1
00:00:00,000 --> 00:00:00,740
-

2
00:00:00,740 --> 00:00:04,160
สมมุติว่าผมอยากหาปริมาตรของลูกบาศก์ โดยที่ค่า

3
00:00:04,160 --> 00:00:07,150
ของลูกบาศก์ -- สมมุติว่า x อยู่ระหว่าง -- x มากกว่า

4
00:00:07,150 --> 00:00:10,350
หรือเท่ากับ 0, น้อยกว่าหรือเท่ากับ

5
00:00:10,350 --> 00:00:11,780
ไม่รู้สิ, 3

6
00:00:11,780 --> 00:00:14,600
สมมุติว่า y มากกว่าเท่ากับ 0, และ

7
00:00:14,600 --> 00:00:17,000
น้อยกว่าหรือเท่ากับ 4

8
00:00:17,000 --> 00:00:21,270
แล้วสมมุติว่า z มากกว่าหรือเท่ากับ 0 และ

9
00:00:21,270 --> 00:00:23,055
น้อยกว่าเท่ากับ 2

10
00:00:23,055 --> 00:00:26,650
และผมรู้ ว่าจากการใช้เรขาคณิตง่าย ๆ คุณก็หาได้

11
00:00:26,650 --> 00:00:30,370
คุณก็รู้, แค่เอาความกว้างคูณความสูง คูณ

12
00:00:30,370 --> 00:00:31,340
ความลึก แล้วคุณก็ได้ปริมาตรมา

13
00:00:31,340 --> 00:00:34,280
แต่ผมอยากทำตัวอย่างนี้, แค่ให้คุณคุ้น

14
00:00:34,280 --> 00:00:36,700
ว่าอินทิกรัลสามชั้นเป็นยังไง, มันเกี่ยวกับ

15
00:00:36,700 --> 00:00:39,180
อินทิกรัลสองชั้นยังไง, แล้วต่อไปในวิดีโอหน้า เราสามารถ

16
00:00:39,180 --> 00:00:40,290
ทำอะไรที่ซับซ้อนกว่านี้

17
00:00:40,290 --> 00:00:44,040
งั้นลองวาดปริมาตรนี้กัน

18
00:00:44,040 --> 00:00:51,780
นี่ก็คือแกน x ผม, นี่คือแกน z, นี่คือ y

19
00:00:51,780 --> 00:00:54,330
-

20
00:00:54,330 --> 00:00:55,795
x, y, z

21
00:00:55,795 --> 00:00:59,600
-

22
00:00:59,600 --> 00:01:00,080
โอเค

23
00:01:00,080 --> 00:01:01,910
งั้น x อยู่ระหว่าง 0 กับ 3

24
00:01:01,910 --> 00:01:03,070
นั่นคือ x เท่ากับ 0

25
00:01:03,070 --> 00:01:09,120
นี่คือ x เท่ากับ -- ลองดู, 1, 2, 3

26
00:01:09,120 --> 00:01:10,570
y อยู่ระหว่าง 0 กับ 4

27
00:01:10,570 --> 00:01:13,180
1, 2, 3, 4

28
00:01:13,180 --> 00:01:15,450
งั้นระนาบ x-y จะออกมาแบบนี้

29
00:01:15,450 --> 00:01:20,520
ฐานของทรงสี่เหลี่ยมจะหน้าตาแบบนี้

30
00:01:20,520 --> 00:01:21,770
แล้ว z อยู่ระหว่าง 0 กับ 2

31
00:01:21,770 --> 00:01:25,350
ดังนั้น 0 คือระนาบ x-y, แล้ว 1, 2

32
00:01:25,350 --> 00:01:27,130
งั้นนี่จะเป็นด้านบน

33
00:01:27,130 --> 00:01:30,600
บางทีผมจะใช้สีอีกสีนึง

34
00:01:30,600 --> 00:01:34,520
ดังนั้นนี่อยู่ตามแกน x-z

35
00:01:34,520 --> 00:01:36,360
คุณจะมีขอบตรงนี้, แล้วก็ออกมา

36
00:01:36,360 --> 00:01:38,316
เป็นแบบนี้

37
00:01:38,316 --> 00:01:41,850
คุณมีขอบตรงนี้, เข้ามาข้างในแบบนี้

38
00:01:41,850 --> 00:01:43,810
ขอบตรงนี้

39
00:01:43,810 --> 00:01:45,600
งั้นเราอยากหาปริมาตรของลูกบาศก์นี้

40
00:01:45,600 --> 00:01:46,370
คุณก็ทำได้

41
00:01:46,370 --> 00:01:51,540
คุณอาจบอกว่า, เอาล่ะ, ความลึกคือ 3, ฐาน, ความกว้างคือ 4,

