0:00:00.740,0:00:04.160 Przypuśćmy, że chcę obliczyć objętość prostopadłościamu, w którym, 0:00:04.160,0:00:07.150 powiedzmy, x jest większy 0:00:07.150,0:00:10.350 bądź równa 0 i mniejszy bądź równy 0:00:10.350,0:00:11.780 na przykład 3. 0:00:11.780,0:00:14.600 Powiedzmy, że y jest większe bądź równe 0, i 0:00:14.600,0:00:17.000 mniejsze bądź równe 4. 0:00:17.000,0:00:21.270 Z natomiast jest większe bądź równe 0 i 0:00:21.270,0:00:23.055 mniejsze bądź równe 2. 0:00:23.055,0:00:26.650 Znając podstawy geometrii można obliczyć objętość-- 0:00:26.650,0:00:30.370 mnożąc szerokość razy wysokość i razy 0:00:30.370,0:00:31.340 głębokość otrzymamy objętość. 0:00:31.340,0:00:34.280 Podaję te przykłady, żeby pokazać 0:00:34.280,0:00:36.700 na czym polega całka potrójna i w jaki sposób łączy się 0:00:36.700,0:00:39.180 z całka podwójną, i żeby potem móc zająć się 0:00:39.180,0:00:40.290 trudniejszymi przykładami. 0:00:40.290,0:00:44.040 Teraz narysuję objętość. 0:00:44.040,0:00:51.780 Oś x, oś z i oś y. 0:00:54.330,0:00:55.795 x,y,z, 0:00:59.600,0:01:00.080 ok 0:01:00.080,0:01:01.910 x znajduje się pomiędzy 0 i 3. 0:01:01.910,0:01:03.070 to x jest równe 0. 0:01:03.070,0:01:09.120 to x jest równe-- powiedzmy 1,2,3. 0:01:09.120,0:01:10.570 y jest pomiędzy 0 i 4. 0:01:10.570,0:01:13.180 1,2,3,4. 0:01:13.180,0:01:15.450 Płaszczyzna x-y będzie wyglądać mniej więcej tak. 0:01:15.450,0:01:20.520 Podstawa naszego sześcianu będzie mniej więcej taka. 0:01:20.520,0:01:21.770 Z jest pomiędzy 0 i 2. 0:01:21.770,0:01:25.350 Tak więc 0 stanowi płaszczyznę x-y, a potem 1,2. 0:01:25.350,0:01:27.130 I to będzie górna podstawa sześcianu. 0:01:27.130,0:01:30.600 A teraz użyję innego koloru. 0:01:30.600,0:01:34.520 Rysuję wzdłuż oś x-z. 0:01:34.520,0:01:36.360 Tutaj byłaby krawędź, 0:01:36.360,0:01:38.316 ona prowadzi aż dotąd. 0:01:38.316,0:01:41.850 Kolejna krawędź dotąd. 0:01:41.850,0:01:43.810 I następna tutaj. 0:01:43.810,0:01:45.600 Chcemy zatem obliczyć objętość sześciokąta. 0:01:45.600,0:01:46.370 I to jest do wykonania. 0:01:46.370,0:01:51.540 Powiedzmy, że głębokość wynosi 3, podstawa, szerokość 4, 0:01:51.540,0:01:53.920 więc ta przestrzeń jest 12 razy większa od wysokości. 0:01:53.920,0:01:55.170 12 razy 2 jest 24. 0:01:55.170,0:01:58.980 Można stwierdzić, że jest to 24 metry sześcienne, w zależności 0:01:58.980,0:01:59.630 jakich jednostek używamy. 0:01:59.630,0:02:01.990 Ale potraktujmy to jako całko potrójną. 0:02:01.990,0:02:03.640 Co wogóle oznacza całka potrójna? 0:02:03.640,0:02:07.110 Bierzemy bardzo małą objętość-- 0:02:07.110,0:02:10.670 -- nie chodzi tu o powierzchnię. 0:02:10.670,0:02:14.770 Powiedzmy, że chcę obliczyć objętość małego sześcianu. 