WEBVTT

00:00:00.710 --> 00:00:04.070
בסרטון האחרון התוודענו לרעיון של

00:00:04.070 --> 00:00:05.520
חוק השרשרת עם נגזרות חלקיות.

00:00:05.520 --> 00:00:10.080
ואמרנו שאם יש לנו פונקציה, פסאיי, אות יוונית,

00:00:10.080 --> 00:00:14.020
פסאיי, זו פונקציה של X ושל Y.

00:00:14.020 --> 00:00:16.770
ואם נרצה לקחת את החלקי של זה, ביחס

00:00:16.770 --> 00:00:19.360
ל...לא, אנו רוצים את הנגזרת, לא את החלקי..

00:00:19.360 --> 00:00:23.430
את הנגזרת של זה, ביחס ל X, זה שווה

00:00:23.430 --> 00:00:29.540
לחלקי של פסאיי, ביחס ל X, ועוד החלקי

00:00:29.540 --> 00:00:35.400
של פסאיי, ביחס ל Y, כפול DY, DX.

00:00:35.400 --> 00:00:37.630
ובסרטון האחרון לא הוכחנו את זה, אבל

00:00:37.630 --> 00:00:40.000
קיבלנו מעט אינטואיציה כדי

00:00:40.000 --> 00:00:40.960
שנוכל להאמין.

00:00:40.960 --> 00:00:43.030
אבל אולי יום אחד נוכיח את זה יותר

00:00:43.030 --> 00:00:46.120
בקפידה, אבל ניתן למצוא הוכחות ברשת

00:00:46.120 --> 00:00:49.960
עבור חוק השרשרת עם נגזרות חלקיות.

00:00:49.960 --> 00:00:51.950
אז בואו נשים את זה בצד ונחקור

00:00:51.950 --> 00:00:54.800
איכות אחרת של נגזרות חלקיות, ואז אנו מוכנים

00:00:54.800 --> 00:00:57.080
לקבל את האינטואיציה שעומדת מאחורי המשוואה המדויקת.

00:00:57.080 --> 00:00:59.070
כיוון שאתם עומדים למצוא, זה דיי מיידי

00:00:59.070 --> 00:01:02.210
לפתור משוואות מדויקות, אבל האינטואיציה זה קצת

00:01:02.210 --> 00:01:05.140
יותר..זה לא קשה, כיוון שאם יש

00:01:05.140 --> 00:01:06.890
לכם אינטואיציה, יש לכם את זה.

00:01:06.890 --> 00:01:11.490
אז מה אם היה לנו, נגיד, את הפונקציה הזו, פסאיי, ואנו

00:01:11.490 --> 00:01:16.580
צריכים לקחת את הנגזרת החלקית של פסאיי, ביחס ל X, כדבר ראשון.

00:01:16.580 --> 00:01:17.510
נכתוב פסאיי.

00:01:17.510 --> 00:01:19.640
אין צורך לכתוב X ו Y כל פעם.

00:01:19.640 --> 00:01:22.890
ואז צריך לקחת את הנגזרת החלקית

00:01:22.890 --> 00:01:25.485
ביחס ל Y.

00:01:28.920 --> 00:01:32.730
אז רק כציון, ניתן לכתוב זאת, ניתן

00:01:32.730 --> 00:01:34.620
לחשוב על זה כאילו אתם מכפילים את המקדמים, אז

00:01:34.620 --> 00:01:36.050
ניתן לכתוב את זה כך.

00:01:36.050 --> 00:01:42.400
הדי החלקי בריבוע כפול פסאיי, או די בריבוע פסאיי, לחלק

00:01:42.400 --> 00:01:47.540
די Y די, או DX מפותל.

00:01:47.540 --> 00:01:50.330
וניתן לכתוב זאת גם כ-- וזו הציון המועדף עליי

00:01:50.330 --> 00:01:53.040
כיוון שאין בזה את כל העודפים המיותרים האלה

00:01:53.040 --> 00:01:53.800
בכל מקום.

00:01:53.800 --> 00:01:56.350
ניתן פשוט לומר, שלוקחים קודם את החלקי,

00:01:56.350 --> 00:02:00.050
ביחס ל X. זה פשוט אומר החלקי של פסאיי,

00:02:00.050 --> 00:02:01.240
ביחס ל X.

00:02:01.240 --> 00:02:04.060
ואז לוקחים את החלקי, ביחס ל Y.

00:02:04.060 --> 00:02:05.870
זוהי דרך אחת להתיחס.