42
00:01:51,540 --> 00:01:53,920
ดังนั้นพื้นที่คือ 12 คูณความสูง

43
00:01:53,920 --> 00:01:55,170
12 คูณ 2 ได้ 24

44
00:01:55,170 --> 00:01:58,980
คุณอาจบอกว่ามันคือ 24 ลูกบาศก์หน่วย อะไรก็ตาม

45
00:01:58,980 --> 00:01:59,630
ที่เราใช้อยู่

46
00:01:59,630 --> 00:02:01,990
แต่ลองทำด้วยอินทิกรัลสามชั้นกัน

47
00:02:01,990 --> 00:02:03,640
แล้วอินทิกรัลสามชั้นหมายถึงอะไร?

48
00:02:03,640 --> 00:02:07,110
ทีนี้, ที่เราทำได้คือ เราเอาปริมาตรเล็กจิ๋ว

49
00:02:07,110 --> 00:02:10,670
-- ผมไม่อยากบอกว่าพื้นที่ -- ของปริมาตรเล็ก ๆ

50
00:02:10,670 --> 00:02:14,770
งั้นสมมุติว่า ผมเอาปริมาตรของลูกบาศก์เล็ก ๆ

51
00:02:14,770 --> 00:02:17,810
สักอันในนี้ -- ในปริมาตรที่เราอยากหา

52
00:02:17,810 --> 00:02:20,160
และมันจะเริ่มเข้าใจขึ้น, หรือมันเริ่ม

53
00:02:20,160 --> 00:02:22,860
มีประโยชน์ขึ้น, เมื่อเรามีขอบ ผิว

54
00:02:22,860 --> 00:02:25,050
และเส้นโค้งแปรค่าได้เป็นขอบ

55
00:02:25,050 --> 00:02:26,840
แต่สมมุติว่าเราอยากหาปริมาตรของ

56
00:02:26,840 --> 00:02:29,780
ลูกบาศก์เล็ก ๆ ตรงนี้

57
00:02:29,780 --> 00:02:30,590
นั่นคือลูกบาศก์ผม

58
00:02:30,590 --> 00:02:33,630
มันคือที่ที่นึงในลูกบาศก์อันใหญ่, สี่เหลี่ยมอันใหญ่,

59
00:02:33,630 --> 00:02:35,460
สี่เหลี่ยมลูกบาศก์, อะไรก็ได้แล้วแต่คุณจะเรียก

60
00:02:35,460 --> 00:02:36,540
แล้วปริมาตรของลูกบาศก์นั้นคืออะไร?

61
00:02:36,540 --> 00:02:38,930
สมมุติว่าความกว้างคือ dy

62
00:02:38,930 --> 00:02:42,320
-

63
00:02:42,320 --> 00:02:44,010
ความยาวนั่นตรงนั้นคือ dy

64
00:02:44,010 --> 00:02:46,810
ความสูงคือ dx

65
00:02:46,810 --> 00:02:49,660
โทษที, ไม่, ความสูงคือ dz, จริงไหม?