0:02:14.770,0:02:17.810 Niektórzy wpisują tutaj-- w objętość o której mowa. 0:02:17.810,0:02:20.160 Ma to sens i jest 0:02:20.160,0:02:22.860 bardzo pomocne, gdy krawędzie i powierzchnie są różnej długości 0:02:22.860,0:02:25.050 a krzywe są krawędziami. 0:02:25.050,0:02:26.840 Ale załóżmy, że chcemy obliczyć objętość 0:02:26.840,0:02:29.780 tego małego sześcianu. 0:02:29.780,0:02:30.590 To jest mój sześcian. 0:02:30.590,0:02:33.630 Jest gdzieś w tym większym sześcianie, większym prostokącie 0:02:33.630,0:02:35.460 prostokąt regularny, jakkolwiek go nazwiemy. 0:02:35.460,0:02:36.540 Jaka jest jego objętość? 0:02:36.540,0:02:38.930 Powiedzmy, że jego szerokość to dy. 0:02:42.320,0:02:44.010 Zatem ta długość też jest dy. 0:02:44.010,0:02:46.810 Wysokość dx. 0:02:46.810,0:02:49.660 Błąd, wysokość to dz, zgadza się? 0:02:49.660,0:02:51.840 Z idzie przecież od dołu do góry. 0:02:51.840,0:02:53.860 A głębokość to dx. 0:02:53.860,0:02:55.940 To jest dx. 0:02:55.940,0:02:56.750 To dz. 0:02:56.750,0:02:57.720 A to dy. 0:02:57.720,0:03:01.260 To jest ta mała objętość sześcianu, który znajduje się w większym sześcianie 0:03:01.260,0:03:04.830 można ją nazwać dv, co jest rodzajem 0:03:04.830,0:03:06.750 różniczki objętości. 0:03:06.750,0:03:10.290 I to się równa, 0:03:10.290,0:03:13.990 szerokość razy długość razy wysokość. 0:03:13.990,0:03:15.950 dx razy dy razy dz. 0:03:15.950,0:03:17.760 Kolejność nie ma znaczenia, 0:03:17.760,0:03:21.010 ponieważ mnożenie jest łączne, 0:03:21.010,0:03:22.920 i kolejność jest nieważna. 0:03:22.920,0:03:24.540 Dobrze, ale co możemy tutaj zrobić? 0:03:24.540,0:03:27.290 Można zastosować całkę. 0:03:27.290,0:03:32.520 Całki pomagają zostosować nieskończone sumy 0:03:32.520,0:03:36.080 niezwykle małych odległości, jak np. dz czy dx 0:03:36.080,0:03:38.240 czy dy, itd. 0:03:38.240,0:03:41.620 Zatem najpierw powinniśmy zająć się tym sześcianem 0:03:41.620,0:03:44.110 i dodać odległość z. 0:03:44.110,0:03:48.330 Możemy dodać odległość 0:03:48.330,0:03:51.230 na osi z, tak by otrzymać 0:03:51.230,0:03:52.410 objętość kolumny. 0:03:52.410,0:03:54.550 Jak to wygląda w praktyce? 0:03:54.550,0:03:56.930 Ponieważ kierujemy się w górę i w dół, dodajemy-- 0:03:56.930,0:04:00.670 interesuje nas suma w kierunku z. 0:04:00.670,0:04:02.610 Otrzymalibyśmy całkę. 0:04:02.610,0:04:04.655 Jaka jest najniższa wartość z? 0:04:04.655,0:04:08.310 Z jest równe 0. 0:04:08.310,0:04:09.280 A jaka jest górna granica? 0:04:09.280,0:04:12.070 Dodawaj sześciany, i 0:04:12.070,0:04:14.190 idź w górę, dojdziesz wtedy do górnej granicy. 0:04:14.190,0:04:14.770 A jaka jest góna granica? 0:04:14.770,0:04:16.100 Jest równa 2. 