00:02:05.870 --> 00:02:07.970
מה יקרה אם ניקח את החלקי, ביחס ל X,

00:02:07.970 --> 00:02:08.650
ואז Y?

00:02:08.650 --> 00:02:13.100
אז ביחס ל X, יש לנו Y קבוע כדי לקבל

00:02:13.100 --> 00:02:14.190
את החלקי, ביחס ל X.

00:02:14.190 --> 00:02:15.000
התעלמו מה Y שם.

00:02:15.000 --> 00:02:17.060
ואז אתם מחזיקים ב X קבוע, ואתם לוקחים את החלקי

00:02:17.060 --> 00:02:18.670
ביחס ל Y.

00:02:18.670 --> 00:02:21.480
אז מה ההבדל בין זה ואם

00:02:21.480 --> 00:02:22.370
נחליף את המעלה?

00:02:22.370 --> 00:02:24.970
אז מה יקרה אם אנו....רגע, נחליף

00:02:24.970 --> 00:02:30.400
צבע, אם היה לנו פסאיי, ואנו רוצים לקחת את החלקי,

00:02:30.400 --> 00:02:34.480
ביחס ל Y, קודם, ואז ניקח את החלקי,

00:02:34.480 --> 00:02:36.510
ביחס ל X?

00:02:36.510 --> 00:02:40.640
אז הסימן, כדי יהיה לכם נוח,

00:02:40.640 --> 00:02:44.660
זה יהיה.. חלקי של X, חלקי של Y.

00:02:44.660 --> 00:02:46.360
וזה המקדם.

00:02:46.360 --> 00:02:48.750
וזה יכול להיות מעט מבלבל, בין

00:02:48.750 --> 00:02:51.060
שני הסימנים כאן, על אף שהם אותו הדבר,

00:02:51.060 --> 00:02:52.740
הסדר מבולבל.

00:02:52.740 --> 00:02:54.060
זה מכיוון שזה רק דרך

00:02:54.060 --> 00:02:54.910
אחרת לחשוב על זה.

00:02:54.910 --> 00:02:57.990
זה אומר, בסדר, קודם חלקי, ביחס ל X, אח"כ Y.

00:02:57.990 --> 00:03:00.160
זה נותן לזה היבט יותר של מקדם, אז אנו לוקחים

00:03:00.160 --> 00:03:03.000
את החלקי של X קודם, ואז לוקחים את Y, כמו

00:03:03.000 --> 00:03:04.950
שאנו מכפילים את המקדמים.

00:03:04.950 --> 00:03:08.840
אבל בכל מקרה, זה יכול להכתב בצורה של החלקי של

00:03:08.840 --> 00:03:13.070
Y, ביחס ל X...סליחה, החלקי של Y, ואז

00:03:13.070 --> 00:03:14.910
אנו לוקחים את החלקי של זה ביחס ל X.

00:03:14.910 --> 00:03:17.980
כעת, אם כל אחד

00:03:17.980 --> 00:03:20.840
מהחלקיים הראשונים הוא מתמשך..ורוב

00:03:20.840 --> 00:03:24.510
הפונקציות שעסקנו בהן באתר רגיל, כל זמן

00:03:24.510 --> 00:03:26.780
שאינן חסרות המשכיות, או חורים, או

00:03:26.780 --> 00:03:29.070
משהו מוזר בהגדרת הפונקציה, הן

00:03:29.070 --> 00:03:30.290
בדרך כלל המשכיות.

00:03:30.290 --> 00:03:32.990
ובעיקר בשנה הראשונה של הקורס בחדו"א או

00:03:32.990 --> 00:03:35.810
בדיפרנציאלים, כנראה שנעסוק בפונקציות

00:03:35.810 --> 00:03:37.620
המשכיות, באתר שלנו.

00:03:37.620 --> 00:03:40.480
אם שתי הפונקציות הינן המשכיות, אם שני החלקים

00:03:40.480 --> 00:03:45.410
הראשונים הם המשכיים, אז שני אלו יהיו

00:03:45.410 --> 00:03:47.170
שווים אחד לשני.

00:03:47.170 --> 00:03:54.950
אז פסאיי של X Y יהיה שווה לפסאיי של YX.

00:03:54.950 --> 00:04:01.220
כעת ניתן להשתמש במידע הזה, שזה

00:04:01.220 --> 00:04:04.870
חוק השרשרת בשימוש בנגזרות חלקיות,

00:04:04.870 --> 00:04:09.060
והידע הזה עד כה מאפשר פתרון של קבוצה מסוימת

00:04:09.060 --> 00:04:13.060
של משוואות דיפרנציאליות, משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון,

00:04:13.060 --> 00:04:14.270
הנקראות משוואות מדויקות.

