1
00:00:00,710 --> 00:00:04,070
בסרטון האחרון התוודענו לרעיון של

2
00:00:04,070 --> 00:00:05,520
חוק השרשרת עם נגזרות חלקיות.

3
00:00:05,520 --> 00:00:10,080
ואמרנו שאם יש לנו פונקציה, פסאיי, אות יוונית,

4
00:00:10,080 --> 00:00:14,020
פסאיי, זו פונקציה של X ושל Y.

5
00:00:14,020 --> 00:00:16,770
ואם נרצה לקחת את החלקי של זה, ביחס

6
00:00:16,770 --> 00:00:19,360
ל...לא, אנו רוצים את הנגזרת, לא את החלקי..

7
00:00:19,360 --> 00:00:23,430
את הנגזרת של זה, ביחס ל X, זה שווה

8
00:00:23,430 --> 00:00:29,540
לחלקי של פסאיי, ביחס ל X, ועוד החלקי

9
00:00:29,540 --> 00:00:35,400
של פסאיי, ביחס ל Y, כפול DY, DX.

10
00:00:35,400 --> 00:00:37,630
ובסרטון האחרון לא הוכחנו את זה, אבל

11
00:00:37,630 --> 00:00:40,000
קיבלנו מעט אינטואיציה כדי

12
00:00:40,000 --> 00:00:40,960
שנוכל להאמין.

13
00:00:40,960 --> 00:00:43,030
אבל אולי יום אחד נוכיח את זה יותר

14
00:00:43,030 --> 00:00:46,120
בקפידה, אבל ניתן למצוא הוכחות ברשת

15
00:00:46,120 --> 00:00:49,960
עבור חוק השרשרת עם נגזרות חלקיות.

16
00:00:49,960 --> 00:00:51,950
אז בואו נשים את זה בצד ונחקור

17
00:00:51,950 --> 00:00:54,800
איכות אחרת של נגזרות חלקיות, ואז אנו מוכנים

18
00:00:54,800 --> 00:00:57,080
לקבל את האינטואיציה שעומדת מאחורי המשוואה המדויקת.

19
00:00:57,080 --> 00:00:59,070
כיוון שאתם עומדים למצוא, זה דיי מיידי

20
00:00:59,070 --> 00:01:02,210
לפתור משוואות מדויקות, אבל האינטואיציה זה קצת

21
00:01:02,210 --> 00:01:05,140
יותר..זה לא קשה, כיוון שאם יש

22
00:01:05,140 --> 00:01:06,890
לכם אינטואיציה, יש לכם את זה.

23
00:01:06,890 --> 00:01:11,490
אז מה אם היה לנו, נגיד, את הפונקציה הזו, פסאיי, ואנו

24
00:01:11,490 --> 00:01:16,580
צריכים לקחת את הנגזרת החלקית של פסאיי, ביחס ל X, כדבר ראשון.

25
00:01:16,580 --> 00:01:17,510
נכתוב פסאיי.

26
00:01:17,510 --> 00:01:19,640
אין צורך לכתוב X ו Y כל פעם.

27
00:01:19,640 --> 00:01:22,890
ואז צריך לקחת את הנגזרת החלקית

28
00:01:22,890 --> 00:01:25,485
ביחס ל Y.

29
00:01:28,920 --> 00:01:32,730
אז רק כציון, ניתן לכתוב זאת, ניתן

30
00:01:32,730 --> 00:01:34,620
לחשוב על זה כאילו אתם מכפילים את המקדמים, אז

31
00:01:34,620 --> 00:01:36,050
ניתן לכתוב את זה כך.

32
00:01:36,050 --> 00:01:42,400
הדי החלקי בריבוע כפול פסאיי, או די בריבוע פסאיי, לחלק

33
00:01:42,400 --> 00:01:47,540
די Y די, או DX מפותל.

