Return to Video

อินทิกรัลสามชั้น 1

  • 0:00 - 0:01
    -
  • 0:01 - 0:04
    สมมุติว่าผมอยากหาปริมาตรของลูกบาศก์ โดยที่ค่า
  • 0:04 - 0:07
    ของลูกบาศก์ -- สมมุติว่า x อยู่ระหว่าง -- x มากกว่า
  • 0:07 - 0:10
    หรือเท่ากับ 0, น้อยกว่าหรือเท่ากับ
  • 0:10 - 0:12
    ไม่รู้สิ, 3
  • 0:12 - 0:15
    สมมุติว่า y มากกว่าเท่ากับ 0, และ
  • 0:15 - 0:17
    น้อยกว่าหรือเท่ากับ 4
  • 0:17 - 0:21
    แล้วสมมุติว่า z มากกว่าหรือเท่ากับ 0 และ
  • 0:21 - 0:23
    น้อยกว่าเท่ากับ 2
  • 0:23 - 0:27
    และผมรู้ ว่าจากการใช้เรขาคณิตง่าย ๆ คุณก็หาได้
  • 0:27 - 0:30
    คุณก็รู้, แค่เอาความกว้างคูณความสูง คูณ
  • 0:30 - 0:31
    ความลึก แล้วคุณก็ได้ปริมาตรมา
  • 0:31 - 0:34
    แต่ผมอยากทำตัวอย่างนี้, แค่ให้คุณคุ้น
  • 0:34 - 0:37
    ว่าอินทิกรัลสามชั้นเป็นยังไง, มันเกี่ยวกับ
  • 0:37 - 0:39
    อินทิกรัลสองชั้นยังไง, แล้วต่อไปในวิดีโอหน้า เราสามารถ
  • 0:39 - 0:40
    ทำอะไรที่ซับซ้อนกว่านี้
  • 0:40 - 0:44
    งั้นลองวาดปริมาตรนี้กัน
  • 0:44 - 0:52
    นี่ก็คือแกน x ผม, นี่คือแกน z, นี่คือ y
  • 0:52 - 0:54
    -
  • 0:54 - 0:56
    x, y, z
  • 0:56 - 1:00
    -
  • 1:00 - 1:00
    โอเค
  • 1:00 - 1:02
    งั้น x อยู่ระหว่าง 0 กับ 3
  • 1:02 - 1:03
    นั่นคือ x เท่ากับ 0
  • 1:03 - 1:09
    นี่คือ x เท่ากับ -- ลองดู, 1, 2, 3
  • 1:09 - 1:11
    y อยู่ระหว่าง 0 กับ 4
  • 1:11 - 1:13
    1, 2, 3, 4
  • 1:13 - 1:15
    งั้นระนาบ x-y จะออกมาแบบนี้
  • 1:15 - 1:21
    ฐานของทรงสี่เหลี่ยมจะหน้าตาแบบนี้
  • 1:21 - 1:22
    แล้ว z อยู่ระหว่าง 0 กับ 2
  • 1:22 - 1:25
    ดังนั้น 0 คือระนาบ x-y, แล้ว 1, 2
  • 1:25 - 1:27
    งั้นนี่จะเป็นด้านบน
  • 1:27 - 1:31
    บางทีผมจะใช้สีอีกสีนึง
  • 1:31 - 1:35
    ดังนั้นนี่อยู่ตามแกน x-z
  • 1:35 - 1:36
    คุณจะมีขอบตรงนี้, แล้วก็ออกมา
  • 1:36 - 1:38
    เป็นแบบนี้
  • 1:38 - 1:42
    คุณมีขอบตรงนี้, เข้ามาข้างในแบบนี้
  • 1:42 - 1:44
    ขอบตรงนี้
  • 1:44 - 1:46
    งั้นเราอยากหาปริมาตรของลูกบาศก์นี้
  • 1:46 - 1:46
    คุณก็ทำได้
  • 1:46 - 1:52
    คุณอาจบอกว่า, เอาล่ะ, ความลึกคือ 3, ฐาน, ความกว้างคือ 4,
  • 1:52 - 1:54
    ดังนั้นพื้นที่คือ 12 คูณความสูง
  • 1:54 - 1:55
    12 คูณ 2 ได้ 24
  • 1:55 - 1:59
    คุณอาจบอกว่ามันคือ 24 ลูกบาศก์หน่วย อะไรก็ตาม
  • 1:59 - 2:00
    ที่เราใช้อยู่
  • 2:00 - 2:02
    แต่ลองทำด้วยอินทิกรัลสามชั้นกัน
  • 2:02 - 2:04
    แล้วอินทิกรัลสามชั้นหมายถึงอะไร?
