WEBVTT

00:00:00.740 --> 00:00:04.160
لنفترض أنني أريد الحصول على حجم مكعب، حيث

00:00:04.160 --> 00:00:07.150
أن قيم المكعب-- لنقل اكس بين-- اكس اكبر

00:00:07.150 --> 00:00:10.350
من أو يساوي 0، أقل من أو يساوي،

00:00:10.350 --> 00:00:11.780
لا أعرف، 3.

00:00:11.780 --> 00:00:14.600
لنفترض أن y هو أكبر من أو تساوي 0، وهو

00:00:14.600 --> 00:00:17.000
أقل من أو يساوي إلى 4.

00:00:17.000 --> 00:00:21.270
وثم دعنا نقول أن ع أكبر من أو يساوي 0 و

00:00:21.270 --> 00:00:23.055
أقل من أو يساوي 2.

00:00:23.055 --> 00:00:26.650
وأنا أعلم، باستخدام هندسة الأساسية يمكن أن تستنتج

00:00:26.650 --> 00:00:30.370
كما تعلم، مجرد ضرب العرض في الطول في العمق

00:00:30.370 --> 00:00:31.340
بعدها ستحصل على الحجم

00:00:31.340 --> 00:00:34.280
ولكن أريد أن أفعل هذا المثال، حتى تعتاد على

00:00:34.280 --> 00:00:36.700
كيف يبدو الـ التكامل الثلاثي ، كيفية إرتباطه

00:00:36.700 --> 00:00:39.180
بالـ التكامل الثنائي، وثم بعد ذلك في الفيديو التالي يمكن أن نحل

00:00:39.180 --> 00:00:40.290
شيئا يبدو قليلاً أكثر تعقيداً

00:00:40.290 --> 00:00:44.040
لذلك دعونا، نرسم هذا

00:00:44.040 --> 00:00:51.780
هذا محور الـ اكس
هذا محور الـ زي

00:00:51.780 --> 00:00:54.330
وهذا محور الـ واي

00:00:54.330 --> 00:00:55.795
x، y، z.

00:00:55.795 --> 00:00:59.600
اكس، واي، زي

00:00:59.600 --> 00:01:00.080
حسناً

00:01:00.080 --> 00:01:01.910
قيمة اكس تقع بين صفر و ٣

00:01:01.910 --> 00:01:03.070
هنا اكس تساوي صفر

00:01:03.070 --> 00:01:09.120
هنا اكس تساوي ٣، لنعد واحد اثنين ثلاثة

00:01:09.120 --> 00:01:10.570
و الـ واي بين صفر و ٤

00:01:10.570 --> 00:01:13.180
1، 2، 3، 4.

00:01:13.180 --> 00:01:15.450
حيث أن الفضاء أكس - واي سيبدو شيئا من هذا القبيل

00:01:15.450 --> 00:01:20.520
انه نوعاً ما قاعدة المكعب، ستبدو شيئا من هذا القبيل

00:01:20.520 --> 00:01:21.770
وبعد ذلك، زي بين صفر و ٢

00:01:21.770 --> 00:01:25.350
هنا الصفر، هو في الفضاء اكس - واي

00:01:25.350 --> 00:01:27.130
وبعدها اثنين ستكون هنا، في الجزء العلوي

00:01:27.130 --> 00:01:30.600
وربما سأفعل ذلك بألوان مختلفة بعض الشيء

00:01:30.600 --> 00:01:34.520
ولهذا فهذه على محور الـ زي

00:01:34.520 --> 00:01:36.360
سيكون لديك حد هنا، وبعد ذلك حد آخر هنا

00:01:36.360 --> 00:01:38.316
تأتي مثل هذا

00:01:38.316 --> 00:01:41.850
لديك حد هنا، يأتي في مثل ذلك

00:01:41.850 --> 00:01:43.810
حد آخر هناك

00:01:43.810 --> 00:01:45.600
نريد معرفة حجم هذا المكعب

00:01:45.600 --> 00:01:46.370
ويمكنك أن تفعل ذلك

00:01:46.370 --> 00:01:51.540
يمكن القول، أيضا، وهو العمق 3، القاعدة، العرض هو 4،

00:01:51.540 --> 00:01:53.920
حتى أن هذا المجال هو 12 مرة الارتفاع.

