[Script Info]
Title: 
[Events]
Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text
Dialogue: 0,0:00:00.00,0:00:00.74,Default,,0000,0000,0000,,-
Dialogue: 0,0:00:00.74,0:00:04.16,Default,,0000,0000,0000,,สมมุติว่าผมอยากหาปริมาตรของลูกบาศก์ โดยที่ค่า
Dialogue: 0,0:00:04.16,0:00:07.15,Default,,0000,0000,0000,,ของลูกบาศก์ -- สมมุติว่า x อยู่ระหว่าง -- x มากกว่า
Dialogue: 0,0:00:07.15,0:00:10.35,Default,,0000,0000,0000,,หรือเท่ากับ 0, น้อยกว่าหรือเท่ากับ
Dialogue: 0,0:00:10.35,0:00:11.78,Default,,0000,0000,0000,,ไม่รู้สิ, 3
Dialogue: 0,0:00:11.78,0:00:14.60,Default,,0000,0000,0000,,สมมุติว่า y มากกว่าเท่ากับ 0, และ
Dialogue: 0,0:00:14.60,0:00:17.00,Default,,0000,0000,0000,,น้อยกว่าหรือเท่ากับ 4
Dialogue: 0,0:00:17.00,0:00:21.27,Default,,0000,0000,0000,,แล้วสมมุติว่า z มากกว่าหรือเท่ากับ 0 และ
Dialogue: 0,0:00:21.27,0:00:23.06,Default,,0000,0000,0000,,น้อยกว่าเท่ากับ 2
Dialogue: 0,0:00:23.06,0:00:26.65,Default,,0000,0000,0000,,และผมรู้ ว่าจากการใช้เรขาคณิตง่าย ๆ คุณก็หาได้
Dialogue: 0,0:00:26.65,0:00:30.37,Default,,0000,0000,0000,,คุณก็รู้, แค่เอาความกว้างคูณความสูง คูณ
Dialogue: 0,0:00:30.37,0:00:31.34,Default,,0000,0000,0000,,ความลึก แล้วคุณก็ได้ปริมาตรมา
Dialogue: 0,0:00:31.34,0:00:34.28,Default,,0000,0000,0000,,แต่ผมอยากทำตัวอย่างนี้, แค่ให้คุณคุ้น
Dialogue: 0,0:00:34.28,0:00:36.70,Default,,0000,0000,0000,,ว่าอินทิกรัลสามชั้นเป็นยังไง, มันเกี่ยวกับ
Dialogue: 0,0:00:36.70,0:00:39.18,Default,,0000,0000,0000,,อินทิกรัลสองชั้นยังไง, แล้วต่อไปในวิดีโอหน้า เราสามารถ
Dialogue: 0,0:00:39.18,0:00:40.29,Default,,0000,0000,0000,,ทำอะไรที่ซับซ้อนกว่านี้
Dialogue: 0,0:00:40.29,0:00:44.04,Default,,0000,0000,0000,,งั้นลองวาดปริมาตรนี้กัน
Dialogue: 0,0:00:44.04,0:00:51.78,Default,,0000,0000,0000,,นี่ก็คือแกน x ผม, นี่คือแกน z, นี่คือ y
Dialogue: 0,0:00:51.78,0:00:54.33,Default,,0000,0000,0000,,-
Dialogue: 0,0:00:54.33,0:00:55.80,Default,,0000,0000,0000,,x, y, z
Dialogue: 0,0:00:55.80,0:00:59.60,Default,,0000,0000,0000,,-
Dialogue: 0,0:00:59.60,0:01:00.08,Default,,0000,0000,0000,,โอเค
Dialogue: 0,0:01:00.08,0:01:01.91,Default,,0000,0000,0000,,งั้น x อยู่ระหว่าง 0 กับ 3
Dialogue: 0,0:01:01.91,0:01:03.07,Default,,0000,0000,0000,,นั่นคือ x เท่ากับ 0
Dialogue: 0,0:01:03.07,0:01:09.12,Default,,0000,0000,0000,,นี่คือ x เท่ากับ -- ลองดู, 1, 2, 3
Dialogue: 0,0:01:09.12,0:01:10.57,Default,,0000,0000,0000,,y อยู่ระหว่าง 0 กับ 4
Dialogue: 0,0:01:10.57,0:01:13.18,Default,,0000,0000,0000,,1, 2, 3, 4
Dialogue: 0,0:01:13.18,0:01:15.45,Default,,0000,0000,0000,,งั้นระนาบ x-y จะออกมาแบบนี้
Dialogue: 0,0:01:15.45,0:01:20.52,Default,,0000,0000,0000,,ฐานของทรงสี่เหลี่ยมจะหน้าตาแบบนี้
Dialogue: 0,0:01:20.52,0:01:21.77,Default,,0000,0000,0000,,แล้ว z อยู่ระหว่าง 0 กับ 2