  • 2:04 - 2:07
    ทีนี้, ที่เราทำได้คือ เราเอาปริมาตรเล็กจิ๋ว
  • 2:07 - 2:11
    -- ผมไม่อยากบอกว่าพื้นที่ -- ของปริมาตรเล็ก ๆ
  • 2:11 - 2:15
    งั้นสมมุติว่า ผมเอาปริมาตรของลูกบาศก์เล็ก ๆ
  • 2:15 - 2:18
    สักอันในนี้ -- ในปริมาตรที่เราอยากหา
  • 2:18 - 2:20
    และมันจะเริ่มเข้าใจขึ้น, หรือมันเริ่ม
  • 2:20 - 2:23
    มีประโยชน์ขึ้น, เมื่อเรามีขอบ ผิว
  • 2:23 - 2:25
    และเส้นโค้งแปรค่าได้เป็นขอบ
  • 2:25 - 2:27
    แต่สมมุติว่าเราอยากหาปริมาตรของ
  • 2:27 - 2:30
    ลูกบาศก์เล็ก ๆ ตรงนี้
  • 2:30 - 2:31
    นั่นคือลูกบาศก์ผม
  • 2:31 - 2:34
    มันคือที่ที่นึงในลูกบาศก์อันใหญ่, สี่เหลี่ยมอันใหญ่,
  • 2:34 - 2:35
    สี่เหลี่ยมลูกบาศก์, อะไรก็ได้แล้วแต่คุณจะเรียก
  • 2:35 - 2:37
    แล้วปริมาตรของลูกบาศก์นั้นคืออะไร?
  • 2:37 - 2:39
    สมมุติว่าความกว้างคือ dy
  • 2:39 - 2:42
    -
  • 2:42 - 2:44
    ความยาวนั่นตรงนั้นคือ dy
  • 2:44 - 2:47
    ความสูงคือ dx
  • 2:47 - 2:50
    โทษที, ไม่, ความสูงคือ dz, จริงไหม?
  • 2:50 - 2:52
    วิธีที่ผมวาดมัน, z คือขึ้นกับลง
  • 2:52 - 2:54
    และความลึกคือ dx
  • 2:54 - 2:56
    นี่คือ dx
  • 2:56 - 2:57
    นี่คือ dz
  • 2:57 - 2:58
    นี่คือ dy
  • 2:58 - 3:01
    ดังนั้นคุณอาจบอกว่าปริมาตรเล็ก ๆ ภายในปริมาตรอันใหญ่
  • 3:01 - 3:05
    -- คุณอาจเรียกมันว่า dv, ซึ่งก็คือดิฟเฟอเรนเชียล
  • 3:05 - 3:07
    ปริมาตรอย่างนึง
  • 3:07 - 3:10
    และนั่นจะเท่ากับ, คุณอาจบอกว่า, มันก็คือ
  • 3:10 - 3:14
    ความกว้างคูณ ความยาวคูณ ความสูง
  • 3:14 - 3:16
    dx คูณ dy คูณ dz
  • 3:16 - 3:18
    และคุณอาจเปลี่ยนลำดับมันได้} จริงไหม?
  • 3:18 - 3:21
    เพราะการคูณนั้นเปลี่ยนที่ได้, และลำดับ
  • 3:21 - 3:23
    ไม่ได้สำคัญอะไรพวกนั้น
  • 3:23 - 3:25
    แต่ช่างเถอะ, คุณทำอะไรกับมันได้บ้าง?