34
00:01:47,540 --> 00:01:50,330
וניתן לכתוב זאת גם כ-- וזו הציון המועדף עליי

35
00:01:50,330 --> 00:01:53,040
כיוון שאין בזה את כל העודפים המיותרים האלה

36
00:01:53,040 --> 00:01:53,800
בכל מקום.

37
00:01:53,800 --> 00:01:56,350
ניתן פשוט לומר, שלוקחים קודם את החלקי,

38
00:01:56,350 --> 00:02:00,050
ביחס ל X. זה פשוט אומר החלקי של פסאיי,

39
00:02:00,050 --> 00:02:01,240
ביחס ל X.

40
00:02:01,240 --> 00:02:04,060
ואז לוקחים את החלקי, ביחס ל Y.

41
00:02:04,060 --> 00:02:05,870
זוהי דרך אחת להתיחס.

42
00:02:05,870 --> 00:02:07,970
מה יקרה אם ניקח את החלקי, ביחס ל X,

43
00:02:07,970 --> 00:02:08,650
ואז Y?

44
00:02:08,650 --> 00:02:13,100
אז ביחס ל X, יש לנו Y קבוע כדי לקבל

45
00:02:13,100 --> 00:02:14,190
את החלקי, ביחס ל X.

46
00:02:14,190 --> 00:02:15,000
התעלמו מה Y שם.

47
00:02:15,000 --> 00:02:17,060
ואז אתם מחזיקים ב X קבוע, ואתם לוקחים את החלקי

48
00:02:17,060 --> 00:02:18,670
ביחס ל Y.

49
00:02:18,670 --> 00:02:21,480
אז מה ההבדל בין זה ואם

50
00:02:21,480 --> 00:02:22,370
נחליף את המעלה?

51
00:02:22,370 --> 00:02:24,970
אז מה יקרה אם אנו....רגע, נחליף

52
00:02:24,970 --> 00:02:30,400
צבע, אם היה לנו פסאיי, ואנו רוצים לקחת את החלקי,

53
00:02:30,400 --> 00:02:34,480
ביחס ל Y, קודם, ואז ניקח את החלקי,

54
00:02:34,480 --> 00:02:36,510
ביחס ל X?

55
00:02:36,510 --> 00:02:40,640
אז הסימן, כדי יהיה לכם נוח,

56
00:02:40,640 --> 00:02:44,660
זה יהיה.. חלקי של X, חלקי של Y.

57
00:02:44,660 --> 00:02:46,360
וזה המקדם.

58
00:02:46,360 --> 00:02:48,750
וזה יכול להיות מעט מבלבל, בין

59
00:02:48,750 --> 00:02:51,060
שני הסימנים כאן, על אף שהם אותו הדבר,

60
00:02:51,060 --> 00:02:52,740
הסדר מבולבל.

61
00:02:52,740 --> 00:02:54,060
זה מכיוון שזה רק דרך

62
00:02:54,060 --> 00:02:54,910
אחרת לחשוב על זה.

63
00:02:54,910 --> 00:02:57,990
זה אומר, בסדר, קודם חלקי, ביחס ל X, אח"כ Y.

64
00:02:57,990 --> 00:03:00,160
זה נותן לזה היבט יותר של מקדם, אז אנו לוקחים

65
00:03:00,160 --> 00:03:03,000
את החלקי של X קודם, ואז לוקחים את Y, כמו

66
00:03:03,000 --> 00:03:04,950
שאנו מכפילים את המקדמים.

67
00:03:04,950 --> 00:03:08,840
אבל בכל מקרה, זה יכול להכתב בצורה של החלקי של

68
00:03:08,840 --> 00:03:13,070
Y, ביחס ל X...סליחה, החלקי של Y, ואז

69
00:03:13,070 --> 00:03:14,910
אנו לוקחים את החלקי של זה ביחס ל X.

