-

สมมุติว่าผมอยากหาปริมาตรของลูกบาศก์ โดยที่ค่า

ของลูกบาศก์ -- สมมุติว่า x อยู่ระหว่าง -- x มากกว่า

หรือเท่ากับ 0, น้อยกว่าหรือเท่ากับ

ไม่รู้สิ, 3

สมมุติว่า y มากกว่าเท่ากับ 0, และ

น้อยกว่าหรือเท่ากับ 4

แล้วสมมุติว่า z มากกว่าหรือเท่ากับ 0 และ

น้อยกว่าเท่ากับ 2

และผมรู้ ว่าจากการใช้เรขาคณิตง่าย ๆ คุณก็หาได้

คุณก็รู้, แค่เอาความกว้างคูณความสูง คูณ

ความลึก แล้วคุณก็ได้ปริมาตรมา

แต่ผมอยากทำตัวอย่างนี้, แค่ให้คุณคุ้น

ว่าอินทิกรัลสามชั้นเป็นยังไง, มันเกี่ยวกับ

อินทิกรัลสองชั้นยังไง, แล้วต่อไปในวิดีโอหน้า เราสามารถ

ทำอะไรที่ซับซ้อนกว่านี้

งั้นลองวาดปริมาตรนี้กัน

นี่ก็คือแกน x ผม, นี่คือแกน z, นี่คือ y

-

x, y, z

-

โอเค

งั้น x อยู่ระหว่าง 0 กับ 3

นั่นคือ x เท่ากับ 0

นี่คือ x เท่ากับ -- ลองดู, 1, 2, 3

y อยู่ระหว่าง 0 กับ 4

1, 2, 3, 4

งั้นระนาบ x-y จะออกมาแบบนี้

ฐานของทรงสี่เหลี่ยมจะหน้าตาแบบนี้

แล้ว z อยู่ระหว่าง 0 กับ 2

ดังนั้น 0 คือระนาบ x-y, แล้ว 1, 2

งั้นนี่จะเป็นด้านบน

บางทีผมจะใช้สีอีกสีนึง

ดังนั้นนี่อยู่ตามแกน x-z

คุณจะมีขอบตรงนี้, แล้วก็ออกมา

เป็นแบบนี้

คุณมีขอบตรงนี้, เข้ามาข้างในแบบนี้

ขอบตรงนี้

งั้นเราอยากหาปริมาตรของลูกบาศก์นี้

คุณก็ทำได้

คุณอาจบอกว่า, เอาล่ะ, ความลึกคือ 3, ฐาน, ความกว้างคือ 4,

ดังนั้นพื้นที่คือ 12 คูณความสูง

12 คูณ 2 ได้ 24

คุณอาจบอกว่ามันคือ 24 ลูกบาศก์หน่วย อะไรก็ตาม

ที่เราใช้อยู่

แต่ลองทำด้วยอินทิกรัลสามชั้นกัน

แล้วอินทิกรัลสามชั้นหมายถึงอะไร?

ทีนี้, ที่เราทำได้คือ เราเอาปริมาตรเล็กจิ๋ว

-- ผมไม่อยากบอกว่าพื้นที่ -- ของปริมาตรเล็ก ๆ

งั้นสมมุติว่า ผมเอาปริมาตรของลูกบาศก์เล็ก ๆ

สักอันในนี้ -- ในปริมาตรที่เราอยากหา

และมันจะเริ่มเข้าใจขึ้น, หรือมันเริ่ม

มีประโยชน์ขึ้น, เมื่อเรามีขอบ ผิว

และเส้นโค้งแปรค่าได้เป็นขอบ

แต่สมมุติว่าเราอยากหาปริมาตรของ

ลูกบาศก์เล็ก ๆ ตรงนี้

นั่นคือลูกบาศก์ผม

มันคือที่ที่นึงในลูกบาศก์อันใหญ่, สี่เหลี่ยมอันใหญ่,

สี่เหลี่ยมลูกบาศก์, อะไรก็ได้แล้วแต่คุณจะเรียก

แล้วปริมาตรของลูกบาศก์นั้นคืออะไร?