00:01:53.920 --> 00:01:55.170
2 12 مرة من 24.

00:01:55.170 --> 00:01:58.980
يمكنك أن تقول أنها 24 وحدة مكعب، أيا كان

00:01:58.980 --> 00:01:59.630
وحدات نقوم به.

00:01:59.630 --> 00:02:01.990
ولكن دعونا نفعل ذلك كثلاثي لا يتجزأ.

00:02:01.990 --> 00:02:03.640
حتى ماذا يعني لا يتجزأ من ثلاثي؟

00:02:03.640 --> 00:02:07.110
حسنا، ما يمكن أن نفعله أننا يمكن أن الحجم جداً

00:02:07.110 --> 00:02:10.670
الصغيرة-لا أريد أن أقول المنطقة اليوم لوحدة تخزين صغيرة جداً.

00:02:10.670 --> 00:02:14.770
لذلك دعونا نقول أردت أن تأخذ حجم مكعب صغير.

00:02:14.770 --> 00:02:17.810
بعض المكان في هذا اليوم في وحدة التخزين تحت السؤال.

00:02:17.810 --> 00:02:20.160
وأنها سوف تبدأ في أكثر من معنى، أو يبدأ لتصبح

00:02:20.160 --> 00:02:22.860
الكثير أكثر فائدة، عندما يكون لدينا حدود متغيرة و

00:02:22.860 --> 00:02:25.050
الأسطح والمنحنيات كحدود.

00:02:25.050 --> 00:02:26.840
ولكن دعنا نقول أننا نريد معرفة حجم هذا

00:02:26.840 --> 00:02:29.780
مكعبات صغيرة قليلة، هنا.

00:02:29.780 --> 00:02:30.590
هذا هو بلدي المكعب.

00:02:30.590 --> 00:02:33.630
من مكان ما في هذا المكعب أكبر، هذا المستطيل أكبر،

00:02:33.630 --> 00:02:35.460
مكعب المستطيل، أيا كان الذي تريد تسميته.

00:02:35.460 --> 00:02:36.540
فما هو حجم هذا المكعب؟

00:02:36.540 --> 00:02:38.930
دعنا نقول أن ما عرض هو dy.

00:02:42.320 --> 00:02:44.010
حيث يكون طول هناك حق dy.

00:02:44.010 --> 00:02:46.810
هو أنه في ذروة dx.

00:02:46.810 --> 00:02:49.660
عذرا، لا، هذا الارتفاع هو dz، الحق؟

00:02:49.660 --> 00:02:51.840
الطريقة التي وجهت عليه، ع صعودا وهبوطاً.

00:02:51.840 --> 00:02:53.860
ومن العمق dx.

00:02:53.860 --> 00:02:55.940
هذا هو dx.

00:02:55.940 --> 00:02:56.750
وهذا هو dz.

00:02:56.750 --> 00:02:57.720
وهذا هو dy.

00:02:57.720 --> 00:03:01.260
حيث يمكنك أن تقول أن كمية صغيرة داخل هذا أكبر

00:03:01.260 --> 00:03:04.830
وحدة التخزين-هل يمكن تسمية ذلك dv، هو نوع من

00:03:04.830 --> 00:03:06.750
حجم التفاضلية.

00:03:06.750 --> 00:03:10.290
وسيكون ذلك يساوي، يمكن القول، أنها مجرد

00:03:10.290 --> 00:03:13.990
العرض الأوقات الطول أوقات ذروة.

00:03:13.990 --> 00:03:15.950
dx الأوقات dy مرات dz.

00:03:15.950 --> 00:03:17.760
ويمكن التبديل بناء على أوامر من هذه، الحق؟

00:03:17.760 --> 00:03:21.010
لأن تكاثر التضامنية، وتأمر

00:03:21.010 --> 00:03:22.920
لا يهم وكل ما.

00:03:22.920 --> 00:03:24.540
ولكن على أية حال، ماذا يمكنك أن تفعل معها هنا؟

00:03:24.540 --> 00:03:27.290
حسنا، يمكن أن نتخذها في المتكاملة.

00:03:27.290 --> 00:03:32.520
تكاملات جميع تساعدنا على القيام به هو يساعدنا تأخذ مبالغ لا حصر له من

00:03:32.520 --> 00:03:36.080
مسافات صغيرة متناهية، مثل dz أو dx أو

00:03:36.080 --> 00:03:38.240
dy، إلخ.