Dialogue: 0,0:01:21.77,0:01:25.35,Default,,0000,0000,0000,,ดังนั้น 0 คือระนาบ x-y, แล้ว 1, 2
Dialogue: 0,0:01:25.35,0:01:27.13,Default,,0000,0000,0000,,งั้นนี่จะเป็นด้านบน
Dialogue: 0,0:01:27.13,0:01:30.60,Default,,0000,0000,0000,,บางทีผมจะใช้สีอีกสีนึง
Dialogue: 0,0:01:30.60,0:01:34.52,Default,,0000,0000,0000,,ดังนั้นนี่อยู่ตามแกน x-z
Dialogue: 0,0:01:34.52,0:01:36.36,Default,,0000,0000,0000,,คุณจะมีขอบตรงนี้, แล้วก็ออกมา
Dialogue: 0,0:01:36.36,0:01:38.32,Default,,0000,0000,0000,,เป็นแบบนี้
Dialogue: 0,0:01:38.32,0:01:41.85,Default,,0000,0000,0000,,คุณมีขอบตรงนี้, เข้ามาข้างในแบบนี้
Dialogue: 0,0:01:41.85,0:01:43.81,Default,,0000,0000,0000,,ขอบตรงนี้
Dialogue: 0,0:01:43.81,0:01:45.60,Default,,0000,0000,0000,,งั้นเราอยากหาปริมาตรของลูกบาศก์นี้
Dialogue: 0,0:01:45.60,0:01:46.37,Default,,0000,0000,0000,,คุณก็ทำได้
Dialogue: 0,0:01:46.37,0:01:51.54,Default,,0000,0000,0000,,คุณอาจบอกว่า, เอาล่ะ, ความลึกคือ 3, ฐาน, ความกว้างคือ 4,
Dialogue: 0,0:01:51.54,0:01:53.92,Default,,0000,0000,0000,,ดังนั้นพื้นที่คือ 12 คูณความสูง
Dialogue: 0,0:01:53.92,0:01:55.17,Default,,0000,0000,0000,,12 คูณ 2 ได้ 24
Dialogue: 0,0:01:55.17,0:01:58.98,Default,,0000,0000,0000,,คุณอาจบอกว่ามันคือ 24 ลูกบาศก์หน่วย อะไรก็ตาม
Dialogue: 0,0:01:58.98,0:01:59.63,Default,,0000,0000,0000,,ที่เราใช้อยู่
Dialogue: 0,0:01:59.63,0:02:01.99,Default,,0000,0000,0000,,แต่ลองทำด้วยอินทิกรัลสามชั้นกัน
Dialogue: 0,0:02:01.99,0:02:03.64,Default,,0000,0000,0000,,แล้วอินทิกรัลสามชั้นหมายถึงอะไร?
Dialogue: 0,0:02:03.64,0:02:07.11,Default,,0000,0000,0000,,ทีนี้, ที่เราทำได้คือ เราเอาปริมาตรเล็กจิ๋ว
Dialogue: 0,0:02:07.11,0:02:10.67,Default,,0000,0000,0000,,-- ผมไม่อยากบอกว่าพื้นที่ -- ของปริมาตรเล็ก ๆ
Dialogue: 0,0:02:10.67,0:02:14.77,Default,,0000,0000,0000,,งั้นสมมุติว่า ผมเอาปริมาตรของลูกบาศก์เล็ก ๆ
Dialogue: 0,0:02:14.77,0:02:17.81,Default,,0000,0000,0000,,สักอันในนี้ -- ในปริมาตรที่เราอยากหา
Dialogue: 0,0:02:17.81,0:02:20.16,Default,,0000,0000,0000,,และมันจะเริ่มเข้าใจขึ้น, หรือมันเริ่ม
Dialogue: 0,0:02:20.16,0:02:22.86,Default,,0000,0000,0000,,มีประโยชน์ขึ้น, เมื่อเรามีขอบ ผิว
Dialogue: 0,0:02:22.86,0:02:25.05,Default,,0000,0000,0000,,และเส้นโค้งแปรค่าได้เป็นขอบ
Dialogue: 0,0:02:25.05,0:02:26.84,Default,,0000,0000,0000,,แต่สมมุติว่าเราอยากหาปริมาตรของ
Dialogue: 0,0:02:26.84,0:02:29.78,Default,,0000,0000,0000,,ลูกบาศก์เล็ก ๆ ตรงนี้
Dialogue: 0,0:02:29.78,0:02:30.59,Default,,0000,0000,0000,,นั่นคือลูกบาศก์ผม
Dialogue: 0,0:02:30.59,0:02:33.63,Default,,0000,0000,0000,,มันคือที่ที่นึงในลูกบาศก์อันใหญ่, สี่เหลี่ยมอันใหญ่,
Dialogue: 0,0:02:33.63,0:02:35.46,Default,,0000,0000,0000,,สี่เหลี่ยมลูกบาศก์, อะไรก็ได้แล้วแต่คุณจะเรียก
Dialogue: 0,0:02:35.46,0:02:36.54,Default,,0000,0000,0000,,แล้วปริมาตรของลูกบาศก์นั้นคืออะไร?
