-
لنفترض أنني أريد الحصول على حجم مكعب، حيث
-
أن قيم المكعب-- لنقل اكس بين-- اكس اكبر
-
من أو يساوي 0، أقل من أو يساوي،
-
لا أعرف، 3.
-
لنفترض أن y هو أكبر من أو تساوي 0، وهو
-
أقل من أو يساوي إلى 4.
-
وثم دعنا نقول أن ع أكبر من أو يساوي 0 و
-
أقل من أو يساوي 2.
-
وأنا أعلم، باستخدام هندسة الأساسية يمكن أن تستنتج
-
كما تعلم، مجرد ضرب العرض في الطول في العمق
-
بعدها ستحصل على الحجم
-
ولكن أريد أن أفعل هذا المثال، حتى تعتاد على
-
كيف يبدو الـ التكامل الثلاثي ، كيفية إرتباطه
-
بالـ التكامل الثنائي، وثم بعد ذلك في الفيديو التالي يمكن أن نحل
-
شيئا يبدو قليلاً أكثر تعقيداً
-
لذلك دعونا، نرسم هذا
-
هذا محور الـ اكس
هذا محور الـ زي
-
وهذا محور الـ واي
-
x، y، z.
-
اكس، واي، زي
-
حسناً
-
قيمة اكس تقع بين صفر و ٣
-
هنا اكس تساوي صفر
-
هنا اكس تساوي ٣، لنعد واحد اثنين ثلاثة
-
و الـ واي بين صفر و ٤
-
1، 2، 3، 4.
-
حيث أن الفضاء أكس - واي سيبدو شيئا من هذا القبيل
-
انه نوعاً ما قاعدة المكعب، ستبدو شيئا من هذا القبيل
-
وبعد ذلك، زي بين صفر و ٢
-
هنا الصفر، هو في الفضاء اكس - واي
-
وبعدها اثنين ستكون هنا، في الجزء العلوي
-
وربما سأفعل ذلك بألوان مختلفة بعض الشيء
-
ولهذا فهذه على محور الـ زي
-
سيكون لديك حد هنا، وبعد ذلك حد آخر هنا
-
تأتي مثل هذا
-
لديك حد هنا، يأتي في مثل ذلك
-
حد آخر هناك
-
نريد معرفة حجم هذا المكعب
-
ويمكنك أن تفعل ذلك
-
يمكن القول، أيضا، وهو العمق 3، القاعدة، العرض هو 4،
-
حتى أن هذا المجال هو 12 مرة الارتفاع.
-
2 12 مرة من 24.
-
يمكنك أن تقول أنها 24 وحدة مكعب، أيا كان
-
وحدات نقوم به.
-
ولكن دعونا نفعل ذلك كثلاثي لا يتجزأ.
-
حتى ماذا يعني لا يتجزأ من ثلاثي؟
-
حسنا، ما يمكن أن نفعله أننا يمكن أن الحجم جداً
-
الصغيرة-لا أريد أن أقول المنطقة اليوم لوحدة تخزين صغيرة جداً.
-
لذلك دعونا نقول أردت أن تأخذ حجم مكعب صغير.
-
بعض المكان في هذا اليوم في وحدة التخزين تحت السؤال.
-
وأنها سوف تبدأ في أكثر من معنى، أو يبدأ لتصبح
-
الكثير أكثر فائدة، عندما يكون لدينا حدود متغيرة و
-
الأسطح والمنحنيات كحدود.
-
ولكن دعنا نقول أننا نريد معرفة حجم هذا
-
مكعبات صغيرة قليلة، هنا.
-
هذا هو بلدي المكعب.
-
من مكان ما في هذا المكعب أكبر، هذا المستطيل أكبر،
-
مكعب المستطيل، أيا كان الذي تريد تسميته.
-
فما هو حجم هذا المكعب؟
-
دعنا نقول أن ما عرض هو dy.
-
حيث يكون طول هناك حق dy.
