510,0:03:26.780
שאינן חסרות המשכיות, או חורים, או

0:03:26.780,0:03:29.070
משהו מוזר בהגדרת הפונקציה, הן

0:03:29.070,0:03:30.290
בדרך כלל המשכיות.

0:03:30.290,0:03:32.990
ובעיקר בשנה הראשונה של הקורס בחדו"א או

0:03:32.990,0:03:35.810
בדיפרנציאלים, כנראה שנעסוק בפונקציות

0:03:35.810,0:03:37.620
המשכיות, באתר שלנו.

0:03:37.620,0:03:40.480
אם שתי הפונקציות הינן המשכיות, אם שני החלקים

0:03:40.480,0:03:45.410
הראשונים הם המשכיים, אז שני אלו יהיו

0:03:45.410,0:03:47.170
שווים אחד לשני.

0:03:47.170,0:03:54.950
אז פסאיי של X Y יהיה שווה לפסאיי של YX.

0:03:54.950,0:04:01.220
כעת ניתן להשתמש במידע הזה, שזה

0:04:01.220,0:04:04.870
חוק השרשרת בשימוש בנגזרות חלקיות,

0:04:04.870,0:04:09.060
והידע הזה עד כה מאפשר פתרון של קבוצה מסוימת

0:04:09.060,0:04:13.060
של משוואות דיפרנציאליות, משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון,

0:04:13.060,0:04:14.270
הנקראות משוואות מדויקות.

0:04:14.270,0:04:17.860
ואיך משוואות מדויקות נראות?

0:04:17.860,0:04:21.990
משוואות מדויקות נראות כך.

0:04:21.990,0:04:23.710
בחירת צבע זה הדבר הקשה.

0:04:23.710,0:04:26.290
נניח שזו המשוואה הדיפרנציאלית שלנו.

0:04:26.290,0:04:29.550
יש לנו כמה פונקציות של X ושל Y.

0:04:29.550,0:04:31.830
אז נניח, זה יכול להיות X בריבוע כפול

0:04:31.830,0:04:32.920
cos של Y או משהו.

0:04:32.920,0:04:34.650
זה יכול להיות של פונקציה של X ו Y.

0:04:34.650,0:04:40.350
ועוד כמה פונקציות של X ו Y, נקרא לזה n, כפול DY,

0:04:40.350,0:04:44.900
DX שווה ל 0.

0:04:44.900,0:04:47.520
וזה...לא ברור אם זה כבר משוואה מדויקת,

0:04:47.520,0:04:50.880
אבל אם רואים משהו בצורה הזו, הרושם הראשון

0:04:50.880,0:04:52.990
צריך להיות ,

0:04:52.990,0:04:54.500
האם זה ניתן להפרדה?

0:04:54.500,0:04:56.180
ואתם צריכים לשחק מעט עם האלגברה

0:04:56.180,0:04:57.620
לראות אם זה ניתן להפרדה, כיוון

0:04:57.620,0:04:59.210
שזו תמיד הדרך הנוחה ביותר.

0:04:59.210,0:05:01.770
אם זה לא ניתן להפרדה, אבל עדיין אתם יכולים לכתוב זאת בצורה הזו,

0:05:01.770,0:05:04.460
אתם שואלים האם זו משוואה מדויקת?

0:05:04.460,0:05:06.340
ומהי משוואה מדויקת?

0:05:06.340,0:05:07.270
הביטו,

0:05:07.270,0:05:11.600
התבנית הזו כאן נראית

0:05:11.600,0:05:14.000
ממש כמו התבנית הזו.

0:05:14.000,0:05:18.210
מה אם M היא החלקי של פסאיי, ביחס ל X?

0:05:18.210,0:05:24.920
מה אם פסאיי, ביחס ל X, שווה ל M?

0:05:24.920,0:05:26.710
מה אם זה היה פסאיי, ביחס ל X?

0:05:26.710,0:05:29.570
ומה אם זה היה פסאיי, ביחס ל Y?

0:05:29.570,0:05:32.500
אז פסאיי, ביחס ל Y, שווה ל N.

0:05:32.500,0:05:33.060
ומה אם?

0:05:33.060,0:05:34.670
הכוונה שאנו לא יודעים בוודאות, נכון?

0:05:34.670,0:05:37.500
אם רואים את זה באופן אקראי, לא נדע

0:05:37.500,0:05:40.200
שזה החלקי של פונקציה ביחס ל X,

0:05:40.200,0:05:43.060
וזה החלקי, ביחס ל Y של

0:05:43.060,0:05:43.830
איזה פונקציה.

0:05:43.830,0:05:45.810
אבל אנו רק אומרים, מה אם?