70
00:03:14,910 --> 00:03:17,980
כעת, אם כל אחד

71
00:03:17,980 --> 00:03:20,840
מהחלקיים הראשונים הוא מתמשך..ורוב

72
00:03:20,840 --> 00:03:24,510
הפונקציות שעסקנו בהן באתר רגיל, כל זמן

73
00:03:24,510 --> 00:03:26,780
שאינן חסרות המשכיות, או חורים, או

74
00:03:26,780 --> 00:03:29,070
משהו מוזר בהגדרת הפונקציה, הן

75
00:03:29,070 --> 00:03:30,290
בדרך כלל המשכיות.

76
00:03:30,290 --> 00:03:32,990
ובעיקר בשנה הראשונה של הקורס בחדו"א או

77
00:03:32,990 --> 00:03:35,810
בדיפרנציאלים, כנראה שנעסוק בפונקציות

78
00:03:35,810 --> 00:03:37,620
המשכיות, באתר שלנו.

79
00:03:37,620 --> 00:03:40,480
אם שתי הפונקציות הינן המשכיות, אם שני החלקים

80
00:03:40,480 --> 00:03:45,410
הראשונים הם המשכיים, אז שני אלו יהיו

81
00:03:45,410 --> 00:03:47,170
שווים אחד לשני.

82
00:03:47,170 --> 00:03:54,950
אז פסאיי של X Y יהיה שווה לפסאיי של YX.

83
00:03:54,950 --> 00:04:01,220
כעת ניתן להשתמש במידע הזה, שזה

84
00:04:01,220 --> 00:04:04,870
חוק השרשרת בשימוש בנגזרות חלקיות,

85
00:04:04,870 --> 00:04:09,060
והידע הזה עד כה מאפשר פתרון של קבוצה מסוימת

86
00:04:09,060 --> 00:04:13,060
של משוואות דיפרנציאליות, משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון,

87
00:04:13,060 --> 00:04:14,270
הנקראות משוואות מדויקות.

88
00:04:14,270 --> 00:04:17,860
ואיך משוואות מדויקות נראות?

89
00:04:17,860 --> 00:04:21,990
משוואות מדויקות נראות כך.

90
00:04:21,990 --> 00:04:23,710
בחירת צבע זה הדבר הקשה.

91
00:04:23,710 --> 00:04:26,290
נניח שזו המשוואה הדיפרנציאלית שלנו.

92
00:04:26,290 --> 00:04:29,550
יש לנו כמה פונקציות של X ושל Y.

93
00:04:29,550 --> 00:04:31,830
אז נניח, זה יכול להיות X בריבוע כפול

94
00:04:31,830 --> 00:04:32,920
cos של Y או משהו.

95
00:04:32,920 --> 00:04:34,650
זה יכול להיות של פונקציה של X ו Y.

96
00:04:34,650 --> 00:04:40,350
ועוד כמה פונקציות של X ו Y, נקרא לזה n, כפול DY,

97
00:04:40,350 --> 00:04:44,900
DX שווה ל 0.

98
00:04:44,900 --> 00:04:47,520
וזה...לא ברור אם זה כבר משוואה מדויקת,

99
00:04:47,520 --> 00:04:50,880
אבל אם רואים משהו בצורה הזו, הרושם הראשון

100
00:04:50,880 --> 00:04:52,990
צריך להיות ,

101
00:04:52,990 --> 00:04:54,500
האם זה ניתן להפרדה?

102
00:04:54,500 --> 00:04:56,180
ואתם צריכים לשחק מעט עם האלגברה

103
00:04:56,180 --> 00:04:57,620
לראות אם זה ניתן להפרדה, כיוון

104
00:04:57,620 --> 00:04:59,210
שזו תמיד הדרך הנוחה ביותר.

105
00:04:59,210 --> 00:05:01,770
אם זה לא ניתן להפרדה, אבל עדיין אתם יכולים לכתוב זאת בצורה הזו,

106
00:05:01,770 --> 00:05:04,460
אתם שואלים האם זו משוואה מדויקת?

107
00:05:04,460 --> 00:05:06,340
ומהי משוואה מדויקת?

108
00:05:06,340 --> 00:05:07,270
הביטו,

109
00:05:07,270 --> 00:05:11,600
התבנית הזו כאן נראית

110
00:05:11,600 --> 00:05:14,000
ממש כמו התבנית הזו.