-
هو أنه في ذروة dx.
-
عذرا، لا، هذا الارتفاع هو dz، الحق؟
-
الطريقة التي وجهت عليه، ع صعودا وهبوطاً.
-
ومن العمق dx.
-
هذا هو dx.
-
وهذا هو dz.
-
وهذا هو dy.
-
حيث يمكنك أن تقول أن كمية صغيرة داخل هذا أكبر
-
وحدة التخزين-هل يمكن تسمية ذلك dv، هو نوع من
-
حجم التفاضلية.
-
وسيكون ذلك يساوي، يمكن القول، أنها مجرد
-
العرض الأوقات الطول أوقات ذروة.
-
dx الأوقات dy مرات dz.
-
ويمكن التبديل بناء على أوامر من هذه، الحق؟
-
لأن تكاثر التضامنية، وتأمر
-
لا يهم وكل ما.
-
ولكن على أية حال، ماذا يمكنك أن تفعل معها هنا؟
-
حسنا، يمكن أن نتخذها في المتكاملة.
-
تكاملات جميع تساعدنا على القيام به هو يساعدنا تأخذ مبالغ لا حصر له من
-
مسافات صغيرة متناهية، مثل dz أو dx أو
-
dy، إلخ.
-
لذا، ما يمكن أن نفعله أننا يمكن أن يأخذ هذا المكعب و
-
أولاً، إضافة في، دعنا نقول، باتجاه z.
-
حتى أننا يمكن أن يأخذ هذا المكعب وثم إضافته على طول لأعلى و
-
أسفل محور اليوم محور "ع"-حيث أن نحصل
-
حجم العمود.
-
حتى ما تود أن تبحث؟
-
حسنا، وبما أننا في طريقنا صعودا وهبوطاً، كنت مشيراً إلى أننا-نحن
-
أخذ المبلغ في اتجاه z.
-
سيكون لدينا يتجزأ.
-
ومن ثم ما هو أقل قيمة z؟
-
حسنا، z أنه يساوي 0.
-
وما هو الحد الأعلى؟
-
كما لو كنت مجرد اتخاذ-الاحتفاظ بإضافة هذه المكعبات، و
-
الاحتفاظ بالصعود، يمكنك أن تصل إلى الحد الأعلى.
-
وما هو الحد الأعلى؟
-
Z أنه يساوي 2.
-
والطبع، كنت تأخذ مجموع هذه dv.
-
وأنا اكتب dz أولاً.
-
فقط حيث أنه يذكرنا بأن ونحن في طريقنا إلى
-
أخذ متكاملة فيما يتعلق z أولاً.
-
ودعونا نقول أننا سنفعل y التالي.
-
وبعد ذلك سنفعل x.
-
وحتى هذا المتكاملة، هذه القيمة، كما قمت بكتابة، سوف
-
معرفة حجم عمود إعطاء أي x و y.
-
أنها سوف تكون مهمة من x و y، ولكن بما أننا نتعامل مع
-
جميع الثوابت هنا، فهو فعلا سيكون
-
قيمة ثابتة.
-
أنها سوف تكون قيمة ثابتة من حجم واحد
-
من هذه الأعمدة.
-
ذلك في الأساس، سيكون dx dy 2 مرات.
-
لأن ارتفاع أحد هذه الأعمدة 2،
-
ومن ثم، مع وعمقه dy و dx.
-
ثم حتى إذا كنا نريد معرفة حجم كامل اليوم ما
-
وقد فعلنا الآن هو أننا احسب ارتفاع عمود.
-
حتى ذلك الحين يمكن أن نأخذ هذه الأعمدة وجمع لهم
-
في اتجاه y.
-
حتى إذا كنت الجمع ونحن في اتجاه y، أننا يمكن أن تأخذ فقط
-
متكاملة أخرى من هذا المبلغ في اتجاه y.
-
ويذهب y من 0 إلى ماذا؟
يذهب y من 0 إلى 4.