  • 3:25 - 3:27
    ทีนี้, เราก็หาอินทิกรัลได้แล้ว
  • 3:27 - 3:33
    อินทิกรัลทั้งหมดช่วยเราหาผลรวมอนันต์ของ
  • 3:33 - 3:36
    ระยะเล็กจิ๋ว, อย่างเช่น dz หรือ dx หรือ
  • 3:36 - 3:38
    dy, ฯลฯ
  • 3:38 - 3:42
    งั้น สิ่งที่เราทำได้คือ เราสามารถเอาลูกบาศก์นี้มาก่อน
  • 3:42 - 3:44
    บวกมันเข้า สมมุติว่า ในทิศ z
  • 3:44 - 3:48
    งั้นเราสามารถเอาลูกบาศก์นั้นมาแล้วรวมมันตามแกน
  • 3:48 - 3:51
    ขึ้นลง -- แกน z -- โดยที่เราได้
  • 3:51 - 3:52
    ปริมาตรของคอลัมน์นึงได้
  • 3:52 - 3:55
    แล้วมันหน้าตาเป็นยังไง?
  • 3:55 - 3:57
    ทีนี้, เนื่องจากเรากำลังขึ้นลง, เรากำลังรวม -- เรา
  • 3:57 - 4:01
    กำลังรวมในทิศ z
  • 4:01 - 4:03
    เราจะได้อินทิกรัล
  • 4:03 - 4:05
    แล้วค่า z ที่น้อยที่สุดคืออะไร?
  • 4:05 - 4:08
    ทีนี้, มันก็แค่ z เท่ากับ 0
  • 4:08 - 4:09
    แล้วขอบบนล่ะ?
  • 4:09 - 4:12
    เช่นเดียวกัน คุณก็เอา -- ลูกบาศก์พวกนี้รวมกัน
  • 4:12 - 4:14
    ขึ้นไปเรื่อย ๆ จนคุณไปถึงขอบบบน
  • 4:14 - 4:15
    งั้นขอบบนคืออะไร?
  • 4:15 - 4:16
    มันคือ z เท่ากับ 2
  • 4:16 - 4:21
    -
  • 4:21 - 4:25
    และแน่นอน, คุณได้รวม dv พวกนี้
  • 4:25 - 4:26
    และผมจะเขียน dz ก่อน
  • 4:26 - 4:28
    แค่ให้เรารู้ว่าเรากำลัง
  • 4:28 - 4:30
    หาอินทิกรัลเทียบกับ z ก่อน
  • 4:30 - 4:32
    แล้วสมมุติว่าเราทำ y ต่อ
  • 4:32 - 4:34
    แล้วเราจะทำ x
  • 4:34 - 4:37
    ดังนั้นในอินทิกรัลนี้, ค่านี้, อย่างที่ผมเขียนมัน, จะ
  • 4:37 - 4:42
    บอกปริมาตรของคอลัมน์ ณ ค่า x กับ y ใด ๆ
  • 4:42 - 4:45
    มันจะเป็นฟังก์ชันของ x กับ y, แต่เพราะเรากำลังยุ่ง
  • 4:45 - 4:47
    กับค่าคงที่ตรงนี้, มันจะเป็นค่า
  • 4:47 - 4:49
    คงที่
  • 4:49 - 4:52
    มันจะเป็นค่าคงที่ คือ ปริมาตรของ
  • 4:52 - 4:54
    คอลัมน์พวกนี้หนึ่งอัน
  • 4:54 - 4:57
    งั้นในที่สุด มันเท่ากับ 2 คูณ dy dx
  • 4:57 - 4:59
    เพราะความสูงของคอลัมน์แต่ละอันเท่ากับ 2
  • 4:59 - 5:04
    แล้วความกว้างกับความลึกคือ dy กับ dx
  • 5:04 - 5:07
    ดังนั้นหากเราอยากหาปริมาตรทั้งหมด -- สิ่ง
  • 5:07 - 5:09
    ที่เราเพิ่งทำไป คือ เราหาความสูงของคอลัมน์อันนึง
  • 5:09 - 5:11
    แล้วเราก็เอาคอลัมน์พวกนั้นมาแล้วรวมมัน
  • 5:11 - 5:14
    ในทิศ y
  • 5:14 - 5:16
    ดังนั้นหากเรารวมมันในทิศ y, เราแค่หาอินทิกรัล
  • 5:16 - 5:20
    อีกทีของผลรวมในทิศ y
  • 5:20 - 5:26
    และ y ไปจาก 0 ถึงอะไร? y ไปจาก 0 ถึง 4
  • 5:26 - 5:27
    ผมเขียนอินทิกรัลนี้ไปทางซ้ายไกลไปหน่อย
  • 5:27 - 5:28
    มันดูแปลก ๆ