00:03:38.240 --> 00:03:41.620
لذا، ما يمكن أن نفعله أننا يمكن أن يأخذ هذا المكعب و

00:03:41.620 --> 00:03:44.110
أولاً، إضافة في، دعنا نقول، باتجاه z.

00:03:44.110 --> 00:03:48.330
حتى أننا يمكن أن يأخذ هذا المكعب وثم إضافته على طول لأعلى و

00:03:48.330 --> 00:03:51.230
أسفل محور اليوم محور "ع"-حيث أن نحصل

00:03:51.230 --> 00:03:52.410
حجم العمود.

00:03:52.410 --> 00:03:54.550
حتى ما تود أن تبحث؟

00:03:54.550 --> 00:03:56.930
حسنا، وبما أننا في طريقنا صعودا وهبوطاً، كنت مشيراً إلى أننا-نحن

00:03:56.930 --> 00:04:00.670
أخذ المبلغ في اتجاه z.

00:04:00.670 --> 00:04:02.610
سيكون لدينا يتجزأ.

00:04:02.610 --> 00:04:04.655
ومن ثم ما هو أقل قيمة z؟

00:04:04.655 --> 00:04:08.310
حسنا، z أنه يساوي 0.

00:04:08.310 --> 00:04:09.280
وما هو الحد الأعلى؟

00:04:09.280 --> 00:04:12.070
كما لو كنت مجرد اتخاذ-الاحتفاظ بإضافة هذه المكعبات، و

00:04:12.070 --> 00:04:14.190
الاحتفاظ بالصعود، يمكنك أن تصل إلى الحد الأعلى.

00:04:14.190 --> 00:04:14.770
وما هو الحد الأعلى؟

00:04:14.770 --> 00:04:16.100
Z أنه يساوي 2.

00:04:20.580 --> 00:04:25.010
والطبع، كنت تأخذ مجموع هذه dv.

00:04:25.010 --> 00:04:26.130
وأنا اكتب dz أولاً.

00:04:26.130 --> 00:04:28.170
فقط حيث أنه يذكرنا بأن ونحن في طريقنا إلى

00:04:28.170 --> 00:04:30.430
أخذ متكاملة فيما يتعلق z أولاً.

00:04:30.430 --> 00:04:32.010
ودعونا نقول أننا سنفعل y التالي.

00:04:32.010 --> 00:04:34.200
وبعد ذلك سنفعل x.

00:04:34.200 --> 00:04:37.430
وحتى هذا المتكاملة، هذه القيمة، كما قمت بكتابة، سوف

00:04:37.430 --> 00:04:42.020
معرفة حجم عمود إعطاء أي x و y.

00:04:42.020 --> 00:04:45.240
أنها سوف تكون مهمة من x و y، ولكن بما أننا نتعامل مع

00:04:45.240 --> 00:04:47.130
جميع الثوابت هنا، فهو فعلا سيكون

00:04:47.130 --> 00:04:48.600
قيمة ثابتة.

00:04:48.600 --> 00:04:52.160
أنها سوف تكون قيمة ثابتة من حجم واحد

00:04:52.160 --> 00:04:53.890
من هذه الأعمدة.

00:04:53.890 --> 00:04:56.580
ذلك في الأساس، سيكون dx dy 2 مرات.

00:04:56.580 --> 00:04:59.330
لأن ارتفاع أحد هذه الأعمدة 2،

00:04:59.330 --> 00:05:03.710
ومن ثم، مع وعمقه dy و dx.

00:05:03.710 --> 00:05:06.570
ثم حتى إذا كنا نريد معرفة حجم كامل اليوم ما

00:05:06.570 --> 00:05:09.270
وقد فعلنا الآن هو أننا احسب ارتفاع عمود.

00:05:09.270 --> 00:05:11.300
حتى ذلك الحين يمكن أن نأخذ هذه الأعمدة وجمع لهم

00:05:11.300 --> 00:05:13.730
في اتجاه y.

00:05:13.730 --> 00:05:15.710
حتى إذا كنت الجمع ونحن في اتجاه y، أننا يمكن أن تأخذ فقط

00:05:15.710 --> 00:05:20.340
متكاملة أخرى من هذا المبلغ في اتجاه y.