Dialogue: 0,0:02:36.54,0:02:38.93,Default,,0000,0000,0000,,สมมุติว่าความกว้างคือ dy
Dialogue: 0,0:02:38.93,0:02:42.32,Default,,0000,0000,0000,,-
Dialogue: 0,0:02:42.32,0:02:44.01,Default,,0000,0000,0000,,ความยาวนั่นตรงนั้นคือ dy
Dialogue: 0,0:02:44.01,0:02:46.81,Default,,0000,0000,0000,,ความสูงคือ dx
Dialogue: 0,0:02:46.81,0:02:49.66,Default,,0000,0000,0000,,โทษที, ไม่, ความสูงคือ dz, จริงไหม?
Dialogue: 0,0:02:49.66,0:02:51.84,Default,,0000,0000,0000,,วิธีที่ผมวาดมัน, z คือขึ้นกับลง
Dialogue: 0,0:02:51.84,0:02:53.86,Default,,0000,0000,0000,,และความลึกคือ dx
Dialogue: 0,0:02:53.86,0:02:55.94,Default,,0000,0000,0000,,นี่คือ dx
Dialogue: 0,0:02:55.94,0:02:56.75,Default,,0000,0000,0000,,นี่คือ dz
Dialogue: 0,0:02:56.75,0:02:57.72,Default,,0000,0000,0000,,นี่คือ dy
Dialogue: 0,0:02:57.72,0:03:01.26,Default,,0000,0000,0000,,ดังนั้นคุณอาจบอกว่าปริมาตรเล็ก ๆ ภายในปริมาตรอันใหญ่
Dialogue: 0,0:03:01.26,0:03:04.83,Default,,0000,0000,0000,,-- คุณอาจเรียกมันว่า dv, ซึ่งก็คือดิฟเฟอเรนเชียล
Dialogue: 0,0:03:04.83,0:03:06.75,Default,,0000,0000,0000,,ปริมาตรอย่างนึง
Dialogue: 0,0:03:06.75,0:03:10.29,Default,,0000,0000,0000,,และนั่นจะเท่ากับ, คุณอาจบอกว่า, มันก็คือ
Dialogue: 0,0:03:10.29,0:03:13.99,Default,,0000,0000,0000,,ความกว้างคูณ ความยาวคูณ ความสูง
Dialogue: 0,0:03:13.99,0:03:15.95,Default,,0000,0000,0000,,dx คูณ dy คูณ dz
Dialogue: 0,0:03:15.95,0:03:17.76,Default,,0000,0000,0000,,และคุณอาจเปลี่ยนลำดับมันได้} จริงไหม?
Dialogue: 0,0:03:17.76,0:03:21.01,Default,,0000,0000,0000,,เพราะการคูณนั้นเปลี่ยนที่ได้, และลำดับ
Dialogue: 0,0:03:21.01,0:03:22.92,Default,,0000,0000,0000,,ไม่ได้สำคัญอะไรพวกนั้น
Dialogue: 0,0:03:22.92,0:03:24.54,Default,,0000,0000,0000,,แต่ช่างเถอะ, คุณทำอะไรกับมันได้บ้าง?
Dialogue: 0,0:03:24.54,0:03:27.29,Default,,0000,0000,0000,,ทีนี้, เราก็หาอินทิกรัลได้แล้ว
Dialogue: 0,0:03:27.29,0:03:32.52,Default,,0000,0000,0000,,อินทิกรัลทั้งหมดช่วยเราหาผลรวมอนันต์ของ
Dialogue: 0,0:03:32.52,0:03:36.08,Default,,0000,0000,0000,,ระยะเล็กจิ๋ว, อย่างเช่น dz หรือ dx หรือ
Dialogue: 0,0:03:36.08,0:03:38.24,Default,,0000,0000,0000,,dy, ฯลฯ
Dialogue: 0,0:03:38.24,0:03:41.62,Default,,0000,0000,0000,,งั้น สิ่งที่เราทำได้คือ เราสามารถเอาลูกบาศก์นี้มาก่อน
Dialogue: 0,0:03:41.62,0:03:44.11,Default,,0000,0000,0000,,บวกมันเข้า สมมุติว่า ในทิศ z
Dialogue: 0,0:03:44.11,0:03:48.33,Default,,0000,0000,0000,,งั้นเราสามารถเอาลูกบาศก์นั้นมาแล้วรวมมันตามแกน
Dialogue: 0,0:03:48.33,0:03:51.23,Default,,0000,0000,0000,,ขึ้นลง -- แกน z -- โดยที่เราได้
Dialogue: 0,0:03:51.23,0:03:52.41,Default,,0000,0000,0000,,ปริมาตรของคอลัมน์นึงได้
Dialogue: 0,0:03:52.41,0:03:54.55,Default,,0000,0000,0000,,แล้วมันหน้าตาเป็นยังไง?
