Całkowanie po objętości

Wstęp do całkowania po objętości

Przypuśćmy, że chcę obliczyć objętość prostopadłościamu, w którym,

powiedzmy, x jest większy

bądź równa 0 i mniejszy bądź równy

na przykład 3.

Powiedzmy, że y jest większe bądź równe 0, i

mniejsze bądź równe 4.

Z natomiast jest większe bądź równe 0 i

mniejsze bądź równe 2.

Znając podstawy geometrii można obliczyć objętość--

mnożąc szerokość razy wysokość i razy

głębokość otrzymamy objętość.

Podaję te przykłady, żeby pokazać

na czym polega całka potrójna i w jaki sposób łączy się

z całka podwójną, i żeby potem móc zająć się

trudniejszymi przykładami.

Teraz narysuję objętość.

Oś x, oś z i oś y.

x,y,z,

ok

x znajduje się pomiędzy 0 i 3.

to x jest równe 0.

to x jest równe-- powiedzmy 1,2,3.

y jest pomiędzy 0 i 4.

1,2,3,4.

Płaszczyzna x-y będzie wyglądać mniej więcej tak.

Podstawa naszego sześcianu będzie mniej więcej taka.

Z jest pomiędzy 0 i 2.

Tak więc 0 stanowi płaszczyznę x-y, a potem 1,2.

I to będzie górna podstawa sześcianu.

A teraz użyję innego koloru.

Rysuję wzdłuż oś x-z.

Tutaj byłaby krawędź,

ona prowadzi aż dotąd.

Kolejna krawędź dotąd.

I następna tutaj.

Chcemy zatem obliczyć objętość sześciokąta.

I to jest do wykonania.

Powiedzmy, że głębokość wynosi 3, podstawa, szerokość 4,

więc ta przestrzeń jest 12 razy większa od wysokości.

12 razy 2 jest 24.

Można stwierdzić, że jest to 24 metry sześcienne, w zależności

jakich jednostek używamy.

Ale potraktujmy to jako całko potrójną.

Co wogóle oznacza całka potrójna?

Bierzemy bardzo małą objętość--

-- nie chodzi tu o powierzchnię.

Powiedzmy, że chcę obliczyć objętość małego sześcianu.

Niektórzy wpisują tutaj-- w objętość o której mowa.

Ma to sens i jest

bardzo pomocne, gdy krawędzie i powierzchnie są różnej długości

a krzywe są krawędziami.

Ale załóżmy, że chcemy obliczyć objętość

tego małego sześcianu.

To jest mój sześcian.

Jest gdzieś w tym większym sześcianie, większym prostokącie

prostokąt regularny, jakkolwiek go nazwiemy.

Jaka jest jego objętość?

Powiedzmy, że jego szerokość to dy.

Zatem ta długość też jest dy.

Wysokość dx.

Błąd, wysokość to dz, zgadza się?

Z idzie przecież od dołu do góry.

A głębokość to dx.

To jest dx.

To dz.

A to dy.

To jest ta mała objętość sześcianu, który znajduje się w większym sześcianie

można ją nazwać dv, co jest rodzajem

różniczki objętości.

I to się równa,

szerokość razy długość razy wysokość.

dx razy dy razy dz.

Kolejność nie ma znaczenia,

ponieważ mnożenie jest łączne,

i kolejność jest nieważna.

Dobrze, ale co możemy tutaj zrobić?

Można zastosować całkę.

Całki pomagają zostosować nieskończone sumy

niezwykle małych odległości, jak np. dz czy dx

czy dy, itd.

Zatem najpierw powinniśmy zająć się tym sześcianem

i dodać odległość z.

Możemy dodać odległość

na osi z, tak by otrzymać

objętość kolumny.

Jak to wygląda w praktyce?

Ponieważ kierujemy się w górę i w dół, dodajemy--

interesuje nas suma w kierunku z.

Otrzymalibyśmy całkę.

Jaka jest najniższa wartość z?

Z jest równe 0.

A jaka jest górna granica?

Dodawaj sześciany, i

idź w górę, dojdziesz wtedy do górnej granicy.

A jaka jest góna granica?

Jest równa 2.

Oczywiście należałoby wziąć sumę objętości dv.

Zapiszę dz jako pierwsze,

żeby pamiętać, że mamy

zastosować całkę najpierw z z.

Potem zrobimy y.

A na końcu x.

Za pomocą tej całki, tej wartości, którą zapisałem,

obliczymy objętość kolumny podając x i y.

To będzie funkcja x i y, ale ponieważ zajmujemy się tutaj

stałymi, będzie to również

wartość stała.

Będzie to stała wartość jednej

z tych kolumn.

Ogólnie rzecz biorąc, będzie to wyglądać tak: 2 razy dy dx.

Ponieważ wysokość jednej z tych kolumn wynosi 2,

a jej szerokość i głębokość to dy i dx.

Jeśli chcemy obliczyć całą objętość--

przed chwilą obliczyliśmy wysokość kolumny.

Następnie liczymy sumę tych kolumn

w kierunku y/na osi y.

Jeśli liczymy sumę na osi y, możemy zastosować

inną całkę tej sumy na osi y.

Y zaczyna się w 0 a kończy? W 4.

Zapisałem tę całkę za bardzo z lewej strony,

wygląda to dość dziwnie.

Ale myślę, że wiesz o co chodzi.