00:05:20.340 --> 00:05:25.650
ويذهب y من 0 إلى ماذا؟
يذهب y من 0 إلى 4.

00:05:25.650 --> 00:05:27.180
لقد كتبت هذا المتكاملة قليلاً جداً الآن من

00:05:27.180 --> 00:05:28.300
غادر، يبدو غريبا.

00:05:28.300 --> 00:05:31.000
ولكن أعتقد أن تحصل على الفكرة.

00:05:31.000 --> 00:05:33.390
y يساوي 0، إلى y يساوي 4.

00:05:33.390 --> 00:05:37.420
ثم أنه سوف يعطي لنا حجم الورقة التي يتم

00:05:37.420 --> 00:05:40.290
وإلى جانب الطائرة زد.

00:05:40.290 --> 00:05:44.250
والكل ثم تركنا للقيام بإضافة حتى حفنة من تلك

00:05:44.250 --> 00:05:46.570
أوراق في اتجاه x، وسيتعين علينا أن الحجم

00:05:46.570 --> 00:05:48.210
لدينا رقم كامل.

00:05:48.210 --> 00:05:50.190
حيث إضافة تلك الأوراق، سيتعين علينا أن مجموع

00:05:50.190 --> 00:05:51.750
في اتجاه x.

00:05:51.750 --> 00:05:57.060
وسوف نذهب من x يساوي 0، إلى x يساوي 3.

00:05:57.060 --> 00:05:58.660
وتقييم هذا في الواقع إلى حد ما

00:05:58.660 --> 00:05:59.690
مباشرة.

00:05:59.690 --> 00:06:03.020
وهكذا، أولاً نقوم متكاملة فيما يتعلق z.

00:06:03.020 --> 00:06:05.090
حسنا، ليس لدينا أي شيء مكتوب تحت هنا، ولكن علينا

00:06:05.090 --> 00:06:06.740
يمكن أن مجرد افتراض أن هناك حق 1،؟

00:06:06.740 --> 00:06:10.160
لأن أوقات dz dy مرات dx هو الشيء نفسه

00:06:10.160 --> 00:06:12.940
dz مرات 1 مرات dy dx.

00:06:12.940 --> 00:06:15.500
فما هو قيمة هذا لا يتجزأ؟

00:06:15.500 --> 00:06:18.760
حسنا، أنتيديريفاتيفي 1 فيما يتعلق

00:06:18.760 --> 00:06:20.650
z z عادل، يصح؟

00:06:20.650 --> 00:06:22.700
لأنه مشتق z هو 1.

00:06:22.700 --> 00:06:27.640
وتقييم ذلك من 2 إلى 0.

00:06:27.640 --> 00:06:30.210
حتى ذلك الحين كنت غادرت مع--لذلك فإنه ناقص 0 2.

00:06:30.210 --> 00:06:31.580
حتى كنت فقط غادرت مع 2.

00:06:31.580 --> 00:06:34.390
لذلك كنت غادرت مع 2، ويمكنك اتخاذ المتكاملة من ذلك من

00:06:34.390 --> 00:06:38.080
y يساوي 0، إلى y يساوي 4 دي، ومن ثم

00:06:38.080 --> 00:06:40.060
لديك x.

00:06:40.060 --> 00:06:45.280
من x يساوي 0، إلى x يساوي 3 dx.

00:06:45.280 --> 00:06:48.440
والإشعار، عندما اتخذنا فقط متكاملة فيما يتعلق

00:06:48.440 --> 00:06:50.210
z، لقد انتهى الأمر مع متكاملة مزدوجة.

00:06:50.210 --> 00:06:52.830
وهذا متكاملة مزدوجة هي متكاملة الدقيق سيكون لدينا

00:06:52.830 --> 00:06:56.440
حرر في أشرطة الفيديو السابقة في حيث لا يتجزأ، مزدوجة لك

00:06:56.440 --> 00:06:59.510
أن ذكرته للتو، حسنا، z دالة x و y.

00:06:59.510 --> 00:07:01.880
حيث أنك قد قمت بكتابة، تعلمون، z، دالة x

00:07:01.880 --> 00:07:04.230
وص، دائماً يساوي 2.