Dialogue: 0,0:03:54.55,0:03:56.93,Default,,0000,0000,0000,,ทีนี้, เนื่องจากเรากำลังขึ้นลง, เรากำลังรวม -- เรา
Dialogue: 0,0:03:56.93,0:04:00.67,Default,,0000,0000,0000,,กำลังรวมในทิศ z
Dialogue: 0,0:04:00.67,0:04:02.61,Default,,0000,0000,0000,,เราจะได้อินทิกรัล
Dialogue: 0,0:04:02.61,0:04:04.66,Default,,0000,0000,0000,,แล้วค่า z ที่น้อยที่สุดคืออะไร?
Dialogue: 0,0:04:04.66,0:04:08.31,Default,,0000,0000,0000,,ทีนี้, มันก็แค่ z เท่ากับ 0
Dialogue: 0,0:04:08.31,0:04:09.28,Default,,0000,0000,0000,,แล้วขอบบนล่ะ?
Dialogue: 0,0:04:09.28,0:04:12.07,Default,,0000,0000,0000,,เช่นเดียวกัน คุณก็เอา -- ลูกบาศก์พวกนี้รวมกัน
Dialogue: 0,0:04:12.07,0:04:14.19,Default,,0000,0000,0000,,ขึ้นไปเรื่อย ๆ จนคุณไปถึงขอบบบน
Dialogue: 0,0:04:14.19,0:04:14.77,Default,,0000,0000,0000,,งั้นขอบบนคืออะไร?
Dialogue: 0,0:04:14.77,0:04:16.10,Default,,0000,0000,0000,,มันคือ z เท่ากับ 2
Dialogue: 0,0:04:16.10,0:04:20.58,Default,,0000,0000,0000,,-
Dialogue: 0,0:04:20.58,0:04:25.01,Default,,0000,0000,0000,,และแน่นอน, คุณได้รวม dv พวกนี้
Dialogue: 0,0:04:25.01,0:04:26.13,Default,,0000,0000,0000,,และผมจะเขียน dz ก่อน
Dialogue: 0,0:04:26.13,0:04:28.17,Default,,0000,0000,0000,,แค่ให้เรารู้ว่าเรากำลัง
Dialogue: 0,0:04:28.17,0:04:30.43,Default,,0000,0000,0000,,หาอินทิกรัลเทียบกับ z ก่อน
Dialogue: 0,0:04:30.43,0:04:32.01,Default,,0000,0000,0000,,แล้วสมมุติว่าเราทำ y ต่อ
Dialogue: 0,0:04:32.01,0:04:34.20,Default,,0000,0000,0000,,แล้วเราจะทำ x
Dialogue: 0,0:04:34.20,0:04:37.43,Default,,0000,0000,0000,,ดังนั้นในอินทิกรัลนี้, ค่านี้, อย่างที่ผมเขียนมัน, จะ
Dialogue: 0,0:04:37.43,0:04:42.02,Default,,0000,0000,0000,,บอกปริมาตรของคอลัมน์ ณ ค่า x กับ y ใด ๆ
Dialogue: 0,0:04:42.02,0:04:45.24,Default,,0000,0000,0000,,มันจะเป็นฟังก์ชันของ x กับ y, แต่เพราะเรากำลังยุ่ง
Dialogue: 0,0:04:45.24,0:04:47.13,Default,,0000,0000,0000,,กับค่าคงที่ตรงนี้, มันจะเป็นค่า
Dialogue: 0,0:04:47.13,0:04:48.60,Default,,0000,0000,0000,,คงที่
Dialogue: 0,0:04:48.60,0:04:52.16,Default,,0000,0000,0000,,มันจะเป็นค่าคงที่ คือ ปริมาตรของ
Dialogue: 0,0:04:52.16,0:04:53.89,Default,,0000,0000,0000,,คอลัมน์พวกนี้หนึ่งอัน
Dialogue: 0,0:04:53.89,0:04:56.58,Default,,0000,0000,0000,,งั้นในที่สุด มันเท่ากับ 2 คูณ dy dx
Dialogue: 0,0:04:56.58,0:04:59.33,Default,,0000,0000,0000,,เพราะความสูงของคอลัมน์แต่ละอันเท่ากับ 2
Dialogue: 0,0:04:59.33,0:05:03.71,Default,,0000,0000,0000,,แล้วความกว้างกับความลึกคือ dy กับ dx
Dialogue: 0,0:05:03.71,0:05:06.57,Default,,0000,0000,0000,,ดังนั้นหากเราอยากหาปริมาตรทั้งหมด -- สิ่ง