-
لقد كتبت هذا المتكاملة قليلاً جداً الآن من
-
غادر، يبدو غريبا.
-
ولكن أعتقد أن تحصل على الفكرة.
-
y يساوي 0، إلى y يساوي 4.
-
ثم أنه سوف يعطي لنا حجم الورقة التي يتم
-
وإلى جانب الطائرة زد.
-
والكل ثم تركنا للقيام بإضافة حتى حفنة من تلك
-
أوراق في اتجاه x، وسيتعين علينا أن الحجم
-
لدينا رقم كامل.
-
حيث إضافة تلك الأوراق، سيتعين علينا أن مجموع
-
في اتجاه x.
-
وسوف نذهب من x يساوي 0، إلى x يساوي 3.
-
وتقييم هذا في الواقع إلى حد ما
-
مباشرة.
-
وهكذا، أولاً نقوم متكاملة فيما يتعلق z.
-
حسنا، ليس لدينا أي شيء مكتوب تحت هنا، ولكن علينا
-
يمكن أن مجرد افتراض أن هناك حق 1،؟
-
لأن أوقات dz dy مرات dx هو الشيء نفسه
-
dz مرات 1 مرات dy dx.
-
فما هو قيمة هذا لا يتجزأ؟
-
حسنا، أنتيديريفاتيفي 1 فيما يتعلق
-
z z عادل، يصح؟
-
لأنه مشتق z هو 1.
-
وتقييم ذلك من 2 إلى 0.
-
حتى ذلك الحين كنت غادرت مع--لذلك فإنه ناقص 0 2.
-
حتى كنت فقط غادرت مع 2.
-
لذلك كنت غادرت مع 2، ويمكنك اتخاذ المتكاملة من ذلك من
-
y يساوي 0، إلى y يساوي 4 دي، ومن ثم
-
لديك x.
-
من x يساوي 0، إلى x يساوي 3 dx.
-
والإشعار، عندما اتخذنا فقط متكاملة فيما يتعلق
-
z، لقد انتهى الأمر مع متكاملة مزدوجة.
-
وهذا متكاملة مزدوجة هي متكاملة الدقيق سيكون لدينا
-
حرر في أشرطة الفيديو السابقة في حيث لا يتجزأ، مزدوجة لك
-
أن ذكرته للتو، حسنا، z دالة x و y.
-
حيث أنك قد قمت بكتابة، تعلمون، z، دالة x
-
وص، دائماً يساوي 2.
-
وهي دالة مستمرة.
-
ومستقل عن x و y.
-
ولكن إذا كنت قد حددت z في هذا الطريق، وأنت تريد أن
-
معرفة الحجم تحت هذا السطح، حيث السطح
-
هو يساوي 2-تعلمون، وهذا سطح، هو z z
-
يساوي 2-أننا قد انتهى مع هذا.
-
لذا ترى أن ما نقوم به مع الثلاثي
-
لا يتجزأ، حقا، حقا أنها شيء مختلف.
-
وحسنا، كنت قد يتساءل لماذا نحن
-
يفعل ذلك على الإطلاق؟
-
وسوف يظهر لك أنه في المرة ثانية.
-
ولكن على أية حال، لتقييم هذا، هل يمكن أن
-
أنتيديريفاتيفي من ذلك فيما يتعلق بذ، يمكنك الحصول على 2y-اسمحوا
-
لي أن انتقل لأسفل قليلاً.
-
يمكنك الحصول على 2y تقييم ذلك في 4 و 0.
-
ومن ثم، لكي تحصل على 4 2 مرات.
-
ولذا فإن 8 ناقص 0.
-
وثم يمكنك دمج ذلك من، مع احترام
-
إلى العاشر من 0 إلى 3.
-
هذا هو x 8 من 0 إلى 3.
-
حيث أنه سوف يكون مساوياً ل 24 أربع وحدات مكعبة.