00:07:04.230 --> 00:07:05.180
وهي دالة مستمرة.

00:07:05.180 --> 00:07:06.980
ومستقل عن x و y.

00:07:06.980 --> 00:07:09.210
ولكن إذا كنت قد حددت z في هذا الطريق، وأنت تريد أن

00:07:09.210 --> 00:07:11.985
معرفة الحجم تحت هذا السطح، حيث السطح

00:07:11.985 --> 00:07:15.370
هو يساوي 2-تعلمون، وهذا سطح، هو z z

00:07:15.370 --> 00:07:17.580
يساوي 2-أننا قد انتهى مع هذا.

00:07:17.580 --> 00:07:19.130
لذا ترى أن ما نقوم به مع الثلاثي

00:07:19.130 --> 00:07:21.030
لا يتجزأ، حقا، حقا أنها شيء مختلف.

00:07:21.030 --> 00:07:22.060
وحسنا، كنت قد يتساءل لماذا نحن

00:07:22.060 --> 00:07:22.840
يفعل ذلك على الإطلاق؟

00:07:22.840 --> 00:07:25.730
وسوف يظهر لك أنه في المرة ثانية.

00:07:25.730 --> 00:07:28.320
ولكن على أية حال، لتقييم هذا، هل يمكن أن

00:07:28.320 --> 00:07:32.070
أنتيديريفاتيفي من ذلك فيما يتعلق بذ، يمكنك الحصول على 2y-اسمحوا

00:07:32.070 --> 00:07:33.760
لي أن انتقل لأسفل قليلاً.

00:07:33.760 --> 00:07:38.530
يمكنك الحصول على 2y تقييم ذلك في 4 و 0.

00:07:38.530 --> 00:07:41.150
ومن ثم، لكي تحصل على 4 2 مرات.

00:07:41.150 --> 00:07:42.540
ولذا فإن 8 ناقص 0.

00:07:42.540 --> 00:07:46.070
وثم يمكنك دمج ذلك من، مع احترام

00:07:46.070 --> 00:07:48.340
إلى العاشر من 0 إلى 3.

00:07:48.340 --> 00:07:52.430
هذا هو x 8 من 0 إلى 3.

00:07:52.430 --> 00:07:55.430
حيث أنه سوف يكون مساوياً ل 24 أربع وحدات مكعبة.

00:07:55.430 --> 00:07:59.780
إذا كنت لا تعرف السؤال البديهي، ما هو جيد لهذا؟

00:07:59.780 --> 00:08:05.420
حسنا، إذا كان لديك نوع من قيمة ثابتة داخل

00:08:05.420 --> 00:08:06.400
وحدة التخزين، أنت على حق.

00:08:06.400 --> 00:08:08.230
يمكن فقط القيام تكامل مزدوج.

00:08:08.230 --> 00:08:11.610
ولكن ماذا لو كان لي أن أقول لكم، هدفنا عدم معرفة

00:08:11.610 --> 00:08:13.670
وحدة التخزين لهذا الرقم.

00:08:13.670 --> 00:08:16.550
أن هدفنا معرفة الكتلة من هذا الرقم.

00:08:16.550 --> 00:08:21.660
وحتى أكثر من ذلك، هذا الحجم-هذا المجال من الفضاء أو

00:08:21.660 --> 00:08:23.670
أيا كان-كتلتها ليست موحدة.

00:08:23.670 --> 00:08:28.190
إذا كانت كتلتها موحدة، يمكن أن قمت بضرب فقط الزي العسكري

00:08:28.190 --> 00:08:31.240
كثافة إضعاف حجمه، وسوف تحصل على كتلتها.

00:08:31.240 --> 00:08:33.040
ولكن لنفترض أن التغييرات الكثافة.

00:08:33.040 --> 00:08:36.340
يمكن أن يكون حجم بعض الغاز أو أنه يمكن أن يكون حتى بعض

00:08:36.340 --> 00:08:39.070
المواد مع المركبات المختلفة فيه.

00:08:39.070 --> 00:08:42.370
لذلك دعونا نقول أن كثافته دالة متغير

00:08:42.370 --> 00:08:43.240
من x و y، و z.