Dialogue: 0,0:05:06.57,0:05:09.27,Default,,0000,0000,0000,,ที่เราเพิ่งทำไป คือ เราหาความสูงของคอลัมน์อันนึง
Dialogue: 0,0:05:09.27,0:05:11.30,Default,,0000,0000,0000,,แล้วเราก็เอาคอลัมน์พวกนั้นมาแล้วรวมมัน
Dialogue: 0,0:05:11.30,0:05:13.73,Default,,0000,0000,0000,,ในทิศ y
Dialogue: 0,0:05:13.73,0:05:15.71,Default,,0000,0000,0000,,ดังนั้นหากเรารวมมันในทิศ y, เราแค่หาอินทิกรัล
Dialogue: 0,0:05:15.71,0:05:20.34,Default,,0000,0000,0000,,อีกทีของผลรวมในทิศ y
Dialogue: 0,0:05:20.34,0:05:25.65,Default,,0000,0000,0000,,และ y ไปจาก 0 ถึงอะไร? y ไปจาก 0 ถึง 4
Dialogue: 0,0:05:25.65,0:05:27.18,Default,,0000,0000,0000,,ผมเขียนอินทิกรัลนี้ไปทางซ้ายไกลไปหน่อย
Dialogue: 0,0:05:27.18,0:05:28.30,Default,,0000,0000,0000,,มันดูแปลก ๆ
Dialogue: 0,0:05:28.30,0:05:31.00,Default,,0000,0000,0000,,แต่ผมว่าคุณคงเข้าใจ
Dialogue: 0,0:05:31.00,0:05:33.39,Default,,0000,0000,0000,,y เท่ากับ 0, ถึง y เท่ากับ 4
Dialogue: 0,0:05:33.39,0:05:37.42,Default,,0000,0000,0000,,แล้วนั่นจะบอกเราถึงปริมาตรของแผ่นที่
Dialogue: 0,0:05:37.42,0:05:40.29,Default,,0000,0000,0000,,ขนานกับระนาบ zy
Dialogue: 0,0:05:40.29,0:05:44.25,Default,,0000,0000,0000,,แล้วที่เราเหลือ ก็คือ รวมแผ่นพวกนั้น
Dialogue: 0,0:05:44.25,0:05:46.57,Default,,0000,0000,0000,,ในทิศ x, และเราจะได้ปริมาตร
Dialogue: 0,0:05:46.57,0:05:48.21,Default,,0000,0000,0000,,ของรูปทั้งหมดของเรา
Dialogue: 0,0:05:48.21,0:05:50.19,Default,,0000,0000,0000,,ดังนั้นในการรวมแผ่นพวกนั้น, เราต้องรวม
Dialogue: 0,0:05:50.19,0:05:51.75,Default,,0000,0000,0000,,ในทิศ x
Dialogue: 0,0:05:51.75,0:05:57.06,Default,,0000,0000,0000,,และเราจะไปจาก x เท่ากับ 0, ถึง x เท่ากับ 3
Dialogue: 0,0:05:57.06,0:05:58.66,Default,,0000,0000,0000,,และการหาค่ามัน ก็ค่อนข้าง
Dialogue: 0,0:05:58.66,0:05:59.69,Default,,0000,0000,0000,,ตรงไปตรงมา
Dialogue: 0,0:05:59.69,0:06:03.02,Default,,0000,0000,0000,,งั้น, อย่างแรกเราหาอินทิกรัลเทียบกับ z
Dialogue: 0,0:06:03.02,0:06:05.09,Default,,0000,0000,0000,,ทีนี้, เราไม่มีอะไรเขียนไว้ตรงนี้, แต่เรา
Dialogue: 0,0:06:05.09,0:06:06.74,Default,,0000,0000,0000,,รู้อยู่ว่ามันมี 1 อยู่, จริงไหม?
Dialogue: 0,0:06:06.74,0:06:10.16,Default,,0000,0000,0000,,เพราะ dz คูณ dy คูณ dx นั้นเหมือนกับ
Dialogue: 0,0:06:10.16,0:06:12.94,Default,,0000,0000,0000,,1 คูณ dz คูณ dy dx
Dialogue: 0,0:06:12.94,0:06:15.50,Default,,0000,0000,0000,,แล้วค่าของอินทิกรัลนี้คืออะไร?
Dialogue: 0,0:06:15.50,0:06:18.76,Default,,0000,0000,0000,,ทีนี้, แอนติเดริเวทีฟของ 1 เทียบกับ
Dialogue: 0,0:06:18.76,0:06:20.65,Default,,0000,0000,0000,,z ก็แค่ z, จริงไหม?