00:04:14.270 --> 00:04:17.860
ואיך משוואות מדויקות נראות?

00:04:17.860 --> 00:04:21.990
משוואות מדויקות נראות כך.

00:04:21.990 --> 00:04:23.710
בחירת צבע זה הדבר הקשה.

00:04:23.710 --> 00:04:26.290
נניח שזו המשוואה הדיפרנציאלית שלנו.

00:04:26.290 --> 00:04:29.550
יש לנו כמה פונקציות של X ושל Y.

00:04:29.550 --> 00:04:31.830
אז נניח, זה יכול להיות X בריבוע כפול

00:04:31.830 --> 00:04:32.920
cos של Y או משהו.

00:04:32.920 --> 00:04:34.650
זה יכול להיות של פונקציה של X ו Y.

00:04:34.650 --> 00:04:40.350
ועוד כמה פונקציות של X ו Y, נקרא לזה n, כפול DY,

00:04:40.350 --> 00:04:44.900
DX שווה ל 0.

00:04:44.900 --> 00:04:47.520
וזה...לא ברור אם זה כבר משוואה מדויקת,

00:04:47.520 --> 00:04:50.880
אבל אם רואים משהו בצורה הזו, הרושם הראשון

00:04:50.880 --> 00:04:52.990
צריך להיות ,

00:04:52.990 --> 00:04:54.500
האם זה ניתן להפרדה?

00:04:54.500 --> 00:04:56.180
ואתם צריכים לשחק מעט עם האלגברה

00:04:56.180 --> 00:04:57.620
לראות אם זה ניתן להפרדה, כיוון

00:04:57.620 --> 00:04:59.210
שזו תמיד הדרך הנוחה ביותר.

00:04:59.210 --> 00:05:01.770
אם זה לא ניתן להפרדה, אבל עדיין אתם יכולים לכתוב זאת בצורה הזו,

00:05:01.770 --> 00:05:04.460
אתם שואלים האם זו משוואה מדויקת?

00:05:04.460 --> 00:05:06.340
ומהי משוואה מדויקת?

00:05:06.340 --> 00:05:07.270
הביטו,

00:05:07.270 --> 00:05:11.600
התבנית הזו כאן נראית

00:05:11.600 --> 00:05:14.000
ממש כמו התבנית הזו.

00:05:14.000 --> 00:05:18.210
מה אם M היא החלקי של פסאיי, ביחס ל X?

00:05:18.210 --> 00:05:24.920
מה אם פסאיי, ביחס ל X, שווה ל M?

00:05:24.920 --> 00:05:26.710
מה אם זה היה פסאיי, ביחס ל X?

00:05:26.710 --> 00:05:29.570
ומה אם זה היה פסאיי, ביחס ל Y?

00:05:29.570 --> 00:05:32.500
אז פסאיי, ביחס ל Y, שווה ל N.

00:05:32.500 --> 00:05:33.060
ומה אם?

00:05:33.060 --> 00:05:34.670
הכוונה שאנו לא יודעים בוודאות, נכון?

00:05:34.670 --> 00:05:37.500
אם רואים את זה באופן אקראי, לא נדע

00:05:37.500 --> 00:05:40.200
שזה החלקי של פונקציה ביחס ל X,

00:05:40.200 --> 00:05:43.060
וזה החלקי, ביחס ל Y של

00:05:43.060 --> 00:05:43.830
איזה פונקציה.

00:05:43.830 --> 00:05:45.810
אבל אנו רק אומרים, מה אם?

00:05:45.810 --> 00:05:49.650
אם זה היה נכון, אז היינו יכולים לכתוב זאת מחדש

00:05:49.650 --> 00:05:52.870
כחלקי של פסאיי, ביחס ל X, ועוד החלקי של פסאיי,

00:05:52.870 --> 00:05:58.680
ביחס ל Y, כפול DY, DX, שווה ל 0.

00:05:58.680 --> 00:06:02.050
והדבר הזה כאן, הצד השמאלי כאן, זה

00:06:02.050 --> 00:06:04.790
אותו הדבר כמו זה, נכון?

00:06:04.790 --> 00:06:08.290
זה רק הנגזרת של פסאיי, ביחס ל X,

00:06:08.290 --> 00:06:10.940
כאשר משתמשים בחוק השרשרת של נגזרת חלקית.

00:06:10.940 --> 00:06:12.710
אז ניתן לכתוב זאת מחדש.