สมมุติว่าความกว้างคือ dy

-

ความยาวนั่นตรงนั้นคือ dy

ความสูงคือ dx

โทษที, ไม่, ความสูงคือ dz, จริงไหม?

วิธีที่ผมวาดมัน, z คือขึ้นกับลง

และความลึกคือ dx

นี่คือ dx

นี่คือ dz

นี่คือ dy

ดังนั้นคุณอาจบอกว่าปริมาตรเล็ก ๆ ภายในปริมาตรอันใหญ่

-- คุณอาจเรียกมันว่า dv, ซึ่งก็คือดิฟเฟอเรนเชียล

ปริมาตรอย่างนึง

และนั่นจะเท่ากับ, คุณอาจบอกว่า, มันก็คือ

ความกว้างคูณ ความยาวคูณ ความสูง

dx คูณ dy คูณ dz

และคุณอาจเปลี่ยนลำดับมันได้} จริงไหม?

เพราะการคูณนั้นเปลี่ยนที่ได้, และลำดับ

ไม่ได้สำคัญอะไรพวกนั้น

แต่ช่างเถอะ, คุณทำอะไรกับมันได้บ้าง?

ทีนี้, เราก็หาอินทิกรัลได้แล้ว

อินทิกรัลทั้งหมดช่วยเราหาผลรวมอนันต์ของ

ระยะเล็กจิ๋ว, อย่างเช่น dz หรือ dx หรือ

dy, ฯลฯ

งั้น สิ่งที่เราทำได้คือ เราสามารถเอาลูกบาศก์นี้มาก่อน

บวกมันเข้า สมมุติว่า ในทิศ z

งั้นเราสามารถเอาลูกบาศก์นั้นมาแล้วรวมมันตามแกน

ขึ้นลง -- แกน z -- โดยที่เราได้

ปริมาตรของคอลัมน์นึงได้

แล้วมันหน้าตาเป็นยังไง?

ทีนี้, เนื่องจากเรากำลังขึ้นลง, เรากำลังรวม -- เรา

กำลังรวมในทิศ z

เราจะได้อินทิกรัล

แล้วค่า z ที่น้อยที่สุดคืออะไร?

ทีนี้, มันก็แค่ z เท่ากับ 0

แล้วขอบบนล่ะ?

เช่นเดียวกัน คุณก็เอา -- ลูกบาศก์พวกนี้รวมกัน

ขึ้นไปเรื่อย ๆ จนคุณไปถึงขอบบบน

งั้นขอบบนคืออะไร?