66
00:02:49,660 --> 00:02:51,840
วิธีที่ผมวาดมัน, z คือขึ้นกับลง

67
00:02:51,840 --> 00:02:53,860
และความลึกคือ dx

68
00:02:53,860 --> 00:02:55,940
นี่คือ dx

69
00:02:55,940 --> 00:02:56,750
นี่คือ dz

70
00:02:56,750 --> 00:02:57,720
นี่คือ dy

71
00:02:57,720 --> 00:03:01,260
ดังนั้นคุณอาจบอกว่าปริมาตรเล็ก ๆ ภายในปริมาตรอันใหญ่

72
00:03:01,260 --> 00:03:04,830
-- คุณอาจเรียกมันว่า dv, ซึ่งก็คือดิฟเฟอเรนเชียล

73
00:03:04,830 --> 00:03:06,750
ปริมาตรอย่างนึง

74
00:03:06,750 --> 00:03:10,290
และนั่นจะเท่ากับ, คุณอาจบอกว่า, มันก็คือ

75
00:03:10,290 --> 00:03:13,990
ความกว้างคูณ ความยาวคูณ ความสูง

76
00:03:13,990 --> 00:03:15,950
dx คูณ dy คูณ dz

77
00:03:15,950 --> 00:03:17,760
และคุณอาจเปลี่ยนลำดับมันได้} จริงไหม?

78
00:03:17,760 --> 00:03:21,010
เพราะการคูณนั้นเปลี่ยนที่ได้, และลำดับ

79
00:03:21,010 --> 00:03:22,920
ไม่ได้สำคัญอะไรพวกนั้น

80
00:03:22,920 --> 00:03:24,540
แต่ช่างเถอะ, คุณทำอะไรกับมันได้บ้าง?

81
00:03:24,540 --> 00:03:27,290
ทีนี้, เราก็หาอินทิกรัลได้แล้ว

82
00:03:27,290 --> 00:03:32,520
อินทิกรัลทั้งหมดช่วยเราหาผลรวมอนันต์ของ

83
00:03:32,520 --> 00:03:36,080
ระยะเล็กจิ๋ว, อย่างเช่น dz หรือ dx หรือ

84
00:03:36,080 --> 00:03:38,240
dy, ฯลฯ

85
00:03:38,240 --> 00:03:41,620
งั้น สิ่งที่เราทำได้คือ เราสามารถเอาลูกบาศก์นี้มาก่อน

86
00:03:41,620 --> 00:03:44,110
บวกมันเข้า สมมุติว่า ในทิศ z

87
00:03:44,110 --> 00:03:48,330
งั้นเราสามารถเอาลูกบาศก์นั้นมาแล้วรวมมันตามแกน

88
00:03:48,330 --> 00:03:51,230
ขึ้นลง -- แกน z -- โดยที่เราได้

89
00:03:51,230 --> 00:03:52,410
ปริมาตรของคอลัมน์นึงได้

90
00:03:52,410 --> 00:03:54,550
แล้วมันหน้าตาเป็นยังไง?

91
00:03:54,550 --> 00:03:56,930
ทีนี้, เนื่องจากเรากำลังขึ้นลง, เรากำลังรวม -- เรา

92
00:03:56,930 --> 00:04:00,670
กำลังรวมในทิศ z

93
00:04:00,670 --> 00:04:02,610
เราจะได้อินทิกรัล

94
00:04:02,610 --> 00:04:04,655
แล้วค่า z ที่น้อยที่สุดคืออะไร?

95
00:04:04,655 --> 00:04:08,310
ทีนี้, มันก็แค่ z เท่ากับ 0

96
00:04:08,310 --> 00:04:09,280
แล้วขอบบนล่ะ?

97
00:04:09,280 --> 00:04:12,070
เช่นเดียวกัน คุณก็เอา -- ลูกบาศก์พวกนี้รวมกัน

98
00:04:12,070 --> 00:04:14,190
ขึ้นไปเรื่อย ๆ จนคุณไปถึงขอบบบน

99
00:04:14,190 --> 00:04:14,770
งั้นขอบบนคืออะไร?

100
00:04:14,770 --> 00:04:16,100
มันคือ z เท่ากับ 2

101
00:04:16,100 --> 00:04:20,580
-

102
00:04:20,580 --> 00:04:25,010
และแน่นอน, คุณได้รวม dv พวกนี้

103
00:04:25,010 --> 00:04:26,130
และผมจะเขียน dz ก่อน

104
00:04:26,130 --> 00:04:28,170
แค่ให้เรารู้ว่าเรากำลัง

105
00:04:28,170 --> 00:04:30,430
หาอินทิกรัลเทียบกับ z ก่อน

106
00:04:30,430 --> 00:04:32,010
แล้วสมมุติว่าเราทำ y ต่อ

107
00:04:32,010 --> 00:04:34,200
แล้วเราจะทำ x

108
00:04:34,200 --> 00:04:37,430
ดังนั้นในอินทิกรัลนี้, ค่านี้, อย่างที่ผมเขียนมัน, จะ