Dialogue: 0,0:06:20.65,0:06:22.70,Default,,0000,0000,0000,,เพราะอนุพันธ์ของ z เท่ากับ 1
Dialogue: 0,0:06:22.70,0:06:27.64,Default,,0000,0000,0000,,แล้วคุณก็แทนค่ามันจาก 2 ถึง 0
Dialogue: 0,0:06:27.64,0:06:30.21,Default,,0000,0000,0000,,แล้วคุณจะเหลือ -- มันคือ 2 ลบ 0
Dialogue: 0,0:06:30.21,0:06:31.58,Default,,0000,0000,0000,,งั้นคุณก็เหลือ 2
Dialogue: 0,0:06:31.58,0:06:34.39,Default,,0000,0000,0000,,คุณเหลือ 2, แล้วคุณก็หาอินทิกรัลของอันนั้น
Dialogue: 0,0:06:34.39,0:06:38.08,Default,,0000,0000,0000,,จาก y เท่ากับ 0, ถึง y เท่ากับ 4 dy, แล้ว
Dialogue: 0,0:06:38.08,0:06:40.06,Default,,0000,0000,0000,,คุณได้ x
Dialogue: 0,0:06:40.06,0:06:45.28,Default,,0000,0000,0000,,จาก x เท่ากับ 0, ถึง x เท่ากับ 3 dx
Dialogue: 0,0:06:45.28,0:06:48.44,Default,,0000,0000,0000,,และระลึกไว้, ตอนเราหาอินทิกรัลเทียบกับ
Dialogue: 0,0:06:48.44,0:06:50.21,Default,,0000,0000,0000,,z, เราจะได้อินทิกรัลสองชั้น
Dialogue: 0,0:06:50.21,0:06:52.83,Default,,0000,0000,0000,,และอินทิกรัลสองชั้นนี้ก็คือ อินทิกรัลเดียวกับที่เรา
Dialogue: 0,0:06:52.83,0:06:56.44,Default,,0000,0000,0000,,ทำในวิดีโอที่แล้วเรื่องอินทิกรัลสองชั้น, โดยคุณ
Dialogue: 0,0:06:56.44,0:06:59.51,Default,,0000,0000,0000,,อาจบอกว่า z เป็นฟังก์ชันของ x กับ y
Dialogue: 0,0:06:59.51,0:07:01.88,Default,,0000,0000,0000,,ดังนั้นคุณก็เขียนมัน, คุณก็รู้, z, เป็นฟังก์ชันของ x
Dialogue: 0,0:07:01.88,0:07:04.23,Default,,0000,0000,0000,,และ y, ซึ่งเท่ากับ 2 ตลอด
Dialogue: 0,0:07:04.23,0:07:05.18,Default,,0000,0000,0000,,มันเป็นฟังก์ชันคงที่
Dialogue: 0,0:07:05.18,0:07:06.98,Default,,0000,0000,0000,,มันไม่ขึ้นอยู่กับ x และ y
Dialogue: 0,0:07:06.98,0:07:09.21,Default,,0000,0000,0000,,แต่หากคุณนิยาม z แบบนี้, และคุณอยากหา
Dialogue: 0,0:07:09.21,0:07:11.98,Default,,0000,0000,0000,,ปริมาตรใต้พื้นผิวนี้, โดยที่ผิว
Dialogue: 0,0:07:11.98,0:07:15.37,Default,,0000,0000,0000,,คือ z เท่ากับ 2 -- คุณก็รู้, นี่คือผิว, คือ z
Dialogue: 0,0:07:15.37,0:07:17.58,Default,,0000,0000,0000,,เท่ากับ 2 -- เราก็จะได้ออกมาแบบนี้
Dialogue: 0,0:07:17.58,0:07:19.13,Default,,0000,0000,0000,,ดังนั้นคุณจะเห็นว่า สิ่งที่เราทำกับอินทิกรัล
Dialogue: 0,0:07:19.13,0:07:21.03,Default,,0000,0000,0000,,สามชั้น, ที่จริงแล้วมันไม่ได้ต่างกันเลย
Dialogue: 0,0:07:21.03,0:07:22.06,Default,,0000,0000,0000,,และคุณอาจสงสัยว่า, แล้วเราจะทำแบบนี้
Dialogue: 0,0:07:22.06,0:07:22.84,Default,,0000,0000,0000,,ทำไม?
Dialogue: 0,0:07:22.84,0:07:25.73,Default,,0000,0000,0000,,ผมจะแสดงให้คุณเห็นในไม่ช้า
Dialogue: 0,0:07:25.73,0:07:28.32,Default,,0000,0000,0000,,แต่เอาล่ะ, ในการหาค่ามัน, คุณก็หา
Dialogue: 0,0:07:28.32,0:07:32.07,Default,,0000,0000,0000,,แอนติเดริเวทีฟของอันนี้เทียบกับ y, คุณจะได้ 2y -- ขอผม
Dialogue: 0,0:07:32.07,0:07:33.76,Default,,0000,0000,0000,,เลื่อนมันลงมาหน่อย
Dialogue: 0,0:07:33.76,0:07:38.53,Default,,0000,0000,0000,,คุณจะได้ 2y แทนค่าที่ 4 กับ 0
Dialogue: 0,0:07:38.53,0:07:41.15,Default,,0000,0000,0000,,แล้ว, คุณจะได้ 2 คูณ 4
Dialogue: 0,0:07:41.15,0:07:42.54,Default,,0000,0000,0000,,ดังนั้นมันคือ 8 ลบ 0
Dialogue: 0,0:07:42.54,0:07:46.07,Default,,0000,0000,0000,,แล้วคุณก็อินทิเกรตจาก, เทียบกับ
Dialogue: 0,0:07:46.07,0:07:48.34,Default,,0000,0000,0000,,x จาก 0 ถึง 3
Dialogue: 0,0:07:48.34,0:07:52.43,Default,,0000,0000,0000,,ดังนั้นนั่นคือ 8x จาก 0 ถึง 3
Dialogue: 0,0:07:52.43,0:07:55.43,Default,,0000,0000,0000,,ดังนั้นนั่นจะเท่ากับ 24 หน่วยกำลังสาม
Dialogue: 0,0:07:55.43,0:07:59.78,Default,,0000,0000,0000,,ผมรู้ว่า คำถามนึงแน่ ๆ คือ แล้วมันมีดีอะไร?