00:08:43.240 --> 00:08:47.650
لذلك دعونا نقول أن الكثافة-هذا الصف، هذا الشيء الذي يبدو

00:08:47.650 --> 00:08:50.720
مثل ف ما عادة استخدام في الفيزياء للكثافة-حتى

00:08:50.720 --> 00:08:54.390
كثافته دالة x، y، و z.

00:08:54.390 --> 00:08:55.710
دعونا اليوم فقط لجعلها بسيطة-ولجعل

00:08:55.710 --> 00:08:59.840
فس مرات مرات y z.

00:08:59.840 --> 00:09:06.020
إذا كنا نرغب في معرفة كتلة أي وحدة تخزين صغيرة، فإنه

00:09:06.020 --> 00:09:08.440
وسيكون أن حجم أوقات الكثافة، الحق؟

00:09:08.440 --> 00:09:12.190
لأن كثافة-الوحدات الخاصة بكثافة مثل كجم

00:09:12.190 --> 00:09:13.590
متر مكعبة.

00:09:13.590 --> 00:09:16.400
حتى إذا قمت بضرب من الأوقات أمتار مكعبة، تحصل على كجم.

00:09:16.400 --> 00:09:20.260
لذلك يمكن أن نقول أن الكتلة-حسنا، سوف تشكل التدوين، د

00:09:20.260 --> 00:09:23.730
الجماعية-هذه ليست مهمة.

00:09:23.730 --> 00:09:25.230
حسنا، أنا لا أريد أن يكتب لها في أقواس، لأن ذلك

00:09:25.230 --> 00:09:26.230
يجعلها تبدو وكأنها دالة.

00:09:26.230 --> 00:09:30.490
وهكذا، سوف كتلة تفاضلية جداً، أو كتلة صغيرة جداً،

00:09:30.490 --> 00:09:35.860
على قدم المساواة الكثافة في تلك المرحلة، التي ستكون xyz،

00:09:35.860 --> 00:09:39.810
إضعاف الحجم من تلك الكتلة الصغيرة.

00:09:39.810 --> 00:09:42.780
وهذا الحجم من تلك الكتلة الصغيرة يمكن أن نكتب ك dv.

00:09:42.780 --> 00:09:48.790
وإننا نعلم أن العنف المنزلي هو الشيء نفسه كأوقات العرض

00:09:48.790 --> 00:09:49.670
أوقات ذروة العمق.

00:09:49.670 --> 00:09:52.350
dv لا ينبغي دائماً أن يكون dx الأوقات dy مرات dz.

00:09:52.350 --> 00:09:54.000
إذا أننا نقوم بالإحداثيات الأخرى، إذا نقوم به

00:09:54.000 --> 00:09:57.670
الإحداثيات القطبية، يمكن أن يكون شيئا مختلفاً بعض الشيء.

00:09:57.670 --> 00:09:59.160
وسنفعل ذلك في نهاية المطاف.

00:09:59.160 --> 00:10:01.280
ولكن إذا كنا نرغب في معرفة الكتلة، منذ ذلك الحين نستخدمه

00:10:01.280 --> 00:10:03.550
إحداثيات rectangular، سيكون من دالة الكثافة

00:10:03.550 --> 00:10:07.030
عند هذه النقطة مرات حجم التفاضلية.

00:10:07.030 --> 00:10:11.330
بذلك أوقات dx dy dz.

00:10:11.330 --> 00:10:13.870
والطبع، نستطيع أن نغير النظام هنا.

00:10:13.870 --> 00:10:16.386
لذلك عندما تريد معرفة الحجم-عندما تريد

00:10:16.386 --> 00:10:19.000
معرفة الكتلة-التي سوف أفعل في الفيديو التالي، ونحن

00:10:19.000 --> 00:10:21.290
وسيكون أساسا لدمج هذه الدالة.

00:10:21.290 --> 00:10:27.400
بالمقارنة مع 1 فقط على z، y و x.

00:10:27.400 --> 00:10:28.690
وأنا ذاهب إلى القيام بذلك في الفيديو التالي.

00:10:28.690 --> 00:10:32.050
وسترى أنها حقا فقط كثير من أخذ الأساسية

00:10:32.050 --> 00:10:34.700
أنتيديريفاتيفيس وتجنب أخطاء الإهمال.

00:10:34.700 --> 00:10:37.280
وسوف نراكم في الفيديو التالي.