109
00:04:37,430 --> 00:04:42,020
บอกปริมาตรของคอลัมน์ ณ ค่า x กับ y ใด ๆ

110
00:04:42,020 --> 00:04:45,240
มันจะเป็นฟังก์ชันของ x กับ y, แต่เพราะเรากำลังยุ่ง

111
00:04:45,240 --> 00:04:47,130
กับค่าคงที่ตรงนี้, มันจะเป็นค่า

112
00:04:47,130 --> 00:04:48,600
คงที่

113
00:04:48,600 --> 00:04:52,160
มันจะเป็นค่าคงที่ คือ ปริมาตรของ

114
00:04:52,160 --> 00:04:53,890
คอลัมน์พวกนี้หนึ่งอัน

115
00:04:53,890 --> 00:04:56,580
งั้นในที่สุด มันเท่ากับ 2 คูณ dy dx

116
00:04:56,580 --> 00:04:59,330
เพราะความสูงของคอลัมน์แต่ละอันเท่ากับ 2

117
00:04:59,330 --> 00:05:03,710
แล้วความกว้างกับความลึกคือ dy กับ dx

118
00:05:03,710 --> 00:05:06,570
ดังนั้นหากเราอยากหาปริมาตรทั้งหมด -- สิ่ง

119
00:05:06,570 --> 00:05:09,270
ที่เราเพิ่งทำไป คือ เราหาความสูงของคอลัมน์อันนึง

120
00:05:09,270 --> 00:05:11,300
แล้วเราก็เอาคอลัมน์พวกนั้นมาแล้วรวมมัน

121
00:05:11,300 --> 00:05:13,730
ในทิศ y

122
00:05:13,730 --> 00:05:15,710
ดังนั้นหากเรารวมมันในทิศ y, เราแค่หาอินทิกรัล

123
00:05:15,710 --> 00:05:20,340
อีกทีของผลรวมในทิศ y

124
00:05:20,340 --> 00:05:25,650
และ y ไปจาก 0 ถึงอะไร? y ไปจาก 0 ถึง 4

125
00:05:25,650 --> 00:05:27,180
ผมเขียนอินทิกรัลนี้ไปทางซ้ายไกลไปหน่อย

126
00:05:27,180 --> 00:05:28,300
มันดูแปลก ๆ

127
00:05:28,300 --> 00:05:31,000
แต่ผมว่าคุณคงเข้าใจ

128
00:05:31,000 --> 00:05:33,390
y เท่ากับ 0, ถึง y เท่ากับ 4

129
00:05:33,390 --> 00:05:37,420
แล้วนั่นจะบอกเราถึงปริมาตรของแผ่นที่

130
00:05:37,420 --> 00:05:40,290
ขนานกับระนาบ zy

131
00:05:40,290 --> 00:05:44,250
แล้วที่เราเหลือ ก็คือ รวมแผ่นพวกนั้น

132
00:05:44,250 --> 00:05:46,570
ในทิศ x, และเราจะได้ปริมาตร

133
00:05:46,570 --> 00:05:48,210
ของรูปทั้งหมดของเรา

134
00:05:48,210 --> 00:05:50,190
ดังนั้นในการรวมแผ่นพวกนั้น, เราต้องรวม

135
00:05:50,190 --> 00:05:51,750
ในทิศ x

136
00:05:51,750 --> 00:05:57,060
และเราจะไปจาก x เท่ากับ 0, ถึง x เท่ากับ 3

137
00:05:57,060 --> 00:05:58,660
และการหาค่ามัน ก็ค่อนข้าง

138
00:05:58,660 --> 00:05:59,690
ตรงไปตรงมา

139
00:05:59,690 --> 00:06:03,020
งั้น, อย่างแรกเราหาอินทิกรัลเทียบกับ z

140
00:06:03,020 --> 00:06:05,090
ทีนี้, เราไม่มีอะไรเขียนไว้ตรงนี้, แต่เรา

141
00:06:05,090 --> 00:06:06,740
รู้อยู่ว่ามันมี 1 อยู่, จริงไหม?