  • 5:28 - 5:31
    แต่ผมว่าคุณคงเข้าใจ
  • 5:31 - 5:33
    y เท่ากับ 0, ถึง y เท่ากับ 4
  • 5:33 - 5:37
    แล้วนั่นจะบอกเราถึงปริมาตรของแผ่นที่
  • 5:37 - 5:40
    ขนานกับระนาบ zy
  • 5:40 - 5:44
    แล้วที่เราเหลือ ก็คือ รวมแผ่นพวกนั้น
  • 5:44 - 5:47
    ในทิศ x, และเราจะได้ปริมาตร
  • 5:47 - 5:48
    ของรูปทั้งหมดของเรา
  • 5:48 - 5:50
    ดังนั้นในการรวมแผ่นพวกนั้น, เราต้องรวม
  • 5:50 - 5:52
    ในทิศ x
  • 5:52 - 5:57
    และเราจะไปจาก x เท่ากับ 0, ถึง x เท่ากับ 3
  • 5:57 - 5:59
    และการหาค่ามัน ก็ค่อนข้าง
  • 5:59 - 6:00
    ตรงไปตรงมา
  • 6:00 - 6:03
    งั้น, อย่างแรกเราหาอินทิกรัลเทียบกับ z
  • 6:03 - 6:05
    ทีนี้, เราไม่มีอะไรเขียนไว้ตรงนี้, แต่เรา
  • 6:05 - 6:07
    รู้อยู่ว่ามันมี 1 อยู่, จริงไหม?
  • 6:07 - 6:10
    เพราะ dz คูณ dy คูณ dx นั้นเหมือนกับ
  • 6:10 - 6:13
    1 คูณ dz คูณ dy dx
  • 6:13 - 6:16
    แล้วค่าของอินทิกรัลนี้คืออะไร?
  • 6:16 - 6:19
    ทีนี้, แอนติเดริเวทีฟของ 1 เทียบกับ
  • 6:19 - 6:21
    z ก็แค่ z, จริงไหม?
  • 6:21 - 6:23
    เพราะอนุพันธ์ของ z เท่ากับ 1
  • 6:23 - 6:28
    แล้วคุณก็แทนค่ามันจาก 2 ถึง 0
  • 6:28 - 6:30
    แล้วคุณจะเหลือ -- มันคือ 2 ลบ 0
  • 6:30 - 6:32
    งั้นคุณก็เหลือ 2
  • 6:32 - 6:34
    คุณเหลือ 2, แล้วคุณก็หาอินทิกรัลของอันนั้น
  • 6:34 - 6:38
    จาก y เท่ากับ 0, ถึง y เท่ากับ 4 dy, แล้ว
  • 6:38 - 6:40
    คุณได้ x
  • 6:40 - 6:45
    จาก x เท่ากับ 0, ถึง x เท่ากับ 3 dx
  • 6:45 - 6:48
    และระลึกไว้, ตอนเราหาอินทิกรัลเทียบกับ
  • 6:48 - 6:50
    z, เราจะได้อินทิกรัลสองชั้น
  • 6:50 - 6:53
    และอินทิกรัลสองชั้นนี้ก็คือ อินทิกรัลเดียวกับที่เรา
  • 6:53 - 6:56
    ทำในวิดีโอที่แล้วเรื่องอินทิกรัลสองชั้น, โดยคุณ
  • 6:56 - 7:00
    อาจบอกว่า z เป็นฟังก์ชันของ x กับ y
  • 7:00 - 7:02
    ดังนั้นคุณก็เขียนมัน, คุณก็รู้, z, เป็นฟังก์ชันของ x
  • 7:02 - 7:04
    และ y, ซึ่งเท่ากับ 2 ตลอด
  • 7:04 - 7:05
    มันเป็นฟังก์ชันคงที่
  • 7:05 - 7:07
    มันไม่ขึ้นอยู่กับ x และ y
  • 7:07 - 7:09
    แต่หากคุณนิยาม z แบบนี้, และคุณอยากหา
  • 7:09 - 7:12
    ปริมาตรใต้พื้นผิวนี้, โดยที่ผิว
  • 7:12 - 7:15
    คือ z เท่ากับ 2 -- คุณก็รู้, นี่คือผิว, คือ z
  • 7:15 - 7:18
    เท่ากับ 2 -- เราก็จะได้ออกมาแบบนี้
  • 7:18 - 7:19
    ดังนั้นคุณจะเห็นว่า สิ่งที่เราทำกับอินทิกรัล
  • 7:19 - 7:21
    สามชั้น, ที่จริงแล้วมันไม่ได้ต่างกันเลย
  • 7:21 - 7:22
    และคุณอาจสงสัยว่า, แล้วเราจะทำแบบนี้
  • 7:22 - 7:23
    ทำไม?