Y równa się od 0 do 4.

I to nam da objętość arkusza/pola

równoległego do przestrzeni zy.

I pozostało nam jedynie dodać

pola zgodne z kierunkiem osi x, i uzyskamy objętość

całej figury.

Żeby dodać te pola musimy, musimy dodawać

w kierunku x.

I idziemy od x równa się 0 do x równa się 3.

Obliczenie tego okazuje się

dosyć proste.

Więc na początku obliczamy całkę w odniesieniu do z.

Wprawdzie tutaj nie jest nic napisane,

ale możemy przypuszczać, że chodzi o 1, prawda?

Ponieważ dz razy dy razy dx to to samo co

1 razy dz razy dy dx.

Ile zatem wynosi ta całka?

Zatem całka nieoznaczona z 1 w odniesieniu

do z równa się z, zgadza się?

Dlatego, że pochodną z jest 1.

I można to obliczyć od 2 do 0.

I zostaje-- 2 minus 0

zostaje 2.

Zostało 2, więc liczysz całkę z 2

od y równa się 0 do y równa się 4 dy, a potem

bierzesz x.

Od x równa się 0 do x równa się 3 dx.

I zauważ jedną rzecz, kiedy obliczamy całkę względem

z, otrzymujemy podwójną całkę.

Ta podwójna całka to dokładnie ta całka,

którą obliczylibyśmy w poprzednim filmiku dot. całek podwójnych,

gdzie zapewne stwierdziłbyś, że z jest funkcją x i y.

Mogłbyś zapisać, że z jest funkcją x

i y, jest zawsze równe 2.

Jest funkcją stałą.

Niezależnie od x i y.

Gdybyś w taki sposób określił z, i chciałbyś

obliczyć objętość pod tą powierzchnią, która wynosi

z równa się 2-- ta powierzchnia to z

równa się 2-- otrzymalibyśmy ten sam wynik.

Widzisz teraz, że mamy do czynienia z całką

potrójna, która wcale się nie różni.

I mógłbyś się zastanawiać, po co

to wszystko?

Za chwilę zobaczysz.

Tak czy inaczej, aby obliczyć to, mógłbyś wziąć

całkę nieoznaczoną w odniesieniu do y, i otrzymasz 2y--

Zejdę trochę na dół.

Obliczasz 2y podstawiając 4 i 0.

Czyli mamy 2 razy 4.

Następnie 8 minus 0.

Potem całkujesz

od 0 do 3 względem x.

I wychodzi 8x od 0 do 3.

I to się będzie równać 24 jednostek sześciennych.

Nasuwa się oczywiste pytanie, czy to wogóle jest w czymś pomocne?

W momencie gdy masz stałą wartość w

objętości, masz rację.

Mógłbyś po prostu zastosować całkę podwójną.

Ale co w sytuacji, gdy naszym celem nie będzie obliczenie

objętości,

ale masy figury.

I co więcej, objętość-- powierzchnia przestrzeni

-- jej masa nie jest jednakowa.

Gdyby masa była jednakowa, mógłbyś pomnożyć jednakową

gęstość razy objętość, i otrzymałbyś masę.

W naszym przypadku gęstość jest różna.

Może to być objętość jakiegoś gazu bądź nawet

jakiś materiał skłądający się z różnych związków.

Powiedzmy, że jego gęstość jest funkcją zmienną

x,y i z.

Powiedzmy że gęstość-- czyli ten znak, który wygląda

jak litera P i który używa się w fizyce jako symbol gęstości--

jego gęstość jest funkcją x,y i z.

Żeby to uprościć--

zapiszmy x razy y razy z.

Gdybyśmy chcieli obliczyć masę jakiejkolwiek małej objętości,

pomnożylibyśmy objętość razy gęstość, zgadza się?

Ponieważ gęstość-- jednostki gęstości są jak kilogramy

na metr sześcienny.

Jeśli pomnożysz to razy metr sześcienny, otrzymasz kilogramy.

Możemy zatem powiedzieć, że masa-- zapiszę to słownie, d

masa-- to nie jest funkcja.

Nie chcę zapisywać tego w nawiasie, ponieważ

wyglądałoby to jak funkcja.

Zróżnicowana masa, bądź bardzo mała masa,

będzie się równać gęstości, czyli xyz,

razy objętość tej niewielkiej masy.

Tę objętość masy można zapisać jako dv.

Wiadomo, że dv to to samo co szerokość razy

wysokość razy głębokość.

dv nie zawsze musi równać się dx razy dy razy dz.

Jeśli są inne współrzędne,

i liczymy współrzędne biegunowe, wynik mógłby być inny.

Później to obliczymy.

Jednak jeśli potrzebujemy obliczyć masę, ponieważ mamy

współrzędne prostokątne, liczylibyśmy funkcję częstości

razy nasza objętość różniczkowa.

razy dx dy dz.

Oczywiście kolejność nie ma znaczenia.

Jeśli zatem chcesz obliczyć objętość-- jeśli chcesz

obliczyć masę-- czym zajmę się w kolejnym filmiku,

konieczne jest przecałkowanie tej funkcji.

W porównaniu do 1 przez z,y i x.

Co będę wyjaśniał w następnym filmie.

I zauważycie, że będzie polegało to na stosowaniu całek nieoznaczonych na poziomie podstawowym

oraz unikaniu niedbałych błędów.

Do zobaczenia w następnym klipie.