0:05:45.810,0:05:49.650
אם זה היה נכון, אז היינו יכולים לכתוב זאת מחדש

0:05:49.650,0:05:52.870
כחלקי של פסאיי, ביחס ל X, ועוד החלקי של פסאיי,

0:05:52.870,0:05:58.680
ביחס ל Y, כפול DY, DX, שווה ל 0.

0:05:58.680,0:06:02.050
והדבר הזה כאן, הצד השמאלי כאן, זה

0:06:02.050,0:06:04.790
אותו הדבר כמו זה, נכון?

0:06:04.790,0:06:08.290
זה רק הנגזרת של פסאיי, ביחס ל X,

0:06:08.290,0:06:10.940
כאשר משתמשים בחוק השרשרת של נגזרת חלקית.

0:06:10.940,0:06:12.710
אז ניתן לכתוב זאת מחדש.

0:06:12.710,0:06:17.130
ניתן לכתוב, זו הנגזרת של פסאיי,

0:06:17.130,0:06:20.480
ביחס ל X, בתוך הפונקציה של של X,

0:06:20.480,0:06:23.410
Y, שווה ל 0.

0:06:23.410,0:06:27.730
אז אם רואים משוואה דיפרנציאלית, ויש לה

0:06:27.730,0:06:31.070
את הצורה הזו, ואנו לא יכולים להפריד אותה, אבל

0:06:31.070,0:06:32.030
אולי זו משוואה מדויקת.

0:06:32.030,0:06:35.940
והאמת שזה מה שנחשב קודם

0:06:35.940,0:06:38.800
למשוואה מדויקת.

0:06:38.800,0:06:40.940
אבל אם אתם רואים צורה זו, אתם חושבים שאולי

0:06:40.940,0:06:42.070
זו משוואה מדויקת.

0:06:42.070,0:06:44.580
אם זוהי משוואה מדויקת,..ותיכף נראה איך בוחנים זאת

0:06:44.580,0:06:48.350
כשנשתמש בנתונים האלו..אז זה יכול

0:06:48.350,0:06:52.550
להכתב כנגזרת של כמה פונקציות, פסאיי,

0:06:52.550,0:06:54.840
שבו זה החלקי של פסאיי, ביחס ל X.

0:06:54.840,0:06:57.720
זה החלקי של פסאיי, ביחס ל Y.

0:06:57.720,0:06:59.655
ואז אם אתם יכולים לכתוב זאת כך, ואתם

0:06:59.655,0:07:01.370
לוקחים את הנגזרת של שני הצדדים, סליחה, אתם לוקחים

0:07:01.370,0:07:06.890
את האנטי נגזרת של שני הצדדים, ותקבלו פסאיי של X,

0:07:06.890,0:07:10.070
Y שווה ל c כפתרון.

0:07:10.070,0:07:12.770
אז ישנם שני דברים שצריך לשים לב אליהם.

0:07:12.770,0:07:16.470
ואז אתם תוהים,

0:07:16.470,0:07:19.550
עברתם על פסאיי, ועל חלקיים, וכל זה.

0:07:19.550,0:07:22.020
ראשית, איך נדע שזו משוואה מדויקת?

0:07:22.020,0:07:24.590
ושנית, אם זו משוואה מדויקת, שאומרת לנו

0:07:24.590,0:07:28.290
שיש איזה פסאיי, אז איך אנו נגיע לפתרון של פסאיי?

0:07:28.290,0:07:32.380
הדרך לדעת זאת, היא באמצעות משוואה מדויקת, זה להשתמש

0:07:32.380,0:07:34.690
במידע הזה שכאן.

0:07:34.690,0:07:38.150
אנו יודעים שאם פסאיי, והנגזרות שלו מתמשכים לאורך

0:07:38.150,0:07:42.100
כמה אתרים, שכאשר אתם לוקחים את החלקי,

0:07:42.100,0:07:45.760
ביחס ל X ואז ל Y, זה אותו הדבר כמו לעשות

0:07:45.760,0:07:46.980
את זה בסדר האחר.

0:07:46.980,0:07:48.930
אז אנו אומרים, זה החלקי,

0:07:48.930,0:07:52.490
ביחס ל X, נכון?

0:07:52.610,0:07:55.920
וזה החלקי, ביחס ל Y.

0:07:55.920,0:07:59.880
אז אם זוהי משוואה מדויקת, אם זוהי המשוואה

0:07:59.880,0:08:03.250
המדויקת, אם היינו לוקחים את החלקיים של זה, ביחס

0:08:03.250,0:08:05.330
ל Y, נכון?

0:08:05.330,0:08:11.600
אם ניקח את החלקי של M, ביחס ל Y, אז

0:08:11.600,0:08:15.560
החלקי של פסאיי, ביחס ל X, שווה ל M.