  • 7:23 - 7:26
    ผมจะแสดงให้คุณเห็นในไม่ช้า
  • 7:26 - 7:28
    แต่เอาล่ะ, ในการหาค่ามัน, คุณก็หา
  • 7:28 - 7:32
    แอนติเดริเวทีฟของอันนี้เทียบกับ y, คุณจะได้ 2y -- ขอผม
  • 7:32 - 7:34
    เลื่อนมันลงมาหน่อย
  • 7:34 - 7:39
    คุณจะได้ 2y แทนค่าที่ 4 กับ 0
  • 7:39 - 7:41
    แล้ว, คุณจะได้ 2 คูณ 4
  • 7:41 - 7:43
    ดังนั้นมันคือ 8 ลบ 0
  • 7:43 - 7:46
    แล้วคุณก็อินทิเกรตจาก, เทียบกับ
  • 7:46 - 7:48
    x จาก 0 ถึง 3
  • 7:48 - 7:52
    ดังนั้นนั่นคือ 8x จาก 0 ถึง 3
  • 7:52 - 7:55
    ดังนั้นนั่นจะเท่ากับ 24 หน่วยกำลังสาม
  • 7:55 - 8:00
    ผมรู้ว่า คำถามนึงแน่ ๆ คือ แล้วมันมีดีอะไร?
  • 8:00 - 8:05
    ตอนคุณมีค่าคงที่ใน
  • 8:05 - 8:06
    ปริมาตร, คุณก็คิดถูกแล้ว
  • 8:06 - 8:08
    คุณสามารถทำได้ด้วยอินทิกรัลสองชั้น
  • 8:08 - 8:12
    แต่ถ้าหากผมบอกคุณว่า, เป้าหมายเราไม่ใช่การหา
  • 8:12 - 8:14
    ปริมาตรของรูปนี้ล่ะ
  • 8:14 - 8:17
    เป้าเหมายเรากลายเป็นการหามวลของรูปนี้
  • 8:17 - 8:22
    และยิ่งไปกว่านั้น, ปริมาตรนี้ -- พื้นที่ของที่ว่าง หรือ
  • 8:22 - 8:24
    อะไรก็ตาม -- มวลของมันไม่สม่ำเสมอ
  • 8:24 - 8:28
    หากมวลมันสม่ำเสมอ, คุณอาจคูณความหนาแน่นสม่ำเสมอนั้น
  • 8:28 - 8:31
    กับปริมาตร, คุณจะได้มวลมันมา
  • 8:31 - 8:33
    แต่สมมุติว่าความหนาแน่นเปลี่ยนไป
  • 8:33 - 8:36
    มันอาจเป็นปริมาตรของแก๊ส หรืออาจเป็น
  • 8:36 - 8:39
    วัสดุที่มีองค์ประกอบหลาอย่างปนกัน
  • 8:39 - 8:42
    สมมุติว่าความหนาแน่นมันเป็นฟังก์ชันขึ้นอยู่
  • 8:42 - 8:43
    กับ x,y และ z
  • 8:43 - 8:48
    งั้นสมมุติว่าความหนาแน่น -- rho นี้ สิ่งที่เหมือนกับ
  • 8:48 - 8:51
    ตัว p คือ สิ่งที่คุณมักใช้ในฟิสิกส์แทนความหนาแน่น -- ดังนั้น
  • 8:51 - 8:54
    ความหนาแน่นเป็นฟังก์ชันของ x, y กับ z
  • 8:54 - 8:56
    ลอง -- เพื่อให้ง่าย -- สมมุติว่ามันคือ
  • 8:56 - 9:00
    x คูณ y คูณ z
  • 9:00 - 9:06
    หากเราอยากหามวลของปริมาตรเล็ก ๆ,
  • 9:06 - 9:08
    มันจะเท่ากับปริมาตรนั่นคูณกับความหนาแน่น, จริงไหม?