มันคือ z เท่ากับ 2

-

และแน่นอน, คุณได้รวม dv พวกนี้

และผมจะเขียน dz ก่อน

แค่ให้เรารู้ว่าเรากำลัง

หาอินทิกรัลเทียบกับ z ก่อน

แล้วสมมุติว่าเราทำ y ต่อ

แล้วเราจะทำ x

ดังนั้นในอินทิกรัลนี้, ค่านี้, อย่างที่ผมเขียนมัน, จะ

บอกปริมาตรของคอลัมน์ ณ ค่า x กับ y ใด ๆ

มันจะเป็นฟังก์ชันของ x กับ y, แต่เพราะเรากำลังยุ่ง

กับค่าคงที่ตรงนี้, มันจะเป็นค่า

คงที่

มันจะเป็นค่าคงที่ คือ ปริมาตรของ

คอลัมน์พวกนี้หนึ่งอัน

งั้นในที่สุด มันเท่ากับ 2 คูณ dy dx

เพราะความสูงของคอลัมน์แต่ละอันเท่ากับ 2

แล้วความกว้างกับความลึกคือ dy กับ dx

ดังนั้นหากเราอยากหาปริมาตรทั้งหมด -- สิ่ง

ที่เราเพิ่งทำไป คือ เราหาความสูงของคอลัมน์อันนึง

แล้วเราก็เอาคอลัมน์พวกนั้นมาแล้วรวมมัน

ในทิศ y

ดังนั้นหากเรารวมมันในทิศ y, เราแค่หาอินทิกรัล

อีกทีของผลรวมในทิศ y

และ y ไปจาก 0 ถึงอะไร? y ไปจาก 0 ถึง 4

ผมเขียนอินทิกรัลนี้ไปทางซ้ายไกลไปหน่อย

มันดูแปลก ๆ

แต่ผมว่าคุณคงเข้าใจ

y เท่ากับ 0, ถึง y เท่ากับ 4

แล้วนั่นจะบอกเราถึงปริมาตรของแผ่นที่

ขนานกับระนาบ zy

แล้วที่เราเหลือ ก็คือ รวมแผ่นพวกนั้น

ในทิศ x, และเราจะได้ปริมาตร

ของรูปทั้งหมดของเรา

ดังนั้นในการรวมแผ่นพวกนั้น, เราต้องรวม

ในทิศ x

และเราจะไปจาก x เท่ากับ 0, ถึง x เท่ากับ 3

และการหาค่ามัน ก็ค่อนข้าง

ตรงไปตรงมา

งั้น, อย่างแรกเราหาอินทิกรัลเทียบกับ z

ทีนี้, เราไม่มีอะไรเขียนไว้ตรงนี้, แต่เรา

รู้อยู่ว่ามันมี 1 อยู่, จริงไหม?

เพราะ dz คูณ dy คูณ dx นั้นเหมือนกับ

1 คูณ dz คูณ dy dx

แล้วค่าของอินทิกรัลนี้คืออะไร?

ทีนี้, แอนติเดริเวทีฟของ 1 เทียบกับ

z ก็แค่ z, จริงไหม?

เพราะอนุพันธ์ของ z เท่ากับ 1

แล้วคุณก็แทนค่ามันจาก 2 ถึง 0

แล้วคุณจะเหลือ -- มันคือ 2 ลบ 0

งั้นคุณก็เหลือ 2

คุณเหลือ 2, แล้วคุณก็หาอินทิกรัลของอันนั้น

จาก y เท่ากับ 0, ถึง y เท่ากับ 4 dy, แล้ว

คุณได้ x

จาก x เท่ากับ 0, ถึง x เท่ากับ 3 dx

และระลึกไว้, ตอนเราหาอินทิกรัลเทียบกับ

z, เราจะได้อินทิกรัลสองชั้น

และอินทิกรัลสองชั้นนี้ก็คือ อินทิกรัลเดียวกับที่เรา

ทำในวิดีโอที่แล้วเรื่องอินทิกรัลสองชั้น, โดยคุณ

อาจบอกว่า z เป็นฟังก์ชันของ x กับ y

ดังนั้นคุณก็เขียนมัน, คุณก็รู้, z, เป็นฟังก์ชันของ x

และ y, ซึ่งเท่ากับ 2 ตลอด

มันเป็นฟังก์ชันคงที่

มันไม่ขึ้นอยู่กับ x และ y

แต่หากคุณนิยาม z แบบนี้, และคุณอยากหา

ปริมาตรใต้พื้นผิวนี้, โดยที่ผิว

คือ z เท่ากับ 2 -- คุณก็รู้, นี่คือผิว, คือ z

เท่ากับ 2 -- เราก็จะได้ออกมาแบบนี้

ดังนั้นคุณจะเห็นว่า สิ่งที่เราทำกับอินทิกรัล

สามชั้น, ที่จริงแล้วมันไม่ได้ต่างกันเลย

และคุณอาจสงสัยว่า, แล้วเราจะทำแบบนี้

ทำไม?

ผมจะแสดงให้คุณเห็นในไม่ช้า

แต่เอาล่ะ, ในการหาค่ามัน, คุณก็หา

แอนติเดริเวทีฟของอันนี้เทียบกับ y, คุณจะได้ 2y -- ขอผม

เลื่อนมันลงมาหน่อย

คุณจะได้ 2y แทนค่าที่ 4 กับ 0

แล้ว, คุณจะได้ 2 คูณ 4

ดังนั้นมันคือ 8 ลบ 0

แล้วคุณก็อินทิเกรตจาก, เทียบกับ

x จาก 0 ถึง 3

ดังนั้นนั่นคือ 8x จาก 0 ถึง 3

ดังนั้นนั่นจะเท่ากับ 24 หน่วยกำลังสาม

ผมรู้ว่า คำถามนึงแน่ ๆ คือ แล้วมันมีดีอะไร?

