WEBVTT 00:00:00.740 --> 00:00:04.160 Przypuśćmy, że chcę obliczyć objętość prostopadłościamu, w którym, 00:00:04.160 --> 00:00:07.150 powiedzmy, x jest większy 00:00:07.150 --> 00:00:10.350 bądź równa 0 i mniejszy bądź równy 00:00:10.350 --> 00:00:11.780 na przykład 3. 00:00:11.780 --> 00:00:14.600 Powiedzmy, że y jest większe bądź równe 0, i 00:00:14.600 --> 00:00:17.000 mniejsze bądź równe 4. 00:00:17.000 --> 00:00:21.270 Z natomiast jest większe bądź równe 0 i 00:00:21.270 --> 00:00:23.055 mniejsze bądź równe 2. 00:00:23.055 --> 00:00:26.650 Znając podstawy geometrii można obliczyć objętość-- 00:00:26.650 --> 00:00:30.370 mnożąc szerokość razy wysokość i razy 00:00:30.370 --> 00:00:31.340 głębokość otrzymamy objętość. 00:00:31.340 --> 00:00:34.280 Podaję te przykłady, żeby pokazać 00:00:34.280 --> 00:00:36.700 na czym polega całka potrójna i w jaki sposób łączy się 00:00:36.700 --> 00:00:39.180 z całka podwójną, i żeby potem móc zająć się 00:00:39.180 --> 00:00:40.290 trudniejszymi przykładami. 00:00:40.290 --> 00:00:44.040 Teraz narysuję objętość. 00:00:44.040 --> 00:00:51.780 Oś x, oś z i oś y. 00:00:54.330 --> 00:00:55.795 x,y,z, 00:00:59.600 --> 00:01:00.080 ok 00:01:00.080 --> 00:01:01.910 x znajduje się pomiędzy 0 i 3. 00:01:01.910 --> 00:01:03.070 to x jest równe 0. 00:01:03.070 --> 00:01:09.120 to x jest równe-- powiedzmy 1,2,3. 00:01:09.120 --> 00:01:10.570 y jest pomiędzy 0 i 4. 00:01:10.570 --> 00:01:13.180 1,2,3,4. 00:01:13.180 --> 00:01:15.450 Płaszczyzna x-y będzie wyglądać mniej więcej tak. 00:01:15.450 --> 00:01:20.520 Podstawa naszego sześcianu będzie mniej więcej taka. 00:01:20.520 --> 00:01:21.770 Z jest pomiędzy 0 i 2. 00:01:21.770 --> 00:01:25.350 Tak więc 0 stanowi płaszczyznę x-y, a potem 1,2. 00:01:25.350 --> 00:01:27.130 I to będzie górna podstawa sześcianu. 00:01:27.130 --> 00:01:30.600 A teraz użyję innego koloru. 00:01:30.600 --> 00:01:34.520 Rysuję wzdłuż oś x-z. 00:01:34.520 --> 00:01:36.360 Tutaj byłaby krawędź, 00:01:36.360 --> 00:01:38.316 ona prowadzi aż dotąd. 00:01:38.316 --> 00:01:41.850 Kolejna krawędź dotąd. 00:01:41.850 --> 00:01:43.810 I następna tutaj. 00:01:43.810 --> 00:01:45.600 Chcemy zatem obliczyć objętość sześciokąta. 00:01:45.600 --> 00:01:46.370 I to jest do wykonania. 00:01:46.370 --> 00:01:51.540 Powiedzmy, że głębokość wynosi 3, podstawa, szerokość 4, 00:01:51.540 --> 00:01:53.920 więc ta przestrzeń jest 12 razy większa od wysokości. 00:01:53.920 --> 00:01:55.170 12 razy 2 jest 24. 00:01:55.170 --> 00:01:58.980 Można stwierdzić, że jest to 24 metry sześcienne, w zależności 00:01:58.980 --> 00:01:59.630 jakich jednostek używamy. 00:01:59.630 --> 00:02:01.990 Ale potraktujmy to jako całko potrójną. 00:02:01.990 --> 00:02:03.640 Co wogóle oznacza całka potrójna? 00:02:03.640 --> 00:02:07.110 Bierzemy bardzo małą objętość-- 00:02:07.110 --> 00:02:10.670 -- nie chodzi tu o powierzchnię. 00:02:10.670 --> 00:02:14.770 Powiedzmy, że chcę obliczyć objętość małego sześcianu. 