111
00:05:14,000 --> 00:05:18,210
מה אם M היא החלקי של פסאיי, ביחס ל X?

112
00:05:18,210 --> 00:05:24,920
מה אם פסאיי, ביחס ל X, שווה ל M?

113
00:05:24,920 --> 00:05:26,710
מה אם זה היה פסאיי, ביחס ל X?

114
00:05:26,710 --> 00:05:29,570
ומה אם זה היה פסאיי, ביחס ל Y?

115
00:05:29,570 --> 00:05:32,500
אז פסאיי, ביחס ל Y, שווה ל N.

116
00:05:32,500 --> 00:05:33,060
ומה אם?

117
00:05:33,060 --> 00:05:34,670
הכוונה שאנו לא יודעים בוודאות, נכון?

118
00:05:34,670 --> 00:05:37,500
אם רואים את זה באופן אקראי, לא נדע

119
00:05:37,500 --> 00:05:40,200
שזה החלקי של פונקציה ביחס ל X,

120
00:05:40,200 --> 00:05:43,060
וזה החלקי, ביחס ל Y של

121
00:05:43,060 --> 00:05:43,830
איזה פונקציה.

122
00:05:43,830 --> 00:05:45,810
אבל אנו רק אומרים, מה אם?

123
00:05:45,810 --> 00:05:49,650
אם זה היה נכון, אז היינו יכולים לכתוב זאת מחדש

124
00:05:49,650 --> 00:05:52,870
כחלקי של פסאיי, ביחס ל X, ועוד החלקי של פסאיי,

125
00:05:52,870 --> 00:05:58,680
ביחס ל Y, כפול DY, DX, שווה ל 0.

126
00:05:58,680 --> 00:06:02,050
והדבר הזה כאן, הצד השמאלי כאן, זה

127
00:06:02,050 --> 00:06:04,790
אותו הדבר כמו זה, נכון?

128
00:06:04,790 --> 00:06:08,290
זה רק הנגזרת של פסאיי, ביחס ל X,

129
00:06:08,290 --> 00:06:10,940
כאשר משתמשים בחוק השרשרת של נגזרת חלקית.

130
00:06:10,940 --> 00:06:12,710
אז ניתן לכתוב זאת מחדש.

131
00:06:12,710 --> 00:06:17,130
ניתן לכתוב, זו הנגזרת של פסאיי,

132
00:06:17,130 --> 00:06:20,480
ביחס ל X, בתוך הפונקציה של של X,

133
00:06:20,480 --> 00:06:23,410
Y, שווה ל 0.

134
00:06:23,410 --> 00:06:27,730
אז אם רואים משוואה דיפרנציאלית, ויש לה

135
00:06:27,730 --> 00:06:31,070
את הצורה הזו, ואנו לא יכולים להפריד אותה, אבל

136
00:06:31,070 --> 00:06:32,030
אולי זו משוואה מדויקת.

137
00:06:32,030 --> 00:06:35,940
והאמת שזה מה שנחשב קודם

138
00:06:35,940 --> 00:06:38,800
למשוואה מדויקת.

139
00:06:38,800 --> 00:06:40,940
אבל אם אתם רואים צורה זו, אתם חושבים שאולי

140
00:06:40,940 --> 00:06:42,070
זו משוואה מדויקת.

141
00:06:42,070 --> 00:06:44,580
אם זוהי משוואה מדויקת,..ותיכף נראה איך בוחנים זאת

142
00:06:44,580 --> 00:06:48,350
כשנשתמש בנתונים האלו..אז זה יכול

143
00:06:48,350 --> 00:06:52,550
להכתב כנגזרת של כמה פונקציות, פסאיי,

144
00:06:52,550 --> 00:06:54,840
שבו זה החלקי של פסאיי, ביחס ל X.

145
00:06:54,840 --> 00:06:57,720
זה החלקי של פסאיי, ביחס ל Y.