142
00:06:06,740 --> 00:06:10,160
เพราะ dz คูณ dy คูณ dx นั้นเหมือนกับ

143
00:06:10,160 --> 00:06:12,940
1 คูณ dz คูณ dy dx

144
00:06:12,940 --> 00:06:15,500
แล้วค่าของอินทิกรัลนี้คืออะไร?

145
00:06:15,500 --> 00:06:18,760
ทีนี้, แอนติเดริเวทีฟของ 1 เทียบกับ

146
00:06:18,760 --> 00:06:20,650
z ก็แค่ z, จริงไหม?

147
00:06:20,650 --> 00:06:22,700
เพราะอนุพันธ์ของ z เท่ากับ 1

148
00:06:22,700 --> 00:06:27,640
แล้วคุณก็แทนค่ามันจาก 2 ถึง 0

149
00:06:27,640 --> 00:06:30,210
แล้วคุณจะเหลือ -- มันคือ 2 ลบ 0

150
00:06:30,210 --> 00:06:31,580
งั้นคุณก็เหลือ 2

151
00:06:31,580 --> 00:06:34,390
คุณเหลือ 2, แล้วคุณก็หาอินทิกรัลของอันนั้น

152
00:06:34,390 --> 00:06:38,080
จาก y เท่ากับ 0, ถึง y เท่ากับ 4 dy, แล้ว

153
00:06:38,080 --> 00:06:40,060
คุณได้ x

154
00:06:40,060 --> 00:06:45,280
จาก x เท่ากับ 0, ถึง x เท่ากับ 3 dx

155
00:06:45,280 --> 00:06:48,440
และระลึกไว้, ตอนเราหาอินทิกรัลเทียบกับ

156
00:06:48,440 --> 00:06:50,210
z, เราจะได้อินทิกรัลสองชั้น

157
00:06:50,210 --> 00:06:52,830
และอินทิกรัลสองชั้นนี้ก็คือ อินทิกรัลเดียวกับที่เรา

158
00:06:52,830 --> 00:06:56,440
ทำในวิดีโอที่แล้วเรื่องอินทิกรัลสองชั้น, โดยคุณ

159
00:06:56,440 --> 00:06:59,510
อาจบอกว่า z เป็นฟังก์ชันของ x กับ y

160
00:06:59,510 --> 00:07:01,880
ดังนั้นคุณก็เขียนมัน, คุณก็รู้, z, เป็นฟังก์ชันของ x

161
00:07:01,880 --> 00:07:04,230
และ y, ซึ่งเท่ากับ 2 ตลอด

162
00:07:04,230 --> 00:07:05,180
มันเป็นฟังก์ชันคงที่

163
00:07:05,180 --> 00:07:06,980
มันไม่ขึ้นอยู่กับ x และ y

164
00:07:06,980 --> 00:07:09,210
แต่หากคุณนิยาม z แบบนี้, และคุณอยากหา

165
00:07:09,210 --> 00:07:11,985
ปริมาตรใต้พื้นผิวนี้, โดยที่ผิว

166
00:07:11,985 --> 00:07:15,370
คือ z เท่ากับ 2 -- คุณก็รู้, นี่คือผิว, คือ z

167
00:07:15,370 --> 00:07:17,580
เท่ากับ 2 -- เราก็จะได้ออกมาแบบนี้

168
00:07:17,580 --> 00:07:19,130
ดังนั้นคุณจะเห็นว่า สิ่งที่เราทำกับอินทิกรัล

169
00:07:19,130 --> 00:07:21,030
สามชั้น, ที่จริงแล้วมันไม่ได้ต่างกันเลย

170
00:07:21,030 --> 00:07:22,060
และคุณอาจสงสัยว่า, แล้วเราจะทำแบบนี้

171
00:07:22,060 --> 00:07:22,840
ทำไม?