00:06:12.710 --> 00:06:17.130
ניתן לכתוב, זו הנגזרת של פסאיי,

00:06:17.130 --> 00:06:20.480
ביחס ל X, בתוך הפונקציה של של X,

00:06:20.480 --> 00:06:23.410
Y, שווה ל 0.

00:06:23.410 --> 00:06:27.730
אז אם רואים משוואה דיפרנציאלית, ויש לה

00:06:27.730 --> 00:06:31.070
את הצורה הזו, ואנו לא יכולים להפריד אותה, אבל

00:06:31.070 --> 00:06:32.030
אולי זו משוואה מדויקת.

00:06:32.030 --> 00:06:35.940
והאמת שזה מה שנחשב קודם

00:06:35.940 --> 00:06:38.800
למשוואה מדויקת.

00:06:38.800 --> 00:06:40.940
אבל אם אתם רואים צורה זו, אתם חושבים שאולי

00:06:40.940 --> 00:06:42.070
זו משוואה מדויקת.

00:06:42.070 --> 00:06:44.580
אם זוהי משוואה מדויקת,..ותיכף נראה איך בוחנים זאת

00:06:44.580 --> 00:06:48.350
כשנשתמש בנתונים האלו..אז זה יכול

00:06:48.350 --> 00:06:52.550
להכתב כנגזרת של כמה פונקציות, פסאיי,

00:06:52.550 --> 00:06:54.840
שבו זה החלקי של פסאיי, ביחס ל X.

00:06:54.840 --> 00:06:57.720
זה החלקי של פסאיי, ביחס ל Y.

00:06:57.720 --> 00:06:59.655
ואז אם אתם יכולים לכתוב זאת כך, ואתם

00:06:59.655 --> 00:07:01.370
לוקחים את הנגזרת של שני הצדדים, סליחה, אתם לוקחים

00:07:01.370 --> 00:07:06.890
את האנטי נגזרת של שני הצדדים, ותקבלו פסאיי של X,

00:07:06.890 --> 00:07:10.070
Y שווה ל c כפתרון.

00:07:10.070 --> 00:07:12.770
אז ישנם שני דברים שצריך לשים לב אליהם.

00:07:12.770 --> 00:07:16.470
ואז אתם תוהים,

00:07:16.470 --> 00:07:19.550
עברתם על פסאיי, ועל חלקיים, וכל זה.

00:07:19.550 --> 00:07:22.020
ראשית, איך נדע שזו משוואה מדויקת?

00:07:22.020 --> 00:07:24.590
ושנית, אם זו משוואה מדויקת, שאומרת לנו

00:07:24.590 --> 00:07:28.290
שיש איזה פסאיי, אז איך אנו נגיע לפתרון של פסאיי?

00:07:28.290 --> 00:07:32.380
הדרך לדעת זאת, היא באמצעות משוואה מדויקת, זה להשתמש

00:07:32.380 --> 00:07:34.690
במידע הזה שכאן.

00:07:34.690 --> 00:07:38.150
אנו יודעים שאם פסאיי, והנגזרות שלו מתמשכים לאורך

00:07:38.150 --> 00:07:42.100
כמה אתרים, שכאשר אתם לוקחים את החלקי,

00:07:42.100 --> 00:07:45.760
ביחס ל X ואז ל Y, זה אותו הדבר כמו לעשות

00:07:45.760 --> 00:07:46.980
את זה בסדר האחר.

00:07:46.980 --> 00:07:48.930
אז אנו אומרים, זה החלקי,

00:07:48.930 --> 00:07:52.490
ביחס ל X, נכון?

00:07:52.610 --> 00:07:55.920
וזה החלקי, ביחס ל Y.

00:07:55.920 --> 00:07:59.880
אז אם זוהי משוואה מדויקת, אם זוהי המשוואה

00:07:59.880 --> 00:08:03.250
המדויקת, אם היינו לוקחים את החלקיים של זה, ביחס

00:08:03.250 --> 00:08:05.330
ל Y, נכון?

00:08:05.330 --> 00:08:11.600
אם ניקח את החלקי של M, ביחס ל Y, אז

00:08:11.600 --> 00:08:15.560
החלקי של פסאיי, ביחס ל X, שווה ל M.

00:08:15.560 --> 00:08:18.490
אם ניקח את החלקי של אלו, ביחס ל Y,

00:08:18.490 --> 00:08:22.450
אז נוכל לכתוב זאת בדרך הזו, ואז זה צריך להיות

00:08:22.450 --> 00:08:28.090
שווה לחלקי של N, ביחס ל X, נכון?