00:02:14.770 --> 00:02:17.810 Niektórzy wpisują tutaj-- w objętość o której mowa. 00:02:17.810 --> 00:02:20.160 Ma to sens i jest 00:02:20.160 --> 00:02:22.860 bardzo pomocne, gdy krawędzie i powierzchnie są różnej długości 00:02:22.860 --> 00:02:25.050 a krzywe są krawędziami. 00:02:25.050 --> 00:02:26.840 Ale załóżmy, że chcemy obliczyć objętość 00:02:26.840 --> 00:02:29.780 tego małego sześcianu. 00:02:29.780 --> 00:02:30.590 To jest mój sześcian. 00:02:30.590 --> 00:02:33.630 Jest gdzieś w tym większym sześcianie, większym prostokącie 00:02:33.630 --> 00:02:35.460 prostokąt regularny, jakkolwiek go nazwiemy. 00:02:35.460 --> 00:02:36.540 Jaka jest jego objętość? 00:02:36.540 --> 00:02:38.930 Powiedzmy, że jego szerokość to dy. 00:02:42.320 --> 00:02:44.010 Zatem ta długość też jest dy. 00:02:44.010 --> 00:02:46.810 Wysokość dx. 00:02:46.810 --> 00:02:49.660 Błąd, wysokość to dz, zgadza się? 00:02:49.660 --> 00:02:51.840 Z idzie przecież od dołu do góry. 00:02:51.840 --> 00:02:53.860 A głębokość to dx. 00:02:53.860 --> 00:02:55.940 To jest dx. 00:02:55.940 --> 00:02:56.750 To dz. 00:02:56.750 --> 00:02:57.720 A to dy. 00:02:57.720 --> 00:03:01.260 To jest ta mała objętość sześcianu, który znajduje się w większym sześcianie 00:03:01.260 --> 00:03:04.830 można ją nazwać dv, co jest rodzajem 00:03:04.830 --> 00:03:06.750 różniczki objętości. 00:03:06.750 --> 00:03:10.290 I to się równa, 00:03:10.290 --> 00:03:13.990 szerokość razy długość razy wysokość. 00:03:13.990 --> 00:03:15.950 dx razy dy razy dz. 00:03:15.950 --> 00:03:17.760 Kolejność nie ma znaczenia, 00:03:17.760 --> 00:03:21.010 ponieważ mnożenie jest łączne, 00:03:21.010 --> 00:03:22.920 i kolejność jest nieważna. 00:03:22.920 --> 00:03:24.540 Dobrze, ale co możemy tutaj zrobić? 00:03:24.540 --> 00:03:27.290 Można zastosować całkę. 00:03:27.290 --> 00:03:32.520 Całki pomagają zostosować nieskończone sumy 00:03:32.520 --> 00:03:36.080 niezwykle małych odległości, jak np. dz czy dx 00:03:36.080 --> 00:03:38.240 czy dy, itd. 00:03:38.240 --> 00:03:41.620 Zatem najpierw powinniśmy zająć się tym sześcianem 00:03:41.620 --> 00:03:44.110 i dodać odległość z. 00:03:44.110 --> 00:03:48.330 Możemy dodać odległość 00:03:48.330 --> 00:03:51.230 na osi z, tak by otrzymać 00:03:51.230 --> 00:03:52.410 objętość kolumny. 00:03:52.410 --> 00:03:54.550 Jak to wygląda w praktyce? 00:03:54.550 --> 00:03:56.930 Ponieważ kierujemy się w górę i w dół, dodajemy-- 00:03:56.930 --> 00:04:00.670 interesuje nas suma w kierunku z. 00:04:00.670 --> 00:04:02.610 Otrzymalibyśmy całkę. 00:04:02.610 --> 00:04:04.655 Jaka jest najniższa wartość z? 00:04:04.655 --> 00:04:08.310 Z jest równe 0. 00:04:08.310 --> 00:04:09.280 A jaka jest górna granica? 00:04:09.280 --> 00:04:12.070 Dodawaj sześciany, i 00:04:12.070 --> 00:04:14.190 idź w górę, dojdziesz wtedy do górnej granicy. 00:04:14.190 --> 00:04:14.770 A jaka jest góna granica? 00:04:14.770 --> 00:04:16.100 Jest równa 2. 