172
00:07:22,840 --> 00:07:25,730
ผมจะแสดงให้คุณเห็นในไม่ช้า

173
00:07:25,730 --> 00:07:28,320
แต่เอาล่ะ, ในการหาค่ามัน, คุณก็หา

174
00:07:28,320 --> 00:07:32,070
แอนติเดริเวทีฟของอันนี้เทียบกับ y, คุณจะได้ 2y -- ขอผม

175
00:07:32,070 --> 00:07:33,760
เลื่อนมันลงมาหน่อย

176
00:07:33,760 --> 00:07:38,530
คุณจะได้ 2y แทนค่าที่ 4 กับ 0

177
00:07:38,530 --> 00:07:41,150
แล้ว, คุณจะได้ 2 คูณ 4

178
00:07:41,150 --> 00:07:42,540
ดังนั้นมันคือ 8 ลบ 0

179
00:07:42,540 --> 00:07:46,070
แล้วคุณก็อินทิเกรตจาก, เทียบกับ

180
00:07:46,070 --> 00:07:48,340
x จาก 0 ถึง 3

181
00:07:48,340 --> 00:07:52,430
ดังนั้นนั่นคือ 8x จาก 0 ถึง 3

182
00:07:52,430 --> 00:07:55,430
ดังนั้นนั่นจะเท่ากับ 24 หน่วยกำลังสาม

183
00:07:55,430 --> 00:07:59,780
ผมรู้ว่า คำถามนึงแน่ ๆ คือ แล้วมันมีดีอะไร?

184
00:07:59,780 --> 00:08:05,420
ตอนคุณมีค่าคงที่ใน

185
00:08:05,420 --> 00:08:06,400
ปริมาตร, คุณก็คิดถูกแล้ว

186
00:08:06,400 --> 00:08:08,230
คุณสามารถทำได้ด้วยอินทิกรัลสองชั้น

187
00:08:08,230 --> 00:08:11,610
แต่ถ้าหากผมบอกคุณว่า, เป้าหมายเราไม่ใช่การหา

188
00:08:11,610 --> 00:08:13,670
ปริมาตรของรูปนี้ล่ะ

189
00:08:13,670 --> 00:08:16,550
เป้าเหมายเรากลายเป็นการหามวลของรูปนี้

190
00:08:16,550 --> 00:08:21,660
และยิ่งไปกว่านั้น, ปริมาตรนี้ -- พื้นที่ของที่ว่าง หรือ

191
00:08:21,660 --> 00:08:23,670
อะไรก็ตาม -- มวลของมันไม่สม่ำเสมอ

192
00:08:23,670 --> 00:08:28,190
หากมวลมันสม่ำเสมอ, คุณอาจคูณความหนาแน่นสม่ำเสมอนั้น

193
00:08:28,190 --> 00:08:31,240
กับปริมาตร, คุณจะได้มวลมันมา

194
00:08:31,240 --> 00:08:33,040
แต่สมมุติว่าความหนาแน่นเปลี่ยนไป

195
00:08:33,040 --> 00:08:36,340
มันอาจเป็นปริมาตรของแก๊ส หรืออาจเป็น

196
00:08:36,340 --> 00:08:39,070
วัสดุที่มีองค์ประกอบหลาอย่างปนกัน

197
00:08:39,070 --> 00:08:42,370
สมมุติว่าความหนาแน่นมันเป็นฟังก์ชันขึ้นอยู่

198
00:08:42,370 --> 00:08:43,240
กับ x,y และ z

199
00:08:43,240 --> 00:08:47,650
งั้นสมมุติว่าความหนาแน่น -- rho นี้ สิ่งที่เหมือนกับ

200
00:08:47,650 --> 00:08:50,720
ตัว p คือ สิ่งที่คุณมักใช้ในฟิสิกส์แทนความหนาแน่น -- ดังนั้น

201
00:08:50,720 --> 00:08:54,390
ความหนาแน่นเป็นฟังก์ชันของ x, y กับ z

202
00:08:54,390 --> 00:08:55,710
ลอง -- เพื่อให้ง่าย -- สมมุติว่ามันคือ

203
00:08:55,710 --> 00:08:59,840
x คูณ y คูณ z

204
00:08:59,840 --> 00:09:06,020
หากเราอยากหามวลของปริมาตรเล็ก ๆ,

205
00:09:06,020 --> 00:09:08,440
มันจะเท่ากับปริมาตรนั่นคูณกับความหนาแน่น, จริงไหม?