00:08:28.090 --> 00:08:31.976
החלקי של פסאיי, ביחס ל Y, שווה ל N.

00:08:31.976 --> 00:08:34.760
אז אם ניקח את החלקי, ביחס ל X, של שני אלו,

00:08:34.760 --> 00:08:40.964
אנו יודעים מזה שאלו צריכים להיות שווים, אם פסאיי,

00:08:40.964 --> 00:08:44.400
והחלקיים שלו מתמשכים לאתרים אלו.

00:08:44.400 --> 00:08:49.320
אז זה גם יהיה שווה.

00:08:49.320 --> 00:08:51.990
אז זה למעשה המבחן לבחון אם

00:08:51.990 --> 00:08:53.930
זוהי משוואה מדויקת.

00:08:53.930 --> 00:08:56.750
אז נכתוב את כל זה מחדש ונסכם מעט

00:08:56.750 --> 00:09:04.870
אז אם אתם רואים משהו בצורה של, M של X, Y ועוד N של X,

00:09:04.870 --> 00:09:09.580
Y, כפול DY, DX שווה ל 0.

00:09:09.580 --> 00:09:13.110
ואז אתם לוקחים את הנגזרת החלקית של M, ביחס

00:09:13.110 --> 00:09:18.280
ל Y, ואז אתם לוקחים את הנגזרת החלקית של N,

00:09:18.280 --> 00:09:24.030
ביחס ל X, והם שווים אחד לשני, ואז..

00:09:24.030 --> 00:09:26.410
וזה למעשה, רק אם, אז זה ילך לשני הכיוונים..

00:09:26.410 --> 00:09:30.930
זוהי משוואה מדויקת, משוואה דיפרנציאלית מדויקת.

00:09:30.930 --> 00:09:32.410
זוהי משוואה מדויקת.

00:09:32.410 --> 00:09:35.510
ואם זוהי משוואה מדויקת, זה אומר לנו שיש

00:09:35.510 --> 00:09:47.140
פסאיי, כזה שהנגזרת של פסאיי של X, Y שווה

00:09:47.140 --> 00:09:52.200
ל 0, או פסאיי של X ,Y, שווה ל c, זה הפתרון

00:09:52.200 --> 00:09:53.050
של המשוואה הזו.

00:09:53.050 --> 00:09:58.480
והנגזרת החלקית של פסאיי, ביחס ל X,

00:09:58.480 --> 00:09:59.740
שווה ל M.

00:09:59.740 --> 00:10:03.760
והנגזרת החלקית של פסאיי, ביחס ל Y,

00:10:03.760 --> 00:10:05.340
שווה ל N.

00:10:05.340 --> 00:10:07.550
ונראה בסרטון הבא איך להשתמש במידע

00:10:07.550 --> 00:10:09.810
הזה כדי לפתור עבור פסאיי.

00:10:09.810 --> 00:10:11.640
אז יש פה כמה דברים להדגשה.

00:10:11.640 --> 00:10:13.720
זו תהיה הנגזרת החלקית של פסאיי,

00:10:13.720 --> 00:10:17.620
ביחס ל X, אבל אם אנו עושים את מבחן הדיוק,

00:10:17.620 --> 00:10:19.590
אנו לוקחים זאת ביחס ל Y, כיוון שאנו רוצים

00:10:19.590 --> 00:10:21.080
לקחת את הנגזרות המעורבות האלו.

00:10:21.080 --> 00:10:23.410
באופן דומה, זה יהיה הנגזרת החלקית של פסאיי,

00:10:23.410 --> 00:10:27.030
ביחס ל Y, אבל כאשר אנו עושים את המבחן, אנו לוקחים את

00:10:27.030 --> 00:10:29.500
החלקי של זה ביחס ל X כך שנקבל

00:10:29.500 --> 00:10:30.730
את הנגזרת המעורבת.

00:10:30.730 --> 00:10:32.570
זה ביחס ל Y, ואז ביחס

00:10:32.570 --> 00:10:33.920
ל X, אז קיבלתם זאת.

00:10:33.920 --> 00:10:36.300
יכול להיות שזה קצת מסובך,

00:10:36.300 --> 00:10:38.360
אבל אם הצלחתם לעקוב על מה שעשינו פה

00:10:38.360 --> 00:10:41.390
אז יש לכם את האינטואיציה וההבנה של איך

00:10:41.390 --> 00:10:43.470
עובדת השיטה של משוואות מדויקות.

00:10:43.470 --> 00:10:45.950
נתראה בסרטון הבא

00:10:45.950 --> 00:10:49.400
ונפתור כמה משוואות מדויקות.