-
إذا كنت لا تعرف السؤال البديهي، ما هو جيد لهذا؟
-
حسنا، إذا كان لديك نوع من قيمة ثابتة داخل
-
وحدة التخزين، أنت على حق.
-
يمكن فقط القيام تكامل مزدوج.
-
ولكن ماذا لو كان لي أن أقول لكم، هدفنا عدم معرفة
-
وحدة التخزين لهذا الرقم.
-
أن هدفنا معرفة الكتلة من هذا الرقم.
-
وحتى أكثر من ذلك، هذا الحجم-هذا المجال من الفضاء أو
-
أيا كان-كتلتها ليست موحدة.
-
إذا كانت كتلتها موحدة، يمكن أن قمت بضرب فقط الزي العسكري
-
كثافة إضعاف حجمه، وسوف تحصل على كتلتها.
-
ولكن لنفترض أن التغييرات الكثافة.
-
يمكن أن يكون حجم بعض الغاز أو أنه يمكن أن يكون حتى بعض
-
المواد مع المركبات المختلفة فيه.
-
لذلك دعونا نقول أن كثافته دالة متغير
-
من x و y، و z.
-
لذلك دعونا نقول أن الكثافة-هذا الصف، هذا الشيء الذي يبدو
-
مثل ف ما عادة استخدام في الفيزياء للكثافة-حتى
-
كثافته دالة x، y، و z.
-
دعونا اليوم فقط لجعلها بسيطة-ولجعل
-
فس مرات مرات y z.
-
إذا كنا نرغب في معرفة كتلة أي وحدة تخزين صغيرة، فإنه
-
وسيكون أن حجم أوقات الكثافة، الحق؟
-
لأن كثافة-الوحدات الخاصة بكثافة مثل كجم
-
متر مكعبة.
-
حتى إذا قمت بضرب من الأوقات أمتار مكعبة، تحصل على كجم.
-
لذلك يمكن أن نقول أن الكتلة-حسنا، سوف تشكل التدوين، د
-
الجماعية-هذه ليست مهمة.
-
حسنا، أنا لا أريد أن يكتب لها في أقواس، لأن ذلك
-
يجعلها تبدو وكأنها دالة.
-
وهكذا، سوف كتلة تفاضلية جداً، أو كتلة صغيرة جداً،
-
على قدم المساواة الكثافة في تلك المرحلة، التي ستكون xyz،
-
إضعاف الحجم من تلك الكتلة الصغيرة.
-
وهذا الحجم من تلك الكتلة الصغيرة يمكن أن نكتب ك dv.
-
وإننا نعلم أن العنف المنزلي هو الشيء نفسه كأوقات العرض
-
أوقات ذروة العمق.
-
dv لا ينبغي دائماً أن يكون dx الأوقات dy مرات dz.
-
إذا أننا نقوم بالإحداثيات الأخرى، إذا نقوم به
-
الإحداثيات القطبية، يمكن أن يكون شيئا مختلفاً بعض الشيء.
-
وسنفعل ذلك في نهاية المطاف.
-
ولكن إذا كنا نرغب في معرفة الكتلة، منذ ذلك الحين نستخدمه
-
إحداثيات rectangular، سيكون من دالة الكثافة
-
عند هذه النقطة مرات حجم التفاضلية.
-
بذلك أوقات dx dy dz.
-
والطبع، نستطيع أن نغير النظام هنا.
-
لذلك عندما تريد معرفة الحجم-عندما تريد
-
معرفة الكتلة-التي سوف أفعل في الفيديو التالي، ونحن
-
وسيكون أساسا لدمج هذه الدالة.
-
بالمقارنة مع 1 فقط على z، y و x.
-
وأنا ذاهب إلى القيام بذلك في الفيديو التالي.
-
وسترى أنها حقا فقط كثير من أخذ الأساسية
-
أنتيديريفاتيفيس وتجنب أخطاء الإهمال.
-
وسوف نراكم في الفيديو التالي.