  • 9:08 - 9:12
    เพราะความหนาแน่น -- หน่วยของความหนาแน่น อาจเป็น กิโลกรัม
  • 9:12 - 9:14
    ต่อลูกบาศก์เมตร
  • 9:14 - 9:16
    ดังนั้นหากคุณคูณมันกับเมตรกำลังสาม, คุณจะได้ กิโลกรัม
  • 9:16 - 9:20
    ดังนั้นคุณอาจบอกว่า มวล -- ทีนี้, ผมจะสมมุติสัญลักษณ์, d
  • 9:20 - 9:24
    มวล -- นี่ไม่ใช่ฟังก์ชัน
  • 9:24 - 9:25
    ทีนี้, ผมอยากเขียนมันในวงเล็บ, เพราะมัน
  • 9:25 - 9:26
    ทำให้มันดูเหมือนฟังก์ชัน
  • 9:26 - 9:30
    ดังนั้น, มวลดิฟเฟอเรนเชียลเล็ก ๆ, หรือมวลเล็กจิ๋ว, จะ
  • 9:30 - 9:36
    เท่ากับความหนาแน่น ณ จุดนั้น, ซึ่งเท่ากับ xyz,
  • 9:36 - 9:40
    คูร ปริมาตรของมวลเล็ก ๆ นั่น
  • 9:40 - 9:43
    แล้วปริมาตรของมวลเล็ก เราสามารถเขียนเป็น dv
  • 9:43 - 9:49
    และเรารู้ว่า dv ก็เหมือนกับความกว้าง คูณ
  • 9:49 - 9:50
    ความสูง คูณความลึก
  • 9:50 - 9:52
    dv ไม่จำเป็นต้องเป็น dx คูณ dy คูณ dz เสมอไป
  • 9:52 - 9:54
    หากเราใช้ระบบพิกัดอื่น, หากเราใช้พิกัด
  • 9:54 - 9:58
    แบบขั้ว, มันจะต่างออกไป
  • 9:58 - 9:59
    และเราจะใช้มันในที่สุด
  • 9:59 - 10:01
    แต่หากเราอยากหามวล, เนื่องจากเราใช้พิกัด
  • 10:01 - 10:04
    สี่เหลี่ยม, มันจะเท่ากับ ฟังก์ชันความหนาแน่น
  • 10:04 - 10:07
    ณ จุดนั้น คุณปริมาตรดิฟเฟอเรนเชียล
  • 10:07 - 10:11
    ดังนั้นคูณ dx dy dz
  • 10:11 - 10:14
    และแน่นอน, เราสามารถเปลี่ยนลำดับได้
  • 10:14 - 10:16
    ดังนั้นเมื่อคุณอยากหาปริมาตร -- ตอนคุณอยาก
  • 10:16 - 10:19
    หามวลออกมา -- ซึ่งผมจะทำในวิดีโอหน้า, เรา
  • 10:19 - 10:21
    จะต้องอินทิเกรตฟังก์ชันนี้ในที่สุด
  • 10:21 - 10:27
    เทียบกับ z, y และ x
  • 10:27 - 10:29
    และผมจะทำมันในวิดีโอหน้า
  • 10:29 - 10:32
    แล้วคุณจะเห็นว่ามันก็แค่การหาแอนติเดริเวทีฟ
  • 10:32 - 10:35
    ง่าย ๆ โดยหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดง่าย ๆ
  • 10:35 - 10:37
    แล้วพบกันใหม่ในวิดีโอหน้าครับ
  • 10:37 - 10:38
    -
Title:
อินทิกรัลสามชั้น 1
Description:

บทนำเรื่องอินทิกรัลสามชั้น
more » « less
Video Language:
English
Duration:
10:38
conantee added a translation

Thai subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.