00:04:20.580 --> 00:04:25.010 Oczywiście należałoby wziąć sumę objętości dv. 00:04:25.010 --> 00:04:26.130 Zapiszę dz jako pierwsze, 00:04:26.130 --> 00:04:28.170 żeby pamiętać, że mamy 00:04:28.170 --> 00:04:30.430 zastosować całkę najpierw z z. 00:04:30.430 --> 00:04:32.010 Potem zrobimy y. 00:04:32.010 --> 00:04:34.200 A na końcu x. 00:04:34.200 --> 00:04:37.430 Za pomocą tej całki, tej wartości, którą zapisałem, 00:04:37.430 --> 00:04:42.020 obliczymy objętość kolumny podając x i y. 00:04:42.020 --> 00:04:45.240 To będzie funkcja x i y, ale ponieważ zajmujemy się tutaj 00:04:45.240 --> 00:04:47.130 stałymi, będzie to również 00:04:47.130 --> 00:04:48.600 wartość stała. 00:04:48.600 --> 00:04:52.160 Będzie to stała wartość jednej 00:04:52.160 --> 00:04:53.890 z tych kolumn. 00:04:53.890 --> 00:04:56.580 Ogólnie rzecz biorąc, będzie to wyglądać tak: 2 razy dy dx. 00:04:56.580 --> 00:04:59.330 Ponieważ wysokość jednej z tych kolumn wynosi 2, 00:04:59.330 --> 00:05:03.710 a jej szerokość i głębokość to dy i dx. 00:05:03.710 --> 00:05:06.570 Jeśli chcemy obliczyć całą objętość-- 00:05:06.570 --> 00:05:09.270 przed chwilą obliczyliśmy wysokość kolumny. 00:05:09.270 --> 00:05:11.300 Następnie liczymy sumę tych kolumn 00:05:11.300 --> 00:05:13.730 w kierunku y/na osi y. 00:05:13.730 --> 00:05:15.710 Jeśli liczymy sumę na osi y, możemy zastosować 00:05:15.710 --> 00:05:20.340 inną całkę tej sumy na osi y. 00:05:20.340 --> 00:05:25.650 Y zaczyna się w 0 a kończy? W 4. 00:05:25.650 --> 00:05:27.180 Zapisałem tę całkę za bardzo z lewej strony, 00:05:27.180 --> 00:05:28.300 wygląda to dość dziwnie. 00:05:28.300 --> 00:05:31.000 Ale myślę, że wiesz o co chodzi. 00:05:31.000 --> 00:05:33.390 Y równa się od 0 do 4. 00:05:33.390 --> 00:05:37.420 I to nam da objętość arkusza/pola 00:05:37.420 --> 00:05:40.290 równoległego do przestrzeni zy. 00:05:40.290 --> 00:05:44.250 I pozostało nam jedynie dodać 00:05:44.250 --> 00:05:46.570 pola zgodne z kierunkiem osi x, i uzyskamy objętość 00:05:46.570 --> 00:05:48.210 całej figury. 00:05:48.210 --> 00:05:50.190 Żeby dodać te pola musimy, musimy dodawać 00:05:50.190 --> 00:05:51.750 w kierunku x. 00:05:51.750 --> 00:05:57.060 I idziemy od x równa się 0 do x równa się 3. 00:05:57.060 --> 00:05:58.660 Obliczenie tego okazuje się 00:05:58.660 --> 00:05:59.690 dosyć proste. 00:05:59.690 --> 00:06:03.020 Więc na początku obliczamy całkę w odniesieniu do z. 00:06:03.020 --> 00:06:05.090 Wprawdzie tutaj nie jest nic napisane, 00:06:05.090 --> 00:06:06.740 ale możemy przypuszczać, że chodzi o 1, prawda? 00:06:06.740 --> 00:06:10.160 Ponieważ dz razy dy razy dx to to samo co 00:06:10.160 --> 00:06:12.940 1 razy dz razy dy dx. 00:06:12.940 --> 00:06:15.500 Ile zatem wynosi ta całka? 00:06:15.500 --> 00:06:18.760 Zatem całka nieoznaczona z 1 w odniesieniu 00:06:18.760 --> 00:06:20.650 do z równa się z, zgadza się? 00:06:20.650 --> 00:06:22.700 Dlatego, że pochodną z jest 1. 00:06:22.700 --> 00:06:27.640 I można to obliczyć od 2 do 0. 