0:08:15.560,0:08:18.490
אם ניקח את החלקי של אלו, ביחס ל Y,

0:08:18.490,0:08:22.450
אז נוכל לכתוב זאת בדרך הזו, ואז זה צריך להיות

0:08:22.450,0:08:28.090
שווה לחלקי של N, ביחס ל X, נכון?

0:08:28.090,0:08:31.976
החלקי של פסאיי, ביחס ל Y, שווה ל N.

0:08:31.976,0:08:34.760
אז אם ניקח את החלקי, ביחס ל X, של שני אלו,

0:08:34.760,0:08:40.964
אנו יודעים מזה שאלו צריכים להיות שווים, אם פסאיי,

0:08:40.964,0:08:44.400
והחלקיים שלו מתמשכים לאתרים אלו.

0:08:44.400,0:08:49.320
אז זה גם יהיה שווה.

0:08:49.320,0:08:51.990
אז זה למעשה המבחן לבחון אם

0:08:51.990,0:08:53.930
זוהי משוואה מדויקת.

0:08:53.930,0:08:56.750
אז נכתוב את כל זה מחדש ונסכם מעט

0:08:56.750,0:09:04.870
אז אם אתם רואים משהו בצורה של, M של X, Y ועוד N של X,

0:09:04.870,0:09:09.580
Y, כפול DY, DX שווה ל 0.

0:09:09.580,0:09:13.110
ואז אתם לוקחים את הנגזרת החלקית של M, ביחס

0:09:13.110,0:09:18.280
ל Y, ואז אתם לוקחים את הנגזרת החלקית של N,

0:09:18.280,0:09:24.030
ביחס ל X, והם שווים אחד לשני, ואז..

0:09:24.030,0:09:26.410
וזה למעשה, רק אם, אז זה ילך לשני הכיוונים..

0:09:26.410,0:09:30.930
זוהי משוואה מדויקת, משוואה דיפרנציאלית מדויקת.

0:09:30.930,0:09:32.410
זוהי משוואה מדויקת.

0:09:32.410,0:09:35.510
ואם זוהי משוואה מדויקת, זה אומר לנו שיש

0:09:35.510,0:09:47.140
פסאיי, כזה שהנגזרת של פסאיי של X, Y שווה

0:09:47.140,0:09:52.200
ל 0, או פסאיי של X ,Y, שווה ל c, זה הפתרון

0:09:52.200,0:09:53.050
של המשוואה הזו.

0:09:53.050,0:09:58.480
והנגזרת החלקית של פסאיי, ביחס ל X,

0:09:58.480,0:09:59.740
שווה ל M.

0:09:59.740,0:10:03.760
והנגזרת החלקית של פסאיי, ביחס ל Y,

0:10:03.760,0:10:05.340
שווה ל N.

0:10:05.340,0:10:07.550
ונראה בסרטון הבא איך להשתמש במידע

0:10:07.550,0:10:09.810
הזה כדי לפתור עבור פסאיי.

0:10:09.810,0:10:11.640
אז יש פה כמה דברים להדגשה.

0:10:11.640,0:10:13.720
זו תהיה הנגזרת החלקית של פסאיי,

0:10:13.720,0:10:17.620
ביחס ל X, אבל אם אנו עושים את מבחן הדיוק,

0:10:17.620,0:10:19.590
אנו לוקחים זאת ביחס ל Y, כיוון שאנו רוצים

0:10:19.590,0:10:21.080
לקחת את הנגזרות המעורבות האלו.

0:10:21.080,0:10:23.410
באופן דומה, זה יהיה הנגזרת החלקית של פסאיי,

0:10:23.410,0:10:27.030
ביחס ל Y, אבל כאשר אנו עושים את המבחן, אנו לוקחים את

0:10:27.030,0:10:29.500
החלקי של זה ביחס ל X כך שנקבל

0:10:29.500,0:10:30.730
את הנגזרת המעורבת.

0:10:30.730,0:10:32.570
זה ביחס ל Y, ואז ביחס

0:10:32.570,0:10:33.920
ל X, אז קיבלתם זאת.

0:10:33.920,0:10:36.300
יכול להיות שזה קצת מסובך,

0:10:36.300,0:10:38.360
אבל אם הצלחתם לעקוב על מה שעשינו פה

0:10:38.360,0:10:41.390
אז יש לכם את האינטואיציה וההבנה של איך

0:10:41.390,0:10:43.470
עובדת השיטה של משוואות מדויקות.

0:10:43.470,0:10:45.950
נתראה בסרטון הבא

0:10:45.950,0:10:49.400
ונפתור כמה משוואות מדויקות.