206
00:09:08,440 --> 00:09:12,190
เพราะความหนาแน่น -- หน่วยของความหนาแน่น อาจเป็น กิโลกรัม

207
00:09:12,190 --> 00:09:13,590
ต่อลูกบาศก์เมตร

208
00:09:13,590 --> 00:09:16,400
ดังนั้นหากคุณคูณมันกับเมตรกำลังสาม, คุณจะได้ กิโลกรัม

209
00:09:16,400 --> 00:09:20,260
ดังนั้นคุณอาจบอกว่า มวล -- ทีนี้, ผมจะสมมุติสัญลักษณ์, d

210
00:09:20,260 --> 00:09:23,730
มวล -- นี่ไม่ใช่ฟังก์ชัน

211
00:09:23,730 --> 00:09:25,230
ทีนี้, ผมอยากเขียนมันในวงเล็บ, เพราะมัน

212
00:09:25,230 --> 00:09:26,230
ทำให้มันดูเหมือนฟังก์ชัน

213
00:09:26,230 --> 00:09:30,490
ดังนั้น, มวลดิฟเฟอเรนเชียลเล็ก ๆ, หรือมวลเล็กจิ๋ว, จะ

214
00:09:30,490 --> 00:09:35,860
เท่ากับความหนาแน่น ณ จุดนั้น, ซึ่งเท่ากับ xyz,

215
00:09:35,860 --> 00:09:39,810
คูร ปริมาตรของมวลเล็ก ๆ นั่น

216
00:09:39,810 --> 00:09:42,780
แล้วปริมาตรของมวลเล็ก เราสามารถเขียนเป็น dv

217
00:09:42,780 --> 00:09:48,790
และเรารู้ว่า dv ก็เหมือนกับความกว้าง คูณ

218
00:09:48,790 --> 00:09:49,670
ความสูง คูณความลึก

219
00:09:49,670 --> 00:09:52,350
dv ไม่จำเป็นต้องเป็น dx คูณ dy คูณ dz เสมอไป

220
00:09:52,350 --> 00:09:54,000
หากเราใช้ระบบพิกัดอื่น, หากเราใช้พิกัด

221
00:09:54,000 --> 00:09:57,670
แบบขั้ว, มันจะต่างออกไป

222
00:09:57,670 --> 00:09:59,160
และเราจะใช้มันในที่สุด

223
00:09:59,160 --> 00:10:01,280
แต่หากเราอยากหามวล, เนื่องจากเราใช้พิกัด

224
00:10:01,280 --> 00:10:03,550
สี่เหลี่ยม, มันจะเท่ากับ ฟังก์ชันความหนาแน่น

225
00:10:03,550 --> 00:10:07,030
ณ จุดนั้น คุณปริมาตรดิฟเฟอเรนเชียล

226
00:10:07,030 --> 00:10:11,330
ดังนั้นคูณ dx dy dz

227
00:10:11,330 --> 00:10:13,870
และแน่นอน, เราสามารถเปลี่ยนลำดับได้

228
00:10:13,870 --> 00:10:16,386
ดังนั้นเมื่อคุณอยากหาปริมาตร -- ตอนคุณอยาก

229
00:10:16,386 --> 00:10:19,000
หามวลออกมา -- ซึ่งผมจะทำในวิดีโอหน้า, เรา

230
00:10:19,000 --> 00:10:21,290
จะต้องอินทิเกรตฟังก์ชันนี้ในที่สุด

231
00:10:21,290 --> 00:10:27,400
เทียบกับ z, y และ x

232
00:10:27,400 --> 00:10:28,690
และผมจะทำมันในวิดีโอหน้า

233
00:10:28,690 --> 00:10:32,050
แล้วคุณจะเห็นว่ามันก็แค่การหาแอนติเดริเวทีฟ

234
00:10:32,050 --> 00:10:34,700
ง่าย ๆ โดยหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดง่าย ๆ

235
00:10:34,700 --> 00:10:37,280
แล้วพบกันใหม่ในวิดีโอหน้าครับ

236
00:10:37,280 --> 00:10:37,900
-