Dialogue: 0,0:07:59.78,0:08:05.42,Default,,0000,0000,0000,,ตอนคุณมีค่าคงที่ใน
Dialogue: 0,0:08:05.42,0:08:06.40,Default,,0000,0000,0000,,ปริมาตร, คุณก็คิดถูกแล้ว
Dialogue: 0,0:08:06.40,0:08:08.23,Default,,0000,0000,0000,,คุณสามารถทำได้ด้วยอินทิกรัลสองชั้น
Dialogue: 0,0:08:08.23,0:08:11.61,Default,,0000,0000,0000,,แต่ถ้าหากผมบอกคุณว่า, เป้าหมายเราไม่ใช่การหา
Dialogue: 0,0:08:11.61,0:08:13.67,Default,,0000,0000,0000,,ปริมาตรของรูปนี้ล่ะ
Dialogue: 0,0:08:13.67,0:08:16.55,Default,,0000,0000,0000,,เป้าเหมายเรากลายเป็นการหามวลของรูปนี้
Dialogue: 0,0:08:16.55,0:08:21.66,Default,,0000,0000,0000,,และยิ่งไปกว่านั้น, ปริมาตรนี้ -- พื้นที่ของที่ว่าง หรือ
Dialogue: 0,0:08:21.66,0:08:23.67,Default,,0000,0000,0000,,อะไรก็ตาม -- มวลของมันไม่สม่ำเสมอ
Dialogue: 0,0:08:23.67,0:08:28.19,Default,,0000,0000,0000,,หากมวลมันสม่ำเสมอ, คุณอาจคูณความหนาแน่นสม่ำเสมอนั้น
Dialogue: 0,0:08:28.19,0:08:31.24,Default,,0000,0000,0000,,กับปริมาตร, คุณจะได้มวลมันมา
Dialogue: 0,0:08:31.24,0:08:33.04,Default,,0000,0000,0000,,แต่สมมุติว่าความหนาแน่นเปลี่ยนไป
Dialogue: 0,0:08:33.04,0:08:36.34,Default,,0000,0000,0000,,มันอาจเป็นปริมาตรของแก๊ส หรืออาจเป็น
Dialogue: 0,0:08:36.34,0:08:39.07,Default,,0000,0000,0000,,วัสดุที่มีองค์ประกอบหลาอย่างปนกัน
Dialogue: 0,0:08:39.07,0:08:42.37,Default,,0000,0000,0000,,สมมุติว่าความหนาแน่นมันเป็นฟังก์ชันขึ้นอยู่
Dialogue: 0,0:08:42.37,0:08:43.24,Default,,0000,0000,0000,,กับ x,y และ z
Dialogue: 0,0:08:43.24,0:08:47.65,Default,,0000,0000,0000,,งั้นสมมุติว่าความหนาแน่น -- rho นี้ สิ่งที่เหมือนกับ
Dialogue: 0,0:08:47.65,0:08:50.72,Default,,0000,0000,0000,,ตัว p คือ สิ่งที่คุณมักใช้ในฟิสิกส์แทนความหนาแน่น -- ดังนั้น
Dialogue: 0,0:08:50.72,0:08:54.39,Default,,0000,0000,0000,,ความหนาแน่นเป็นฟังก์ชันของ x, y กับ z
Dialogue: 0,0:08:54.39,0:08:55.71,Default,,0000,0000,0000,,ลอง -- เพื่อให้ง่าย -- สมมุติว่ามันคือ
Dialogue: 0,0:08:55.71,0:08:59.84,Default,,0000,0000,0000,,x คูณ y คูณ z
Dialogue: 0,0:08:59.84,0:09:06.02,Default,,0000,0000,0000,,หากเราอยากหามวลของปริมาตรเล็ก ๆ,
Dialogue: 0,0:09:06.02,0:09:08.44,Default,,0000,0000,0000,,มันจะเท่ากับปริมาตรนั่นคูณกับความหนาแน่น, จริงไหม?