0:04:20.580,0:04:25.010 Oczywiście należałoby wziąć sumę objętości dv. 0:04:25.010,0:04:26.130 Zapiszę dz jako pierwsze, 0:04:26.130,0:04:28.170 żeby pamiętać, że mamy 0:04:28.170,0:04:30.430 zastosować całkę najpierw z z. 0:04:30.430,0:04:32.010 Potem zrobimy y. 0:04:32.010,0:04:34.200 A na końcu x. 0:04:34.200,0:04:37.430 Za pomocą tej całki, tej wartości, którą zapisałem, 0:04:37.430,0:04:42.020 obliczymy objętość kolumny podając x i y. 0:04:42.020,0:04:45.240 To będzie funkcja x i y, ale ponieważ zajmujemy się tutaj 0:04:45.240,0:04:47.130 stałymi, będzie to również 0:04:47.130,0:04:48.600 wartość stała. 0:04:48.600,0:04:52.160 Będzie to stała wartość jednej 0:04:52.160,0:04:53.890 z tych kolumn. 0:04:53.890,0:04:56.580 Ogólnie rzecz biorąc, będzie to wyglądać tak: 2 razy dy dx. 0:04:56.580,0:04:59.330 Ponieważ wysokość jednej z tych kolumn wynosi 2, 0:04:59.330,0:05:03.710 a jej szerokość i głębokość to dy i dx. 0:05:03.710,0:05:06.570 Jeśli chcemy obliczyć całą objętość-- 0:05:06.570,0:05:09.270 przed chwilą obliczyliśmy wysokość kolumny. 0:05:09.270,0:05:11.300 Następnie liczymy sumę tych kolumn 0:05:11.300,0:05:13.730 w kierunku y/na osi y. 0:05:13.730,0:05:15.710 Jeśli liczymy sumę na osi y, możemy zastosować 0:05:15.710,0:05:20.340 inną całkę tej sumy na osi y. 0:05:20.340,0:05:25.650 Y zaczyna się w 0 a kończy? W 4. 0:05:25.650,0:05:27.180 Zapisałem tę całkę za bardzo z lewej strony, 0:05:27.180,0:05:28.300 wygląda to dość dziwnie. 0:05:28.300,0:05:31.000 Ale myślę, że wiesz o co chodzi. 0:05:31.000,0:05:33.390 Y równa się od 0 do 4. 0:05:33.390,0:05:37.420 I to nam da objętość arkusza/pola 0:05:37.420,0:05:40.290 równoległego do przestrzeni zy. 0:05:40.290,0:05:44.250 I pozostało nam jedynie dodać 0:05:44.250,0:05:46.570 pola zgodne z kierunkiem osi x, i uzyskamy objętość 0:05:46.570,0:05:48.210 całej figury. 0:05:48.210,0:05:50.190 Żeby dodać te pola musimy, musimy dodawać 0:05:50.190,0:05:51.750 w kierunku x. 0:05:51.750,0:05:57.060 I idziemy od x równa się 0 do x równa się 3. 0:05:57.060,0:05:58.660 Obliczenie tego okazuje się 0:05:58.660,0:05:59.690 dosyć proste. 0:05:59.690,0:06:03.020 Więc na początku obliczamy całkę w odniesieniu do z. 0:06:03.020,0:06:05.090 Wprawdzie tutaj nie jest nic napisane, 0:06:05.090,0:06:06.740 ale możemy przypuszczać, że chodzi o 1, prawda? 0:06:06.740,0:06:10.160 Ponieważ dz razy dy razy dx to to samo co 0:06:10.160,0:06:12.940 1 razy dz razy dy dx. 0:06:12.940,0:06:15.500 Ile zatem wynosi ta całka? 0:06:15.500,0:06:18.760 Zatem całka nieoznaczona z 1 w odniesieniu 0:06:18.760,0:06:20.650 do z równa się z, zgadza się? 0:06:20.650,0:06:22.700 Dlatego, że pochodną z jest 1. 0:06:22.700,0:06:27.640 I można to obliczyć od 2 do 0. 