00:06:27.640 --> 00:06:30.210 I zostaje-- 2 minus 0 00:06:30.210 --> 00:06:31.580 zostaje 2. 00:06:31.580 --> 00:06:34.390 Zostało 2, więc liczysz całkę z 2 00:06:34.390 --> 00:06:38.080 od y równa się 0 do y równa się 4 dy, a potem 00:06:38.080 --> 00:06:40.060 bierzesz x. 00:06:40.060 --> 00:06:45.280 Od x równa się 0 do x równa się 3 dx. 00:06:45.280 --> 00:06:48.440 I zauważ jedną rzecz, kiedy obliczamy całkę względem 00:06:48.440 --> 00:06:50.210 z, otrzymujemy podwójną całkę. 00:06:50.210 --> 00:06:52.830 Ta podwójna całka to dokładnie ta całka, 00:06:52.830 --> 00:06:56.440 którą obliczylibyśmy w poprzednim filmiku dot. całek podwójnych, 00:06:56.440 --> 00:06:59.510 gdzie zapewne stwierdziłbyś, że z jest funkcją x i y. 00:06:59.510 --> 00:07:01.880 Mogłbyś zapisać, że z jest funkcją x 00:07:01.880 --> 00:07:04.230 i y, jest zawsze równe 2. 00:07:04.230 --> 00:07:05.180 Jest funkcją stałą. 00:07:05.180 --> 00:07:06.980 Niezależnie od x i y. 00:07:06.980 --> 00:07:09.210 Gdybyś w taki sposób określił z, i chciałbyś 00:07:09.210 --> 00:07:11.985 obliczyć objętość pod tą powierzchnią, która wynosi 00:07:11.985 --> 00:07:15.370 z równa się 2-- ta powierzchnia to z 00:07:15.370 --> 00:07:17.580 równa się 2-- otrzymalibyśmy ten sam wynik. 00:07:17.580 --> 00:07:19.130 Widzisz teraz, że mamy do czynienia z całką 00:07:19.130 --> 00:07:21.030 potrójna, która wcale się nie różni. 00:07:21.030 --> 00:07:22.060 I mógłbyś się zastanawiać, po co 00:07:22.060 --> 00:07:22.840 to wszystko? 00:07:22.840 --> 00:07:25.730 Za chwilę zobaczysz. 00:07:25.730 --> 00:07:28.320 Tak czy inaczej, aby obliczyć to, mógłbyś wziąć 00:07:28.320 --> 00:07:32.070 całkę nieoznaczoną w odniesieniu do y, i otrzymasz 2y-- 00:07:32.070 --> 00:07:33.760 Zejdę trochę na dół. 00:07:33.760 --> 00:07:38.530 Obliczasz 2y podstawiając 4 i 0. 00:07:38.530 --> 00:07:41.150 Czyli mamy 2 razy 4. 00:07:41.150 --> 00:07:42.540 Następnie 8 minus 0. 00:07:42.540 --> 00:07:46.070 Potem całkujesz 00:07:46.070 --> 00:07:48.340 od 0 do 3 względem x. 00:07:48.340 --> 00:07:52.430 I wychodzi 8x od 0 do 3. 00:07:52.430 --> 00:07:55.430 I to się będzie równać 24 jednostek sześciennych. 00:07:55.430 --> 00:07:59.780 Nasuwa się oczywiste pytanie, czy to wogóle jest w czymś pomocne? 00:07:59.780 --> 00:08:05.420 W momencie gdy masz stałą wartość w 00:08:05.420 --> 00:08:06.400 objętości, masz rację. 00:08:06.400 --> 00:08:08.230 Mógłbyś po prostu zastosować całkę podwójną. 00:08:08.230 --> 00:08:11.610 Ale co w sytuacji, gdy naszym celem nie będzie obliczenie 00:08:11.610 --> 00:08:13.670 objętości, 00:08:13.670 --> 00:08:16.550 ale masy figury. 00:08:16.550 --> 00:08:21.660 I co więcej, objętość-- powierzchnia przestrzeni 00:08:21.660 --> 00:08:23.670 -- jej masa nie jest jednakowa. 00:08:23.670 --> 00:08:28.190 Gdyby masa była jednakowa, mógłbyś pomnożyć jednakową 00:08:28.190 --> 00:08:31.240 gęstość razy objętość, i otrzymałbyś masę. 00:08:31.240 --> 00:08:33.040 W naszym przypadku gęstość jest różna. 