Dialogue: 0,0:09:08.44,0:09:12.19,Default,,0000,0000,0000,,เพราะความหนาแน่น -- หน่วยของความหนาแน่น อาจเป็น กิโลกรัม
Dialogue: 0,0:09:12.19,0:09:13.59,Default,,0000,0000,0000,,ต่อลูกบาศก์เมตร
Dialogue: 0,0:09:13.59,0:09:16.40,Default,,0000,0000,0000,,ดังนั้นหากคุณคูณมันกับเมตรกำลังสาม, คุณจะได้ กิโลกรัม
Dialogue: 0,0:09:16.40,0:09:20.26,Default,,0000,0000,0000,,ดังนั้นคุณอาจบอกว่า มวล -- ทีนี้, ผมจะสมมุติสัญลักษณ์, d
Dialogue: 0,0:09:20.26,0:09:23.73,Default,,0000,0000,0000,,มวล -- นี่ไม่ใช่ฟังก์ชัน
Dialogue: 0,0:09:23.73,0:09:25.23,Default,,0000,0000,0000,,ทีนี้, ผมอยากเขียนมันในวงเล็บ, เพราะมัน
Dialogue: 0,0:09:25.23,0:09:26.23,Default,,0000,0000,0000,,ทำให้มันดูเหมือนฟังก์ชัน
Dialogue: 0,0:09:26.23,0:09:30.49,Default,,0000,0000,0000,,ดังนั้น, มวลดิฟเฟอเรนเชียลเล็ก ๆ, หรือมวลเล็กจิ๋ว, จะ
Dialogue: 0,0:09:30.49,0:09:35.86,Default,,0000,0000,0000,,เท่ากับความหนาแน่น ณ จุดนั้น, ซึ่งเท่ากับ xyz,
Dialogue: 0,0:09:35.86,0:09:39.81,Default,,0000,0000,0000,,คูร ปริมาตรของมวลเล็ก ๆ นั่น
Dialogue: 0,0:09:39.81,0:09:42.78,Default,,0000,0000,0000,,แล้วปริมาตรของมวลเล็ก เราสามารถเขียนเป็น dv
Dialogue: 0,0:09:42.78,0:09:48.79,Default,,0000,0000,0000,,และเรารู้ว่า dv ก็เหมือนกับความกว้าง คูณ
Dialogue: 0,0:09:48.79,0:09:49.67,Default,,0000,0000,0000,,ความสูง คูณความลึก
Dialogue: 0,0:09:49.67,0:09:52.35,Default,,0000,0000,0000,,dv ไม่จำเป็นต้องเป็น dx คูณ dy คูณ dz เสมอไป
Dialogue: 0,0:09:52.35,0:09:54.00,Default,,0000,0000,0000,,หากเราใช้ระบบพิกัดอื่น, หากเราใช้พิกัด
Dialogue: 0,0:09:54.00,0:09:57.67,Default,,0000,0000,0000,,แบบขั้ว, มันจะต่างออกไป
Dialogue: 0,0:09:57.67,0:09:59.16,Default,,0000,0000,0000,,และเราจะใช้มันในที่สุด
Dialogue: 0,0:09:59.16,0:10:01.28,Default,,0000,0000,0000,,แต่หากเราอยากหามวล, เนื่องจากเราใช้พิกัด
Dialogue: 0,0:10:01.28,0:10:03.55,Default,,0000,0000,0000,,สี่เหลี่ยม, มันจะเท่ากับ ฟังก์ชันความหนาแน่น
Dialogue: 0,0:10:03.55,0:10:07.03,Default,,0000,0000,0000,,ณ จุดนั้น คุณปริมาตรดิฟเฟอเรนเชียล
Dialogue: 0,0:10:07.03,0:10:11.33,Default,,0000,0000,0000,,ดังนั้นคูณ dx dy dz
Dialogue: 0,0:10:11.33,0:10:13.87,Default,,0000,0000,0000,,และแน่นอน, เราสามารถเปลี่ยนลำดับได้
Dialogue: 0,0:10:13.87,0:10:16.39,Default,,0000,0000,0000,,ดังนั้นเมื่อคุณอยากหาปริมาตร -- ตอนคุณอยาก
Dialogue: 0,0:10:16.39,0:10:19.00,Default,,0000,0000,0000,,หามวลออกมา -- ซึ่งผมจะทำในวิดีโอหน้า, เรา
Dialogue: 0,0:10:19.00,0:10:21.29,Default,,0000,0000,0000,,จะต้องอินทิเกรตฟังก์ชันนี้ในที่สุด
Dialogue: 0,0:10:21.29,0:10:27.40,Default,,0000,0000,0000,,เทียบกับ z, y และ x
Dialogue: 0,0:10:27.40,0:10:28.69,Default,,0000,0000,0000,,และผมจะทำมันในวิดีโอหน้า
Dialogue: 0,0:10:28.69,0:10:32.05,Default,,0000,0000,0000,,แล้วคุณจะเห็นว่ามันก็แค่การหาแอนติเดริเวทีฟ
Dialogue: 0,0:10:32.05,0:10:34.70,Default,,0000,0000,0000,,ง่าย ๆ โดยหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดง่าย ๆ
Dialogue: 0,0:10:34.70,0:10:37.28,Default,,0000,0000,0000,,แล้วพบกันใหม่ในวิดีโอหน้าครับ
Dialogue: 0,0:10:37.28,0:10:37.90,Default,,0000,0000,0000,,-