0:06:27.640,0:06:30.210 I zostaje-- 2 minus 0 0:06:30.210,0:06:31.580 zostaje 2. 0:06:31.580,0:06:34.390 Zostało 2, więc liczysz całkę z 2 0:06:34.390,0:06:38.080 od y równa się 0 do y równa się 4 dy, a potem 0:06:38.080,0:06:40.060 bierzesz x. 0:06:40.060,0:06:45.280 Od x równa się 0 do x równa się 3 dx. 0:06:45.280,0:06:48.440 I zauważ jedną rzecz, kiedy obliczamy całkę względem 0:06:48.440,0:06:50.210 z, otrzymujemy podwójną całkę. 0:06:50.210,0:06:52.830 Ta podwójna całka to dokładnie ta całka, 0:06:52.830,0:06:56.440 którą obliczylibyśmy w poprzednim filmiku dot. całek podwójnych, 0:06:56.440,0:06:59.510 gdzie zapewne stwierdziłbyś, że z jest funkcją x i y. 0:06:59.510,0:07:01.880 Mogłbyś zapisać, że z jest funkcją x 0:07:01.880,0:07:04.230 i y, jest zawsze równe 2. 0:07:04.230,0:07:05.180 Jest funkcją stałą. 0:07:05.180,0:07:06.980 Niezależnie od x i y. 0:07:06.980,0:07:09.210 Gdybyś w taki sposób określił z, i chciałbyś 0:07:09.210,0:07:11.985 obliczyć objętość pod tą powierzchnią, która wynosi 0:07:11.985,0:07:15.370 z równa się 2-- ta powierzchnia to z 0:07:15.370,0:07:17.580 równa się 2-- otrzymalibyśmy ten sam wynik. 0:07:17.580,0:07:19.130 Widzisz teraz, że mamy do czynienia z całką 0:07:19.130,0:07:21.030 potrójna, która wcale się nie różni. 0:07:21.030,0:07:22.060 I mógłbyś się zastanawiać, po co 0:07:22.060,0:07:22.840 to wszystko? 0:07:22.840,0:07:25.730 Za chwilę zobaczysz. 0:07:25.730,0:07:28.320 Tak czy inaczej, aby obliczyć to, mógłbyś wziąć 0:07:28.320,0:07:32.070 całkę nieoznaczoną w odniesieniu do y, i otrzymasz 2y-- 0:07:32.070,0:07:33.760 Zejdę trochę na dół. 0:07:33.760,0:07:38.530 Obliczasz 2y podstawiając 4 i 0. 0:07:38.530,0:07:41.150 Czyli mamy 2 razy 4. 0:07:41.150,0:07:42.540 Następnie 8 minus 0. 0:07:42.540,0:07:46.070 Potem całkujesz 0:07:46.070,0:07:48.340 od 0 do 3 względem x. 0:07:48.340,0:07:52.430 I wychodzi 8x od 0 do 3. 0:07:52.430,0:07:55.430 I to się będzie równać 24 jednostek sześciennych. 0:07:55.430,0:07:59.780 Nasuwa się oczywiste pytanie, czy to wogóle jest w czymś pomocne? 0:07:59.780,0:08:05.420 W momencie gdy masz stałą wartość w 0:08:05.420,0:08:06.400 objętości, masz rację. 0:08:06.400,0:08:08.230 Mógłbyś po prostu zastosować całkę podwójną. 0:08:08.230,0:08:11.610 Ale co w sytuacji, gdy naszym celem nie będzie obliczenie 0:08:11.610,0:08:13.670 objętości, 0:08:13.670,0:08:16.550 ale masy figury. 0:08:16.550,0:08:21.660 I co więcej, objętość-- powierzchnia przestrzeni 0:08:21.660,0:08:23.670 -- jej masa nie jest jednakowa. 0:08:23.670,0:08:28.190 Gdyby masa była jednakowa, mógłbyś pomnożyć jednakową 0:08:28.190,0:08:31.240 gęstość razy objętość, i otrzymałbyś masę. 0:08:31.240,0:08:33.040 W naszym przypadku gęstość jest różna. 