ตอนคุณมีค่าคงที่ใน

ปริมาตร, คุณก็คิดถูกแล้ว

คุณสามารถทำได้ด้วยอินทิกรัลสองชั้น

แต่ถ้าหากผมบอกคุณว่า, เป้าหมายเราไม่ใช่การหา

ปริมาตรของรูปนี้ล่ะ

เป้าเหมายเรากลายเป็นการหามวลของรูปนี้

และยิ่งไปกว่านั้น, ปริมาตรนี้ -- พื้นที่ของที่ว่าง หรือ

อะไรก็ตาม -- มวลของมันไม่สม่ำเสมอ

หากมวลมันสม่ำเสมอ, คุณอาจคูณความหนาแน่นสม่ำเสมอนั้น

กับปริมาตร, คุณจะได้มวลมันมา

แต่สมมุติว่าความหนาแน่นเปลี่ยนไป

มันอาจเป็นปริมาตรของแก๊ส หรืออาจเป็น

วัสดุที่มีองค์ประกอบหลาอย่างปนกัน

สมมุติว่าความหนาแน่นมันเป็นฟังก์ชันขึ้นอยู่

กับ x,y และ z

งั้นสมมุติว่าความหนาแน่น -- rho นี้ สิ่งที่เหมือนกับ

ตัว p คือ สิ่งที่คุณมักใช้ในฟิสิกส์แทนความหนาแน่น -- ดังนั้น

ความหนาแน่นเป็นฟังก์ชันของ x, y กับ z

ลอง -- เพื่อให้ง่าย -- สมมุติว่ามันคือ

x คูณ y คูณ z

หากเราอยากหามวลของปริมาตรเล็ก ๆ,

มันจะเท่ากับปริมาตรนั่นคูณกับความหนาแน่น, จริงไหม?

เพราะความหนาแน่น -- หน่วยของความหนาแน่น อาจเป็น กิโลกรัม

ต่อลูกบาศก์เมตร

ดังนั้นหากคุณคูณมันกับเมตรกำลังสาม, คุณจะได้ กิโลกรัม

ดังนั้นคุณอาจบอกว่า มวล -- ทีนี้, ผมจะสมมุติสัญลักษณ์, d

มวล -- นี่ไม่ใช่ฟังก์ชัน

ทีนี้, ผมอยากเขียนมันในวงเล็บ, เพราะมัน

ทำให้มันดูเหมือนฟังก์ชัน

ดังนั้น, มวลดิฟเฟอเรนเชียลเล็ก ๆ, หรือมวลเล็กจิ๋ว, จะ

เท่ากับความหนาแน่น ณ จุดนั้น, ซึ่งเท่ากับ xyz,

คูร ปริมาตรของมวลเล็ก ๆ นั่น

แล้วปริมาตรของมวลเล็ก เราสามารถเขียนเป็น dv

และเรารู้ว่า dv ก็เหมือนกับความกว้าง คูณ

ความสูง คูณความลึก

dv ไม่จำเป็นต้องเป็น dx คูณ dy คูณ dz เสมอไป

หากเราใช้ระบบพิกัดอื่น, หากเราใช้พิกัด

แบบขั้ว, มันจะต่างออกไป

และเราจะใช้มันในที่สุด

แต่หากเราอยากหามวล, เนื่องจากเราใช้พิกัด

สี่เหลี่ยม, มันจะเท่ากับ ฟังก์ชันความหนาแน่น

ณ จุดนั้น คุณปริมาตรดิฟเฟอเรนเชียล

ดังนั้นคูณ dx dy dz

และแน่นอน, เราสามารถเปลี่ยนลำดับได้

ดังนั้นเมื่อคุณอยากหาปริมาตร -- ตอนคุณอยาก

หามวลออกมา -- ซึ่งผมจะทำในวิดีโอหน้า, เรา

จะต้องอินทิเกรตฟังก์ชันนี้ในที่สุด

เทียบกับ z, y และ x

และผมจะทำมันในวิดีโอหน้า

แล้วคุณจะเห็นว่ามันก็แค่การหาแอนติเดริเวทีฟ

ง่าย ๆ โดยหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดง่าย ๆ

แล้วพบกันใหม่ในวิดีโอหน้าครับ

-