00:08:33.040 --> 00:08:36.340 Może to być objętość jakiegoś gazu bądź nawet 00:08:36.340 --> 00:08:39.070 jakiś materiał skłądający się z różnych związków. 00:08:39.070 --> 00:08:42.370 Powiedzmy, że jego gęstość jest funkcją zmienną 00:08:42.370 --> 00:08:43.240 x,y i z. 00:08:43.240 --> 00:08:47.650 Powiedzmy że gęstość-- czyli ten znak, który wygląda 00:08:47.650 --> 00:08:50.720 jak litera P i który używa się w fizyce jako symbol gęstości-- 00:08:50.720 --> 00:08:54.390 jego gęstość jest funkcją x,y i z. 00:08:54.390 --> 00:08:55.710 Żeby to uprościć-- 00:08:55.710 --> 00:08:59.840 zapiszmy x razy y razy z. 00:08:59.840 --> 00:09:06.020 Gdybyśmy chcieli obliczyć masę jakiejkolwiek małej objętości, 00:09:06.020 --> 00:09:08.440 pomnożylibyśmy objętość razy gęstość, zgadza się? 00:09:08.440 --> 00:09:12.190 Ponieważ gęstość-- jednostki gęstości są jak kilogramy 00:09:12.190 --> 00:09:13.590 na metr sześcienny. 00:09:13.590 --> 00:09:16.400 Jeśli pomnożysz to razy metr sześcienny, otrzymasz kilogramy. 00:09:16.400 --> 00:09:20.260 Możemy zatem powiedzieć, że masa-- zapiszę to słownie, d 00:09:20.260 --> 00:09:23.730 masa-- to nie jest funkcja. 00:09:23.730 --> 00:09:25.230 Nie chcę zapisywać tego w nawiasie, ponieważ 00:09:25.230 --> 00:09:26.230 wyglądałoby to jak funkcja. 00:09:26.230 --> 00:09:30.490 Zróżnicowana masa, bądź bardzo mała masa, 00:09:30.490 --> 00:09:35.860 będzie się równać gęstości, czyli xyz, 00:09:35.860 --> 00:09:39.810 razy objętość tej niewielkiej masy. 00:09:39.810 --> 00:09:42.780 Tę objętość masy można zapisać jako dv. 00:09:42.780 --> 00:09:48.790 Wiadomo, że dv to to samo co szerokość razy 00:09:48.790 --> 00:09:49.670 wysokość razy głębokość. 00:09:49.670 --> 00:09:52.350 dv nie zawsze musi równać się dx razy dy razy dz. 00:09:52.350 --> 00:09:54.000 Jeśli są inne współrzędne, 00:09:54.000 --> 00:09:57.670 i liczymy współrzędne biegunowe, wynik mógłby być inny. 00:09:57.670 --> 00:09:59.160 Później to obliczymy. 00:09:59.160 --> 00:10:01.280 Jednak jeśli potrzebujemy obliczyć masę, ponieważ mamy 00:10:01.280 --> 00:10:03.550 współrzędne prostokątne, liczylibyśmy funkcję częstości 00:10:03.550 --> 00:10:07.030 razy nasza objętość różniczkowa. 00:10:07.030 --> 00:10:11.330 razy dx dy dz. 00:10:11.330 --> 00:10:13.870 Oczywiście kolejność nie ma znaczenia. 00:10:13.870 --> 00:10:16.386 Jeśli zatem chcesz obliczyć objętość-- jeśli chcesz 00:10:16.386 --> 00:10:19.000 obliczyć masę-- czym zajmę się w kolejnym filmiku, 00:10:19.000 --> 00:10:21.290 konieczne jest przecałkowanie tej funkcji. 00:10:21.290 --> 00:10:27.400 W porównaniu do 1 przez z,y i x. 00:10:27.400 --> 00:10:28.690 Co będę wyjaśniał w następnym filmie. 00:10:28.690 --> 00:10:32.050 I zauważycie, że będzie polegało to na stosowaniu całek nieoznaczonych na poziomie podstawowym 00:10:32.050 --> 00:10:34.700 oraz unikaniu niedbałych błędów. 00:10:34.700 --> 00:10:37.280 Do zobaczenia w następnym klipie.