0:08:33.040,0:08:36.340 Może to być objętość jakiegoś gazu bądź nawet 0:08:36.340,0:08:39.070 jakiś materiał skłądający się z różnych związków. 0:08:39.070,0:08:42.370 Powiedzmy, że jego gęstość jest funkcją zmienną 0:08:42.370,0:08:43.240 x,y i z. 0:08:43.240,0:08:47.650 Powiedzmy że gęstość-- czyli ten znak, który wygląda 0:08:47.650,0:08:50.720 jak litera P i który używa się w fizyce jako symbol gęstości-- 0:08:50.720,0:08:54.390 jego gęstość jest funkcją x,y i z. 0:08:54.390,0:08:55.710 Żeby to uprościć-- 0:08:55.710,0:08:59.840 zapiszmy x razy y razy z. 0:08:59.840,0:09:06.020 Gdybyśmy chcieli obliczyć masę jakiejkolwiek małej objętości, 0:09:06.020,0:09:08.440 pomnożylibyśmy objętość razy gęstość, zgadza się? 0:09:08.440,0:09:12.190 Ponieważ gęstość-- jednostki gęstości są jak kilogramy 0:09:12.190,0:09:13.590 na metr sześcienny. 0:09:13.590,0:09:16.400 Jeśli pomnożysz to razy metr sześcienny, otrzymasz kilogramy. 0:09:16.400,0:09:20.260 Możemy zatem powiedzieć, że masa-- zapiszę to słownie, d 0:09:20.260,0:09:23.730 masa-- to nie jest funkcja. 0:09:23.730,0:09:25.230 Nie chcę zapisywać tego w nawiasie, ponieważ 0:09:25.230,0:09:26.230 wyglądałoby to jak funkcja. 0:09:26.230,0:09:30.490 Zróżnicowana masa, bądź bardzo mała masa, 0:09:30.490,0:09:35.860 będzie się równać gęstości, czyli xyz, 0:09:35.860,0:09:39.810 razy objętość tej niewielkiej masy. 0:09:39.810,0:09:42.780 Tę objętość masy można zapisać jako dv. 0:09:42.780,0:09:48.790 Wiadomo, że dv to to samo co szerokość razy 0:09:48.790,0:09:49.670 wysokość razy głębokość. 0:09:49.670,0:09:52.350 dv nie zawsze musi równać się dx razy dy razy dz. 0:09:52.350,0:09:54.000 Jeśli są inne współrzędne, 0:09:54.000,0:09:57.670 i liczymy współrzędne biegunowe, wynik mógłby być inny. 0:09:57.670,0:09:59.160 Później to obliczymy. 0:09:59.160,0:10:01.280 Jednak jeśli potrzebujemy obliczyć masę, ponieważ mamy 0:10:01.280,0:10:03.550 współrzędne prostokątne, liczylibyśmy funkcję częstości 0:10:03.550,0:10:07.030 razy nasza objętość różniczkowa. 0:10:07.030,0:10:11.330 razy dx dy dz. 0:10:11.330,0:10:13.870 Oczywiście kolejność nie ma znaczenia. 0:10:13.870,0:10:16.386 Jeśli zatem chcesz obliczyć objętość-- jeśli chcesz 0:10:16.386,0:10:19.000 obliczyć masę-- czym zajmę się w kolejnym filmiku, 0:10:19.000,0:10:21.290 konieczne jest przecałkowanie tej funkcji. 0:10:21.290,0:10:27.400 W porównaniu do 1 przez z,y i x. 0:10:27.400,0:10:28.690 Co będę wyjaśniał w następnym filmie. 0:10:28.690,0:10:32.050 I zauważycie, że będzie polegało to na stosowaniu całek nieoznaczonych na poziomie podstawowym 0:10:32.050,0:10:34.700 oraz unikaniu niedbałych błędów. 0:10:34.700,0:10:37.280 Do zobaczenia w następnym klipie.