146
00:06:57,720 --> 00:06:59,655
ואז אם אתם יכולים לכתוב זאת כך, ואתם

147
00:06:59,655 --> 00:07:01,370
לוקחים את הנגזרת של שני הצדדים, סליחה, אתם לוקחים

148
00:07:01,370 --> 00:07:06,890
את האנטי נגזרת של שני הצדדים, ותקבלו פסאיי של X,

149
00:07:06,890 --> 00:07:10,070
Y שווה ל c כפתרון.

150
00:07:10,070 --> 00:07:12,770
אז ישנם שני דברים שצריך לשים לב אליהם.

151
00:07:12,770 --> 00:07:16,470
ואז אתם תוהים,

152
00:07:16,470 --> 00:07:19,550
עברתם על פסאיי, ועל חלקיים, וכל זה.

153
00:07:19,550 --> 00:07:22,020
ראשית, איך נדע שזו משוואה מדויקת?

154
00:07:22,020 --> 00:07:24,590
ושנית, אם זו משוואה מדויקת, שאומרת לנו

155
00:07:24,590 --> 00:07:28,290
שיש איזה פסאיי, אז איך אנו נגיע לפתרון של פסאיי?

156
00:07:28,290 --> 00:07:32,380
הדרך לדעת זאת, היא באמצעות משוואה מדויקת, זה להשתמש

157
00:07:32,380 --> 00:07:34,690
במידע הזה שכאן.

158
00:07:34,690 --> 00:07:38,150
אנו יודעים שאם פסאיי, והנגזרות שלו מתמשכים לאורך

159
00:07:38,150 --> 00:07:42,100
כמה אתרים, שכאשר אתם לוקחים את החלקי,

160
00:07:42,100 --> 00:07:45,760
ביחס ל X ואז ל Y, זה אותו הדבר כמו לעשות

161
00:07:45,760 --> 00:07:46,980
את זה בסדר האחר.

162
00:07:46,980 --> 00:07:48,930
אז אנו אומרים, זה החלקי,

163
00:07:48,930 --> 00:07:52,490
ביחס ל X, נכון?

164
00:07:52,610 --> 00:07:55,920
וזה החלקי, ביחס ל Y.

165
00:07:55,920 --> 00:07:59,880
אז אם זוהי משוואה מדויקת, אם זוהי המשוואה

166
00:07:59,880 --> 00:08:03,250
המדויקת, אם היינו לוקחים את החלקיים של זה, ביחס

167
00:08:03,250 --> 00:08:05,330
ל Y, נכון?

168
00:08:05,330 --> 00:08:11,600
אם ניקח את החלקי של M, ביחס ל Y, אז

169
00:08:11,600 --> 00:08:15,560
החלקי של פסאיי, ביחס ל X, שווה ל M.

170
00:08:15,560 --> 00:08:18,490
אם ניקח את החלקי של אלו, ביחס ל Y,

171
00:08:18,490 --> 00:08:22,450
אז נוכל לכתוב זאת בדרך הזו, ואז זה צריך להיות

172
00:08:22,450 --> 00:08:28,090
שווה לחלקי של N, ביחס ל X, נכון?

173
00:08:28,090 --> 00:08:31,976
החלקי של פסאיי, ביחס ל Y, שווה ל N.

174
00:08:31,976 --> 00:08:34,760
אז אם ניקח את החלקי, ביחס ל X, של שני אלו,

175
00:08:34,760 --> 00:08:40,964
אנו יודעים מזה שאלו צריכים להיות שווים, אם פסאיי,

176
00:08:40,964 --> 00:08:44,400
והחלקיים שלו מתמשכים לאתרים אלו.

177
00:08:44,400 --> 00:08:49,320
אז זה גם יהיה שווה.

178
00:08:49,320 --> 00:08:51,990
אז זה למעשה המבחן לבחון אם

179
00:08:51,990 --> 00:08:53,930
זוהי משוואה מדויקת.

180
00:08:53,930 --> 00:08:56,750
אז נכתוב את כל זה מחדש ונסכם מעט

181
00:08:56,750 --> 00:09:04,870
אז אם אתם רואים משהו בצורה של, M של X, Y ועוד N של X,

182
00:09:04,870 --> 00:09:09,580
Y, כפול DY, DX שווה ל 0.

183
00:09:09,580 --> 00:09:13,110
ואז אתם לוקחים את הנגזרת החלקית של M, ביחס

184
00:09:13,110 --> 00:09:18,280
ל Y, ואז אתם לוקחים את הנגזרת החלקית של N,

185
00:09:18,280 --> 00:09:24,030
ביחס ל X, והם שווים אחד לשני, ואז..

186
00:09:24,030 --> 00:09:26,410
וזה למעשה, רק אם, אז זה ילך לשני הכיוונים..

187
00:09:26,410 --> 00:09:30,930
זוהי משוואה מדויקת, משוואה דיפרנציאלית מדויקת.

188
00:09:30,930 --> 00:09:32,410
זוהי משוואה מדויקת.

189
00:09:32,410 --> 00:09:35,510
ואם זוהי משוואה מדויקת, זה אומר לנו שיש

190
00:09:35,510 --> 00:09:47,140
פסאיי, כזה שהנגזרת של פסאיי של X, Y שווה

191
00:09:47,140 --> 00:09:52,200
ל 0, או פסאיי של X ,Y, שווה ל c, זה הפתרון

192
00:09:52,200 --> 00:09:53,050
של המשוואה הזו.

193
00:09:53,050 --> 00:09:58,480
והנגזרת החלקית של פסאיי, ביחס ל X,

194
00:09:58,480 --> 00:09:59,740
שווה ל M.

195
00:09:59,740 --> 00:10:03,760
והנגזרת החלקית של פסאיי, ביחס ל Y,

196
00:10:03,760 --> 00:10:05,340
שווה ל N.

197
00:10:05,340 --> 00:10:07,550
ונראה בסרטון הבא איך להשתמש במידע

198
00:10:07,550 --> 00:10:09,810
הזה כדי לפתור עבור פסאיי.

199
00:10:09,810 --> 00:10:11,640
אז יש פה כמה דברים להדגשה.

200
00:10:11,640 --> 00:10:13,720
זו תהיה הנגזרת החלקית של פסאיי,

201
00:10:13,720 --> 00:10:17,620
ביחס ל X, אבל אם אנו עושים את מבחן הדיוק,

202
00:10:17,620 --> 00:10:19,590
אנו לוקחים זאת ביחס ל Y, כיוון שאנו רוצים

203
00:10:19,590 --> 00:10:21,080
לקחת את הנגזרות המעורבות האלו.

204
00:10:21,080 --> 00:10:23,410
באופן דומה, זה יהיה הנגזרת החלקית של פסאיי,

205
00:10:23,410 --> 00:10:27,030
ביחס ל Y, אבל כאשר אנו עושים את המבחן, אנו לוקחים את

206
00:10:27,030 --> 00:10:29,500
החלקי של זה ביחס ל X כך שנקבל

207
00:10:29,500 --> 00:10:30,730
את הנגזרת המעורבת.

208
00:10:30,730 --> 00:10:32,570
זה ביחס ל Y, ואז ביחס

209
00:10:32,570 --> 00:10:33,920
ל X, אז קיבלתם זאת.

210
00:10:33,920 --> 00:10:36,300
יכול להיות שזה קצת מסובך,

211
00:10:36,300 --> 00:10:38,360
אבל אם הצלחתם לעקוב על מה שעשינו פה

212
00:10:38,360 --> 00:10:41,390
אז יש לכם את האינטואיציה וההבנה של איך

213
00:10:41,390 --> 00:10:43,470
עובדת השיטה של משוואות מדויקות.

214
00:10:43,470 --> 00:10:45,950
נתראה בסרטון הבא

215
00:10:45,950 --> 00:10:49,400
ונפתור כמה משוואות מדויקות.